הנה.
נניח שיש N קלפים אדומים ו- N שחורים. יהי I_n האינדיקטור של המאורע "הקלף ה- n הוא אדום", ותהי F_n הסיגמא-אלגברה הנוצרת על ידי I_1,...,I_n. אז {F_n} היא פילטרציה במרחב ההסתברות, והסדרה {I_n} כמובן מותאמת אליה. עוד נגדיר
p_n = [N - I_1 - I_2 - ... - I_n]/(2N - n)
כלומר p_n הוא סיכוי הזכייה אם עוצרים לאחר שליפת n קלפים. הסדרה {p_n} כמובן מותאמת גם לפילרטציה. בעזרת קצת אלגברה ותוצאות בסיסיות על תוחלת מותנית מקבלים שהסדרה {p_n} היא מרטינגייל ביחס לפילטרציה שלנו.
היות שקבוצת הפרמטר של המרטינגייל היא חסומה על ידי 2N (או, לחילופין, היות שהסדרה {p_n} עצמה היא חסומה בין 0 ל- 1 בהסתברות 1), ניתן להפעיל את משפט ה- optional stopping למרטינגיילים האומר, במקרה שלנו, שלכל זמן עצירה T (המותאם לפילטרציה) מתקיים
E[p_T] = E[p_0] = 1/2
במילים יותר פשוטות: אי אפשר לנצח את המערכת. כל כלל עצירה המתבסס על צבע הקלפים שנחשפו עד כה יניב הסתברות זכיה של 1/2 (שזה בדיוק מה שנקבל אם נעצור בלי להפוך אף קלף, והזכייה/הפסד ייקבעו על פי הקלף הראשון בחפיסה).
|
RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש