בתשובה לעוזי ו., 14/05/03 22:15
 |
|
 |
||
|
||||
 |
לאחר מחשבה נוספת, אני מתפלא שלא הופיעה ידיעת-חדשות באייל על הנושא. לאמור: "מתמטיקאים הוכיחו בשנים האחרונות *גם* את השערת פרמה, ו*גם* את השערת פואנקרה. לאחר שיוכיחו את השערת רימן, לא ישאר להם מה לעשות." |  |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
אהבתי את ההוכחה ש"שולה מוקשים" הוא NP-Complete. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
האם באומרך ש"מתמטיקאים הוכיחו בשנים האחרונות ... את השערת פואנקרה" אתה מתכוון לומר שיש הוכחה מתמטית לכך שאם זה עושה גע גע זה ברווז? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני מדבר כמובן על ההשערה המקורית של פואנקרה (המיון השלם של עושי-גע-גע נשאר בלתי פתור, לעת עתה). פואנקרה שיער שכל יריעה תלת-ממדית1 פשוטת-קשר2 היא הומיאומורפית3 לכדור4. 1 מרחב טופולוגי5 שבסביבה קרובה של כל נקודה בו הוא נראה כמו המרחב התלת-ממדי שלנו. 2 כל מעגל סגור אפשר לכווץ בהדרגה לנקודה, בלי לצאת מהמרחב. 3 דומה מבחינה טופולוגית; אפשר לעבור מהצורה הראשונה לשניה על-ידי עיוות, בלי "לקרוע" כלום. 4 מהמימד הנכון: השפה של כדור היחידה במרחב הארבעה-ממדי. 5 מרחב שבו אפשר להגדיר התכנסות של סדרה (כלומר: לקבוע מתי סדרת נקודות מתקרבת עד-מאד לנקודה נתונה). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
2 ובנוסף, אפשר לכווץ בלונים6 לנקודה בלי לצאת מהמרחב. 6 לא באמת בלונים; שפות דו-ממדיות של כדורים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני כנראה מתפלפל, אבל אולי תוכל לעשות לי סדר במושגים. אם זכרונותי המעומעמים מהקורס בטופולוגיה הם נכונים, אזי במרחב טופולוגי לא תמיד קיים מושג ההתכנסות - צריך מטריקה בשביל זה (כל מרחב מטרי הוא גם מרחב טופולוגי, אבל לא ההיפך). אז האם בהגדרה של יריעה (manifold?) ב- 1 התכוונת לומר "מרחב מטרי", או שב- 5 יש הגדרה לא כל כך מדוייקת של מרחב טופולוגי? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בהיותי מודע (באופן חלקי בלבד, כפי שאפשר לראות) למגבלות המדיום, לא ניסיתי לתת הגדרה מלאה של מרחב טופולוגי, אלא לרמוז לתכונה המשמעותית ביותר שלו. אפשר להגדיר התכנסות בכל מרחב טופולוגי (סדרה x_n מתכנסת לנקודה x אם כל סביבה פתוחה סביב x מכילה כמעט את כל אברי הסדרה). נכון שלא תמיד הגבול (אפילו אם קיים) הוא יחיד, אבל גם לזה יש עצה: לדרוש מהמרחב שיקיים תכונות הפרדה (כגון תכונת האוסדורף). יריעה (סתם) היא מרחב טופולוגי (ללא מטריקה), ובאלה עוסקת השערת פואנקרה. אפשר לעבור ליריעות-רימן מטריות, אבל זו כבר אופרה אחרת. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
רגע, רגע.. אמרת "מה שמסתמן כהוכחה אפשרית שלה." אני לא רוצה להשמע פרנואיד, אבל לא היו הרבה הוכחות כושלות למשפט האחרון של פרמה ש"הסתמנו כהוכחה אפשרית?" אני מחכה לקולות החיילים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
היו מאות (אלפי) הוכחות שגויות למשפט האחרון של פרמה; אני עדיין נתקל בכאלה מדי פעם, כשתולים אותן על לוח המודעות במחלקה למתמטיקה של Yale. מתוכן, פחות-או-יותר שתיים "הסתמנו כהוכחה אפשרית". אחת, של Kummer בסביבות 1860, הביאה להולדת תורת החוגים. השניה, לפני כעשור, היתה אמורה להוכיח את השערת Tanyama (שאותה הוכיח לבסוף Wiles). הסקפטיות שלך במקומה אם אתה מתכוון להסתמך על השערת פואנקרה בעבודה הבאה שלך, אבל אם לא זה המצב, נראה שהיא קצת מופרזת. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני חושב שעד העבודה הבאה שלי, לא רק שכבר יוכיחו את השערת פואנקרה, אלא גם את השערת גולדבך וש-P=NP. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כנראה שההוכחה של גריגורי פרלמן אכן נכונה. הארץ: http://www.haaretz.co.il/hasite/spages/751667.html | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כשקוראים איך הוא בחר לפרסם את ההוכחה, אפשר כמעט להתחיל להאמין שגם דורון שדמי מחביא איזה שפן בכובע... | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כשקוראים את המאמר, או את המקור האנגלי1: "Rather than publishing in a peer-reviewed journal, he posted three manuscripts in an online archive of maths and physics papers" אפשר לטעות ולחשוב שהוא פרסם את ההוכחה בפורום, כמו האייל, סלאש דוט, או איפה ששדמי לא מפרסם. אבל זה לא המקרה. הפרסום של המאמר היה ב-arXiv2. בתחומים רבים במתמטיקה ופיזיקה כמעט כל המאמרים מפורסמים שם, וכל חוקר בעולם קורא את כל המאמרים שמתפרסמים בתחומי מחקרו. הרבה יותר דומה לביקורת עמיתים ולפרסום בכתב עת מדעי. ממש לא דומה לדורון שדמי. פרטים נוספים ב3. אגב, נחמד להזכר גם ב-42 http://arxiv.org/abs/math/0211159 אם זה מעניין מישהו |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כידוע, אין לראות במשפט זה כפורץ דרך בתחום הטופולוגיה, אך עדיין, משפט זה מציב בעיות חדשות כאשר משווים אותו לפתרונה של השערת פואנקרה. האם מישהו יוכל לשפוך מעט אור על סוגיה זו? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
המממ. דווקא לא התרשמתי שהפרסום בגרדיאן כרוך באיזושהי התקדמות של ממש; כזכור, התפרסמו לאחרונה מספר עבודות עתירות-עמודים של חוקרים המנסים למלא את הפרטים החסרים אצל פרלמן (ובמקרים אחדים, להחליף טיעונים שלו בטיעונים חלופיים). נראה, בכל אופן, שההוכחה אכן נכונה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
גריגורי פרלמן מסרב לקבל את הפרס בן $1 מליון שהוענק לו ע"י מכון קליי על הפתרון להשערת פואנקרה (בעבר פרלמן סרב לקבל את מדליית פילד). צפיתי בקליפ המקושר ועדיין לא הבנתי לגמרי מה פרוש "הצורה הפשוטה ביותר". |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בקליפ מנסחים את ההשערה כך: "מהי הצורה הפשוטה ביותר בכל מימד". מסתמא, הכוונה היא להשערה: "הצורה הפשוטה ביותר בכל מימד היא ספירה (פני כדור)". אני לא מוצא הרבה דברים חיוביים להגיד על הניסוח הזה. ההשערה (במימד 3, שהוא המקרה היחיד שנותר פתוח בעשורים האחרונים, וגם המימד המקורי אליו התייחס פואנקרה) היא זו: האם כל יריעה תלת-ממדית קומפקטית ופשוטת קשר היא ספירה? נסביר את המונחים: יריעה תלת-ממדית: "מרחב" שכל איזור קטן בו נראה כמו המרחב התלת-ממדי הרגיל בו אנו חיים. למשל, מעגל (שפת עיגול) הוא יריעה חד-ממדית: קטע קטן של מעגל נראה כמו קטע של ישר, חוץ מזה שהוא קצת מתעקל. בטופולוגיה, אין "מתעקל": אפשר ליישר קטע של מעגל ולהפוך אותו לקטע ישר, אז הוא "נראה כמו" קטע של ישר. הספרה 8 איננה יריעה חד-ממדית בגלל הצומת שיש שם באמצע; אי-אפשר להפוך את הצומת הזו לקטע ישר בלי למעוך, ולמעוך כידוע אסור. קופמקטית: בקירוב, "סופית". על המישור אפשר לפזר כמה גרגרי-מלח שרוצים כך שכל שניים מהם יהיו במרחק של לפחות מטר זה מזה. על פני כדור-הארץ, לעומת זאת, אי אפשר. מכאן שהמישור איננו קופמקטי ואילו כדור הארץ - כן. פשוטת-קשר: בקירוב, "חסרת חורים": כל מעגל סגור אפשר לכווץ לנקודה. בלון הוא פשוט קשר, אבל כעך (פני-כעך, המשטח הדו-ממדי) הוא לא, כי לולאה סגורה המקיפה אותו איננה ניתנת לכיווץ. ספירה: פני "כדור" ארבע-ממדי. פניו של כדור תלת-ממדי (כדור רגיל, זה שיש בבית) הם דו-ממדיים; קפיצה אחת למעלה ונפגוש את הספירה התלת-ממדית. קצת קשה לדמיין אבל מתרגלים. המושגים הללו קצת זרים אבל הם פשוטים ויסודיים, ולא דרושה עבודה רבה כדי להפוך את הניסוחים המקורבים שלי להגדרות מדוייקות של ממש. ההשערה עצמה, כמובן, קשה עד מאוד. אף אחד לא הצליח לדמיין מרחב תלת-ממדי סופי ופשוט-קשר שאיננו ספירה, אבל רק עכשיו אנחנו בטוחים שבאמת אין כזה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תודה. האם יש להשערה הזו השלכה פרקטית (חוץ מלחשב מתי צריך להתחיל ליישב פלנטות אחרות)? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא שאני יודע. גם לחשב מתי ליישב אפשר בלי, להערכתי. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
האם "עיקום" של יריעה תלת מימדית דורש קיום של מרחב ארבעה מימדי שבו היא מתעקמת? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא. פעם נטו להגדיר יריעות בתור משהו שיושב בתוך מרחב גדול יותר, אבל כיום מקובלות ההגדרות ה''אינטרינזיות''. יש כל מיני משפטים יפים שמראים שכל יריעה אפשר לשים בתוך מרחב גדול מספיק, אבל לא תמיד זה רעיון טוב. חלק גדול מהעניין הוא להבחין בין דברים שאפשר לראות ''מבפנים'' לדברים שאפשר לראות רק ''מבחוץ''. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לגבי ההבחנה בין דברים שאפשר לראות רק ''מבפנים'' לדברים שאפשר לראות ''מבחוץ'' תשאל את בוז'י הרצוג. הוא מבין גדול בזה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
האם ההוכחה במימד 2 היא קלה? אם כן, אולי אפשר לראות אותה כדי לקבל איזה מושג על מה בכלל מדובר? חיפוש בגוגל לא הועיל. _________ אני בטח עומד להתבייש בשאלה הזאת. מצד אחד אין הביישן למד, מצד שני אין האנונימי חרד (אבל זה מנהג טורד לכן שמה לא ארד). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
(למה, לעזאזל, שתתבייש בשאלה הזו?) זו שאלה טובה. התשובה של המתמטיקאי (זה שמכבה קודם את האש מתחת לקומקום ואומר "מכאן כבר פתרנו") תהיה שיש סיווג מלא של יריעות דו-ממדיות קומפקטיות, ואפשר פשוט לעבור על הרשימה ולראות מי מהן פשוטת-קשר. ההוכחה של הסיווג המלא הזה איננה מאוד-מאוד-קשה, אבל היא גם לא מאוד-מאוד-קלה. שווה לפחות להכיר את השחקנים: יש שני סוגים של יריעות דו-ממדיות, אלו שיש להן "פנים וחוץ" ואלו שאין להן. הסוג השני מכונה גם "לא-אוריינטבילי", והיצורים שחיים על יריעות כאלה לא יודעים מימינם ומשמאלם. היריעות מהסוג הראשון די מוכרות: אלו הספירה, הטורוס, הטורוס-הכפול: הטורוס-המשולש, וכן הלאה. היריעות מהסוג השני מהוות רשימה דומה שמתחילה מהמישור הפרוייקטיבי. המישור הפרוייקטיבי הוא מה שאתה מקבל כשאתה לוקח טבעת-מביוס ומדביק מעגל לשפה שלה. אין מקום לעשות את זה במרחבנו התלת-ממדי, אבל במימד 4 כל ילד עושה את זה עם נייר ודבק כבר בשבוע השני בגן שולה. זה נורא יפה. היצור השני ברשימה הוא גם די מוכר: בקבוק-קליין. אגב, טבעת-מביוס עצמה איננה ברשימה, וכך גם לא טבעת רגילה, מפני שיש להן "שפה", קצה. ביריעות שלנו כל נקודה מוקפת בעיגול קטן, שלם. עד כאן התשובה הקלה שמניחה שכבר עשינו את כל העבודה הקשה. עכשיו אפשר לשאול, האם אפשר יותר בקלות להוכיח שיריעה דו-ממדית קומפקטית ופשוטת-קשר היא פשוט פני-כדור? והתשובה היא שאני לא יודע. צריך לחשוב על זה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תודה. (כי היה סיכוי שהתשובה על השאלה תמחיש את בורותי הטופולוגית, משהו כמו ''זה הרי נובע מההגדרה''. ככל שידיעתי הגיעה, ''כדור'' היה יכול להיות מוגדר טופולוגית כ''יריעה דו ממדית קומפקטית פשוטת קשר'') |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני יכול לחשוב על שניים-שלושה דברים יותר מבישים מבורות טופולוגית. (זה לא כל כך סביר להגדיר אובייקט קונקרטי כמו ''כדור'' באופן פונקציונלי שכזה.) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
למען האמת, גם אני. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הרצאה על הנושא: http://athome.harvard.edu/threemanifolds/watch.html | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נראה מעניין. תודה! | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ניטפוק קטן: להסבר של "פשוטת קשר", בנוסף ל"חסרת חורים\כל מסלול סגור כַּווִיץ לנקודה" יש להוסיף גם גם "קשירה". "קשירה": בקירוב: בין כל שתי נקודות ניתן למצוא מסלול בתוך היריעה. |
|
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |