בתשובה לבועז, 24/12/02 11:17
 |
|
 |
||
|
||||
 |
מלבן הוא נחמד אם אחת מצלעותיו היא מספר שלם. צריך להוכיח שלא ניתן לרצף מלבן לא-נחמד בעזרת מלבנים נחמדים. לשם כך, נגדיר את ה"מסה" של מלבן כמכפלת החלק השבור של האורך שלו, בחלק השבור של הרוחב (החלק השבור של מספר הוא ה"שארית בחלוקה ל- 1"; מה שנותר אחרי שמורידים את החלק השלם). למשל, למלבן 1.2*1.2 יש מסה 0.04; למלבן 4.2*5.5 יש מסה 0.1. כשמחברים מסות, הכוונה היא לחלק השבור של הסכום. טענה 1. למלבן נחמד יש מסה אפס. (כי החלק השבור של הרוחב, או החלק השבור של האורך, מתאפס). טענה 2. למלבן שאינו נחמד יש מסה שאינה אפס. (כי שני החלקים השבורים אינם מתאפסים). טענה 3. אם חוצים מלבן על-ידי קו מקביל לאחת הצלעות, סכום המסות של המלבנים הקטנים שווה למסת המלבן הגדול. (זהו למעשה החוק הדיסטריבוטיבי a+b)c=ab+ac). האורך שווה בכולם, ורוחב המלבן הגדול שווה לסכום הרוחבים של המלבנים הקטנים; או להיפך). מסקנה 4. אם חוצים מלבן על-ידי מספר קווים שכל אחד מהם מקביל לאחת הצלעות, סכום המסות של המלבנים הקטנים שווה למסת המלבן הגדול. הוכחה: באינדוקציה על מספר הקוים, לפי טענה 3. משפט 5. בריצוף של מלבן A על-ידי מספר סופי של מלבנים, מסת המלבן הגדול שווה לסכום המסות של המלבנים הקטנים. הוכחה: ראשית, ברור שבריצוף כזה כל קוי האורך והרוחב מקבילים זה לזה (כי אחרת תיווצר זוית לא ישרה שלא ניתן לכסות). כל מלבן (מן המלבנים המכסים) מוגבל על-ידי ארבעה קווים ישרים; נמשיך את כולם עד לקצה המלבן A. הקווים האלו חותכים כל אחד מן המלבנים המשתתפים בכיסוי באופן שהוזכר במסקנה 4. מכיוון שהמסה של כל מלבן קטן שווה לסכום המסות של המלבנים שמרכיבים אותו (לפי אותה מסקנה), גם סכום המסות של הריצוף הנתון שווה לסכום המסות של הריצוף העדין יותר שהתקבל. אלא שהריצוף הזה מחלק את A על-ידי קווים מקבילים, ושוב לפי מסקנה 4 סכום המסות שלו שווה למסה של A. מסקנה. אי-אפשר לרצף מלבן לא-נחמד במלבנים נחמדים. (כי המסה שלו אינה אפס, ולפי המשפט מנסים לכתוב אותה כסכום של אפסים). |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
יש לי בעיה עם טענה 3: קח מלבן שהוא בגודל 1 על 1/2 וחצה אותו לשני מלבנים בגודל 1/2 על 1/2. אזי, המסה של המלבן הגדול היא אפס, אבל המסה של כל מלבן קטן היא 1/4 ולכן סכום המסות הוא 1/2 (ולא אפס). דרג אגב, שים לב שכאשר אתה חוצה את המלבן הגדול ע"י קו מקביל לצלע, בהחלט יתכן שאחד מהחלקים יהפוך להיות מלבן נחמד. כמו כן, ייתכן שתקלקל את הנחמדות של אחד מהמלבנים הקטנים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
צודק. צריך להגדיר את המסה קצת אחרת, באופן שתלוי במקומו של המלבן. המלבן שחסום בישרים x=a, x=b, y=c, y=d, כאשר a<b ו- c<d, מקבל מסה ((b)-(a))*((c)-(d)), כאשר (z) הוא החלק השבור של z. אם האורך והרוחב הם A,B, אז במקום המסה הקודמת (A)*(B), אפשר לקבל כל אחת מארבע האפשרויות (A)*(B)-(B), (A)*(B)-(A), (A)*(B) או A)*(B)-(A)-(B)+1), תלוי היכן המלבן מונח. המסה עשויה להיות שלילית, אלא שזה לא מפריע לשאר הטיעון. כעת טענה 3 מתקיימת, והכל בסדר. ההערה האחרונה שלך (שחציית מלבנים עשויה לשנות את הנחמדות שלהם) נכונה אבל לא מפריעה להוכחה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני עוד אצטרך להתעמק קצת בפתרון שלך ע"מ שאהיה משוכנע שאני מבין אותו. בכל מקרה, חשבתי שאציין כאן את הפתרון שלי למי שמעונין. --------- הדרך שלי היא כזאת: טענה 1: המשפט נכון אם כל השברים שמדובר בהם הם 1/2 (כלומר כל צלע היא או שלמה או באורך n+1/2 כאשר n שלם). הוכחה: נניח בדרך השלילה שיש ריצוף למלבן לא נחמד שמורכב ממלבנים נחמדים. נשנה יחידות ונכפיל את כל האורכים ב 2. כלומר, צלע שלמה הופכת להיות צלע באורך זוגי וצלע לא שלמה הופכת להיות באורך אי-זוגי. אנו רואים שהשטח של כל מלבן נחמד הוא זוגי ולעומת זאת השטח של מלבן לא נחמד אינו זוגי. אבל השטח של המלבן הגדול הוא סכום שטחי המלבנים הקטנים. מאחר ושטח כל אחד מהם זוגי אז שטח המלבן הגדול צריך להיות גם זוגי והגענו לסתירה. טענה 2: המשפט נכון אם כל השברים שמדובר בהם הם 1/17 , 2/17 , 3/17 ... 16/17. הוכחה: באותה צורה: נכפיל את כל הצלעות ב 17 ונחליף את המלה "זוגי" במלה "מתחלק ב17". אפשר להכליל באותה צורה לכל ראשוני p. כלומר, המשפט נכון אם כל השברים שמדובר בהם הם מהצורה i/p כאשר p ראשוני ו i בין 1 ל p-1. ---- עכשיו נרצה להשתמש בהכללה הזו כדי להוכיח את המשפט במקרה הכללי. נניח שיש לנו מלבן לא נחמד בגודל n+x על m+y שאפשר לרצף אותו במלבנים נחמדים (n,m שלמים , x , y בין 0 ל 1 ). נבחר ראשוני p שיהיה מספיק גדול (בהמשך נגיד כמה גדול הוא בדיוק צריך להיות). לשם פשטות נניח ש p=17 נשים את המלבן שלנו על דף משבצות שבו כל משבצת היא 1/17 על 1/17 ס"מ. ניישר אותו כך שהפינה השמאלית העליונה שלו תתאים לפינה של משבצת. נצייר על הדף גם את הריצוף. עכשיו "נעגל" את הריצוף בצורה הבאה: נזיז כל פינה של כל מלבן לנקודה הקרובה ביותר אליה שנמצאת על הגריד (כלומר שהיא בפינה של משבצת בדף המשבצות). יש לי 3 טענות לגבי הריצוף הזה: טענה א': אם 2 נקודות היו על קו ישר מאונך (כלומר היתה להן אותה קואורדינטת x ) אז הן עדיין על קו ישר מאונך. כנ"ל לגבי קו מאוזן. (ההוכחה: אם יש להם אותה קואורדינטת x אז לנקודה הקרובה לכל אחת על הגריד גם תהיה אותה קואורדינטת x ) מסקנה: אחרי העיגול כל מלבן הופך למלבן (ולא "מתעוות" למקבילון או משהו כזה). טענה ב': אם 2 נקודות היו על קו ישר מאונך והמרחק בינהן הוא מספר שלם של ס"מ אז הן עדיין על קו ישר מאונך במרחק שלם. כנ"ל לקו מאוזן. (הוכחה: אם יש להן אותה קואורדינטת x והמרחק בינהן שלם אז לקואורדינטת ה y שלהן יש אותו ערך שבור ולכן או ששתיהן יתעגלו ביחד כלפי מעלה או ששתיהן יתעגלו ביחד כלפי מטה) מסקנה: אחרי העיגול מלבן נחמד הופך למלבן נחמד. טענה ג': אחרי העיגול המלבן הגדול (שהיה בגודל n+x על m+y ) נשאר "לא נחמד". זה לא תמיד נכון אבל זה יהיה נכון אם נבחר את p כך שיהיה יהיה גדול מספיק. צריך לבחור את p כך שאחד חלקי p יהיה קטן יותר מאשר x ו y וגם יותר קטן מ1 פחות x ו 1 פחות y. (אין בעיה למצוא ראשוני כזה). לאחר העיגול ברור שכל השברים שמעורבים הם 1/17 , 2/17 , ... או 16/17 ולכן אפשר להפעיל את טענה 2 ולסיים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מה קורה עבור שני מלבנים בגודל 1/2 על 1/4 ששמים אותם מעל השני כדי לקבל מלבן בגודל 1 על 1/4. המסה של המלבן הגדול היא אפס ונראה שהמסה של כל אחד מהם היא 1/2 * (1/4 -) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
התשובה תלויה במיקום של המלבנים; נניח שהמלבן הגדול נוגע בפינה השמאלית-תחתונה שלו בראשית הצירים - אז מסות המלבנים הקטנים הן 1/8 ו- 1/8-, וביחד אפס (כדרוש). | |
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |