 |
תורת המספרים עוסקת בתכונות של המספרים הטבעיים:
1, 2, 3, ...
ובמובן מעט רחב יותר גם השלמים (כלומר, גם השליליים (ואפס)) והרציונליים (שברים). התורה עוסקת בנושאים כמו התחלקות ומספרים ראשוניים, משוואות דיופנטיות (כלומר משוואות שמחפשים להן פתרונות שלמים), ובעצם כל שאלה שאפשר לשאול עם לא יותר ממספרים שלמים וארבע פעולות החשבון.
הפרדוקס הוא שלמרות שאלו באמת המספרים הפשוטים ביותר, השאלות כאן הן לרוב הקשות ביותר. למשל: אם תשאל לגבי כל הפתרונות *הממשיים* של משוואה כמו y^2 = x^3 + 17 , זו שאלה קלה - לכל x שתבחר יש שני y-ים מתאימים (במקרה אחד שניהם אפס) או שאין כאלה, קל לחשב את ה-y-ים הללו ל-x מסויים, והכי קל פשוט לצייר את הגרף וכך "להבין" איך נראים הפתרונות. אם תתעניין בפתרונות מרוכבים זה נהיה אפילו פשוט יותר: לכל x יש בדיוק שני y-ים (שוב, לפעמים הם מתלכדים). אוסף הפתרונות המרוכבים נראה (אחרי שיפוץ קל) כמו טורוס.
אם, לעומת זאת, תשאל מה הם הפתרונות *השלמים* של המשוואה, תגלה שזה הרבה פחות קל. לא קשה לעלות על x=2 ו-y=5. אפשר גם x=-1 ו-y=4. יש עוד? כמה עוד? יש אינסוף?
בשל הצירוף הזה של המספרים הבסיסיים ביותר ושאלות קשות מאוד, לתורת המספרים יש היסטוריה עשירה ביותר ונפח בלתי נתפס. מתמטיקה גבוהה ומורכבת פותחה כדי לתקוף את השאלות הללו, וכדי לעסוק כיום בתורת המספרים יש להכיר לעומק מגוון רחב להדהים של תחומים מתמטיים.
אני מציין זאת כי כיום, התשובה לשאלתך "מה בדיוק נכנס למושג "תורת המספרים"" היא קצת יותר מסובכת. השערת רימאן, למשל, או ההשערה של Birch and Swinnerton-Dyer, או אנליזה p-אדית או גיאומטריה אלגברית אריתמטית, ממש לא *נראות* כמו משהו בתורת המספרים לפי התיאור לעיל, אבל הן בעצם כן. במלים אחרות, איש תורת המספרים יכול לעסוק בתורת המספרים בלי לעבוד עם מספרים טבעיים בכלל.
למתעניינים, הנה שאלה פשוטה-לכאורה ויפה, שלמרות שהיא עוסקת סתם בטבעיים, כדי *לפתור* אותה צריך קצת להתרומם ולהסתכל על פונקציות מרוכבות: נתון אוסף סופי של סדרות חשבוניות (אינסופיות) כך שכל מספר טבעי נמצא בדיוק באחת מהן. יש להראות שלשתיים מהסדרות הללו יש אותו ההפרש. למשל:
2, 4, 6, 8, ...
1, 5, 9, 13, ...
3, 7, 11, 15, ...
הן שלוש סדרות חשבוניות העונות על התנאי, ובאמת לשתיים מהן אותו ההפרש (4).
|
 |
RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש