בתשובה לאלון עמית, 13/05/04 9:37
השוק ידאג לעצמו 219463
עוזי ו. • בתשובה לאלון עמית יום א', 16/5/2004, 21:52
שמעתי היום הרצאה של פרופ' Benno Eckmann, שהיה מן המייסדים של הטופולוגיה האלגברית בשנות החמשים. כלכלנים העוסקים ב- Social choices עניינו אותו בבעיה הבאה.

נתון מרחב P של אפשרויות (למשל, החלוקה המפורטת של תקציב המדינה לסעיפים). כדי שיהיה מעניין, אני אקרא ל- P "מרחב טופולוגי". כעת, מחפשים פונקצית החלטה, שמקבלת n העדפות (של אזרחי המדינה, או של חברי הכנסת), ומחזירה את ההחלטה המשוקללת, באותו מרחב. הפונקציה צריכה לקיים כמה תכונות טבעיות:
- רציפות (שינוי קל בהעדפה של אחד המשתתפים אינו אמור להשפיע באופן מהותי על התוצאה הסופית),
- סימטריות (אם שני משתתפים מחליפים ביניהם את עמדותיהם, התוצאה אינה משתנה),
- סבירות (אם כולם מסכימים על אפשרות a, זו תהיה התוצאה של הפונקציה).

מתברר שבדרך כלל, את התנאים התמימים האלה אי אפשר בכלל למלא. כדי שתהיה פונקצית החלטה כנ"ל לכל n, על המרחב להיות הומוטופי‏1 למכפלה של מרחבים מהצורה (K(Q,n. אלו הם "Classifying spaces" של Eilenberg-MacLane, וזה לחלוטין בלתי אפשרי‏2 שהם יופיעו בבעיה אמיתית כלשהי.

למשל, אם מרחב האפשריות כולל זוגות של מספרים ממשיים, וקיימת נקודת "קטסטרופה" שאי-אפשר לבחור - אז לא קיימת פונקצית החלטה עבור אף מספר של משתתפים.

מוסר ההשכל: לא כל דבר אפשר לעשות.

‏1 "דומה"; זה מושג שאי אפשר להסביר, תגובה 214296.
‏2 לא באמת, אבל זה יהיה יותר ממדהים.
השוק ידאג לעצמו 219472
אלון עמית • בתשובה לעוזי ו. יום א', 16/5/2004, 22:11
תוצאת אי-האפשרות המקורית שהזכרת כבר נדונה באייל תחת השם "הפרדוקס של Arrow", אפילו פעמיים, למיטב זכרוני. החלק השני, המאפיין את הטופולוגיות בהן יש כן אסטרטגיה מתעדפת כזו, הוא אכן מדהים לגמרי.

‏1 "הומוטופי" אי אפשר להסביר? הגזמת... :-) אני מניח שהכוונה ל"שקול הומוטופית", ואפשר להסביר זאת עם קצת מאמץ. הייתי בוחר בנתיב של להסביר (אינטואיטיבית) מה זה deformation retract, ואז לומר שמרחבים הם שקולים הומוטופית אם שניהם הם כיווצים כאלה של מרחב שלישי. מילא אם היית אומר שקשה להסביר מה זה (K(G,n ובשביל מה זה טוב...
השוק ידאג לעצמו 219543
עוזי ו. • בתשובה לאלון עמית יום ב', 17/5/2004, 1:24
אני חושב שהפרדוקס של Arrow מניח הנחות קצת שונות (ובפרט הוא לא דורש שפונקצית הבחירה תהיה סימטרית).

‏1 התכוונתי כמובן לשקילות הומוטופית, ויהיה משעשע לראות אותך מנסה להסביר את זה. (בין אם תצליח ובין אם לא, ההנאה (שלי) מובטחת...)
השוק ידאג לעצמו 219552
אלון עמית • בתשובה לעוזי ו. יום ב', 17/5/2004, 5:48
חשבתי שזו אחת הווריאציות שלו (יש כמה), סליחה.

‏1 אם לא אסביר את זה ל*מישהו*, יהיה קשה לדעת אם הצלחתי או לא. בכל אופן: שני גופים מפלסטלינה הם שקולים הומוטופית אם יש גוף שלישי מפלסטלינה שאפשר לכווצו הן לראשון והן לשני. "לכווץ" גוף פירושו ללחוץ על הפלסטלינה בכיוונים שונים, בלי לייצר חורים ובלי להדביק.

דוגמה: גוש פלסטלינה הנראה כמו אליפסה עם שני חורים קטנים אפשר לכווץ למשהו הנראה כמו הספרה 8 (שני מעגלים הנושקים בנקודה), וגם למשהו הנראה כמו האות היוונית תיטא (מעגל עם קוטר), וגם למשהו הנראה כמו שני מעגלים מחוברים בקו. יש ציור נחמד בעמוד 2 פה:

לכן כל אלו (האליפסה המחוררת המקורית, השמונה, התיטא והזהו) שקולים הומוטופית. נשים לב שאם מתחילים מחתיכת פלסטלינה דקיקה בצורת שני מעגלים מחוברים בקו, אי אפשר לעוות אותה לאות תיטא בלי לעשות הדבקות, אבל אפשר "לנפח" אותה לאליפסה מחוררת ואז לכווץ מחדש לתיטא. זו שקילות הומוטופית.
השוק ידאג לעצמו 219566
אלון עמית • בתשובה לאלון עמית יום ב', 17/5/2004, 8:03
(שכחתי לציין שזו איננה ההגדרה המקובלת לשקילות הומוטופית; לרוב משתמשים בהגדרה שאינה דורשת צד ג', ואז מראים שהיא שקולה לשיטת הניפוח/כיווץ).
חזרה לעמוד הראשי המאמר המלא
מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים
האייל הקורא RSS מאמרים | כתבו למערכת | אודות האתר | טרם התעדכנת | ארכיון | חיפוש | עזרה | תנאי שימוש © כל הזכויות שמורות