בתשובה ללודביג, 21/02/04 15:18
 |
|
 |
||
|
||||
 |
אני לא יודע אם קראת את הארדי (כדאי מאוד), אבל הוא ממש לא מתנצל :-) השאלה הראשונה ששאלת היא מעניינת מאוד, ותכף נגיע אליה, אך היא שונה קצת ממה שבד"כ נדון תחת הכותרת שנתת לה, "הקשר שבין מתמטיקה לפיסיקה", שהיא שאלה מעניינת אחרת: ההצלחה המפליאה של מושגים מתמטיים בתאוריות הפיסיקליות, בפרט המודרניות. זו לא עובדה טריויאלית כפי שאולי נדמה מכך שחלק ניכר מהמתמטיקה פותח על-מנת לתאר תופעות פיסיקליות. אולי נדבר גם על זה אח"כ. השאלות שכן שאלת נוגעות לחלק ממה שקרוי הפילוסופיה של המתמטיקה, ספציפית לזיקה (אם יש כזו) בין המבנים המתמטיים ל"עולם האמיתי". האם המספרים הטבעיים קיימים? והממשיים? ומושג האינסוף? האם, כפי ששאלת, מתמטיקה היא מניפולציה סינטקטית של סימנים, או שהיא מסמלת באיזה אופן את העולם? אינני סבור שיש היום תמימות-דעים בקרב המתמטיקאים (או הפילוסופים) בקשר לשאלות אלו, אך המצב היום נראה גם יותר ברור וגם יותר מורכב מכפי שהיה בעשורים הראשונים של המאה העשרים. אפשר לכתוב מאמר ארוך על הנושא הזה; בינתיים אזרוק כמה הערות כלליות. לגישה האקסיומטית הפורמלית יש מקום מרכזי מאוד במתמטיקה, אך סבורני שיש מעט אנשים יחסית המניחים שמתמטיקה היא פורמליזם מכני ותו-לא; אחרי הכל, אנחנו מאמינים שכשאנחנו מדברים על המספרים הטבעיים, אנחנו מדברים על משהו "אמיתי" ש"נמצא שם", ולעומת זאת אנו יודעים פחות או יותר ששום מערכת פורמלית איננה יכולה לתת תשובות מלאות על מספרים אלה. אני אנסה להסביר: ישנן מערכות פורמליות פשוטות (אקסיומות פאנו מסדר ראשון, נניח) המאפשרות לדון במספרים הטבעיים ולהוכיח תכונות מסויימות שלהם, אך אנו יודעים שמערכת כזו, אם אין בה סתירות, תמיד תהיינה בה טענות אותן לא ניתן להוכיח. קצת על הנושא הזה יש בפתיל הארוך מתחת לתגובה 164351, ושים לב גם לתגובה 171334 הסוגרת איזה ויכוח קצר שהתעורר שם (וסליחה שאני שוב שולח אותך לפתיל מייגע תחת המאמר ההוא). במילים אחרות, מערכות אקסיומטיות במתמטיקה נוצרות במקרים רבים מתוך ניסיון לתאר בצורה מדוייקת איזושהי ישות אינטואיטיבית (או לא כל כך אינטואיטיבית) - המישור האוקלידי, המספרים הטבעיים, מבנים אלגבריים שונים וכו', אך אנו מבינים כיום שבמקרים מורכבים מספיק לא ניתן יהיה לתת תיאור פורמלי שלם וחד-משמעי של הדבר אותו אנו מנסים למדל (גיאומטריה של המישור היא דווקא דוגמה למערכת בה הבעייה הזו לא מתעוררת). אפשר להרחיב, למשל, לגבי המצב המסתורי של השערת-הרצף, והיחס של מתמטיקאים שונים למטא-שאלה, "האם יש משמעות לשאלה אם השערת הרצף נכונה או לא". הקשרים בין הרציף והדיסקרטי במתמטיקה הם חשובים ועמוקים, אבל אינני בטוח שיש קשר הכרחי בין השאלה אם היקום באמת רציף או דיסקרטי לשאלת הישימות של מתמטיקה דיסקרטית או רציפה לתיאור העולם. הסיבה היא פשוטה: גם בתוך המתמטיקה יש שלל מצבים בהן הדרך הנוחה ללמוד ישויות דיסקרטיות היא דווקא באמצעות מושגים רציפים - ולהיפך. לשאלת הבחירה בין תאוריות זהות מבחינה ניבויית: אני אישית מאמין שהסיבות לבחור בפשוטה יותר הן אסתטיות גרידא, ולא נובעות משיקולים של שימושיות או מיעוט-באגים או איזה יתרון "אינטרינזי" אחר. מדד ה"יחס" בין עושר התורה לסיבוכיות הניסוח שלה נשמע לי נחמד, אך חשוב להדגיש שאין כמובן דרך אמיתית לכמת את העושר המתקבל, ועל מושג היופי משפיעים עוד הרבה גורמים השונים מאדם לאדם. את עניין הסיבוכיות לא בטוח שהבנתי... איך הגענו לזה? ולבסוף, אם תצליח לשעמם אותי עם הגיגים מתמטיים, תגיע לך מדליה. |
 |
 |
 |
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |