בתשובה להאייל הצעיר, 24/09/05 13:36
 |
|
 |
||
|
||||
 |
"אתה רק הראית שקיימת קבוצה N, שיש לה איבר מכל קבוצת חזקה-של-חזקה-של-חזקה שלה." הראיתי כיצד (ב) מאפשרת את מה ש-(א) אוסרת. בקיצור: …P(P(P(N))) --> …{{{N}}}…
|
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
*אם* ניתן להגיע לאינסוף P (קבוצת החזקה האומגה של N), *אז* ניתן להגיע לקינון אינסופי. ה"אם" הזה הוא "אם" גדול מאוד (ונדמה לי שדנו בו כבר פעם ב"אייל"). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"ה"אם" הזה הוא "אם" גדול מאוד " כל מה שנדרש הוא להבין שקינון אינסופי שקול ל- חד-חד ועל עם N, והראתי זאת בבירור בתגובה 331947 |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
קינון אינסופי כזה מכיל איבר יחיד (את עצמו). הוא לא שקול ל-N. כמו כן, לא קיימת פונקציה חד-חד ערכית מקבוצת החזקה האינסופית של N על N. קיימת רק פונקציה חד-חד ערכית (שאינה על) מ-N ל-קבוצת החזקה האינסופית של N. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"קינון אינסופי כזה מכיל איבר יחיד (את עצמו). הוא לא שקול ל-N." זה בערך כמו שתגיד לא ש ...0.999 לא שקול ל-0.9 + 0.09 + 0.009 + … |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא רואה את הקשר. בכל אופן: עוצמת N היא א_0. עוצמת {N} היא 1. עוצמת {{N}} היא 1. עוצמת {{{N}}} היא 1. עוצמת {{{{N}}}} היא 1. ... לא חשוב כמה פעמים תחזור על התהליך. עוצמת הקבוצה שתקבל היא 1. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"לא חשוב כמה פעמים תחזור על התהליך. עוצמת הקבוצה שתקבל היא 1." כפי שאמרתי, אני טוען לזהות בין 0.9 + 0.09 + 0.009 + … ל-...0.999 ולכן קיים חד-חד ועל, כפי שניתן לראות בתגובה 331947 כמו כן הגב נא לתגובה 332000 |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"אני טוען לזהות בין 0.9 + 0.09 + 0.009 + … ל-...0.999" - גם אני מסכים לזהות הזאת. היא לא קשורה בשום צורה לנושא שבו אנחנו עוסקים, אבל היא נכונה. "ולכן" - מה הקשר? "קיים חד-חד ועל" - אין לי מושג מה אומרת הטענה הזאת. לו היית אומר "קיימת *התאמה* חד-חד *ערכית* ועל *מקבוצה A לקבוצה B*" הייתי מבין אולי על מה אתה מדבר. כדאי שתבהיר *בין איזה קבוצות* יש לטענתך התאמה כזאת, ומה המשמעות של זה. "כפי שניתן לראות בתגובה 331947" - התגובה הזאת מראה רק שקיימת קבוצה N, שמכילה איבר אחד מכל "רמת חזקה" שלה. "כמו כן הגב נא לתגובה 332000" - הגבתי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
""אני טוען לזהות בין 0.9 + 0.09 + 0.009 + … ל-...0.999" - גם אני מסכים לזהות הזאת. היא לא קשורה בשום צורה לנושא שבו אנחנו עוסקים, אבל היא נכונה. ועוד איך היא קשורה, כי אם אתה מסכים לנ"ל, אז אתה חייב להסכים לשקילות בין ...{{{}}}... (המקביל ל-...0.999) לבין {},{{}},{{{}}},{{{{}}}}... (המקביל ל-0.9 + 0.09 + 0.009 + …) "קיים חד-חד ועל" - אין לי מושג מה אומרת הטענה הזאת. לו היית אומר "קיימת *התאמה* חד-חד *ערכית* ועל *מקבוצה A לקבוצה B*" הייתי מבין אולי על מה אתה מדבר. כדאי שתבהיר *בין איזה קבוצות* יש לטענתך התאמה כזאת, ומה המשמעות של זה". 1 <--> {} <--> 0.9
2 <--> {{}} <--> 0.09 3 <--> {{{}}} <--> 0.009 ... |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אין דמיון בין שני הדברים. בוא אני אנסה לתת לך דוגמה שאולי תבהיר את זה. ידוע ש 0.9+0.09+0.009...=0.999... אם כך, תסכים גם ש: 0.1*0.11*0.111*0.1111...=0.11111... האם אתה רואה איפה ההבדל? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני אסביר יותר במדויק איפה ההבדל. במקרה המספרי מתקיים: 0.9 = 0.9 a ולכן נהוג לסמן:0.99 = 0.9 + 0.09 0.999 = 0.9 + 0.09 + 0.009 0.9999 = 0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 ... a 0.9999... = 0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009... a עם זאת כאשר מדובר בקבוצות:{} != {{}} a כך שאין שום סיבה להסיק:{{}} != {{},{{}}} {{{}}} != {{},{{}},{{{}}}} {{{{}}}} != {{},{{}},{{{}}},{{{{}}}}} ...{{{}}}... = {{},{{}},{{{}}},{{{{}}}},{{{{{}}}}}...} a (נא להתעלם מסימני ה-"a", שכל מטרתם ליישר את הטקסט לשמאל)
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בדוק אם סימן יוניקוד U+202A (Left-to-Right Embedding) יכול לשמש אותך מבלי להיראות לעין. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בדקתי, והוא לא מיישר את השורה. תודה בכל מקרה. אגב, לא רחוק ממנו מצאתי בטבלת היוניקוד את הסימן הבא: ⌐ שמוגדר כ-"Reversed Not Sign". מישהו מכיר משמעות מקובלת שלו? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
סימן מאותו איזור שישמש כאות "אנגלית" בלתי־נראית הוא LRM: Left Right Mark. קידודו הוא U+200E. בתגובה הזו השתמשתי בבן־זוגו: RLM, שקידודו הוא U+200F. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כשמנסים להיכנס למאמר כדי לקרוא אותו, זה תוקע את המחשב משום מה, איך אפשר לקרוא את המאמר על כל תגובותיו? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם הבעיה היא במאמר הספציפי הזה, הבעיה היא כנראה שיש יותר מדי תגובות שצריכות להטען. אולי כדאי לפתוח את המאמר עם תגובות מכווצות, ולקרוא פתיל-ראשי אחר פתיל-ראשי. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
שגיאתך הינה פשוטה בתכלית, כי אינך יכול לתאר את: 0.9999... = 0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009... a או: ...{{{}}}... = {{},{{}},{{{}}},{{{{}}}},{{{{{}}}}}...} a כאוסף השוואות בין מקרים פרטיים סופיים, אלא אתה חייב להתייחס ישירות לאינסופיות שלהם, ואז ורק אז על בסיס האינסופיות, אתה יכול להסיק מסקנות רלוונטיות לגבי היחסים ביניהם.(נא להתעלם מסימני ה-"a", שכל מטרתם ליישר את הטקסט לשמאל) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אבל בוא נאמר שאנו מסכימים כי ניתן לתאר את הנ"ל כאוסף השוואות בין מקרים פרטיים, אך אז הקרדינל של אגף שמאל של הקבוצות נקבע לא לפי התוכן אלא לפי קיום האלמנט המקונן, ואילו הקרדינל של אגף ימין של המשוואה נקבע ע"י הפירוק לרמות הקינון, כאשר פירוק זה משמש כאיבריה של קבוצה ולכן: {} = {{}} = 1 a (נא להתעלם מסימני ה-"a", שכל מטרתם ליישר את הטקסט לשמאל)
{{}} = {{},{{}}} = 2 a {{{}}} = {{},{{}},{{{}}}} = 3 a {{{{}}}} = {{},{{}},{{{}}},{{{{}}}}} = 4 a ... |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
קודם כל, שים לב שהפכת את סימני ה-"!=" שלי ("לא-שווה") לסימני שיוויון, ובכך גם קיבלת משוואות שגויות כמו {} = {{}}. דבר שני, אתה לא יכול להגדיר קרדינל לצד הימני במשוואה וקרדינל לצד השמאלי במשוואה באופן שונה. לסיום, אנא שים לב שיש בינינו הסכמה על כך שקבוצת האגפים-הימניים וקבוצת האגפים-השמאליים בסדרת המשוואות הזאת שקולות. הטענה אותה העלית בתגובות אחרות היא שה"גבול" של סדרת האגפים השמאליים שקול לגבול של סדרת האגפים הימניים. זו לא אותה טענה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
יותר מכך, בוא נלך עוד צעד לקראת ונאמר שאנו עוסקים בהשוואה בין תוכן האלמנט המקונן (אגף שמאל של המשוואה) , ופירוק התוכן לאיברים מובחנים של קבוצה נתונה (אגף ימין של המשוואה): |{}| = |{}| = 0 a וכפי שאתה רואה, יש שיוויון בין קרדינל רמות הקינון, לקרדינל קבוצת מצבי הקינון השונים.|{{}}| = |{ {} }| = 1 a |{{{}}}| = |{ {},{{}} } = 2 a |{{{{}}}}| = { {},{{}},{{{}}} } = 3 a ... (נא להתעלם מסימני ה-"a", שכל מטרתם ליישר את הטקסט לשמאל) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
קודם כל, קרא את תגובה 332286. חוץ מזה, קיים פה "שיוויון" רק כי אתה מגדיר קרדינל באופן שונה עבור כל אגף של המשוואה. חוכמה גדולה. אני גם יכול לחשוב על הגדרה שתאחד את הפעולות שאתה מבצע על שני צידי המשוואה 1, אך היא לא קשורה בשום צורה למובן הסטנדרטי של "עוצמה". לכן כדאי לבחור עבורה שם אחר, לדוגמה: "רמת קינון". 1 רמת קינון: עבור הקבוצה הריקה רמת הקינון מוגדרת כ-0, עבור כל קבוצה אחרת, רמת הקינון מוגדרת כרמת הקינון המקסימלית של איבר הקבוצה, ועוד 1. אם אין מקסימום, אז כאינסוף. אם קיים בקבוצה איבר שרמת הקינון שלו אינסוף, גם רמת הקינון של הקבוצה תהיה אינסוף. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"חוץ מזה, קיים פה "שיוויון" רק כי אתה מגדיר קרדינל באופן שונה עבור כל אגף של המשוואה. חוכמה גדולה." אם כך אינך מבין כי רמות הקינון ופירוקן לאברי קבוצה מובחנים, חד-הם. לדוגמא: אם |{{{{}}}}| = |{{}}| = 1 לשיטתך, הריי שהתעלמת מרמות הקינון והתייחסת רק לכמות האלמנטים הלא-מקוננים הקיימים בקבוצה. אבל בכך אתה מונע כל אפשרות להדגים את ההשוואה בין קבוצת רמות קינון (שאינה קיימת ב- ZF בגלל אקסיומת היסוד) לקבוצה ב-ZF המתקיימת כאוסף של דרגות הכינון השונות. אם אתה נוקט בדרך זו, הרי שאינך עוסק בחקירת מושג האיסוף בקינון אינסופי ובאוסף מובחן אינסופי, ומרוקן את הדיון מתוכנו. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא מתעלם מההבדל בין {{{{}}}} ל-{{}}. הוא פשוט לא בא לידי ביטוי במושג העוצמה. למיטב ידיעתי, קבוצת רמות הקינון קיימת גם קיימת (ואף ניתנת לבנייה) ב-ZF. בכל אופן, אינני רואה כיצד היא מתנגשת עם אקסיומת היסוד. "אינך עוסק בחקירת מושג האיסוף בקינון אינסופי ובאוסף מובחן אינסופי" הגעת למסקנה הזאת כי אני לא מסכים לקרוא "עוצמה" למשהו שאינו עוצמה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"אני לא מתעלם מההבדל בין {{{{}}}} ל-{{}}. הוא פשוט לא בא לידי ביטוי במושג העוצמה." בוודאי שלא, אך משום מה אתה בחרת לעשות השוואה בין אלנמטים אינסופיים ע"י השוואת היחסים בין מצבים סופיים של אלמנטים אלה, אז תבוא בטענות לעצמך, כי אני טוען שאינך יכול להסיק דבר מדרך חקירה זו על אלמנטים אינסופיים כפי שכתבתי בתגובה 332269 "למיטב ידיעתי, קבוצת רמות הקינון קיימת גם קיימת (ואף ניתנת לבנייה) ב-ZF." ...{{{}}}... איננה קבוצת רמות-קינון אלא רמות-קינון אינסופיות אשר לא ניתן להגדירן (פשוטו כמשמעו משורש ג.ד.ר), והן נמנעות ע"י אקסיומת-היסוד. מטרתי היא להראות כי יש שקילות אי-אפשרות ההגדרה של ...{{{}}}... ואי-אפשרות ההגדרה של קבוצת רמות-הקינון, השקולה לקבוצת המספרים הטבעיים N. הינה דברי שוב כאשר הלכתי לקראתך והראתי שאפילו אם ננקוט בדרך החקירה שלך (שאיני מסכים איתה) ונחקור אלמנטים אינסופיים ע"י שימוש באלמנטים סופיים, עדיין נקבל שקילות בין רמת קינון סופית כלשהיא לבין קבוצת רמות-הקינון שלה, לדוגמא: אנו עוסקים בהשוואה בין תוכן האלמנט המקונן (אגף שמאל של המשוואה) , ופירוק התוכן לאיברים מובחנים של קבוצה נתונה (אגף ימין של המשוואה): |{}| = |{}| = 0 a וכפי שאתה רואה, יש שיוויון בין קרדינל רמות הקינון, לקרדינל קבוצת מצבי הקינון השונים (מה שאתה קורא לו קבוצת רמות-הקינון) .|{{}}| = |{ {} }| = 1 a |{{{}}}| = |{ {},{{}} } = 2 a |{{{{}}}}| = { {},{{}},{{{}}} } = 3 a ... טענתי הי פשוטה בתכלית והיא: רמות הקינון, ופירוקן לאברי קבוצה מובחנים (מה שאתה קורא לו קבוצת רמות-הקינון) , חד-הם. האחד "הולך לעומק" (רמות הקינון) והשני "הולך לאורך" (קבוצת רמות-הקינון). לכן: ...{{{}}}... = {{},{{}},{{{}}},{{{{}}}},{{{{{}}}}}...} a (נא להתעלם מסימני ה-"a", שכל מטרתם ליישר את הטקסט לשמאל)
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בהמשך לתגובה 332366 היות ו: ...{{{}}}... = {{},{{}},{{{}}},{{{{}}}},{{{{{}}}}}...} a ו:N = {{},{{}},{{{}}},{{{{}}}},{{{{{}}}}}...} a אז:...{{{}}}... = N וההסבר המפורט נמצא בתגובה 332188 (ואתה לא הסברת דבר בתגובה 332253)
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תודה עוזי, כיצד אסמן "שקול" מבלי לכתוב את המילה? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני מציע את הסימן "~". | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני ממליץ שלפני שאתה מתחיל לאמץ קיצורי דרך, תסביר באופן מדוייק מאד למה כוונתך ב"שקול". 1. האם הכוונה היא ששני דברים יכולים להיות שקולים זה לזה, או שאולי מדובר בתכונה שיכולה לחול על אובייקט בודד או על יותר משניים? 2. אילו זוגות של דברים יכולים להיות שקולים זה לזה? 3. מתי שני דברים הם שקולים? (לדוגמא: שני1 מספרים טבעיים2 הם 'שקולים מבחינת הגודל שלהם'3 אם הם שווים4 או שסכומם אפס5.) 1 זו תשובה לשאלה הראשונה 2 זו תשובה לשאלה השניה 3 כאן בא שמו של היחס שאני מגדיר; לפעמים רוצים לחשוב על יותר מיחס שקילות אחד, ולכן לקרוא לכולם "שקול" עשוי לבלבל 4 כאן אני משתמש ביחס שקילות מוקדם 'שוויון', מתוך הנחה שכולם יודעים מתי שני מספרים טבעיים שווים זה לזה 5 זה סוף התשובה לשאלה השלישית |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כוונתי ב- N ~ ...{{{}}}... היא שהקרדינל המדוייק שלהם לא-קיים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
שים לב שבבואך להסביר את המשמעות שבחרת לסימן ~, התעלמת מכל שלושת השלבים שהצעתי לעניינים כאלה. (אלא אם כוונתך היא ש*שתי* *קבוצות* הן שקולות אם ורק אם *לשתיהן אין קרדינל מדוייק*, ואז אני חושב שזה שימוש קצת מוזר במונח 'שקולות'. האם היית אומר ששני פירות הם "שקולים" אם ורק אם שניהם ירוקים, או שאולי במקרה כזה עדיף לקרוא לכל אחד מהם בנפרד "פרי ירוק"?) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תלוי לאיזה צורך, לא? לצורך הכנת "סלט חמשת הצבעים" פלפל ירוק ומלפפון באמת שקולים (ואני לא מתכוון לעובדה שהקופאית שקלה אותם). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לצורך הכנת סלט צבעוני, אתה יכול להגדיר "*שני* *ירקות* הם שקולים אם הם *בעלי אותו צבע*". אין שום טעם להגיד שהם שקולים אם הם בעלי אותו צבע, שהוא ירוק. זה לא יחסוך שום זמן בחיפוש המרכיבים לסלט (תן לי בבקשה משהו אדום; עכשיו משהו סגול, לא חשוב מה; וכתום, כן - זה די כתום בעיני; משהו לבן - יופי; ועכשיו תן לי איזשהו ירק ששקול למשהו אחר" ("שקול למשהו אחר" זו הדרך שלך לבקש צבע ירוק, ואתה עלול להיות בבעיה אם בכל החנות יש רק דבר ירוק אחד. אולי עדיף לבקש "ירק ששקול לעצמו", אלא שאז אתה עלול להכנס לדיון אימתני עם הירקן בסוגיות של יסודות המתמטיקה). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אנא עיין ב-http://www.createforum.com/phpbb/viewtopic.php?t=45&... כדי להבין כיצד אני מבין ומגדיר את המושג "אוסף אינסופי". תודה |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"I know that my approach cannot be grasped easily by persons which are familiar with the standard approach about the successor concept, but at the moment you get it you can see that it is finer than the standard understanding of the successor concept." אגב, אותי איבדת ב-"we need to define {} as the successor of itself". למה אנחנו צריכים להגדיר את הקבוצה הריקה כעוקב של עצמה? באקסיומות פאנו דווקא בוחרים להדגיש ש-0 הוא מספר שאינו עוקב של אף מספר אחר (ולכן בטח שלא צריך לדרוש שהוא יהיה העוקב של עצמו או משהו דומה).
"Don't worry about it. You will get it. It takes time to sink in" |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"באקסיומות פאנו דווקא בוחרים להדגיש ש-0 הוא מספר שאינו עוקב של אף מספר אחר (ולכן בטח שלא צריך לדרוש שהוא יהיה העוקב של עצמו או משהו דומה)." {} איננו 0 אלא |{}| = 0 , ולכן אין שום קשר בין אקסיומות פיאנו (אשר, דרך אגב, מבוססות על תבנית חשיבה סדרתית בלבד) לתובנות שלי ביחס לעוקב. אם אתה עוסק במושגים קבוצה ושייכות, הרי שהמינימום ההכרחי לקיום בפועל של קבוצה, היא לא פחות מאשר הקבוצה הריקה {}, ומושג השייכות הוא לא פחות מאשר {} המקונן ב-{} והמקיים את {{}} וכו'. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא יכולתם לדחות קצת את הדיון הזה? קצת אכזרי לנהל אותו בדיוק כשסביבי עולים ניחוחות של אוכל מדהים במיוחד, ואין לי מושג מנין הם ואני לא מוזמנת... | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בבקשה עוזי, הבמה לרשותך, הדגם נא לנו את המצב הפשוט ביותר האפשרי של מושג הקבוצה ומושג השייכות. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תגובה 332642 | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני מניח שאתה מתכוון לשקדי המרק. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ומה רע בהתרבותם של שקדי המרק? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא יודע לדרג מצבים לפי פשטות, ובוודאי שלא להוכיח שמצב מסויים הוא כל-כך פשוט עד שאי-אפשר להיות פשוט יותר. בכל אופן, הקבוצה הריקה (שאפשר לסמן כ- {}) נראית לי דוגמא מוצלחת לקבוצה (אם כי אני לא בטוח שאני מבין למה הכוונה ב"מושג הקבוצה"). הקבוצה הריקה שייכת לקבוצה {{}}, ומצד שני לה בעצמה אין איברים בכלל. (חשבתי שהמטרה היתה לפענח את סימן השוויון מלפני כמה תגובות). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בנושא זה, אני מבחין בין שתיי מערכות מושגים הופכיים: א)פשטות/מורכבות ב)פשטנות/מסובכות (א) היא היחס שכדאי לשאוף אליו והוא: פשטות מירבית המשמשת כמקור מכונן למורכבות מירבית, כאשר יחס הופכי זה הוא בר העצמה. יחס (ב) הוא הדבר שיש להמנע ממנו. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לדעתי, "פשטני" היא מילה נרדפת ל"רדוד" או "שטחי", כלומר ההפך של "עמוק". "מסובכות" (?) נשמעת לי כמו מילה נרדפת ל"מורכבות". |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מסובכות הינה תוצר של אוסף פתרונות פשטניים, אשר אינם מקושרים זה לזה באופן אלגנטי. מורכבות הינה תוצר של אוסף פתרונות פשוטים המקושרים ביניהם באופן אלגנטי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
יותר מכך, מורכבות הינה תוצר של אוסף פתרונות פשוטים, כאשר פתרון פשוט הוא המינימום ההכרחי לקיומו של פתרון. מינימום הכרחי נמדד עפ''י דרגת הסימטריה הפנימית המכוננת אותו, ולכן מערכת מורכת הינה ביטויי לשילובן של סימטריות שונות תוך שאיפה להגשמתה של סימטריה מכוננת המתקיימת בבסיסם. מערכות מסובכות אינן מכוננות סימטריה, ואינן שואפות לבטא פשטות אלגנטית הנובעת מקשרים סימטריים עמוקים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תודה על הדגמה מצוינת למושג ''מסובכות''. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תודה לעצמך. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
עוזי תאר נא את אי-ידיעתך תוך התייחסות ל: "אם אתה עוסק במושגים קבוצה ושייכות, הרי שהמינימום ההכרחי לקיום בפועל של קבוצה, הוא לא פחות מאשר הקבוצה הריקה {}, ושייכות היא לא פחות מאשר {} המקוננת ב-{} והמקיימת את {{}} וכו'." אנא הסבר לנו את קשייך עם הנ"ל. תודה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא בטוח שאני יודע לתאר את אי-ידיעתי. נדמה לי שזה קינון של אי ידיעה בתוך אי ידיעה, אבל מי יודע. אני מתרגם את הטענה במרכאות לטענה שאני מבין: "יש רק קבוצה אחת המוכלת בכל קבוצה אחרת, והיא הקבוצה הריקה. הקבוצה הלא-ריקה שסכום העוצמות של איבריה הוא הקטן ביותר, היא {{}}". אם יש לזה משמעויות פילוסופיות או אחרות, אני מפספס אותן לחלוטין. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תודה לך עוזי על תשובתך. האם לדעתך יכולה להתקיים קבוצה אלמנטרית יותר מאשר הקבוצה-הריקה? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הייתי יכול לענות לו הייתי יודע למה אתה מתכוון ב''אלמנטרי''. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אלמנטרי: ישות יסודית, שאי-קיומה מונע את קיומם של אלמנטים המורכבים ממנה (תרתי משמע). אם {} לא קיימת, אז {{}} לא קיימת. לעומת זאת אם {{}} לא קיימת , {} קיימת. לכן {} הינה קבוצה אלמנטרית ואילו {{}} הינ קבוצה מורכבת. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ואני חשבתי ש"כל מושג צריך להיות מובן עד תומו *טרם* השימוש בו"1, אז איך אתה מגדיר אלמנטרי על ידי השימוש באלמנטרי? 1 תגובה 329486 |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אלמנטרי: ישות יסודית, שאי-קיומה מונע את קיומם של אלמנטים המורכבים ממנה (תרתי משמע). עכשיו הסבר נא איפה אתה רואה שימוש במושג אלמנטרי כדי להגדיר אלמנטרי? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בוא ונחדד עוד יותר את ההסבר: אלמנטרי (הגדרה): ישות יסודית, שאי-קיומה מונע את קיומם של אלמנטים המורכבים ממנה (תרתי משמע). ועכשיו דוגמאות והסברים: דוגמא 1: אם {} לא קיימת, אז {{}} בהכרח לא קיימת. הסבר לדוגמא 1: אם {} אינה קיימת ב-{{}} אז {{}} אינו אלא {}, אך {} לא קיימת לכן {{}} אינה יכולה להתקיים ללא {} כאלמנט יסוד שלה. דוגמא 2: אם {{}} לא קיימת , לא נובע בהכרח ש-{} לא קיימת. הסבר לדוגמא 2: אם אנו מסירים את הסוגריים החיצוניים של {{}}, {} קיימת, ולכן קיום {} אינו תלוי בקיום {{}}. מסקנה: {} הינה קבוצה אלמנטרית ואילו {{}} הינה קבוצה מורכבת. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כלומר A יותר אלמנטרית מ- B אם ורק אם A מוכלת ב- B (אפשר גם להגדיר עם שייכות במקום הכלה), למה להמציא מושג חדש? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה קצת יותר מסובך. הצעה לדורון (הגדרה מסודרת ל"אלמנטרי"). ראשית, נאמר שקבוצה x היא "מרכיב" של קבוצה y, אם קיימת סדרה **סופית** של קבוצות y1,y2,...,yn, כך ש- y1 איבר של y, ו- y2 איבר של y1, ו- y3 איבר של y2 וכו', עד ל- yn שהוא איבר של (y(n-1 ו- x שהוא איבר של yn. למשל, כל איבר של קבוצה הוא "מרכיב" שלה, וגם כל האיברים של האיברים, וכן הלאה. (לתהליך הזה שבו היחס "מרכיב" נולד מתוך היחס "שייך" קוראים "סגור טרנזיטיבי" (בחולם)). כעת, דורון מגדיר "קבוצה אלמנטרית" בתור "קבוצה שהיא מרכיב בכל קבוצה לא ריקה" (כדאי להרהר לרגע מה זה אומר). בתגובה 333100 הוא שואל (בעצם) שתי שאלות: 1. האם הקבוצה הריקה היא אלמנטרית? 2. האם יש עוד קבוצות אלמנטריות? לשאלה השניה, כמובן שלא: המרכיב היחיד של {{}} הוא הקבוצה הריקה. לגבי השאלה הראשונה, נדמה לי שהתשובה שלילית, אבל בשלב הזה קצת מוקדם לעלות עם חד-אופן על חבל מתוח. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מה דעתך על ההגדרה הזו למרכיב: x הוא מרכיב של y אם הוא איבר של y או איבר של מרכיב של y. בפרט, האם ההגדרה הזו "חזקה יותר" (כלומר, מאפשרת סדרה לא סופית) ואם כן, האם זה רע/לא תואם את מה שדורון מדבר עליו? בקשר ל-1, תוכל להסביר את כיוון המחשבה שלך? אם בונים בצורה פורמלית את כל הקבוצות בעזרת הקבוצה הריקה, נראה לי שהיא כן תהיה מרכיב בכל קבוצה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
(הדגמה לזה שמתמטיקאים מתחמקים מעיסוק בהגדרות עקרוניות) זו לא הגדרה מוצלחת, כי היא רקורסיבית (אתה מגדיר "מרכיב" במונחי אותו מושג). בהקשרים מסויימים זה רעיון מצוין1, אבל בתור כלל אצבע, הייתי אומר שאפשר להשתמש בהגדרות כאלה רק כשברור שאפשר להסתדר גם בלעדיהן; מצד שני, אם *אפשר* להסתדר בלעדיהן, אז הגדרות רקורסיביות הן כלי מאד מוצלח ואלגנטי. בעצם אתה לא מגדיר את המושג "מרכיב" (רקורסיביות, כאמור), אלא נותן קריטריון, אילו יחסים נחשבים ל"יחסי מרכיבות": "יחס מרכיבות הוא יחס שבו x מתייחס ל- y אם ורק אם הוא איבר של y, או מתייחס לאיבר של y" (כאן אין שום רקורסיביות, כי היחס עומד "מחוץ" להגדרה). כעת אפשר להוכיח שחיתוך של אוסף יחסי מרכיבות גם הוא יחס מרכיבות, ואז אפשר להתבונן ביחס המרכיבות הקטן ביותר. הפלא ופלא - זה היחס "מרכיב" שאני הגדרתי... 1 למשל: הדוגמא הראשונה שהתגלתה לחבורה (נוצרת סופית) עם גידול2 שאיננו פולינומיאלי וגם איננו אקספוננציאלי, נראית בערך כך: זוהי החבורה שנוצרת על-ידי האיברים a,b,c,d, כאשר a=(1,b), b=(c,1), c=(d,d), d=(1,a). 2 חבורה היא הרי אוסף של מכפלות (תמיד סופיות) של ה"יוצרים" שלה, אלא שבדרך כלל יש כפילויות, למשל abab=baba. ב"גידול" הכוונה היא לשאלה כמה מהר גדלה הפונקציה (f(n שסופרת כמה איברים שונים יש מאורך n.
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא הבנתי את כלל האצבע. יש כל מיני סדרות שמוגדרות רק ע"י הגדרה רקורסיבית. למשל: A(n) = 3A(n-1) + 1 .... for A(n-1) odd וכאן לא ידועה נוסחא לא רקורסיבית לאיבר ה n . ונניח שיצליחו להוכיח שבסדרה הזו (או סדרה דומה) לא קיימת נוסחא לא רקורסיבית לאיבר ה n. למה זה בעיה?
A(n) = 1/2 * A(n-1) .... for A(n-1) even |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה מגדיר את (A(n לפי (A(n-1 - עם זה אין שום בעיה. (דיברתי על הגדרה של מושג או של אובייקט). (דוגמא להגדרה רקורסיבית: "A הוא המספר השלם הקטן ביותר שגדול מ- A/2+3"). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
גם בדוגמא שלך, לא הבנתי למה הרקורסיביות היא בעייתית (אני מבין שזה רק כלל אצבע, אבל בכל זאת). נדמה לי שאפשר לנסח את ההגדרה הרקורסיבית הזו בתור שני אי שיוויונים - ואני לא רואה שום דבר בעייתי במערכת אי שיוויונים, אפילו אם אותו משתנה מופיע בשני האגפים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מצויין. למה שווה A? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
7, לא? אני לא כל כך מצליח לראות את הבעיה שבהגדרה הרקורסיבית שלי שהתחילה את הכל, רק בגלל שיש לה הפניה עצמית. הרי איך "משתמשים" בה? לא אומרים על דברים "זה מרכיב כי בא לי", אלא מסתכלים על הדברים שאנחנו בטוחים במאה אחוזים שהם מרכיב: כל האיברים של y. אחרי שיש לנו את המרכיבים ה"בטוחים" הללו אנחנו בודקים אילו עוד מרכיבים אנחנו מכירים - ועכשיו אנחנו יכולים לקחת את כל האיברים של המרכיבים ה"בטוחים", וכן הלאה וכן הלאה. להבדיל אלף אלפי הבדלות, אם אני זוכר נכון גם ההגדרה של קונווי למספר היא רקורסיבית, וגם הוא מתחיל את הבניה מהמקרה היחיד שבו הוא יודע שמשהו הוא מספר על בטוח - על ידי שימוש בשתי קבוצות ריקות של מספרים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אולי 8? (זה באמת המספר השלם הקטן ביותר שגדול מ- 8/2+3). השיפוץ שאתה מציע עכשיו הוא בעצם להגדיר סדרה של יחסים (שייך, שייך לאיבר, שייך לאיבר של איבר, ...) ולהגדיר את "מרכיב" בתור האיחוד שלהם. זה בסדר, ו*לכן* במקרה הזה מותר להשתמש ב"הגדרה" שהצעת. היא באמת יותר אלגנטית (ושוב, אלגנטיות זה קריטריון מצוין, בתנאי שעומדים על קרקע יציבה). גם אצל קונווי, ההגדרה של משחק בתור זוג סדור של קבוצות של משחקים היא בחצי-קריצה. הוא לא היה משתמש בה אלמלא הפיגום של הסודרים שמאפשר להגדיר את כל המשחקים באינדוקציה טרנספיניטית, כאשר משחק מדור i+1 מוגדר בתור זוג סדור של קבוצות מדור קודם (עם הגדרה מתאימה לסודרים שאינם עוקבים). גם כאן, המושג "משחק" אינו בא לעולם עד שהגדרנו "משחק מדור 0", "משחק מדור 1", וכן הלאה. "משחק" *מוגדר* בתור "משחק מאיזשהו דור". |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
7/2+3 זה לא שש וחצי, שקטן משבע? שאר הדברים שלך מקובלים עלי, אבל איפה יש הגדרה שהיא רקורסיבית "ממש", בלי בסיס? הרי כבר בכיתה א' מלמדים אותנו שרקורסיה חייבת לבוא עם בסיס. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בדיוק: 7 הוא המספר השלם הקטן ביותר שגדול מ7/2+3. שים לב גם שאתה שאלת את עוזי (בהקשר של ההגדרה הרקורסיבית של קונוויי) על מספרים והוא ענה לך על משחקים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה בסדר, כי אצל קונווי ההגדרה של ''מספר'' היא מקרה פרטי של ''משחק'', שמוגדר כמו מספר רק עם פחות מגבלות. לך תבין. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זהו, שאין. ''הגדרה רקורסיבית'' זה אוקסימורון, אלא אם היא בת-תיקון, שאז זה קיצור ל''תאור אלגנטי שבא במקום ההגדרה (אותה אפשר להבין מתוך ההקשר)''. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
רקורסיה, אם לא נקבע אחרת, מתחילה מפשטות מירבית ופשטות מירבית מוסברת בקצרה בתגובה 333996 |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא הבנתי למה זה רלוונטי מהו A. אם הייתי מגדיר את A בתור A=A+1 לא היה שום A שעונה על המשוואה - ועדיין אני לא רואה כאן מה הבעיה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הבעיה היא שהכביכול-הגדרה הזו משאירה אותנו בחוסר ודאות לגבי A שאותו היא מבקשת להגדיר במדוייק. עוזי הביא את זה כדוגמא לבעייתיות בהגדרות רקורסיביות כמו זו היפה שגדי הציע. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אוקי, הבנתי. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בשפה לא-פורמלית ניתן לומר כי מרכיב שאינו מורכב הינו בהכרח אלמנטרי. האם יש ספק בקשר לאי-המורכבות של ריקנות מוחלטת (= אי-תכולת הקבוצה-הריקה)? לעניות דעתי התשובה היא לא, אך לקבוצה-הריקה קיימת קבוצה הופכית שאני מכנה אותה הקבוצה-המלאה, ותוכן הקבוצה-המלאה הינו רצף מוחלט אשר אינו מאפשר קיום של מרכיב זולתו, ולכן הקבוצה-המלאה הינה קבוצה אלמנטרית. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מה הקבוצה ההופכית של הקבוצה {1}? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
{אף 1} | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לאיבר באוסף יש מרכיב משלים ל-0 אך השלמה זו אינה מצב קיום הופכי אלא תמונת ראי, ולפי מודל תמונת הראי, המצב המשלים ל-0 של {1} הינו {1-}. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מערכת המספרים המרוכבים C (ש-R היא ציר X שלה) מאפסת עצמה ע"י "תמונות ראי" שלה. ב"רקע" C מתקיימת הקבוצה-המלאה כ-oo וב"רקע" 0 מתקיימת הקבוצה-הריקה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
המילים שאתה כותב מרכאות סביבן? אי אפשר להבין למה כוונתך בהן. תחליט - זו באמת תמונת ראי, או שזו "תמונת ראי"? אם כן, איך היא מוגדרת? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה מאוד חופשי עם ההגדרות שלך. אני לא מבין את ההגיון שמנחה אותך ב"משלים". רגע אחד זה משלים סטייל תורת הקבוצות, ורגע אח"כ משלים סטייל איבר נגדי בחוג. מה המשלים של {{}, {{}}, {{{{}}},{}}}? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
גדי, אסביר שוב, את עולם המתמטיקה-המונדית: יש שניי מצבי-יסוד בלתי מורכבים המשמשים כאי-שונות הקיומית של המתמטיקה-המונדית. מצבי-יסוד אלה הם: א) ריקנות מוחלטת. ב) מלאות מוחלטת. המתמטיקה-המונדית היא *לא פחות* מהגישור בין (א) לבין (ב), כאשר (א) ו-(ב) הם עצמאיים-הדדית (לכן השתמשתי במילה "גישור" ולא במילה "חבירה", אשר אינה מחייבת בהכרח עצמאיות-הדדית), או במילים אחרות, הם האקסיומות המכוננות את המתמטיקה-המונדית. תמונת-ראי מתקיימת רק ואך ורק בין האלמנטים שהם תוצרי הגישור בין (א) ל-(ב), לדוגמא: 1_0 (השקול ל-1 במתמטיקה רגילה) הוא תמונת ראי של 0_1 (השקול ל- 1- במתמטיקה רגילה). בקיצור, יש תלות קיום הררכית של תמונות-הראי, בעצמאיות-ההדדית של (א) ושל (ב). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"1. האם הקבוצה הריקה היא אלמנטרית? 2. האם יש עוד קבוצות אלמנטריות? לשאלה השניה, כמובן שלא: המרכיב היחיד של {{}} הוא הקבוצה הריקה. לגבי השאלה הראשונה, נדמה לי שהתשובה שלילית, אבל בשלב הזה קצת מוקדם לעלות עם חד-אופן על חבל מתוח." עוזי, מדוע אתה חושב שיש מרכיב לקבוצה-הריקה (או במילים אחרות, שהקבוצה-הריקה *איננה* אלמנטרית)? ומדוע אתה חושב שאין עוד קבוצות-אלמנטריות (מכיוון שהטלת ספק באלמנטריות של הקבוצה הריקה, אינני מבין על איזה מרכיב אתה מדבר)? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אחזור על ההגדרה (שלי): קבוצה "אלמנטרית" זו קבוצה שהיא מרכיב בכל קבוצה לא ריקה. להגדרת המושג "מרכיב", ראה ההודעה הקודמת1. ההגדרה אינה אומרת שקבוצה אלמנטרית היא קבוצה שאין לה מרכיבים (זו הגדרה די משעממת: יש רק קבוצה אחת ללא מרכיבים - הקבוצה הריקה). האם אתה משוכנע שהקבוצה הריקה היא אלמנטרית *לפי ההגדרה שלי*? זה ידרוש להוכיח שהיא מרכיב בכל קבוצה לא ריקה; הייתי שמח לראות הוכחה כזו. 1 אני יכול להבין מה מוצאים בזה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לפי ההגדרה שלך, *אין* שום קבוצה אלמנטרית, לא? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא יודע (יש רק מועמד אחד: הקבוצה הריקה). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"ההגדרה אינה אומרת שקבוצה אלמנטרית היא קבוצה שאין לה מרכיבים (זו הגדרה די משעממת: יש רק קבוצה אחת ללא מרכיבים - הקבוצה הריקה)." א) אתה טועה, גם הקבוצה המלאה {__} איננה קבוצה מורכבת, בדיוק כמו הקבוצה-הריקה {}. ב) קבוצות אלה הם ההיפוך המדוייק של שיעמום, לדוגמא: עפ"י תורת-הקבוצות האקסיומטית, קבוצה לא-ריקה אינה קיימת ללא קיומה של הקבוצה הריקה, לכן הקבוצה-הריקה היא אמת המידה המוחלטת לקביעת היחסים בין קבוצות לא-ריקות. אני תוהה מדוע התעלמת כליל מהיררכיית-קיום זו, כפי שאני מגדיר ומסביר בקצרה בתגובה 333287 המתמטיקה-המונדית הינה מרחב-הגישור בין הקבוצה-הריקה לקבוצה -המלאה, כפי שאני מסביר בקצרה בתגובה 333661 בקיצור עוזי, אינני מבין כלל מדוע אתה בוחר להתעם כליל מהיררכית-הקיום של תלות קבוצות לא-ריקות הקבוצה-הריקה? ומדוע אתה בוחר להתעלם כליל מקיום הקבוצה-המלאה וממרחב-הגישור הקיים בינה ובין הקבוצה-הריקה? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"עפ"י תורת-הקבוצות האקסיומטית, קבוצה לא-ריקה אינה קיימת ללא קיומה של הקבוצה הריקה" למה החלטת ככה? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"למה החלטת ככה?" בטל נא את אקסיומת הקיום ב-ZF , ותבין. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ביטלתי. עדיין נשארה אקסיומה לפיה יש קבוצה אינסופית. עדיין יש לי תורת קבוצות (חלשה יותר, וקצת פחות מעניינת, אבל קיימת). נניח שביטלנו גם אותה - קיבלנו מערכת שבה השאלה האם קיימת קבוצה *אינה כריעה*, ובפרט, אין הליך סופי שבמהלכו אנחנו בונים קבוצה ספציפית. זה עדיין לא מוכיח שהקבוצות *לא* קיימות. עכשיו ניקח את אותה מערכת, ונוסיף לה את אקסיומת הקיום של הקבוצה {.}. מה קיבלנו? עוד מערכת חלשה יותר 1 מ-ZF, שניתן *להוכיח* שיש בה קבוצות. אאל"ט, ניתן להוסיף למערכת אקסיומה לפיה לכל קבוצה יש איבר, ועדיין להישאר עם מערכת עקבית. מסקנה: אנחנו בהחלט יכולים לעסוק במערכת שבה הקבוצה הריקה לא קיימת, וקבוצות אחרות קיימות. אז למה אנחנו מתעקשים להתבסס רק על שתי אקסיומות קיום? כי זה נוח, ו-Because we can. 1 אאל"ט, בכל משפט בתורה שלנו נוכל להחליף את הנקודה בקבוצה הריקה, ולקבל משפט ב-ZF. לעומת זאת, ההיפך אינו נכון. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"ביטלתי. עדיין נשארה אקסיומה לפיה יש קבוצה אינסופית." אם ביטלת את קיומה של הקבוצה הריקה, אינך יכול להשתמש בקבוצה לא-ריקה, כי {.} אינו קיים ללא {} כאשר {} הינו מושג הקיבוץ בכבודו ובעצמו, הקיים לעצמו ללא כל תוכן, ומצב זה הו מצב-היסוד של עצם מושג הקבוצה. ללא מצב-יסוד זה, אין בידך תורת-קבוצות, פשוטו כמשמעו. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"{.} אינו קיים ללא {}" - זו הנחת המבוקש. אתה הצגת טענה זו, אני כתבתי תגובה בניסיון להראות לך שהיא שגויה, ואתה טענת שהטיעון שלי אינו נכון, *כי הטענה המקורית נכונה*. "{} הינו מושג הקיבוץ בכבודו ובעצמו, הקיים לעצמו ללא כל תוכן" - לא נכון. אתה אולי חושב ככה כי הסימן של הקבוצה הריקה הוא "רק סוגריים". בכך אתה מסתמך על שיטת הסימון, ומתעלם מהמהות. כפי ש*אתה* אמרת, המהות של הקבוצה הריקה לא תשתנה אם נסמן אותה כ-"{}", כ"הקבוצה הריקה", או כ-"Ø". הקבוצה הריקה היא מה שהיא, ותו לא. היא *לא* "הקיבוץ בכבודו ובעצמו". |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"{.} אינו קיים ללא {}" - זו הנחת המבוקש." לא זוהי היררכיית תלות-קיום פשוטה בתכלית. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
העובדה שהקיום של {.} תלויה בקיום של {} *היא בדיוק* הטענה המבוקשת שהנחת. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"העובדה שהקיום של {.} תלויה בקיום של {} *היא בדיוק* הטענה המבוקשת שהנחת." לא ביקשתי דבר, אלא טענתי ישירות ובגלוי כי לא ניתן לדון במושג ללא קיומו האלמנטרי המינימלי של אותו מושג. לדוגמא: זירת-משחק קיימת גם ללא משחק (לדוגמא: במה ריקה) אך משחק אינו קיים ללא זירת-משחק (לדוגמא: אי-קיום במה). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
טענת ישירות ובגלוי, אבל לא הצגת שום ראיה לכך שהקבוצה הריקה היא הקיום האלמנטרי של קבוצה. לדעתי, היה ניתן ליצור גם תורת קבוצות בלעדיה. | |
|
|
| חזרה לעמוד הראשי |  |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |