בתשובה לאורי ליבר, 07/11/05 22:51
 |
|
 |
||
|
||||
 |
א. הבדיקה של הוכחות "אמיתיות", שאנשים מסויימים יושבים וכותבים, ולאנשים אחרים יש את היכולת להבין אותן בקלות ולהנות מהאלגנטיות שלהן, הן ההוכחות שעליהן מדובר בפיסקה האחרונה של המאמר. אני מאמין שיש לדרך שבה כותבים הוכחות השפעות סוציולוגיות; אני מאמין גם שיש לה השלכות פסיכולוגיות; אך אם הדיון הוא ברמה הפילוסופית (וכך מעידה הכותרת של הפתיל) אז צריך לזכור שיש הגדרה פורמלית להוכחה, שאיננה תלויה כלל בבני-אדם. ב. מאחר שיש הגדרה פורמלית להוכחה, ובכלל הטענה "הוכחות הן תלויות-תרבות" היא טענה מרחיקת-לכת מדי, טקסטים טרחניים הם בפירוש "פחות מתמטיקה" ממאמר של מתמטיקאי מקצועי, באופן שאיננו תלוי-תרבות. גם אם כל העולם יגיד ש-zerobyzero זו מתמטיקה, זו לא תהיה מתמטיקה 1. ג. כן, השפה המתמטית מוגבלת. כן, במערכות אקסיומות אחרות שאלות לא-כריעות יהפכו לכריעות. אז? ואם אנחנו מרחיבים את מרחיבים את מערכת האקסיומות שלנו, האם נרצה לקבל את השערת הרצף או לדחות אותה? וכמו שאתה בוודאי יודע, לא חשוב כמה נרחיב את מערכת האקסיומות שלנו, עדיין יישארו טענות בלתי-כריעות. אם כך, כדי להיפתר מהטענות האלה, נצטרך דווקא *לצמצם* את מערכת האקסיומות שלנו, כך שהיא לא תוכל להוכיח סדרת טענות פשוטות על המספרים הטבעיים (אקסיומות פאנו). למה שנרצה לעשות את זה? ד. "שפה כמו זו הקיימת שאיננה מתחייבת לאמת אובייקטיבית אלא רק לקוהרנטיות פנימית." - אני שמח מאוד שאמרת את זה. למעשה, המשפט הזה הוא מה שהמאמר של אלון בא ללמד (הוא בעצמו התוודה על כך בתגובה 164429). זו גם אחת הנקודות העיקריות בויכוח של "עדר האיילים" עם דורון. טוב לדעת שיש בינינו נקודת הסכמה כל כך עקרונית וכל כך חשובה. לגופו של עניין: אני מעריך שלא קראת את כל הדיון לפני שהצטרפת אליו (ולראיה, אתה עדיין חי (-: ), אבל לאורך כל הדיון הוזכרו גיאומטריית לובצ'בסקי-בוליאי, גיאומטרית רימן, המספרים הסוריאליסטיים של קונווי, וכן המספרים האידאליים של קומר, המספרים ה-2-אדיים והמספרים המרוכבים. מתמטיקאים יוצרים מערכות אקסיומות חדשות (וסותרות) כל הזמן. אם אנחנו מסכימים שמערכת אקסיומות צריכה להיות עקבית, אבל לא בהכרח לייצג את המציאות, וכן מערכות האקסיומות העיקריות הקיימות הן עקביות עד כמה שידוע לנו (וכל עוד לא הוכח אחרת) - אז אין שום סיבה *להחליף* את מערכות האקסיומות. אפשר לפתח עוד מערכות במקביל, בלי לזרוק את הישנות לאשפה. 1 טוב, במצב כזה משמעות המושג "מתמטיקה" תשתנה. נניח לצורך העניין שיש למילה הזאת משמעות מוסכמת. |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
אני מצטער אך לא בדיוק הבנתי את המשפט "צריך לזכור שיש הגדרה פורמלית להוכחה, שאיננה תלויה כלל בבני-אדם".האם אתה רומז לכך שחוקי הלוגיקה כגון חוק הזהות או חוק הסתירה הינם חוקים אובייקטיביים? שלא תבין אותי שלא כהלכה אינני פוסל את האפשרות הזו. אולם יחד עם זה, הרעיון שדורון מציע (אם הבנתי בעצמי)הוא שחוקי הלוגיקה אינם "ישים" אובייקטיביים בעולמינו שהכרתינו יודעת רק לשקף אותם אלא שהכרותינו הן המקור לאותם החוקים. וכך יותר משצורת ההוכחה הפורמלית משקפת משהו על העולם היא משקפת את צורת ההכרה שלנו. המתמטיקה לצורך העניין מביאה לידי ביטוי את תודעתו של הסובייקט הנושא אותה (המתמטיקאי)ולא חושפת את אופיים האובייקטיבי של חוקי הלוגיקה. אם הבנתי נכון אתה פתוח לאפשרות שהמתמטיקה איננה אלא שפה. וכמו לכל שפה יש בה כללים שקובעים מה יחשב בה לאמיתי (או קוהרנטי אם תבחר) ומה לא.לשפה זו יש הנחות יסוד שאם תיוותר עליהם יתפרק המבנה כולו. נדמה לי כי הדבר שמציע דורון הוא לשנות את הנחות היסוד. נכון שאז לא תהיה המתמטיקה "המתמטיקה" כפי שאנו מכירים אותה אולם, אם היא בצורה עקבית תצליח להסביר יותר בעיות או תופעות אז לי אין שום בעיה אם זה. כוחה של תיאוריה מדעית איננו נמדד ב"אמת" שהיא מייצגת אלא בכמות התופעות שיש בכוחה להסביר. ההבדל בין המכניקה של ניוטון לתורת היחסות הוא הבדל של הנחת יסוד שמשנה את כל מבנה השפה. בשעה שניוטון האמין בקיומם של ישים אובייקטיבים כגון "כוח משיכה" שנמצא מעבר ובנפרד מעולם התופעות הציג אינשטיין מערכת מושגית שלמה המכחישה את הנחת היסוד הזו. ההבחנה בינהם היא בשפה. והתברר שהשפה של אינשטיין בעלת עוצמה גדולה יותר ביכולתה להסביר יותר תופעות מזו של ניוטון. העדפה של שפה אחת על פני שפה אחרת היא שרירותית ויש בה כדי ללמד על הסובייקט המעדיף יותר מאשר על העולם כשלעצמו. ועכשיו לשאלת מיליון הדולר: האם אופי התודעה שלנו (בהנחה שהוא מעצב את העולם) הוא היסטורי, כלומר, ניתן לשינוי או שמא מדובר באלמנט קבוע שהאדם הוכרח אליו? אם (וזו רק השערה פרועה) ההכרה ניתנת לשינוי מובן מאיליו שהדיסיצפלינות המדעיות יבטאו את אותו השינוי ויעניקו לעולם הסברים שונים (ויעלו תוך כדי כך גם בעיות חדשות). אז מה בעצם חוקר המדע? את העולם או את האדם? לי נדמה שדורון ירצה לומר שהמדע חוקר את האדם, הווה אומר, שלאדם אפשרות ממשית לכונן אותו אחרת. אם הצדק עמו או אם לאו זאת ניתן יהיה לקבוע אך ורק במבחן התוצאה שהיא היעילות שבשימוש בשפה חדשה. תשאל מה יהיה קריטריון היעילות? דורון יענה מה שיוחלט שיהיה קריטריון היעילות. אם הבחנת זוהי טענה מעגלית אך כידוע לך המדע מלא בטענות ממין אלו כגון "הזכוכית נישברה משום שהתמלאו כל התנאים לשבירתה" ואיך נדע שאכן כל התנאים התמלאו "היא הרי נישברה" יאללה די זה ארוך. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אורי יקר, אני מפר בזאת את שתיקתי לכבוד הצטרפותך המרגשת לדיון וגם לכבוד יום העיון שהתקיים היום באוניברסיטת חיפה לכבוד שמריה גוטמן חופר מצדה וגמלא שהיתה לי הזכות לעבוד איתו 12 בחפירות. לאור ההתעוררות ( סוף סוף) בדיון המתמטי / פילוסופי הזה , (כנראה הרבה בזכותך ) אני מרשה לעצמי להרהר בקול את המחשבה המעט מוזרה הבאה: ( אגב, לא פחות מדבר קיומה של מתמטיקה חדשה) האם יתכן כי הקרב על גמלא הסתיים אמנם בשנת 67 לספירה במפלתם של היהודים שם מול הרומאים אבל בעצם קיום הכנס היום על שמריה ועל גמלא שהמערכה הכוללת עדיין לא תמה ? שלך משה |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
משה, אנא המנע מהפיכת דיון זה ללוח מודעות, ועסוק נא בנושאים הקשורים לדיון. תודה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
דורון אם היוונים היו מפתחים את המתמטיקה כמוך אז אולי לא היתה מתרחשת המלחמה בגמלא |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אפשר לשאול מה הקשר? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הנה תשובתי לשאלתך : תודעה ערה לא מסוגלת מעצם הוויתה, לפגוע בתודעה אחרת. אבל גוף ונפש ללא תודעה מסוגלת להרוג גוף ונפש אחר. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
העלית הרבה נקודות מעניינות. אני אנסה שוב לענות על ראשון ראשון ועל אחרון אחרון: "האם אתה רומז לכך שחוקי הלוגיקה כגון חוק הזהות או חוק הסתירה הינם חוקים אובייקטיביים?" לא. אני אומר שיש הגדרה כללית ברורה למערכת אקסיומות, ויש הגדרה כללית ברורה למערכת אקסיומות אפקטיבית (ניתנת לחישוב). אם תבקש, אני אכתוב את ההגדרות. באמצעות ההגדרה הזאת אנחנו יכולים להגדיר כל מערכת אקסיומות שאנחנו רוצים: מערכות אקסיומות "הגיוניות", מערכות אקסיומות "אבסורדיות", מערכות אקסיומות שיש בהן מושג "סתירה" ומערכות שאין בהן, מערכות שאין בהן את מושג ה"שלילה" ואפילו מערכות לא עקביות. העניין הוא שמרגע שהגדרנו היטב את מערכת האקסיומות שלנו, מושגים כמו "פסוק", "הוכחה" ו"משפט" הם מושגים אובייקטיביים, שכן בדיקה של הוכחות יכולה להתנהל באופן מכאני לגמרי, בלי קשר לאדם (או למחשב) שמבצע אותה. ברמה המעשית, אנחנו לא כותבים הוכחות באופן שיהיה ניתן לבדוק אותן מכנית. לכן, ברמה המעשית "חלק אימננטי מתהליך אימות הוכחה מתמטית הינו תלוי תרבות". ברמה הפילוסופית זה לא נכון. אם היה לנו מספיק זמן וסבלנות, היינו יכולים לתרגם את כל ההוכחות שלנו לניסוח מדויק. לכן, תקפותה של הוכחה מתמטית היא לא עניין סובייקטיבי. "יותר משצורת ההוכחה הפורמלית משקפת משהו על העולם היא משקפת את צורת ההכרה שלנו" - טענה מעניינת. כשבוחנים את הדרך בה פועל מתמטיקאי טהור, בכוח המחשבה בלבד, המסקנה הזאת נראית ברורה מאליה. העובדה שלגילויים במתמטיקה טהורה מתגלות כל הזמן משמעויות "מציאותיות" (למשל, יישומים) היא מדהימה. עושה רושם שדרך החשיבה האנושית מתאימה לאופן פעולת היקום. בכל אופן, אני מסכים עם הטענה הזאת. כשאני עוסק במתמטיקה, אין לי רצון לחקור את "העולם", אלא את המבנים שעל-פיהם פועל ההגיון האנושי. אולי באמת ניתן לומר שאני מתעניין במתמטיקה כחלק מחקר התודעה. "המתמטיקה לצורך העניין מביאה לידי ביטוי את תודעתו של הסובייקט הנושא אותה (המתמטיקאי)ולא חושפת את אופיים האובייקטיבי של חוקי הלוגיקה" צריך להפריד בין שתי משמעויות של המשפט הזה: א. הכוונה ב"חוקר" היא לחוקר היחיד. כמו שאמרתי, מרגע שהסכמנו על מערכת האקסיומות, המסקנות שלנו אובייקטיביות. ב. הכוונה ב"חוקר" היא לכלל החוקרים, וב"תודעתו" להיגיון האנושי. כמו שאמרתי, אני אוהב מתמטיקה כי היא עוסקת בחקר המבנים של ההיגיון האנושי. השאלה שאותה אני שואל על אותם המבנים היא "עד איפה אפשר לקחת את אותו היגיון?". התשובה לשאלה הזאת היא *אובייקטיבית*. במילים אחרות, חקר הפיתוח האפשרי של מבני ההיגיון האנושי, והמסקנות האובייקטיביות מהאקסיומות, הם היינו הך. שאלה מעניינת אחרת, היא האם הטענה "מהאקסיומות של תורת הקבוצות נובע שעבור כל קבוצה קיימת קבוצה גדולה יותר" היא טענה על "העולם" או לא. אם כן, אז חקר ה"תודעה" וחקר ה"עולם" הם אותו דבר. לדעתי, יש בזה משהו. "אם הבנתי נכון אתה פתוח לאפשרות שהמתמטיקה איננה אלא שפה" לא רק פתוח, אני פחות-או-יותר מקבל את הטענה הזאת (למשל, בתורת המספרים אני לא מקבל את הטענה הזאת לחלוטין. לדעתי יש למספרים הטבעיים סוג כלשהו של קיום אובייקטיבי. באיזה מובן? האמת היא שאני לא יודע). "וכמו לכל שפה יש בה כללים שקובעים מה יחשב בה לאמיתי (או קוהרנטי אם תבחר) ומה לא" לא כל טענה שקוהרנטית עם מערכת האקסיומות היא נכונה במערכת. למשל, אם טענה לא ניתנת להכרעה במערכת כלשהי, זאת אומרת שגם היא וגם שלילתה קוהרנטיות עם המערכת. ברור שלא שתיהן נכונות. ניסוח נכון יותר של המשפט יהיה: "וכמו לכל שפה יש בה כללים שקובעים מה ניתן להוכחה". "נדמה לי כי הדבר שמציע דורון הוא לשנות את הנחות היסוד" באופן כללי - בשמחה. העניין הוא שדורון טוען שמערכת האקסיומות שלו אומרת משהו על המציאות. כדי שאני אקבל את הטענה הזאת, אני צריך להשתכנע בהנחות היסוד שלו. כרגע אני לא משוכנע בהן. חוץ מזה, אחד הדברים שמשגעים אחרים ואותי הוא הרצון של דורון *להחליף* את המתמטיקה הקיימת. המתמטיקה הקיימת מייצגת מבני היגיון שמעניינים אותי, ואין לי שום רצון לוותר עליהם. אין שום בעיה שמישהו (אולי גם אני) יעבוד במקביל על מערכת אקסיומות נאותה (כלומר, שמייצגת את המציאות). רק שייתן לי להמשיך לעסוק במתמטיקה הישנה והטובה. "אם היא בצורה עקבית תצליח להסביר יותר בעיות או תופעות אז לי אין שום בעיה אם זה" גם לי לא. להפך - זה יהיה מחקר למופת. הבעיה היחידה היא שאני לא מאמין שהמתמטיקה המונדית יכולה לעשות את זה. "העדפה של שפה אחת על פני שפה אחרת היא שרירותית ויש בה כדי ללמד על הסובייקט המעדיף יותר מאשר על העולם כשלעצמו" מההיסטוריה של המדע (חקר העולם), אנחנו יכולים ללמוד על תופעות פסיכולוגיות וסוציולוגיות. מכאן ועד דה-קונסטרוקציה של המדע והטענה שהמדע יותר סובייקטיבי מאובייקטיבי הדרך היא ארוכה. גם אם ההתפתחות של המדע מלמדת אותנו על האדם, זה לא אומר שהיא לא מלמדת אותנו מדע. "ועכשיו לשאלת מיליון הדולר..." אני מסכים עם נקודה שהעלית: השפה שלנו מתפתחת. כתוצאה מזה, המחשבה שלנו מתפתחת. ההיגיון שלנו מתפתח. האם זה אומר שהתודעה משתנה? לדעתי, בהחלט אפשר לנסח את זה ככה. "אז מה בעצם חוקר המדע? את העולם או את האדם?" המדע חוקר את העולם. ההתפתחות של המדע מלמדת אותנו גם על האדם. "אם הצדק עמו או אם לאו זאת ניתן יהיה לקבוע אך ורק במבחן התוצאה שהיא היעילות שבשימוש בשפה חדשה" נכון. אך בכל זאת, נראה לי שיש לנו כלים להעריך בצורה לא רעה בכלל איזו שפה היא יעילה ואיזו לא. אני בפירוש חושב שהסבירות לכך שהשפה של דורון תהיה יעילה היא נמוכה. "תשאל מה יהיה קריטריון היעילות?" דווקא הצעת קודם קריטריון מצוין ליעילות של שפה שעוסקת בחקר המציאות: האם היא בצורה עקבית תצליח להסביר או לנבא תופעות? טוב, כמו שאמר אדם חכם: "יאללה די זה ארוך". |
|
|
|
| חזרה לעמוד הראשי |  |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |