בתשובה לאביר הקרנפים, 13/05/16 14:47
 |
|
 |
||
|
||||
 |
כאשר אתה מדבר על תפוזים אתה מדבר על העולם הפיזי וכאשר על מספרים אתה חורג מהעולם הפיזי. אין מספרים בעולם הפיזי. בעצמך אמרת- מושג מופשט. לכאורה לא יכול להיות קשר בין האידאה המופשטת של המספר 5 משהו ביקום הפיסי. בפועל איכשהו אנחנו מוצאים חוקיות מתמטית בעולם. |  |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
למה "איכשהו"? נראה לי שאיכשהו הפכת את היוצרות. האידיאה המופשטת נוצרה כטפל לחוקיות המוחשית, לתאר אותה ולחשב אותה בצורה קצרה וממצה. לכן ההגדרות מותאמות בצמוד למוגדר. אין כאן אקראיות. כמו כל מילה אחרת שאיכשהו מתאימה לדבר אותו אנו רוצים לתאר. כי כשאתה כותב לי על "עלילה" - שזה מושג מופשט, איכשהו זה מתאים לחוקיות ברורה שקובעת מהי עלילה ומהי האשמה צודקת. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
יש קסם שקורה כאשר המתמטיקה לא רק שמצליחה לתאר את המציאות, היא מצליחה אפילו לנבא את המציאות. הקסם הוא שאיכשהו אידאה שכלל אינה נמצאת ביקום הפיזי מצליחה לומר דברים אודות היקום הפיזי. אתה חושב שאתה מבטל את הקסם אם אתה הופך את היוצרות וטוען שהאידאה נוצרה כטפל לחוקיות המוחשית, אבל זו אותה בעית גוף ונפש שטובי הפילוסופים מתחבטים בה אלפי שנים. כל עוד האידאה לא נמצאת בעולם הפיזי לא ברור בכלל איך העולם הפיזי יכול להשפיע על היווצרותה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כי הקריטריון ליצירה, שיפוץ והרחבה של אותה אידיאה דורש היצמדות מוחלטת לחוקיות הפיזית. אסתכן בעוד הכללה בוטה1 ואומר כי רוב המושגים המופשטים שיש להם חוקיות וסיבה צריכים להתאים למוחשי. אני לא יודע בקשר לבעיית הגוף והנפש, אבל אני מנסה לחשוב איך צמח מדע המתמטיקה, מן הסתם הוא לפחות החל כשיטות ספירה1. הרי אנשים מנסים לספור ולחשב לצורך קיומי, הרבה לפני שהם מוצאים זמן לחישובים ותרגילי התעמלות מופשטים. ____________ 1 ולא אעלב אם יוכיחו לי שאני טועה. אדרבא, הדיון והלימוד מחכימים אותי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
החשבון ודאי החל כשיטת ספירת מלאי. גם הכתב החל כנראה כשיטת רישום מלאי וחוב. שניהם היו כנראה תולדה של המהפכה החקלאית, שאפשרה צבירת מלאי מזון וסחר. אבל בהמשך, החקירה של האידאות המתמטיות לא נועדה לספק צרכים מסחריים. אצל פיתגורס [ויקיפדיה] לעיון עצמו יש ערך מוסרי, והפילוסופיה היא דרך חיים. למרות שארכימדס [ויקיפדיה] עסק רבות בהמצאות מעשיות הוא הפנה את עיקר מרצו למתמטיקה טהורה "הוא הפנה את מלוא החיבה והשאיפה שלו לתחומים הטהורים הללו אשר אין להם קשר לצרכים הרגילים של החיים". |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם ככה, החוקיות של המתמטיקה נולדה מתוך האילוצים של העולם הפיזי. ולכן גם כשהתפתחה הרחק מעבר לחשבון הראשוני, היא עדיין כפופה לאותה חוקיות של העולם הפיזי. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זהו, שלא. גם הכתב התפתח כשיטת רישום מלאי וחוב, אילוצי העולם הפיזי, אבל כשאני קורא סיפור פנטזיה הסיפור הכתוב מתרחק מאוד מתאור החוקיות של העולם הפיזי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תיקון. הכתב נועד לתעד דיבור. לכן הכתב כפוף לחוקיות של דיבור. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה בהנחה שהכתב מתאר דיבור. הכתב שלנו כולל לא מעט סימנים שאינם סימני דיבור. לדוגמה הסמיילי (שהיום הפך לתו תיקני, עם יתר תווי האימוג'י) מתאר רגש. הוא נוצר מתוך תרבות שמעבירה מסרים בכתב. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אולי זו הרחבה של אפשרות תיעוד הדיבור. הכתב עצמו גורם לפעמים לקשיים לעמוד על נימת הדיבור שהכותב מתעד. כל סמלי ההבעה האלה נועדו לעזור בעניין. גם קריקטורות, קומיקס, ממים וכו', אלה דרכים שונות להעביר מסר שאינן בהכרח כתב רגיל. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
למה אתה מתכוון "לא נמצאת בעולם הפיזי"? באותה מידה שעלילות הארי פוטר לא נמצאות בעולם הפיזי? אני מניח שאין לך בעייה או תהייה על יכולתו של העולם הפיזי להשפיע על היווצרותו של הארי פוטר. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כן יש לי תהייה. אם העולם הוא מכני כפי שמאמינים המטריאליסטים איך יתכן שיש בכלל אידאות? ועניין אחר - לכאורה אלמלא ג'יי קיי ראולינג לא היתה קיימת האידאה של הארי פוטר. אבל האם ללא ניוטון ולייבניץ לא היתה קיימת האידאה של חשבון אינפי? האם ללא אוקלידס לא היו אידאות גאומטריות? ואם לא היו הללו ללא האנשים שהמציאו אותן, כיצד פועל הטבע? ללא חוקיות וסיבתיות? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מי אמר ש"יש" אידיאות? אתה ראית, שמעת, הרחת או חזית בהשפעה של אחת כזאת? מסופקני. הארי פוטר איננו אידאה (עד כמה שאני מבין את המושג). למשל, בניגוד לאידאה, התכונות שלו אינן קבועות. עם כל ספר נוסף שיצא בסדרת הארי פוטר, נוספו לו תכונות וקורות חיים שלא היו קיימים קודם. "חשבון אינפי" הוא אידיאה? אני אפילו לא בטוח שהוא מוגדר באופן סגור, וגם אם כן זה מן הסתם תיאור של קבוצה של מתודולוגיות, הרחק מאיזה מושג בסיסי או "אידיאלי" (פאן אינטנדד). נראה לי שלגביך כל רעיון או מושג, רצוי דמיוני, הוא אידיאה. מסופקני בשלישית. האם הטבע נצרך ל"אידיאות"? מסופקני בריבוע. מה טעם לו לטבע ב"משולש"? או ב"נקודה"? כהערה, ענין הטבע כאן הוא תת נושא חדש, אולי כדאי למצות את ההגדרות קודם לפני שמערבים את הטבע ירום הודו. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אנחנו מדברים על היחס המוזר מאוד בין דברים שקיימים במציאות הפיסית- לדוגמה כוכבי הלכת נעים במסילותם, לבין אידאות שאינן קיימות במציאות הפיסית אבל מצליחות לתאר (שמא תאמר "למדל") את המציאות הפיסית - לדוגמה משוואות התנועה וכח הכבידה. אני קורא לכח הכבידה, וכן למשוואה המתארת אותו, אידאה. החוק הפיזיקלי אינו קיים בעולם הפיזי. אתה אומר- אינו קיים בכלל? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
יש פה שני עניינים לדון בהם, ולדעתי בזה שאתה מערבב את שניהם אתה מקשה עלינו, כי אתה קופץ קדימה שני שלבים. אם לדעתך אי אפשר לדון באידיאות בלי לדבר על חוקי הפיזיקה, נאלץ לדון בהם ביחד. אבל אם אפשר ללכת שלב שלב, זה נראה לי עדיף. אז, כדי להבהיר, מעבר לארבעת הכוחות הפועלים בטבע והמשוואות שלהם, יש עוד דברים שאתה מגדיר כאידיאות? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כן. כל מה שיש לו קיום מוסכם בהכרתנו אבל לא ביקום הפיזי. הצורות הגאומטריות, היחס פאי, טוקטה ופוגה ברה מינור (היצירה, לא ביצוע מסוים שלה). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
את היצירה עצמה, שקיימת בהכרתנו בלבד, אני מעדיף לתאר כמם. אם כל הפגמים במודל הזה, הוא עדיין פשוט וברור יותר מאידאה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
וכדי לתמוך בכך שיצירה מוזיקלית מתוארת טוב יותר על ידי מם מאשר על ידי אידאה, אני מנחש שלא תהיה בעיה למצוא המון דוגמאות ליצירות שמשתלבות ביצירות אחרות בתקופות אחרות. כלומר: לא מדובר על סתם מופע שונה של אותה היצירה. מדובר על שינוי באופיה ואף על תולדה של דברים שונים ממנה. השכלתי המוזיקלית לא מספיק טובה כדי לספק דוגמאות, אבל נראה לי שיש כמה רק בדיונים שהתחוללו כאן בחודשים האחרונים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא מבין מספיק מה הוא מם, ומה ההבדל בינו לבין אידאה, אבל כפי שאני מבין המשותף להם הוא שהם אינם קיימים בעולם הפיזי ועדיין בדרך פלאית כלשהי מקיימים איתו אינטראקציה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם אתה לא מתכוון ל"אידאה" בעולם האפלטוני ששונה במקצת מהמושג הרווח בשימוש היום, אין ממש הבדל אלא של גישה. בהתבוננות הממטית, התכונה העיקרית של "מם" היא היותו משתכפל, ומבחינה זאת הוא דומה ל"גן". ממטיקה היא נסיון ליישם את מה שנלמד בקשר לגנים בעולם הממים. לדעתי כאן תמצא הדגמה מאד טובה, ובאמת עבר כבר יותר משבוע מאז המלצתי על המאמר הזה כך שהגיע הזמן. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תודה | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני חושב שההסבר הקל לקשר בין ממים ואידאות לבין העולם הפיזי הוא שאלו תופעות emergent מתוך התשתית הפיזיקלית של מוחות בני האדם ואמצעי התקשורת הפיזיים ביניהם. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם אלו תופעות לא פיזיקליות זה בדיוק מה שנמצא על הסקאלה בין בלתי אפשרי ללא יתכן, ואם אלה תופעות פיזיקליות נא פרט. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מה בהארי פוטר "לא פיזיקלי"? הוא לא פיזיקלי בדיוק באותה מידה שהמילה "אריק" היא לא פיזיקלית. המילה "אריק" היא חלק מפרוטוקול תקשורת מוסכם ביני ובינך (ובין שאר האנשים), לפיה ברגע שאתה משגר את צירוף המילים הזה, באמצעים הפיזיקליים מאד של אותיות כתובות על נייר אן מסך, או גלי קול שעוברים בינך לביני, אנחנו מסכימים שאתה מתייחס ליישות הפיזיקלית "אריק", שיש לה תאריך לידה ומיקום פיזיקלי מוגדר במרחב. משום מה אתה מניח ש"אריק" או "הארי פוטר" *מתקיים* באיזה עולם בלתי פיזיקלי שמנותק מהיישויות הפיזיקליות לעיל והתקשורת ביניהן. אני לא רואה שום ביסוס להנחה הזאת. מה בכל התיאור הזה בלתי אפשרי או לא ייתכן? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
>> ברגע שאתה משגר את צירוף המילים הזה...אנחנו מסכימים...מה בכל התיאור הזה בלתי אפשרי או לא ייתכן? מי זה "אנחנו" ומה זה "מסכימים"? כשאתה מדבר על פרוטוקול תקשורת אתה מתעלם מהחוויה האנושית. זה לא רק הדאטה שעוברים בין שתי מערכות חישוביות אלא גם כל הפסיכה של המערכות הללו. כשאתה אומר את הסימן המוסכם "אריק" או "הארי פוטר" אתה {מדמיין} משהו, וכשאני מקבל את הסימן המוסכם גם אני {מדמיין} משהו. החלק הדרמטי הוא התרגום של משהו בחוויה הפסיכית שלנו לפעולה בעולם- השמעת קולות למשל, ולהיפך- התרגום של הנתונים הפיזיים המתקבלים לחוויות פסיכיות. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה לא דיברת עד עכשיו על החוויה הזאת, ורק עכשיו אתה שם אותה על השולחן. אבל עד כה לא טענת שהחוויה הסובייקטיבית האנושית איננה פיזיקלית1, טענת ש"הארי פוטר" איננו פיזיקלי. אלה שתי טענות שונות לגמרי. זה כמו ההבדל בין הטענה שכדורסל איננו פיזיקלי לטענה שחווית הכאב כשהוא נוחת על פדחתך איננה פיזיקלית. בלי קשר לאם מי מהן נכונה או לא (קל לומר שהראשונה נכונה, ועל האחרונה אפשר להתפלסף הרבה יותר), אלה שתי טענות שונות לחלוטין. 1 ומי שקרא את דעותי כאן ינחש שאני עלול להסכים עם ההגדרה הזאת. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא אפלטון. אני לא טוען שלאידאה ''הארי פוטר'' יש קיום משל עצמה מחוץ להכרה האנושית, אם כי עבור הצורות הגאומטריות והמספרים אני לא שולל את האפשרות הזו. אנחנו יכולים לדבר על ''משולש'' ועל ''הארי פוטר'' לחוד, לדעתי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
סבבה. הסכמנו שאין ב"הארי פוטר" שום דבר לא פיזיקלי? אם כך נעבור למשולש - למה דוקא לו יש? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בוא נעזוב את הארי פוטר לרגע. בצורות הגאומטריות: מעגל [ויקיפדיה], משולש [ויקיפדיה] וכו' אין שום דבר פיזיקלי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
באיזו מידה מעגל "קיים" שאינו פיזיקלי? א. כל מעגל שראית בחייך (כמו זה שהיה בציור בספר הגאומטריה שלך כשלמדת מהו "מעגל", בדיוק כמו "כדורסל") הוא פיזיקלי לחלוטין. אף אחד לא ראה או הרגיש או שמע או חווה מעגל בלתי פיזיקלי. ב. אז באת והגדרת, בשימוש באותו פרוטוקול תקשורת שדיברנו עליו, שמוסכם עליך ועל אחרים, את הדבר הבא "בהינתן 'נקודה' ב'מישור', את אוסף כל הנקודות שמרחקן ממנה זהה אני מכנה 'מעגל' ". ההגדרה איננה משהו לא פיזיקלי. היא חלק מפרוטוקול התקשורת ביני ובינך ואין בה שום דבר מיסטי. מה שמיסטי זאת ההנחה שלך שמעבר להגדרה הנ"ל, והדמיון שלה לצורות פיזיקליות שאתה מכיר מסעיף א', יש יישות "קיימת", שאתה קורא לה "מעגל לא פיזיקלי". אני טוען שהיישות הזאת קיימת באותה מידה שהארי פוטר קיים. כלומר - כלל וכלל לא. לדיבור והשיחה על היישויות הדמיונית הזאת יש השלכות חיוביות כמובן: הראשונה יכולה ללמד אותנו איך לחשב זויות ולמדוד זמן עם שעון שמש1, השנייה יכולה לבדר, לרגש ילדים ולעורר בהם השראה, והשלישית2 יכולה לשמש ככלי לחינוך מוסרי מצד אחד ולשליטה בהמונים הנבערים מצד שני. יופי, אבל השיחה והדיבור הנ"ל כולם חלק מהעולם הפיזיקלי לחלוטין. ואין בלתם. הארי פוטר, הארי קרישנה, מפלצת הספגטי המעופפת ומעגל מושלם אינם קיימים, מעבר לפרוטוקול התקשורת שמשמש יצורים פיזיקליים כדי להעביר מסרים. או לכל הפחות, לא בהכרח קיימים, בניגוד להנחת הבסיס שלך. 1 ושים לב שלצורך כך כל מה שצריך זה או מעגל פיזיקלי מקורב, או את ההגדרה שציינתי, ואין בלתם. כל הוכחה מתימטית שמשתמשת במעגלים מסתפקת לחלוטין בהגדרה שנתתי, ואולי בהגדרות נוספות מאותו סוג, אבל בשום הוכחה כזאת לא תמצא שימוש במעגל "אמיתי". גם מבחינת המתימטיקה הוא יישות מיותרת. או שהמתימטיקה פשוט מסתפקת בהגדרות ההן מהפרוטוקול ההוא. 2 איזו שלישית? תנחש כבר לבד על איזה יישות דימיונית שאיננה קיימת מדובר כאן. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אמור לי מה הקריטריון שלך לקיום ואומר לך לאיזה זרם פילוסופי אתה שייך (במקרה שלך מטריאליזם). לפני כמה שבועות התווכחתי עם הבן שלי אם קיים או לא קיים גיבור על בשם ״איירון ספיידר״ (אני אמרתי שלא קיים... הוא ניצח). יש תחומים שבהם נוח להגיד ״קיים משולש שחוסם את המעגל הזה״. ויש תחומים בפיזיקה שבהם נוח להגיד שכל מה שאתה רואה או חווה לא באמת קיים.. ואפילו חלקיקי יסוד כמו אלקטרון לא באמת קיימים. הם כולם אשליה, תוצר של מבנה מתמטי יסודי יותר. אז קיום הוא מושג שיכול לקבל משמעות שונה מאד בהתאם להקשר. כאן התחום הוא פילוסופיה.קיימים (הא!) לא מעט זרמים פילוסופיים בתת התחום הזה (קיום). אז כדאי לתת הצדקה לקריטריון שלך בהקשר של פילוסופיה. נניח שהקריטריון שלך לקיום הוא: ״משהו שעשוי מחומר או אנרגיה״. סבבה. למה הוא מוצלח בהשוואה לחלופות? (דוגמא לחלופה: דואליזם. יש קיום מסוג א לדברים חומריים וקיום מסוג ב לדברים שקורים בראש שלנו. ויש אינטראקציה). אולי הקריטריון שלך הוא יותר פשוט ויפה? אולי הוא מונע בלבול בין דמיון למציאות? אולי הוא מוביל למסקנות פילוסופיות מעניינות/רצויות? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מה עם הקריטריון הבא: מה שאתה, או אדם אחר, לא ראה, שמע, הריח, טעם, מישש, או אפילו לא "ראה" בעזרת שום מכשיר - שזה אומר שאי אפשר למדוד את קיומו בשום אמצעי מדידה - לא קיים? נראה לי שלגבי משולשים ואלוהים זה די מבהיר את הנקודה. כמו שכבר אמרתי, אני מצדד בעמדה שלחוויה הסובייקטיבית שלי יש קיום כלשהו, ולכן אני לא לגמרי מטריאליסט. אבל נראה לי שלגבי משולש או מעגל מושלם זה הרבה יותר פשוט. אולי אי פעם תצליח למדוד את החוויה הסובייקטיבית שלי, אבל משולש או מעגל מושלמים יהיו לנצח מעבר להישג ידך (או כל מכשיר מדידה אחר שברשותך). אתה יודע מה - אפילו בדמיון שלך מעגל מושלם לא קיים. בדמיוני אפשר לראות סוסים ירוקים, לשמוע אותם מדברים עברית ולהריח אותם מטילים גללים בריח ורדים. אבל גם בדמיוני אי אפשר לראות מעגל מושלם. מאחר ולמעגל מושלם (לא עיגול) אין שטח, נפח, או כל תכונה מרחבית שקשורה לחושיי, אפילו אלה שאני חולם בעזרתם בלילה. אם אומר לך שראיתי מעגל, תשאל אותי "מה היה עוביו", וכל מספר שאתן לך, קטן ככל שיהיה אבל לא אפס - מאחר והעין שלי, אפילו החלומית, יש לה רזולוציה סופית - מיד יוכיח לך ללא כל ספק שמה שראיתי איננו מעגל מושלם. בקיצור, אפילו בדמיונך, המעגל הזה הוא אשליה. בעצם, כמו שאמרתי, הוא קיים רק על פי ההגדרה שלו, לא יותר ולא פחות. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
יש פה נקודה שאני מתקשה להבין. אם על מסך המחשב אני רואה מעגל מושלם, או אטם גומי או כל דבר אחר, זה לא נחשב שראיתי מעגל מושלם? אני לא יכול לחשב את שטחו על פי עקרונות הגיאומטריה? אי אפשר לקרוא לו עיגול? ומה בדבר משולשים? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הבעיה היא בדיוק עם הנקודה. המעגל (המתמטי) מוגדר כאוסף נקודות שמרחקן מנקודה אחרת (מרכז המעגל) זהה. נקודה (מתמטית) היא גוף חסר ממדים. אין לה אורך, רוחב או עובי. לכן לקו שיוצר את המעגל המתמטי אין עובי ואי־אפשר לראות אותו. מעבר לכך, המעגל על צג המחשב אינו מדויק מכיוון שיש גבול לדיוק התצוגה. התצוגה בצג היא רשת גדולה של פיקסלים: מלבנים קטנים שכל אחד מהם יכול להיות דלוק או כבוי (או ליתר דיוק: בצבע כלשהו). לכן אתה רואה מעגל מפוקסל. זו רק מגבלה אחת. יש אוסף שלם של מגבלות על הדיוק בהצגה של המעגל. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לכן אין שם בעיה, כי המעגל המתמטי נוצר כהדמיה והשתקפות של אפשרות פיזית. אם בנית גלגל שבין הציר לסוליה יש מרחק שווה בכל נקודה שתמדוד, הרי זה מעגל מדויק, וכך תוכל לחשב את שטחו של הגלגל או לגרום לו להתגלגל בצורה הקלה והמושלמת ביותר. ההגדרה המופשטת של אוסף הנקודות המקיפות את הנקודה המרכזית, נועדה להסביר, לתאר ולתכנן את המבנה הפיזי הזה. ולמה הנקודה היא גוף חסר ממדים? אם היא עגולה, אז יש לה אורך ורוחב שהם שווים בכל מקום בו תמדוד את האורך והרוחב. איך תגלה את האורך והרוחב? תקריב ברזולוציה גבוהה, כשם שאתה עושה לפיקסלים. אם איננה עגולה, אלא רבועה כמו הפיקסלים החמודים שלנו, הרי שהמרחק בין הנקודות משתנה בין הנקודות שנמצאות במקביל לקודקוד הנקודה הרבועה, לבין הנקודות שנמצאות במקביל לצלעה השטוחה של הנקודה הרבועה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נקודה מתמטית היא גוף חסר ממדים: ככה היא מוגדרת. כתם הדיו שעל הנייר (או אוסף הפיקסלים על הצג) הוא ייצוג מקורב שלה. העניין הוא שהדיוק של המתמטיקאי לא מוגבל. הוא לא מוגבל ביכולתו "לעשות זום אין". נניח שהחלטת שכתם ברדיוס של 0.1 מ"מ (בקושי נראה) יהיה מספיק "נקודתי", הרי שהמתמטיקאי יוכל תמיד להגיד: „אני רוצה להסתכל על הסביבה ברדיוס של 0.01 מ"מ סביב מרכז הכתם״. לדוגמה, <קישור https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Mandelbrot_zo... הנה> תוצאה של זום אין כזה (גם אם בתוספת הזזה) על המבנה המורכב שנקרא קבוצת מנדלברוט [ויקיפדיה]. אי אפשר להניח כתם בעובי של 0.1, או 0.01 או אפילו 0.00001 ולקוות לקרוא לו "נקודה": עם זום מספיק גדול הוא יראה כמו כתם ענקי. לכן אין בררה אלא להגיד שהנקודה המתמטית נשארת ללא עובי בכל זום שלא נבחר: אין לה עובי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
וכל זה משחק בהגדרה הפשוטה של מעגל, שמדמה את הגלגל או שימושים אחרים בעולם המציאותי. לכן באמת אין לך ברירה אלא להגיד שהנקודה המתמטית נשארת ללא עובי, בגלל ההקבלה לעולם האמיתי. אם תנסה להפוך את הנקודה לרבועה, תהיה לך בעיה - בגלל ההקבלה לעולם האמיתי. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לדיון הכללי אני לא יכול להוסיף - קשה לי להבין את כל הצדדים. אז אתמקד בנקודה הספציפית הזו: אחת הדרכים האלגנטיות ביותר לתקוף את הנושא, היא לחשוב על נקודה כאוסף מקסימלי של סביבות עם חיתוך לא ריק. זו הפרספקטיבה של "דואליות סטון" - ומנקודת המוצא הזו, שלכאורה אינה קשורה כלל לויזואליזציה הרגילה של נקודות וצורות, מתקבל קשר מפתיע ועמוק בין גיאומטריה, אלגברה ולוגיקה. למשל, אפשר לנסח אנלוגיה מפורשת ויפה בין ידע קונקרטי על העולם לבין נקודות גיאומטריות. כך שבאופן כללי, כנראה שלא נכון לומר שעל נקודה תמיד אפשר להתמקד עוד ועוד - כי ישנם מרחבים בהם זה לא נכון (ישנן דוגמאות קלות למקרים כאלה, כמו למשל מרחב בין 2 נקודות המצוייד בטופולוגיה דיסקרטית). אבל איך שלא הופכים בעניין, די ברור שבאמת לנקודות אין עובי בשום מובן מעניין. אפשר למצוא כאן הסבר קצת יותר מפורט שכתבתי על דואליות סטון. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
המעגל על מסך המחשב הוא אחד הבלתי מושלמים ביותר שיכולת למצוא, מפוקסל ומעוות לגמרי. תעשה זום או תסתכל בזכוכית מגדלת על אחד מחלקיו, ותראה שלא היית מזהה אותו כמעגל אם היית רואה אותו ברזולוציה הזאת, סתם כאוסף ריבועים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לכן גם המחשבון השולחני הפשוט הוא כל כך לא מושלם כי הוא משמיט כמה ספרות אחר הנקודה. לא צריך לנטפק ולראות הכל ברזולוציה הגדולה ביותר כדי לקבל את ממשות הדברים. להיפך. לפעמים כשאתה רואה דברים ברזולוציה גדולה מדי, אתה לא רואה מים אלא אוסף של מולקולות שחלקן בכלל לא שייכות למים אלא ליצורים זעירים שחיים בהם. אז אין מים? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה מפספס את ההקשר, תקרא את כל הפתיל קודם. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה היה ההקשר. אגיב שם בנפרד. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אה, ולמעגל אין שטח. זה ההבדל בין מעגל לעיגול. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ראית פעם אלקטרון? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כשאלקטרון פוגע במסך הטלויזיה שלי, אני רואה נצנוץ. באותה מידה שכשפוטון פוגע ברשתית שלי אני רואה נצנוץ. לזה קוראים ראייה, לפני שמפרקים אותה כמו ערימת אורז לשום דבר. אז בוא לא נפרק אותה - אתה יכול לומר אותו דבר על מעגל? נראה אותך (הא). אפילו אם תתעקש לומר שאני לא רואה אלקטרון אלא רק אינטראקציות איתו, I dare you להביא לי אינטראקציות עם מעגל שאתה ראית או חשת בהן. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
וכשאתה סוגר מעגל חשמלי בהקשת מקלדת ואתה רואה אותיות נכתבות על המסך שלך, זה לא אינטראקציה שאתה רואה וחש בה? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
Circuit, circle. Google. תמשיך משם. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
קריטריון נהדר, אבל לא ענית על השאלה שלי. למה ההגדרה שלך מוצלחת, בהשוואה להגדרות נפוצות אחרות? אם נתפסת למשולשים ולאלוהים: למה זה מוצלח יותר מבחינה פילוסופית להגיד שהם אשליה - בהשוואה, למשל, למה שקרל פופר אומר (שהדברים האלה קיימים בעולם 3 ויש להם אינטראקציה עם עולמות 1 ו 2). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
א. ולמה מוצלח יותר לומר שהם חלק מעולם 3, ולא חלק מעולם 17, או עולם 14356, או עולם 4+3*i, או עולם פי בריבוע? מאותה סיבה בדיוק - כי אוקהם. ב. אם עקבת אחרי הטיעון שלי, וודאי הבחנת שאני מראה שוב ושוב שלעיגולים ומשולשים אין אינטראקציה עם עולם 1 (נניח שזה העולם הפיזיקלי). אתה מוזמן להצטרף לאתגר שהצבתי בתשובה לירדן - להראות לי מישהו או משהו שחווה אינטראקציה, ולו מדומיינת או נחלמת, עם מעגל מושלם. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כשמתמטיקאי טוען "קיים משולש (מושלם!) שהיחסים בין צלעותיו הן 3:4:5", הוא טועה? אם אתה חושב שהטענה הזו נכונה אבסולוטית, אתה צריך את הקיום המתמטי. אבל היום אנחנו כבר לא שם, אנחנו מודרניים יותר, ויודעים לומר שה"קיום" הזה מתחיל מאקסיומות של גאומטריה, ואולי האקסיומות האלו שרירותיות. האקסיומות האלו קובעות את מושג הקו כ-postulation (יש מילה בעברית?). האם אפשר להרחיק לכת ולומר שגם את מושג הקיום הן קובעות כפוסטולציה? האם ה"קיים" הוא סמל ריק1? אתה מוכן להחליף את "קיים" במילה "ורוד", לומר "ורוד משולש שצלעותיו2...", ולהכחיש כל קשר בין הורוד הזה לבין המושג "קיים" האינטואיטיבי והיומיומי שלנו? אני לא יודע אם יש לי טיעון מוחץ נגד זה, אבל זה נראה לי קצת... נזירי. 1 ∃ מלשון Empty symbol. 2 או שמא "ורוד אבן שמחטיה הן SSSכיסא, SSSSכיסא ו-SSSSSכיסא", רק כדי למנוע אי הבנות... |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ודאי שבתוך הקונטקסט שלו הוא לא טועה. גם כשהרמיוני אומרת לרון ש"כרגע ראיתי את הארי עומד בחדר הכישוף המשולש עם חדי הקרן", היא לא טועה. אבל המתימטיקאי כלל לא טוען מראש שהמשולש "קיים במציאות", שהוא איזה "יישות לא פיזיקלית" שמשפיעה על עולמנו, כמו שאריק טען. לא הבאת פה דוגמא למשולש שכזה (שמידותיו בדיוק 3:4:5) שתקשר עם משהו פיזיקלי. אתה יודע, יש גאומטריות שבהן אותו מתמטיקאי יצהיר שאותו משולש "לא קיים". (טוב, לא באמת, כי אפילו לא דרשת שהוא יהיה ישר זוית. במקרה הזה קיימים אינסוף משולשים מכל צירוף של שלושה מספרים שתבחר, כל עוד המספר הגדול קטן מסכום שני האחרים, אם אני לא טועה. לכל משולש כזה יש אפילו שטח מוגדר. אתה בטח יודע מה סכום השטחים של כולם. באיזה יקום ענק ואנטי אוקהמי לתפארת קיימים כל המשולשים האלה?) אז באיזה מובן הוא קיים או לא? כמו שאמרת, בתוך מערכת אקסיומטית מסוימת הוא קיים. אולי גם כאן תעזור האבחנה על פי השאלה הבאה: האם לדעתך חדי קרן קיימים? (וסעיף ב' - אם כן, האם הם קיימים באותה מידה כמו המשולש?) גם אני תוהה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ב. זה אתגר ממש קליל. כל מי שלמד גיאומטריה בבית ספר יסודי היתה לו אינטראקציה עם מעגל. כל מי שהכין עוגה והתלבט אם להכין אותה בתבנית עגולה או תבנית מרובעת, גם לו היתה אינטראקציה. זוהי אינטראקציה עם מושג מופשט, אבל זה לא מפחיד. גם פרה היא מושג מופשט, אין פרה מושלמת בעולם ובכל זאת ילדים תופסים את המושג הזה בגיל מאד מוקדם. בוודאי ובוודאי רעיונות כמו אלוהים או הארי פוטר: יש להם הר של מרצנדייז ומעריצים וההשפעה שלהם גדולה מאד. א. כשאתה אומר אוקהם, אני מניח שאתה מתכוון שאפשר להסביר את המציאות ללא האובייקטים מתחום הידע האנושי כמו "מעגל" או "אלוהים". אם כך הקריטריון שלך במצב נחות מאד לעומת מטריאליזם קיצוני שאומר שרק חוקי הטבע קיימים וכל יתר הדברים הם אשליה. הרי מטריאליזם קיצוני כזה צריך כמות קטנה להפליא של "דברים קיימים". מצד שני רצוי שהקרטריון שלך יאפשר לתאר את המציאות באופן פשוט ונוח. מבחינה זו הקריטריון שלך טוב יותר מאשר מטריאליזם קיצוני. למשל: "היום אכלתי חומוס והיה טעים." אני קיים, החומוס קיים, הטעים קיים והכול בסדר :-). אבל מבחינה הזו הקריטריון שלך בנחיתות בהשוואה לחלופות כי אתה מסרב להכיר בקיום של אובייקטים יומיומיים כמו מעגל. אשתמש בדוגמא של פופר (בקלות אפשר להמיר את הטיעון למעגל). "שמעתי ביצוע של הסימפוניה החמישית של בטהובן אתמול והוא היה מוצלח". אז אם אתה מקבל שהחמישית הוא דבר קיים, אז החיים שלך ממש קלים. ביצוע זה "עותק פיזי" של מושג מופשט מעולם 3. העותק הספציפי הזה היה מוצלח יותר מעותקים אחרים. וכשאני מספר לך על זה שנינו מדברים על אותו אובייקט: הסימפוניה החמישית. לעומת זאת, אם אתה דוחה את הקיום של החמישית אז אתמול שמעתי רצף של צלילים שאני מתאר אותו בתור "ביצוע מוצלח" של אשליה. שזה אומר שהוא היה יותר טוב מרצפי צלילים אחרים שקשורים לאותה (?) אשליה. וכשאני מספר לך על כך יש לך אשליה (אחרת?) בראש ובזכות פרוטוקול תקשורת האשליות שלנו מסונכרנות. לא תיאור נוח במיוחד. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זו היתה פרה בצורה של פרח זה היה מין פרח בדמות פרה אם גם אחיה עד שמונים בערך לא, לא אתפוס מה שלי קרה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא הכרתי את השיר הזה, עכשיו בזכותך אני יודע שהוא קיים ;-) תודה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ב. לא היתה לו אינטראקציה עם מעגל, היתה לו אינטראקציה עם טקסט בספר או עם טקסט מושר ומזומר על ידי מורה. רחוק מאד מאותה אינטראקציה עם אלקטרון, שולחן או קרן שמש, שלא זקוקות (משום מה? למה באמת הן לא והמעגל כן? זאת בדיוק הנקודה כאן) לתיווך הגס, המוגבל והמביך בעילגותו של מילים ושירבוטים על נייר. ובאמת, תבנית של עוגה? ברצינות? משהו או מישהו היה מוטרד אם היא היתה קצת אובלית ולא ממש מעגלית? ניוז פלאש - היא לא באמת מעגלית. למי אכפת? אגב, כאן אתה סוטה מהטיעון של אריק. אני כבר הסכמתי למעשה שאם מבחינתך כל רעיון מופשט, מחדי קרן דרך הארי פוטר, קשקוש למגירה של ילד בן חמש והמושג "צהוב" קיימים, אז באותה מידה גם המעגל. רק שלעשות "אידיאה" מכל רעיון שחלף לרגע במוחו של מישהו נשמע לי קצת מרדד את המושג וקצת עקר. אולי שאלה ממוקדת תעזור כאן: האם לדעתך חדי-קרן קיימים? א. פספסת לגמרי את האוקהם שלי, הוא דיבר רק על מספר העולמות שטרחת להמציא. אני לא טוען שהמושג מעגל איננו קיים. אני טוען שאין יישות נפרדת כזו באיזה "עולם" "לא פיזיקלי" מספר 3 או מספר שבע מאות. המושג קיים רק כחלק מפרוטוקול תקשורת מוסכם ביני ובינך. והפרוטוקול מתבצע על תשתית פיזיקלית למשעי. אז מה, עכשיו כל Class שמוגדר בתוכנת הסלולר שלך כשהיא שולחת הודעת טקסט לסלולר שלי הופך לו ליישות בעלת קיום באיזה עולם מופשט? מתי הוא הופך לכזאת ,כשאני כותב את הקוד, כשאני מקמפל אותו, או כשהוא רץ על ערוץ התקשורת בין שני הסלולרים הנ"ל? אתה מבין לאן אני חותר? אוקהם? חוץ מפרשנות העולמות המרובים של אברט זה הטיעון הכי אנטי אוקהמי שפגשתי מזה זמן רב. אז כן, הפרוטוקול הזה בינינו מכיר את הסימון "הסימפוניה החמישית". אני כלל לא מכחיש את הקיום שלו. ומבחינתו כנראה זה בערך אוסף הביצועים הפיזיקליים לחלוטין שכבר שמע כל אחד מאיתנו. אבל היא לא "קיימת" מעבר לפרוטוקול הזה. אין שום צורך במונח "אשליה" כאן. כשאתה אומר שהביצוע היה מוצלח, אתה מתייחס למשהו פיזיקלי לחלוטין - אתה ישבת באולם קונצרטים אמיתי ושמעת צלילים אמיתיים לגמרי, ומן הסתם "מוצלח" אומר שיחסית לחוויות פיזיקליות מעברך הוא היה מוצלח. במה זה שונה מסטייק סינטה שאכלת אתמול והיה מוצלח יותר מסטייק סינטה שאכלת שלשום? ואני מקווה שאתה מוכן להסכים שסטייק סינטה (מהסוג שנלעס בפה, לא מהסוג שנלעס במוח) הוא אובייקט פיזיקלי למהדרין. כתבתי הרבה, אבל לדעתי אם אתה רוצה לענות, אשמח שלא תדלג על מה שנראה לי אחד מעיקרי השאלה כאן היא: האם אתה טוען שחדי קרן קיימים? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
רק הערה על אברט ואוקהם, כי את הטענה שאברט הוא אנטי-אוקהם שמעתי ואני לא מסכים איתה. אברט לא מניח ריבוי יקומים. אברט מניח חוק טבע אחד פחות (קריסה) ומקבל כתוצאה ריבוי יקומים. לדעתי מבינת אוקהם הוא אזרח למופת. יש בפרשנות שלו בעיות אחרות קשות, כמובן. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
טוב, בוהם מניח את אותו חוק אחד פחות ומקבל תוצאה אחרת. אז הייתי מתקשה לומר שריבוי היקומים הוא תוצאה ישירה או הכרחית של ההנחה של אברט. היא יותר הצעה לפתרון הבעייתיות של ההנחה שלו. ובתור הצעה, אולי סיבוכיות החוקים קטנה באחד, אבל סיבוכיות המציאות עולה פי אינסוף. מה אתה מעדיף אוקהמית, את החוק y=x^2, או את ביטול חוק החזקה ובמקומו Lookup table עם זיליון ערכי x בכניסה וזיליון ערכי y ביציאה? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בוהם מניח משתנה חבוי במקום החוק. y=x^2 הוא לא חוק, ולא שקול לטבלת חיפוש (הראשון הוא סימון לפעולה מתמטית, השני נשמע כמו דרך לקבל תוצאה של הפעולה). אבל fair point שיש מקום לספור לא רק חוקים אלא גם דברים שתיאוריה גורסת שקיימים, כשמשווים אותה לתיאוריות אחרות שלא גורסות שהם קיימים. (רק להזכיר, הבעייה של התיאוריה של אברט בתחום הסברת התוצאות האמפיריות קשה יותר ויותר חד-משמעית מהבעיה האוקהמית.) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כתבת: "המושג קיים רק כחלק מפרוטוקול תקשורת מוסכם ביני ובינך". "הפרוטוקול מתבצע על תשתית פיזיקלית למשעי" אהה! זאת הבעיה. אפשר להגיד את זה על כל דבר פיזי אחר, למשל: אתה, המחשב שבו כתבת את ההודעה, האייל הקורא, פוטון וכיו"ב. אני חושב שדווקא הבנתי את אוקהם שלך היטב. אתה שאלת באופן רטורי האם כל class שמוגדר בתוכנת הסלולר שלך הופך לישות בעלת קיום באיזה עולם מופשט? וכוונתך- ברור שזזה מיותר. אבל הטיעון האוקהם הזה נכון גם להרבה דברים שאתה קורא להם "קיימים". הנה הוא לגבי בני אדם: האם כל אוסף אטומים לא גדול שמתקיים למשך זמן זערורי (באופן יחסי) על כוכב לכת שולי ולא מזיק ברובו - האם ראוי שנקרא לו "ישות בעלת קיום"? גם אתה לא "קיים" מעבר לאוסף האטומים הזמני הזה, אלא אם כן אתה מאמין בגלגול נשמות (ואני מאמין שאתה לא..). אפילו האטומים עצמם לא קיימים באמת, הרי אין להם אפילו מיקום מוגדר היטב. זה רק הסתברויות! אז אם אתה חובב אוקהם אתה צריך לגלח כל דבר חוץ ממספר קטן של כמה משוואות שדה, ואולי איזה פרופסור לקוואנטים שמסוגל לפתור אותן.. "האם אתה טוען שחדי קרן קיימים?" השאלה הזו לא מקדמת אותך כלל: ברור שהם לא קיימים בעולם הפיזיקלי, בוודאי שהם קיימים בעולם הבדיון. הנה נקודה שלי ממש בקיצור: אין ויכוח בין פילוסופים (או ביננו) על מה קורה בתכלס.. אנשים הולכים לקונצטרים, גלגלים מתגלגלים, חדי קרן קיימים רק בדימיון. אבל כאשר פילוסופים מנסים להדביק תוויות: זה "קיים באמת" וזה קיים "לא באמת" אז מתחילות בעיות.. הקריטריון שאומר מה "קיים באמת" הוא דיי שרירותי למען האמת. בגלל זה אני מציק לך על עניין ההצדקה לקריטריון שלך. בדיעבד נראה שגררתי אותך למסלול צידי ארוך ומפותל שהתחיל מהשאלה של אריק על הקשר בין אידאות לבין דברים פיזקליים. קראתי את הפתיל מחדש, ואין לי הצדקה ממש חזקה לנטפוק הזה.. סתם רציתי להעביר נקודה. יש לי כיוון חדש לחלוטין לאולי יענה לשאלה של אריק, גם הוא מתחום הפילוסופיה. אבל אני אכתוב זאת בתגובה נפרדת. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כמו שהבנת לקראת הסוף, הדיון התחיל מיישויות פיזיקליות מול לא פיזיקליות אצל אריק, והשפעתן ההדדית. זה ההקשר. בהקשר הזה, שולחן קיים בצורה אחרת לגמרי מחדי-קרן, ומשם המשכנו. לכן הגילוח אד אבסורדום שלך נראה לי קצת לא רלוונטי לכאן. ואם כבר ניטפוק, שום פרופסור לקוונטים לא יכול להסביר מערכות מורכבות, ובשביל זה יש מכניקה סטטיסטית, כימיה, ביולוגיה ופסיכולוגיה. התער של אוקהם רשאי לחתוך ככל האפשר, כל עוד הוא מספק הסבר למציאות ותופעותיה. מעבר לזה, הוא כבר חותך בבשר החי, ולא בשביל זה הוא כאן. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"שולחן קיים בצורה אחרת לגמרי מחדי-קרן" על זה כולם מסכימים. אמרת לאריק: (צטוט חופשי מאד) "מעגל "לא פיזקלי" קיים באותה מידה שהארי פוטר קיים - כלל וכלל לא". הבה לא נתווכח על המילה "קיים". אני רוצה להצביע על הבדל מעניין בין דברים מתחום המתמטיקה, לבין דברים כמו הארי פוטר או חד קרן. - התכונות של המעגל הן אובייקטיביות. נגזרות מההגדרה שלו. למשל אם 2 אנשים "ממציאים את המעגל" באופן עצמאי, הם יגלו בדיוק את אותו יחס בין הרדיוס להיקף. - התכונות של הארי פוטר הן לא אובייקטיביות.. אם 2 אנשים ימציאו באופן עצמאי סיפור על ילד בשם הארי פוטר שלומד באקדמיה לקוסמים.. אז יתר הפרטים יהיו כנראה שונים מאד. למעשה, ההבדל הזה יותר קיצוני ממה שכתבתי כאן. יש בגאומטריה מספר קטן מאד של אקסיומות1, וכל מי שיתבסס על אותן אקסימות יקבל פחות או יותר את אותם אובייקטים "מעניינים" ואת אותם משפטים. זה כאילו ששני אנשים שונים שמתחילים עם אותו אלף בית עברי בעל 22 אותיות, יכתבו כמעט בדיוק את אותם סיפורים. --- 1 וגם האקסיומות עצמן לא נבחרות באופן אקראי.. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
או, תודה רבה, אני כבר מחכה זמן רב שמישהו ינסח את ההבדל בין יצירה בדיונית כלשהיא לאובייקטים גאומטריים מוסכמים. זה לפחות יכול לתת מענה ראוי לעולם האנטי אוקהמי שבו כל הגיג מתגלם כיישות לא-פיזיקלית בפני עצמה. יש לי כמה דברים לומר בכיוון, אבל אני צריך לחשוב אם הם מעניינים או לא טריויאליים, ולשם כך אצטרך להתפנות בזמן מאוחר יותר. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
עכשיו פטרול של פילוסופים מתנפל עליך ומזכיר לך שאם 2 אנשים ימציאו באופן עצמאי סיפור על ילד בשם הארי פוטר שלומד באקדמיה לקוסמים אז זה לא אותו הארי פוטר, כלומר לא אותה דמות בדיונית. הקשר של לפחות אחד ה"הארי פוטר"ים האלה להארי פוטר שרולינג בדתה הוא כמו הקשר בין המעגל שלנו ל"מעגל", המילה שאותה בחרו הגאומטריקונים בכדור-ארץ-תאום עבור קו. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כמו שרלוק הולמס? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אבל לא מדובר על המילה "מעגל" אלא על הצורה הגאומטרית. אין לי מושג איך נראה עולם חלופי ואיך תתפתח המתמטיקה שלהם, אבל אם הם יתייחסו לצורות על מישור, מאוד סביר להניח שאחת הצורות הללו תהיה מעגל: הצורה הזו מופיעה בהרבה מאוד תופעות בכדור הארץ מסיבות ברורות (בשל היות העיגול הצורה עם השטח הגדול ביותר להיקף נתון וכדומה). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה גם עניין של השפעה סביבתית. אם אתה מדליק אש, החום והאור יתפשטו ברדיוס מסוים. דפוס ההתפשטות הזה הוא מעגל. אפקט ההתפשטות הזה נכון לא רק לאש, אלא לכל דבר שמתפשט מנקודה מסויימת סביב. בדיוק כמו אבן שנזרקת לתוך שלולית ומשפיעה על המים סביבותיה... בדפוס מעגל. צורת המעגל מתגלמת בדרכים רבות נוספות, כמו מערבולות מים ורוח, או עצמים שמעיקרם מופיעים בצורה עגולה, כמו עדשים. תהיה זו טעות לומר שהמעגל זה מושג מופשט. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כל הצורות שתארת דומות למעגל, אך אינן באמת מעגל. הגדרת המעגל היא מופשטת לגמרי כבר אלפיים וחמש מאות שנה. המעגל הוא רק מושג מופשט ואינו קיים במציאות. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מעגל ההתפשטות של אור הנר, איננו באמת מעגל? טווח הקשת שלי, איננו מעגל? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מעגל הוא דו ממדי. אבל בוא ניקח את דוגמת האור- על מקור האור להיות נקודתי (ואין דבר כזה) ואז אם נתאר את האור כגל, מכיוון שמהירות האור בריק אחידה, נוכל לומר שהתאור המתמטי של מקומה של חזית הגל בנקודת זמן מסוימת יתאר כדור. אבל בפועל מנות האור הן בדידות ולא נראה לי שפוטון בודד יכול להתפשט לכל הכיוונים באופן כדורי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה יכול לומר שדוגמת האור היא אחד הגורמים הפיזיים שגרמו לאנשים לרצות לסמן ולחשב מידות כדוריות. הרי הטענה שלי היתה כי המתמטיקה המופשטת לא החלה כרעיון מופשט אלא כדרך למדוד עצמים ומושגים פיזיים מאוד. אז, נניח שאת המעגל הגדירו והחלו לחשב כשאדם רצה לדעת את גבול השטח אליו הוא יכול ללכת ולשוב לביתו ביום אחד, את השטח שעליו ניתן לצפות עליו מראש עץ גבוה או מגדל שמירה, או את השטח הבטוח שהוא יכול לכסות בקשתו. כדי לקבוע שיטת מדידה עקבית ואמינה, צריך שתהיה מדויקת. לכן ההגדרות המתמטיות תובעות דיוק. אני יכול לומר שממערב למגדל השמירה יש גבעה החוסמת ומגבילה את שטח התצפית. אבל השיטה לא מתחשבת בכך. היא צריכה להתאים גם למקום שבו אין גבעה, או שהגבעה ממזרח. ולכן אתה מגיע לקריטריונים המופשטים יותר, שהם תולדה ותוצאה של העולם המוחשי, ולא ש''איכשהו'', במקריות מופלאה, מצאנו התאמה עמומה בין השנים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
חשבתי שקישרתי לך קודם לפיתגורס [ויקיפדיה]. דווקא כן רעיון מופשט. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
איפה הרעיון המופשט פה? אני קורא על חייו ומשנתו של פיתגורס שניסה למדוד כל תופעה פיזית באמצעות המתמטיקה. וזה בכלל בלי להזכיר שפיתגורס לא היה הראשון בעולם שחישב כמה זה שתיים ועוד שתיים, או שצייר מעגל או מפה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מתוך הערך: "הפיתגוראים לא ידעו להשתמש במילה "יחס", ולכן אמרו שהמספר עומד מאחורי התופעות, כלומר הוא הראשית. היחס המספרי הבלתי חומרי והבלתי נראה מתגלם בחומר הנראה. הדברים עצמם הם מספרים. העולם אחדותי כי הוא מספרי, שכן המספר יוצר את ההרמוניה (-חיבור) בין הניגודים הקיימים בפועל (המילטים סברו שהניגודים הם רק למראית עין). המספרים נמצאים בתוך הדברים כפי שהאל נמצא בתוך כהן בקכוס. מימזיס - חיקוי או זהות האחד עם האחר - הכהן עם האל, המספר עם התופעה." |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
יש כאן כמה נקודות חשובות שלדעתי אינן סותרות את הטענה שלי, אלא תומכות בה: 1. הקשר בין המתמטיקה לעולם האמיתי איננו אקראי, אלא מדובר ביחס ישיר. 2. המתמטיקה היא חוקיות שקיימת בעולם. המתמטיקאים לא ממציאים אותה, אלא מגלים אותה. המתמטיקה היא תשבץ ענק וסבוך. ההגדרות והפתרונות כבר כתובים ומסודרים. לנו נותר רק לפענח ולמצוא אותם. 3. אם לקחתי 3 תפוזים והוספתי להם 3 תפוחים, יש לי 6 פירות. לא יצרתי את המספרים האלה או את המשוואה הזו, אלא האפשרות הזו קיימת בתוך ההיצע שהמספרים נותנים לי, והמעשה שלי יצר התגלמות ובחירה של אחת מן האפשרויות האלה. 4. האדם לא היה מגלה את החוקיות הזו, בלי להתחיל לספור תפוחים או מרחקים. לפי זה, המעגל איננו המצאה של המתמטיקאים שאינה קיימת בעולם האמיתי, אלא דבר שקיים במציאות. הגרסה המתמטית היא כמו תרשים ותכנית הנדסית/אדריכלית לבניין. רק שזה מביא אותנו לעניין קצת יותר עמוק - עניין הראשית. אם המספר קודם לתופעה, יש משהו שמכוון את התופעה ומכריח אותך לנהוג על פי חוקיות המספר. סוג של "איסתכל באוריתא וברא עלמא". |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הטענה שלך מה היא? שהמעגל הוא כן או לא רעיון מופשט? אם הוא התרשים של המציאות הוא לא קיים במציאות, כשם שתכניות הבניין אינן חלק מהבנין עצמו. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הטענה שלי היא כי המעגל קיים בעולם המוחשי ולא אידאה שאינה קיימת ביקום הפיזי אלא בדמיוננו בלבד. את הדוגמאות למעגלים בעולם המוחשי כבר נתתי, ואם תאמר שאין שם את הדיוק המושלם בו משורטט המעגל המופשט, אין בכך מאומה. שהרי גם הבניין הבנוי במציאות איננו ישר ומדויק כמו התרשים, וגם חוויות האהבה והזוגיות במציאות אינן חדות, שמימיות או מושלמות כפי שמתארים אותן בדמיון - ואף על פי כן מדובר במציאות מוחשית. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מעגל הוא אוסף נקודות המקיימות תנאי מסויים. משולש הוא הקטעים שעוברים דרך שלוש נקודות שמקיימות תנאי מסוים. כל דבר שאינו עונה להגדרה של מעגל אינו מעגל. לכן כל הדוגמאות שהבאת אינן מעגל. אומר זאת שוב במלים אחרות- האופן היחיד שיש לנו לתאר ולהבין מעגל הוא האופן האידאלי. המעגל הוא רק מה שבתרשים, ולא מה שבבניין. מה שיש במציאות איננו ''מעגל לא מושלם'' כי אין כזה דבר ''מעגל לא מושלם''. יש רק מעגל. במציאות יש דברים שדומים למעגל ואנחנו מחילים עליהם בהצלחה לא מבוטלת חוקיות כאילו היו אכן מעגל, אבל זהו דמיון שהכח המדמה שלנו מבחין בו, או שמא מייצר אותו, ולא דמיון בטבעם של הדברים עצמם, שכן למעגל האידאלי אין לכאורה שום קשר למציאות. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה נותן את ההגדרה המתמטית, ואז משתמש בטיעון שתקף רק במתמטיקה כדי לטעון שזו ההגדרה היחידה. אפשר לתת הגדרות אחרות, ומחוץ לשדה המתמטיקה הדיוק המושלם ברוב המקרים איננו נחוץ ואף מקלקל. באותה מידה תוכל למצוא הרבה קווים ישרים, אותם תפסול בגלל שברזולוציה גבוהה הם לא מתאימים לקו הדק מחוט השערה, המוביל מנקודה א' לנקודה ב' - אף הן דקות מחוט השערה. וזה תקף לכל מושג מציאותי ומוחשי. ברגע שאתה מנסה להפוך אותו למושלם, יהפוך למופשט. בעולם שלנו בכל אליה יש לפחות קוץ אחד. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא מכיר הגדרה אחרת למעגל. אתה אומר שאפשר לתת הגדרות אחרות- נא שתף אותי באחת או שתיים. אני גם לא מכיר הגדרה אחרת לקו. אני לא מנסה להפוך מושג מוחשי למושלם. אני טוען שהמושג קיים ואינו מוחשי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
היקף - כל מקום שאליו אני יכול להושיט את היד שלי מבלי לזוז מהמקום, או כל מקום שאליו אני יכול להגיע בעשר דקות הליכה מהבית. קו - פס ישר. שתי ההגדרות האלה חייבות להגיע לדיוק מושלם ועילאי, רק אם אתה מכניס אותן להגדרה המתמטית של נקודה מצומצמת עד לאין מידה. ברגע שאתה נפטר מן המתמטיקה, אתה נפטר מן הצורך בדיוק מושלם. במקרים רבים, מספיקה מראית עין על מנת להתאים להגדרה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אין כל קשר בין ''כל מקום שאליו אני יכול להושיט את היד שלי מבלי לזוז מהמקום, או כל מקום שאליו אני יכול להגיע בעשר דקות הליכה מהבית'' לבין מעגל. ברגע שאני נפטר מן המתמטיקה אין צורך בכלל להגדיר מעגל. מראית עין של מעגל אינה מעגל. מעגל הוא רק הביטוי הרעיוני - מתמטי או גאומטרי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם כן, אסכם את חילוקי הדעות בינינו. אתה חושב שאם זה לא מדויק באופן מתמטי, זה לא מעגל. לכן אתה חייב את ההגדרה המתמטית, שמחייבת דיוק. ולכן זה לא יכול להיות קיים בעולם האמיתי, רק דומה. אני חושב שכל דבר שאנשים מכירים בו ומשתמשים בו קיים גם ללא ההגדרה המיטבית או המדויקת ביותר, ולאו דוקא בצורתו המושלמת. כדוגמה אני נותן את מושג האהבה, שיהיה נכון ומתאים גם אם האוהבים רבים וכועסים מדי פעם, ואז צצים להם כל מיני מאפייני התנהגות שלא מתאימים לאהבה דווקא. ואם נלך למקום יותר קרוב, כשאני מדבר על חפץ או מבנה רבוע, בהנחה שמכורח המציאות צלעותיו אינן ישרות בצורה מוחלטת על פי ההגדרה של קו. זה כבר לא רבוע אלא טרפז/מחומש/מתומן? זה רק מדמה ריבוע? לבוא בדרישות שכאלה, לא נקרא להיות מרובע? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה מתאר שני דברים מקבילים. היכן חילוקי הדעות? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כשאני חושב שמעגל יכול להיות מעגל גם אם הוא לא מדויק בצורה מתמטית עד לרזולוציה הגבוהה ביותר. כשאני חושב שהעולם הגשמי מציע לנו צורות ואפשרויות, רק שבעולם הגשמי קשה עד בלתי אפשרי להשיג דיוק מושלם. את הדיוק המושלם ניתן להשיג אצל המופשט. לכן אני לא חושב שמעגל נולד או קיים רק בצורה מופשטת, אלא שהמעגל המופשט הוא בבואה של המעגל הגשמי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מרובע הוא מי שמפריע לו שלא קוראים לו ריבוע? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מעגל, הגדרה 1: המקום הגיאומטרי של כל הנקודות המצויות במרחק שווה מנקודה נתונה. מעגל, הגדרה 2: קבוצת הפתרונות של המשוואה 2^x-a)^2+(y-b)^2=r) עבור a,b,r כלשהם (אפשר להגביל למספרים ממשים, אפשר גם לא). מעגל, הגדרה 3: שפה של כדור במרחב נורמי. מעגל, הגדרה 4: העקומה הסגורה היחידה שמביאה למקסימום את השטח שהיא תוחמת, בהנתן אורכה. מעגל, הגדרה 5: הגבול היחיד (נגיד במטריקת L^2) של סדרת פוליגונים משוכללים בעלי קוטר זהה, כאשר מספר הצלעות שואף לאינסוף. (...ויש עוד הרבה, כנראה עשרות, הגדרות לגיטימיות) קו ישר, הגדרה 1: קבוצת הפתרונות של המשוורה ax+b=y. קו ישר, הגדרה 2: תת-קבוצה קשירה של מרחב ליניארי מממד 1. קו ישר, הגדרה 3: עקום גיאודזי על יריעה דיפרנציאלית המציידת בקשר אפיני. קו ישר, הגדרה 4: אין הגדרה. קו ישר הוא מושג אטומי הקשור למושג "נקודה" על סמך סט האקסיומות החביב עליך. קו ישר, הגדרה 5: גרף פונקציה ממשית שנגזרתה קבועה בכל תחום הגדרתה. (...ויש עוד הרבה, כנראה עשרות, הגדרות לגיטימיות) ומנקודות מבט מסויימות, מעגלים וקוים ישרים הם בדיוק אותו הדבר (יצורים המכונים לפעמים "cline", ונוטים לצוץ כשיש איזו העתקת מוביוס בסביבה). בכלל, קשה למצוא דוגמאות למונחים מתמטיים שלהם רק הגדרה אחת וקאנונית. הסיבה לכך היא שמעגלים וקוים ישרים (וחוגים לא קומוטטיבים, ופונקציות רקורסיבית, ותכונות אוניברסליות, ואינטגרלים, וגרפים, וקטגוריות קטנות...) הם בסה"כ רעיונות, ומן הסתם אפשר (וכדאי!) למצוא שפע של פורמליזציות שונות שתופסות את אותו רעיון. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ניטפוק: ישר, או קו ישר אצלך בהגדרות, אינו מוגבל באורכו (לפחות במישור רגיל). לעומת זאת קו ישר רגיל בחיי היום יום יהיה מוגבל באורכו. המונח המתמטי המקביל לכך הוא "קטע". | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
(נשאר רק עם המעגל) מצוין! תודה רבה! כל ההגדרות שהבאת אינן בעולם הפיזי. הזהות בין הביטוי של הגדרה 1. (כל הנקודות המקיימות את התנאי) לבין הגדרה 2. (קבוצת הפתרונות של המשוואה) רק מחזקת את דברי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ודאי שההגדרות הן בעולם הפיזי, הנה הן כתובות שחור על גבי עיתון בשפה פיזית שכולנו מבינים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ההגדרות לעיל מקודדות בעולם הפיזי. אבל היכן הרעיון שכל ההגדרות השונות האלה מנסות לתפוס? אני חושב שבדיון כאן שזור בלבול יסודי בין המפה לבין הטריטוריה שהיא מתארת. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
דוקא לא בלבול בכלל, זה שורש הדיון כאן. אני טוען (או מנסה לטעון) שיש כאן מפה ללא טריטוריה1. בדיוק כמו המפה של הארץ התיכונה שמצוירת בתחילת ספרי שר הטבעות. אריק טוען שיש טריטוריה, והיא קיימת באיזה עולם כלשהו (שלדעתי הוא לא ממש הגדיר אותו - אולי לך יש מה לומר על "היכן" העולם הזה?), מחוץ לעולם ה"פיזי" המוכר לנו. 1 הכנס אמירה פלצנית "מה שבורדיאר מכנה 'סימולקרה' בספרו הידוע2" 2 – " – "שנמצא ליד מיטתי ואני בדיוק כרגע באמצעו3" 3 כרגע == בעשרת החודשים האחרונים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אבל נראה לי שלמפה של הארץ התיכונה יש טריטוריה, גם אם אבסטרקטית: היא מתארת אספקט מסויים מחזונו של טולקין בנוגע לעולם שהוא המציא. זה די דומה לאופן בו כל אחת מההגדרות השונות למעגל מתארת אספקט מסויים מרעיון מופשט כלשהו שנמצא במחשבתם של הרבה אנשים. בלי להתחייב (כי אני לא בטוח): אני חושב שמספרים, מעגלים וקווים-ישרים "קיימים" בדיוק כמו לאקטרונים, אנרגיה וכדור הארץ. כל המונחים הללו מתייחסים למודלים מנטליים שעוזרים לנו לארגן מחשבות. באשר ליחס בין המחשבות הללו לבין "העולם הפיזי" או "העולם הממשי" - אין סיכוי שאתפתה לפתוח את קן הצרעות הזה :) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם מבחינתך כל קיומו של כדור הארץ הוא רק מודל מנטלי שלנו, אז אכן הוא דומה לקיומו של הארי פוטר. זאת דוקא גישה שדומני שעוד לא הופיעה בדיון. נראה לי שלא רק אני אלא גם אריק לא ממצדדיה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
השמטתי: כל ההגדרות שע.ש. הביא אינן (מגדירות משהו שקיים) בעולם הפיזי. לא ההגדרה, אלא המוגדר. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא התכוונתי לסתור את דבריך, או בכלל לקחת צד בוויכוח. אני עדיין לא מבין מה בדיוק כל אחד מהצדדים טוען. בינתיים, אני סתם זורק הערות ביניים מהקהל. אגב, אין זהות בין הגדרה 1 לבין הגדרה 2 (או בין אף הגדרה לבין אף הגדרה אחרת). כל אחת מהן מדברת על עולמות שונים. ההגדרה הראשונה עוסקת בנקודות במישור, וההגדרה השניה עוסקת במספרים ממשיים. ואמנם אפשר למדל נקודות במישור באמצעות מספרים ממשיים, וגם אפשר (עם קצת מאמץ) למדל מספרים ממשיים באמצעות נקודות במישור - אבל בכל זאת, מדובר באובייקטים שונים לגמרי. כדי לחדד את ההבדל, אפשר להכליל: ההגדרה הראשונה נותרת משמעותית והגיונית גם כאשר מדובר על מרחב גיאומטרי כלשהו (לאו-דווקא מישור), וההגדרה השניה נותרת משמעותית והגיונית גם כאשר מדובר על אברי חוג כלשהו (לאו-דווקא ממספרים ממשיים). אבל עכשיו כבר אי אפשר ממש למדל אף אחד מהעולמות באמצעות השני, ושני המעגלים לא רק שאינם זהים - הם אפילו לא דומים. ועדיין, אני חושב שרוב המתמטיקאים יסכימו בלב שלם שבשני המיקרים מדובר במעגלים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
עדיין תודה גדולה. גם לא הכרתי את ההגדרות השונות. וגם עזרת לחדד את רמת ההפשטה של המושג ''מעגל''. כשאנחנו מדברים על קבוצת המספרים המקיימת א' ב' קל יותר להבין שאנחנו מדברים על רעיון מופשט לחלוטין. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני מסב את תשומת לבך (וגם של אריק), שאשר ההגדרה הראשונה שלך מוגדרת לאו-דוקא במישור, התכונה ה"אבסולוטית" לכאורה לפיה היקף המעגל חלקי קוטרו הוא 2*pi, מתפוגגת באויר כעשן. אז אריק, בעולם המושלם שלך, היחס בין מעגל לקוטרו קבוע או לא? ואם לא - האין זה מחליש את הטענה שלך שזוהי יישות מוחשית "אובייקטיבית" ומוגדרת היטב? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נכון. אני מוסיף: עבור חלק מהדברים שההגדרות הנ"ל מתארות, אין בכלל משמעות ל-קוטר" או ל-"היקף". | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני דיברתי כל הזמן על האידאה של מעגל אוקלידי, כזה שלא השתנה כלל ב 2500 השנים האחרונות. ההכרות שלי עם גאומטריה לא אוקלידית שטחית וחלקית ביותר, אבל קיבלתי בשמחה את ההרחבות, משום שהן מציגות דבר יפה - שיש במתמטיקה גישות שונות להביע את אותה אידאה. בעולם האוקלידי (הלא מוחשי לחלוטין, אבל המאוד אובייקטיבי) היחס בין הקף מעגל לקטרו קבוע. אני לא רואה בעייתיות בכך שבמערכת אחרת, לא אוקלידית, היחס אינו קבוע. מעגל אוקלידי ומעגל לא אוקלידי אינם אותו דבר משום שהמעגל האוקלידי מקיים תנאי נוסף (הנקודות נמצאות על מישור לא מעוקם). אז אפשר לטעון טענה מטריאליסטית שכל המערכות הלוגיות- האוקלידית וכל האחרות, אינן קיימות כלל בפני עצמן, אלא רק כביטוי של הלוגיקה שאנחנו מפעילים בתהליכי החשיבה הביוכימיים שלנו. שההסכמה שלנו להגדיר מעגל שאנחנו מתייחסים אליו בתקשורת בינינו לא גורמת לכך שיש באמת מעגל היכנשהו. אבל אז אתה חייב לטעון כך לגבי כל הלוגיקה כולה. משמע שגם הסיבתיות עצמה אינה קיימת בשום אופן, ואנחנו נשארים עם יקום הבלוק המשעמם והדטרמיניסטי לחלוטין. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לטענות על מעגלים(*) יש מעמד אמפירי מוצק לפחות כמו על טענות על מסלולים של כוכבי לכת. האם לדעתך תופעה כגון "זמן ההקפה של פלוטו הוא 248 שנים" הוא משהוא ש"קיים בפני עצמו", או "ביטוי של הלוגיקה שאנחנו מפעילים בתהליכי החשיבה הביוכימיים שלנו"? (*) טוב, אליפסות |
|
|
|
| חזרה לעמוד הראשי |  |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |