בתשובה למרילין, 03/11/02 11:26
 |
|
 |
||
|
||||
 |
משהו יכול להיות אינסופי אך בעל גבולות. תיחום של דבר לא מעיד על סופיותו. |  |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
אם לדבר יש גבולות- איך הוא יכול להיות אינסופי? הרי הסוף שלו בגבול שלו, לא? כשאתה תוחם אותו, אתה לא קובע לו סוף איפושהו? 1סתם, בא לי לשיר, ואת גברת פלפלת כבר שרנו אתמול. או שלשום. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תחשבי על הקטע בציר המספרים בין 0 ל - 1. יש בו אינסוף מספרים ממשיים (בין כל שני מספרים קיים מספר שלישי וכן הלאה) אבל הוא מוגבל - בין 0 ל- 1. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לפי שיטה זו נוכל לומר כי מעולם לא הייתה נקודה בזמן בה העולם נוצר/נברא. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא, אתה לא בהכרח קובע לו סוף (אלא אם כן תרצי להכנס כאן לויכוח טרמינולוגי, ואז אני אזעיק לעזרתי את המהgeg, ראי הוזהרת). לדוגמא: תארי לעצמך שאת חיה בתוך כדור שככל שמתקרבים לגבול שלו יחידת האורך מתקצרת, כלומר המרחב מתכווץ בכוון הרדיאלי החוצה, והגבול הוא בדיוק בשפת הכדור בו יחידת האורך מתאפסת. הכדור הזה תחום (בעל גבולות), אבל עבור יושביו הוא אינסופי כיון שלעולם לא יוכלו להגיע לסופו. את יכולה לראות הדגמה דו-ממדית למצב הזה בציור החביב של אשר: (הרעיון המקורי הוא של פואנקרה, הייתי מביא לינק אבל הוא באנגלית :)) דוגמא יותר פשוטה - אבל מחייבת קצת יותר מחשבה על המילה "אינסופי": יצורים דו-ממדיים שחיים על פני כדור נמצאים במרחב אינסופי אך תָחום. אינסופי במובן שהם יכולים לנוע בקו ישר עד קץ כל הדורות ולא יגיעו לשום "סוף". ההרחבה למרחב תלת-ממדי פחות אינטואיטיבית אבל פוטון שיוצא לשוט מפנס שאת מחזיקה בידך ישוב לאותה נקודה אחרי מספיק זמן אם יתמזל מזלו לא לפגוש שום חלקיק בדרך, משמע גם המרחב-זמן שלנו אינסופי (על הגבולות שלו באמת קשה לדבר, אבל המגבלות של זמן הקיום מאז המפץ הגדול ומהירות האור אומרות שהוא, אכן, תָחום). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הכדור בדוגמא השניה קומפקטי, יש לו שטח סופי, והקוים הישרים עליו כן סופיים (ואורכם שווה לקוטר הכדור). אני חושד שזה המצב גם ביקום שלנו, ודוקא בגלל שהפוטון יפגע אחרי מספיק זמן באחורי הפנס, היקום שלנו סופי. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"אורכם שווה לקוטר הכדור"? פיי = 1? במקורות שאני קראתי (אוף, זה היה מזמן ואם אצטרך לחזור ולפשפש בספרים ההם תולעי הנייר ממש לא תאהבנה אותך) קו ישר שאין לו "סוף", כלומר לעולם לא תגיע לקצהו, נקרא, אינסופי. אתה צודק בכך שבשלב זה או אחר תתחיל לדרוך על עקבותיך, וזה יהיה הזמן לצעוק "Woozle! Woozle" אבל לא "סוף! סוף!". שאלה טרמינולוגית, כמדומני? __________ 1- נו, אני שוב נכנס איתך לשיח מתמטי, ואזני הקטופות כבר רועדות כאזני חזרזיר שצועק בקול רועד "עוּזְל! עוּזְל!" |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1. פאי=1 הוא שיפור ביחס לקירוב הקודם שהצעתי (1/2i). 2. צודק - אורך הקו הישר שווה לפאי כפול קוטר הכדור. הנקודה שהתכוונתי להדגיש היא שקוים ישרים על הכדור הם ההיקפים של מעגלים שמרכזם הוא מרכז הכדור (נראה לי שרבים שכחו שזו ההגדרה). 3. זה מוזר לקרוא למעגל "אינסופי" רק בגלל שאפשר לחזור עליו שוב ושוב. הוא אמנם אינסופי (כי יש עליו אינסוף נקודות), אבל למעגל יש אורך סופי ולקו ישר אוקלידי אורך אינסופי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אולי עדיפה דוגמא אחרת? מה עם שטח פנים אינסופי של צורה פרקטלית תלת-מימדית? שטח פנים אינסופי ונפח סופי, לא? (או שאני מדבר שטויות...) (לשם פישוט - אפשר היקף אינסופי של צורה פרקטלית דו מימדית, כאשר השטח הוא סופי). מה ההיקף של KOCH (הצורה לא האיש) למשל? אם הייתי נקודה שנעה על ההיקף שלו במהירות קבועה, כמה זמן היה לוקח לי להשלים היקף? http://math.rice.edu/~lanius/images/koch5.gif (את הנתונים החסרים אפשר להמציא כמובן) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא בטוח שהבנתי מה אנחנו מחפשים (משהו אינסופי וחסום? זה לא קל מדי?). לפתית השלג של קוך יש שטח סופי והיקף שגדל אקספוננציאלית לפי מספר צעדי הבניה. בגבול ההיקף אינסופי. המימד הפרקטלי של השפה הוא, אגב, log4/log3. דבר דומה קורה בספוג של Sierpinski, שהוא דוגמא קלה לפרקטל תלת ממדי. יש לו נפח סופי, אבל שטח פנים אינסופי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ורק המשולש הוא של סירפינסקי. אגב, יש כל מיני משפטי צביעה בטופולוגיה שנורא קל להמחיש על משולש סירפינסקי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
למיטב ידיעתי, הספוג קרוי על-שם Sierpinski. ראה http://splorg.org/people/tobin/projects/sierpinski . |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה, אל תאיים עלי ב-GeG ותתן לי דוגמאות כאלה שאני צריכה לקרוא עשר פעמים כדי להבין :) (אבל הבנתי- נדמה לי- ותודה גם לך). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אבל הציור ההוא של אשר ממחיש את הרעיון בצורה ברורה לעין, לא? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ממחיש, ממחיש. אבל קודם אני קוראת אותך, אח''כ מסתכלת בלינק. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
האם כוונתך היא שניתן להתרחק מנקודה נתונה כרצוננו ועדיין להשאר במסגרת מרחב התחום בכל כיווניו או שכוונתך היא שגם במרחב תחום יתכנו אינסוף נקודות, כפי שהדגים ערן? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כונתי היתה בדיוק למה שהדגים ערן, אבל מאז (לאחר שקראתי את התגובות שהובילו אותי לכמה אתרים בנושא) יש לי כבר כמה קצרים חדשים, במח החלוד שלי, שאני צריך להתמודד איתם. אתה יכול להסביר את -"שניתן להתרחק מנקודה נתונה כרצוננו ועדיין להשאר במסגרת מרחב התחום בכל כיווניו"? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
פתית השלג של קוך שעוזי הזכיר עונה על הבעיה הזאת, לא? על ההיקף שלו אפשר לטייל כמה שרוצים בלי לחזור לנקודת ההתחלה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הכל תלוי כמובן בשאלה איך מגדירים את המרחק. בדוגמא של התחום החסום שהמרחק בו מכל נקודה אל השפה הוא אינסופי, המרחב בעצם אינו חסום (הוא אינו מוכל בכדור, כאשר מגדירים נכון את הכדורים). המרחב הזה איזומורפי דווקא למישור לא חסום. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
עזוב, לא ניסחתי את זה באופן מדוייק. אך גם לי כבר לא ברור מה בדיוק מחפשים. נוצרה כאן עירבוביה בין פיסיקה למתמטיקה ובתוך המתמטיקה בין גאומטריה לטופולוגיה. אין לי כרגע מה להוסיף. | |
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |