בתשובה לעוזי ו., 07/11/02 6:30
 |
|
 |
||
|
||||
 |
1. יש נוסחאות, אבל הן כל כך מפחידות (גם בשבילי), שנאלצתי להקטין את האותיות עד מתחת גודל של פיקסל... בסוף חלק ד' אני נותן כמה הפניות, עם אזהרות ודיסקליימרים הולמים. אם אתה רוצה עכשיו, פנה בדואל. לגלות לך את הנוסחה להתפלגות ספין לפי זווית, ולהרוס לך את הכיף של לנחש אותה לבד? נו טוב, הרי בטח ניחשת: ריבוע הקוסינוס של חצי הזווית. את משוואת שרדינגר ממילא אין טעם לתת בלי להיכנס לפירוט ארוך של משמעותם של כל המשתנים שבה. עיין פסקה א'. אם אתה דווקא רוצה, זו לא *באמת* בעיה למצוא את המשוואה בספריה או ברשת המחשבים הגלובלית הקרובות למקום מגוריך. 2. על סופיות מרחב המצבים - אני בטח לא מבין נכון את השאלה, אבל ננסה: אפילו במערכת הפשוטה של ספינים, המרחב הוא אינסופי: בסופרפוזיציה של ספין-x 'מעלה' ו'מטה', יתכן אינסוף-רצף של משקלים שונים: לשני הערכים יש מקדם, ושני המקדמים הם סקלרים מרוכבים, כך שסכום ריבועיהם הוא 1. ולמי שעוקב עד כאן, ניתן כבונבון את הקשר להסתברות: אם מודדים ספין לאלקטרון במצב כזה, על פי תורת הקוונטים, ההסתברות לקבל ערך מסוים היא הערך המוחלט של ריבוע המקדם לאותו הערך (כלל בורן, שבמאמר נתתי אותו בניסוח קצת יותר מרושל, בכוונה כמובן). ותודה לטלי! |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
2. השאלה היא לא אם יש אינסוף סופרפוזיציות אפשריות (כמובן שכן), אלא אם תמיד מספר ה*מצבים* הוא סופי (בדוגמא של המאמר - המצבים הם ספין 'למעלה' ו'למטה'). מספר המצבים הוא בעצם המימד של מרחב הסופרפוזיציות (ועוד אחד, כי סכום הריבועים צריך להיות 1). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
2. כל משנה בר מדידה מהווה למעשה אוסף של מצבים אפשריים, כולל, למשל, המיקום (במרחב). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אה. התשובה היא כן. למשל, מקום: בחלק ג' של המאמר יטפל קצת יותר במקום של חלקיקים בתורת הקוונטים, אבל מן הסתם עדיין תצא וחצי תאוותך המתמטית בידך (או הרבה פחות). כשם שפונקציית הגל מתארת ספין, כך היא מתארת מקום: סופרפוזיציה של (לרוב) אינסוף מקומות, עקרונית כל המרחב. במקרה הזה כל המתמטיקה נהיית עם אינטגרלים והתמרות פורייה, וזה רק במעט שאני למדתי, שהוא בוודאי רק קצה הקרחון המתמטי. ואם תשאל מעבר לכך, אני אאלץ כנראה באמת לפנות את הבמה לסמיילים (והליאורים, והאפופידסים). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
משוואת שרדינגר (9) אינה אלא ניסוח קוונטי של משוואת אוילר-לגרנג' (5) מן המכניקה האנליטית. מה שמוכר לכולם בתור משוואת התנועה, או החוק השני של ניוטון (1), אינו אלא הצגה מופשטת של משוואת א-ל (5). לוק אנד ליסטן: (1) החוק השני של ניוטון - סכום הכוחות sumF הפועלים על מסה M שווה למכפלת המסה M בתאוצתה a: sumF = M * a אם ניזכר שתנע P הוא מכפלת המסה במהירות, ותאוצה היא נגזרת זמנית של המהירות, אזי נקבל באגף ימין(1): sumF = P' כאשר P' = dP/dtעתה נפשפש קצת בספרי הפיסיקה ונגלה שכוח משמר F ניתן תמיד להציג כנגזרת מרחבית של פוטנציאל סקלרי U. לנגזרת הזו ניתן שם מפוצץ - גראדיינט - מכיוון שניתן להפעיל אותה לכל כיוון במרחב: F = -gradU כך למשל רכיב הכוח המשמר בכיוון איקס יהיה:Fx = -dU/dx וזה מה שהופך את החוק השני של ניוטון למשוואה דיפרנציאלית חלקית:P` = -gradU או בהעברת אגף:P` + gradU = 0 עד כאן החוק השני של ניוטון.עכשיו, נסמן את האנרגיה הקינטית של מסה M באות T. למסה M הנעה במהירות V האנרגיה הקינטית תהיה: T = M(V^2)/2 או בהצגה שקולה, בהתחשב בעובדה ש P=M*V:T = P^2/(2*M) נגדיר עכשיו איבר הנקרא לגרנג'יאן בתור ההפרש בין האנרגיה הקינטית לאנרגיה הפוטנציאלית:(2) L = T - U נגזור אותו לפי המקום:(3) gradL = gradT - gradU אבל T שהגדרנו אינו תלוי במקום ולכן הגרדיאנט של T הוא אפס. מאידך, מינוס גראדיינט האנרגיה הפוטנציאלית שווה לסכום הכוחות המשמרים.נגזור את הלגרנג'יאן (2) לפי המהירות: (4) dL/dV = dT/dV - dU/dV אבל האנרגיה הפוטנציאלית היא גודל סקלרי התלוי במקום בלבד ולכן נגזרתה לפי המהירות מתאפסת. מאידך:dT/dV = d/dV [MV^2/2] = MV = P נגזור את (4) לפי הזמן:d/dt(dL/dV) = d/dt(dT/dV) - 0 = P' משוואת אוילר-לגרנג' אינה אלא שוויון בין (4) לבין (3):(5) d/dt(dL/dV) = gradL או בהצבת התוצאות שקיבלנו:(1) P' = sumF שזה החוק השני של ניוטון. מש"ל.כאן הצגתי את משוואת אוילר-לגרנג' עבור משתנים קרטזיים של מקום וזמן, אך למען האמת היא נכונה לכל סט של משתנים קנוניים. מקורה בענף חשבון הוריאציות במתימטיקה והיא מתארת את הפונקציונל שנותן תוצאה אקסטרמלית לאינטגרל הפעולה. זה לא קשה, זה פשוט לא כ"כ רלבנטי, ולכן אשאיר לחבריי להסביר את עקרון הפעולה המינימלית בטבע. העיקר הוא שלכל משתנה קנוני W ניתן להגדיר משתנה קנוני צמוד. במקרה הפיסיקלי נקרא לו התנע הקנוני ונגדירו כך: אם W' = dW/dt אז התנע הצמוד לW יהיה:Pw = M * dL/dW' תוצאה זו מובנת מאליה עבור בעיה חד-מימדית עם כוחות משמרים, שהרי אז:L = T - U = Pw^2 / 2M - U(W) ולכןdL/dW` = dT/dW` = Pw/M במקרים הסבוכים יותר יתכן מצב שבו התנע הקנוני שונה מן התנע הקלאסי, אבל חוץ מזה הכל טוב.ועתה נעבור למכניקת הקוונטים. במקום תנע קנוני נגדיר אופרטור תנע: (6) Pw = (ih/2pi) * d/dW כלומר אופרטור תנע הפועל על פונק' גל K זה משהו כזה:PwK = (ih/2pi) *dK/dW עד כאן יש?כבר אמרנו שגרדייאנט הוא שם מפוצץ לגזירה בכל הכיוונים gradF = (dF/dx, dF/dy, dF/dz) אז האנרגיה הקינטית של מסה M המתוארת ע"י פונק' גל Y במכניקת הקוונטים תהיה:(7) T K = (1/2M) * P^2 K נציב את אופרטור התנע מ(6):P^2 = (ih/2pi)^2 * grad^2 ובהצבה לתוך (7):T K = - (h/2pi)^2 * (1/2M) * grad^2K כאשר בקואור' קרטזיות:grad^2 K = d^2K/dx^2 + d^2K/dy^2 + d^2K/dz^2 לפני שנגיע למשוואת שרדינגר (9) כדאי להציג קודם את התמרת לג'נדר של הלגרנג'יאן (2), הוא ההמילטוניאן (8):H = W* Pw - L(w) בבעיה חד-מימדית זה ההמילטוניאן H(W,Pw) המתקבל מלגרנג'יאן L (W, W'(. בבעיה רב-מימדית (כלומר, עם יותר ממשתנה מצב אחד), עלינו לסכום ב(8) את כל משתני המצב. למשל עבור שישה משתנים:H(X,Y,Z,U,V,W, Px,Py,Pz,Pu,Pv,Pw) = XPx + YPy + ZPz +UPu + VPv +WPw - L(...) המילטוניאן כזה יכול למשל לתאר בעיה של שני גופים נקודתיים בלתי תלויים, או של גוף צפיד, או משו אחר. לא חשוב. עבור לגרנג'יאנים פשוטים נקבל תוצאה חביבה:H = T + U כלומר ברמת העיקרון המילטוניאן הוא ביטוי לסך כל האנרגיה במערכת. ואז במקום אוילר-לגרנג' מקבלים את משוואות המילטון, שהן קצת יותר אלגנטיות אך נותיר אותם כשיירים לפיסיקאים שיבואו אחרי.בכל אופן, אופרטור ההמילטוניאן אינו אלא סכום של אופרטור האנרגיה הקינטית T ואופרטור האנרגיה הפוטנציאלית U: H K = TK + UK = UK - (h/2pi)^2 * (1/2M) * grad^2K משוואת שרדינגר בסה"כ אומרת שפונק' גל K מתפתחת בזמן לפי ההמילטוניאן:(9) dK/dt = (ih/2pi) HK אני מקווה שלמישהו זה נראה כמו הגדרת אופרטור התנע (6) לעיל, שהרי אנרגיה היא "התנע הצמוד לזמן" כשם שPw הוא התנע הקנוני הצמוד לW. משוואות המילטון אומרות שלכל משתנה קנוני W, ועד כדי סימן מינוס שבו אני תמיד מתבלבל:dW/dt = dH/dPw כלומר ההתפתחות בזמן של Pw נקבעת לפי הנגזרת של ההמילטוניאן במשתנה W, ולהיפך. על כגון דא אומרים שההמילטוניאן H הוא היוצר האינפינטיסימלי להזזות בזמן. זאת כשם שהתנע Pw הוא היוצר האינפינטסימלי להזזות בW, והמשתנה W הוא הי"א להזזות בPw. זה הכל.dPw/dt = -dH/dW אז משוואת שרדינגר (9) בסה"כ מתארת את ההתפתחות בזמן של פונק' גל K לפי ההמילטוניאן H של המערכת. זה הכל. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הממם, בעצם משוואת שרדינגר לא יכולה להיות מהדורה קוונטית של משוואת אוילר-לגרנג', אלא של משוואת המילטון. עם הקוראים הסליחה. (פיסיקאים, אלק) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם מציבים: psi=A*exp[i*2*pi*S/h] במשוואת שרודינגר, מבצעים את הגזירות ומעלימים את האקספוננט (גורם משותף), מתקבלת בגבול בו h שואף לאפס משוואת Hamilton-Jacobi (השונה ממשוואות האמילטון).עד כדי קבוע, S היא אינטגרל של הלגראנז'יאן לפי הזמן, ונבדלת מהפעולה הקלאסית רק בגבולות האינטגרציה. פיינמן השתמש בידע זה כשפיתח את אינטגרלי המסלול. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
S is the Action ומגדירים אותו כאינטגרל לפי זמן של הלגרנג'יאן:S=int(L)dt (1) כלומר מבחינת מימדים פעולה היא אנרגיה כפול זמן, או תנע כפול מרחק. למשל עבור חלקיק חופשי (U=0) במימד אחד:S = E * t - p * x ולכן:dS/st = E שזה בדיוק ערך הלגרנג'יאן, שהרי בהעדר אנרגיה פוטנציאלית החלקיק יוסיף לנוע במהירות קצובה וישמור על האנרגיה הקינטית ההתחלתית שלו. מאידך:dS/dp = -x ; dS/dx = -p כלומר מתקבל קשר שמזכיר מאד את משוואת המילטוןבמציאות הקלאסית עוקב הטבע אחר עיקרון הפעולה המינימלית. בשפה פשוטה זה אומר שבטבע ערך האינטגרל (1) הוא תמיד המינימלי האפשרי. כידוע, ליד נקודות קיצון השינוי בערך הפונקציה הולך לאפס (הנגזרת מתאפסת בנקודות קיצון), לכן אנו מחפשים את הנקודות בהן: dS = 0 בחשבון וריאציות לא אסתטי במיוחד מוכיחים שמדרישה זו מתקבלות משוואות אוילר-לגרנג' במערכות קלאסיות.פונק' הגל שהציג ד. פר היא המתארת חלקיק חופשי במכניקת הקוונטים עבור הפעולה שהצגתי לעיל. עכשיו תראו משהו יפה: האנרגיה של פוטון בתדר w: E = h * w / 2pi התנע של פוטון במספר גל k:P = h * k / 2pi כלומרE * t - P * r = (h/2pi) * (wt - kr) כלומרpsi = A * exp [i(wt-kr)] וזה בדיוק גל מישורי המתקדם בכיוון r בתדר w...גודל הפונק' נשמר במקום ובזמן: <psi|psi> = |A|^2 משוואות המילטון-יעקבי הן מן התיאורמות האלגנטיות ביותר שהכרתי בפיסיקה. במקום לטפל בלגרנג'יאן מנסים לתקוף ישירות את הפעולה. ליתר דיוק, מחפשים טרנספורמציה קנונית (מונח מפוצץ שמשמעו החלפת משתנים קנוניים ללא שינוי ערך ההמילטוניאן) שתפשט לנו את הפעולה ככל הניתן. הפעולה הפשוטה ביותר היא זו השווה זהותית לאפס, או לפחות לקבוע, וברגע שעוברים אליה הפתרון הוא טריביאלי. אח"כ חוזרים מן הפיתרון הטריביאלי במשתנים החדשים, לפתרון החבוי במשתנים הישנים. אפילו על בעיות פשוטות כמו אוסצילטור הרמוני זה נראה טוב, גם אם התותחים האנליטיים האלה נוצקו כדי לפצח בעיות מעט מורכבות יותר.בכל אופן, נקודת החיבור בין המכניקה הקוונטית לקלאסית היא בהשאפת קבוע פלאנק לאפס. לשמחתנו אמנם מקבלים את כל המכניקה הקלאסית כמקרה פרטי של משוואות המכניקה הקוונטית עבור h-->0 המכניקה הקוונטית עצמה היא מקרה פרטי של תורת השדות הקוונטית עבור מהירויות נמוכות (לא יחסותיות), כך שבסה"כ אפשר לומר שקיימת בדיוק תורה אחת שלמה, וכל השאר (מניוטון עד שרדינגר) הם קירובים נוחים שלה. תורה זו אינה סגורה עדיין - מנגנון ההיגס לא הוכח נסיונית, עוד לא גילינו גרביטונים וקיימות חלופות לכמה מן המודלים הקיימים בפיסיקה של אנרגיות גבוהות. אין עדיין הסבר לערכים השרירותיים שנמצאו (תיאורטית ונסיונית) לשורה ארוכה של חלקיקים אלמנטריים קיקיוניים, ולכן הרבה מוחות מגודלים מתפרנסים יפה מפיתוח כל מיני תיאוריות פנטסטיות כמו סופר-סימטריה ותורת המיתרים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1. משוואת שרדינגר יכולה להיכתב בצורה פשוטה מאד (http://www.physics.udel.edu/faculty/macdonald/quantu...) וזו, אגב, הדרך היותר נכונה לכתוב את המשוואה. בלי קשר, אני חושב שההחלטה לא לכתוב נוסחאות הייתה נכונה. |
|
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |