בתשובה ליואב בילינסקי, 24/01/04 1:55
 |
|
 |
||
|
||||
 |
העובדה שציינת היא קרבה בין שני מספרים: 12 ^ (3/2) =~ 7 ^ 2 כש =~ מציין "שווה בערך". זה כמו לומר 12 ^ 3 =~ 19 ^ 2 ו*זה* כמו להגיד שהשבר 19/12 הוא קירוב טוב למספר h = log2 (3). כשנתון מספר אי-רציונלי כמו h, אם בוחרים מכנה b ומסתכלים על כל המספרים1/b, 2/b, 3/b, 4/b, ... מישהו מהם חייב להיות הכי קרוב ל-h, וקל לראות שהמרחק הוא לכל היותר1/2b. אבל, יש בחירות מופלאות של המכנה b שנותנות קירוב הרבה יותר טוב מהצפוי. למשל, רובנו למדנו בבית-ספר שפאי הוא בערך 22/7. למה דווקא שביעיות? למה לא לומר שפאי הוא בערך 31/10? הנקודה היא שהמכנה 7 הוא מכנה מופלא שכזה: 31/10 רחוק בערך 0.04 מפאי, אבל 22/7 רחוק רק 0.001. זאת למרות ש-7 הוא מכנה יותר קטן מ-10, ולכן לכאורה אמור לתת רק קירוב יותר גס.יש שיטה יפה למציאת אותם מכנים מופלאים, והיא נקראת "שברים משולבים". העיקרון מאוד פשוט: קחו מחשב כיס, הכניסו מספר כמו פאי או h הנ"ל, ובצעו שוב ושוב את הפעולה הבאה: חסרו מהמספר המופיע על המסך את החלק השלם שלו (כלומר המספר שלפני הנקודה העשרונית), לחצו על הכפתור אחד-חלקי-x, וחוזר חלילה. אם נעשה זאת ל-h, יופיעו על מסך המחשבון המספרים הבאים: 1.584926 (מחסרים 1) 0.584926 (אחד-חלקי) 1.709511 (מחסרים 1) 0.709511 (אחד חלקי) 1.409421 (מחסרים 1) 0.409421 (אחד חלקי) 2.442474 (מחסרים 2. סוף סוף גיוון...) 0.442474 (אחד חלקי) 2.260016 (מחסרים 2) אם נעצור בשלב זה ונסתכל מה עשינו, נגלה שהראינו ש-h הוא בערך h ~= 1+1/(1+1/(1+1/(2+1/2)))) הביטוי מימין הוא (התחלה של) השבר המשולב של h. זה תרגיל קצר לסדר את הביטוי הזה ולראות שהוא פשוט 19/12. זוכרים את המשפט במאמר:"לכמה מרווחים, אם כך, כדאי לחלק את האוקטבה? מספר הקסם, מסתבר, הוא 12." מבחינה מתמטית לפחות, זה שורש הקסם: 12 הוא "מכנה מופלא" למספר h בדיוק כשם ש-7 הוא מכנה מופלא לפאי. משמעות העובדה הזו היא שאם היינו בוחרים חלוקה למספר אחר (וקטן יחסית) של חלקים, היה הפסיק הפיתגוראי פחות פסיקי, והחריגה בין הכוונון המושווה לכוונון הפיתגוראי האידאלי היתה רבה יותר. אם נתאמץ עוד קצת עם המחשבון, נגלה שהקירוב הבא בתור ל-h הוא 65/41. כלומר, אם מוכנים להשקיע ולחלק אוקטבה לעוד יותר חלקים, כדאי לחלק ל-41 חלקים. זה קצת מתנגש אם הבחירה ב-31 שנזכרה במאמר, ואני אנסה לבדוק למה דווקא 31 (חוץ מהעובדה ש-41 חלקים זה אולי פשוט יותר מדי). |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
באמת מוזר. השגיאה בקירוב (h=log_2(3 על-ידי חלקי-31 היא בערך 1/231, בעוד שהשגיאה בקירוב על-ידי חלקי-29 היא 1/803. קירוב יוצא דופן אפשר לקבל בחלקי-53, עם שגיאה של 1/17600. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מצאתי משהו שנראה כאילו הוא מנסה להתחפש להסבר כאן: אך עוד לא קראתי את זה בעיון. על-פניו נראה שיש קשר לכך שבקירוב 19/12, הסכום של 19 ו-12 הוא 31, אבל אני ממש לא מבין למה זו סיבה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בסולם פנטטוני יש 5 צלילים בסולם דיאטוני יש 7 צלילים בסולם כרומטי יש 12 צלילים אילו האדון פיבונצ'י היה קשור לכך, המספר הבא בסדרה היה צריך להיות 19 ואחריו 31. חומר למחשבה. בתור סטטיסטיקן, שיש לו ביקורת על הספר, בו ניתן למצוא כל מה שהכותבים חפצו בתנ"ך, באמצעות דילוגים קבועים של מספר אותיות, הייתי נזהר מאד במסקנות מעין אלה. אם מישהו ימצא בכל זאת ממש בסדרת פיבונצ'י הנ"ל, זה יהיה מעניין מאד. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא שמתי לב, אך התגובה הקודמת אכן הזכירה את פיבונצ'י בהקשר למספר הצלילים בסולם. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מממ... אינטואיטיבית לא הייתי מתפלא אם פיבונאצ'י בעסק. יש נטיה לסדרה הזו להופיע בהקשרים אומנותיים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
טוב, מצטער לאכזב... אך לאדון פיבונצ'י אין קשר אמיתי לעסק. לא הפעם. יש הסבר מתמטי פשוט לבחירה ב-31 במקום 12 חלקים שווים לאוקטבה, והוא זהה להסבר שהופיע בתגובה 192735, רק עם קירוב למספר אירציונלי אחר. אם מתאמצים קצת, אפשר לחלץ את זהותו של המספר הזה מתוך: זהו מאמר המופיע כאחד הקישורים מעמוד המיקרוטונליות אליו קישר יובל, וכותרתו אמורה להיות, בעצם, "למה 31?". מסתבר שאחד הדברים המפריעים לאנשים חדי-אוזן במיוחד בכוון המושווה הוא הטרצה הגדולה. כפי שהסביר יובל, בכל דרך שנבחר לחלק את האוקטבה לחלקים שווים נימצא מקלקלים במקצת את היחסים הפיתגוראיים הטהורים. ראינו שהבחירה ב-12 חלקים דואגת לקלקל אך במעט את הקווינטה, אך מטבע הדברים, מי שמרחם על קווינטות סופו שיתאכזר לטרצות (major thirds). היחס הפיתגוראי של טרצה גדולה הוא 5:4, וכמובן שאם תקחו ארבע קווינטות מושוות (נניח, דו-סול, סול-רה, רה-לה, לה-מי) ותורידו שתי אוקטבות תקבלו משהו אחר קצת (הפקטור יהיה בערך 1.26 במקום 1.2, שזה באמת פער גדול קצת - יותר מ-13.5 סנטים, למי שרגיל לחשוב בסנטים). מה הפתרון? מתברר שהיסטורית, מה שעשו היה כך. הקווינטה הפיתגוראית כזכור מתאימה לפקטור של 1.5 בתדר, ואם לוקחים ארבע כאלה ומשווים לטרצה הרצויה זה נגמר רע (אפילו יותר רע מהכוונון המושווה). נשאל, איזו "קווינטה" היינו מגדירים כדי שארבע כאלו יתנו *בדיוק* את הטרצה הרצויה? התשובה, קל לראות, היא 5 בחזקת 1/4, שזה בערך 1.495 במקום 1.5. לא נורא: פגענו קלות בקווינטה, וסידרנו את הטרצה הגדולה. אלא מה, כמובן שיחס טהור כזה שוב לא "נסגר על עצמו" אחרי מספר סופי של הכפלות, בדיוק כמו היחס הפיתגוראי המקורי. עלינו שוב לחפש קירוב *רציונלי* מוצלח למספר שלנו, כדי שניתן יהיה לחלק את האוקטבה לחלקים שווים שהקווינטה החדשה שלנו תשב עליהם בקירוב טוב. זהו. עכשיו מסתכלים, כפי שעשינו קודם, על הפיתוח לשברים משולבים של t = log_2 (5^(1/4)) כשכרגיל log_2 מציין log לפי בסיס 2, ומוצאים באותה שיטת-מחשב-כיס שקירובים טובים ניתנים ע"י1/2, 3/5, 4/7, 7/12, 11/19, 18/31, ... מיודענו 12 עדיין כאן, אך 31 מספק קירוב אפילו יותר טוב. את העובדה ש-12 כאן אפשר לפרש, לדעתי, כאומרת שהכוונון המושווה הרגיל איננו כל כך גרוע גם בייצוג טרצות. אך ודאי ש-31 יעשה זאת הרבה יותר טוב. עם זאת, כזכור 31 לא היה מכנה מוצלח במיוחד ל-h הקווינטאי המקורי, ואכן בכוונון ה-31-י הקווינטה יוצאת מצ'וקמקת באיזה 5 סנטים. זה בהחלט פחות גרוע מהצ'יקמוק של הטרצה מכוונון עם 12, אך המחיר הוא 31 צעדים מדו עד דו - אפילו לאוסקר פיטרסון לא יהיה קל לפתוח כזו לאפה. עכשיו תיזעקו ותאמרו - הנה הפיבונצ'י, שם במכנים! המכנים הם 2, 5, 7, 12, 19, 31 שזו סדרה דמויית-פיבונצ'י עם התחלה אחרת. אללי, אין זה כך. המכנה הבא, במקום שיהיה 50, הוא 174, שזה די רחוק. זה, אגב, קשור לעובדה ש-31 הוא מקום טוב במיוחד לעצור בו. היינו מקבלים סדרה פיבונצ'ית אילו הפיתוח לשבר משולב היה מכיל כל הזמן 1-ים, שזה המצב פה רק בהתחלה, וממש במקרה (הסבר מעמיק יותר על quadratic irrationalities הוא לא במקום כאן, דומני). אז זהו - לא שוב חתך הזהב, אך לפחות גילינו למה 31. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
היחס הפיתגוראי של טרצה גדולה הוא 5:4 כפי שהסברתי במקום אחר, יחס זה הוא על פי הכיוונון ה"טבעי". כאמור, על פי הכיוונון הפיתגוראי טרצה גדולה מיוצגת על ידי היחס 81:64 . |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה מן הסתם צודק, ואני השתמשתי במונח הלא נכון. 81:64 הוא כמובן היחס המתקבל מ-4 קוינטות פיתגוראיות (שלושה חצאים ברביעית, חלקי 4 בשביל לרדת שתי אוקטוות). | |
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |