בתשובה לדורון שדמי, 08/09/05 0:52
פתיחת ספר היסודות של אוקלידס 328445
האייל הצעיר • בתשובה לדורון שדמי יום ה', 8/9/2005, 19:37
1) ולפני גדל, מתמטיקאים כן הסתמכו על לוגיקה בבחירת התחום אותו יחקרו?

2) בוא נעזוב לרגע בצד את העקביות, ונדבר על *הנחות עבודה* אחרות של מתמטיקאים ושל בני אדם בכלל:

- תזת הנאותות: מתמטיקאי שחוקר את תורת המספרים מקבל כהנחת עבודה את העובדה שהאקסיומות שאיתן הוא עובד אכן מתקיימות לגבי המספרים הטבעיים האמיתיים ‏1.
- תזת צ'רץ'-טיורינג: מתמטיקאי שחוקר בתחום החישוביות מניח שאין טעם לחקור מודלים חישוביים חזקים ממכונת טיורינג. על כן הוא מכלה את ימיו בהוכחה שפונקציה כזו וכזו לא ניתנת לחישוב, דווקא במכונת טיורינג.
- תזת הצורך לקום בבוקר: אני מניח שאם אני לא אקום בבוקר מהמיטה, צרכיי לא יסופקו כולם ע"י אלוהים. לכן אני מוותר על הרצון להשאר כל ימי במיטה.
- תזת המטריקס: אני מניח שאני אכן חי את חיי, ולא חי במטריקס ששולטת במה שאני רואה, וגורמת לי לחשוב שהבנתי הוכחות, שהיו למעשה רצף של סימנים אקראיים. הנחה זו מאפשרת לי לתפקד באופן נורמלי, ואף לעסוק במתמטיקה.

ככה זה. בני אדם מניחים הנחות עבודה כל הזמן. כך אנחנו מקבלים החלטות. גם ההחלטה על איזה תחום מתמטי נחקור כוללת הנחות עבודה שונות, לרבות "תזת המטריקס".

3) עושה רושם שאתה נותן למשפט אי השלמות השני של גדל יותר מדי משמעות. נדמה לך שלפני ימיו של גדל חשבו שניתן להוכיח (באופן משכנע) את עקביות PA ב-PA, ואחרי גדל לא. למעשה, המשפט השני הרבה פחות מעניין מהראשון. הוא כמעט קוריוז: אם ניתן להוכיח שהמערכת עקבית, נובע מכך שהיא לא עקבית. בהקשר הזה כדאי לך לקרוא בעצמך את דבריו של אלון שאתה כל הזמן מצטט:

"הנקודה החשובה היא שאם יש לנו סיבה להטיל ספק בעקביות (או בנאותות) של תורה מסויימת, הוכחה של עקביות זו בתוך אותה תורה לא תועיל בכלום – ממילא אנו מטילים ספק בתורה, אז מדוע שנאמין לה כשהיא מוכיחה שהיא עקבית? מצד שני, אם יש לנו סיבות טובות להאמין שתורה היא כן עקבית, חסרונה של הוכחת־עקביות־פנימית כזו לא צריך להפריע לנו כלל."

אגב, ניתן בהחלט להוכיח עקביות של מערכות אקסיומות במערכות אקסיומות אחרות. זה מה שעושים בשיטת הכפיה, כדי להוכיח אי-כריעות של טענות. הבעיה היחידה, היא שתמיד נצטרך להאמין במשהו. מצד שני, גם אם היינו בטוחים שהמתמטיקה עקבית לחלוטין, עדיין היו לנו הנחות עבודה אחרות בהן היינו צריכים להאמין.

4) תורה עקבית איננה בהכרח נאותה. נכון מאוד. אני אפילו יכול לתת לך הוכחה כמעט קונסטרוקטיבית: מתמטיקאים עוסקים בשלוש גיאומטריות: של אוקלידס, של לובצ'בסקי ושל רימן. לפחות שתיים מהן לא נאותות לגבי נקודות וישרים אמיתיים ‏2. אז?

5) על מה אתה מדבר כשאתה אומר "עיקביות איננה בהכרח עקבית במתמטיקה"? מה המשמעות של המשפט הזה?
אתה יכול להיות לא ברור כשאתה מדבר בשפה שלך. בשפה שלנו אנחנו כבר יודעים מה אפשר להגיד ומה לא.

‏1 אם יש, בכלל, מספרים טבעיים אמיתיים.
‏2 אם יש, בכלל, נקודות וישרים אמיתיים.
פתיחת ספר היסודות של אוקלידס 328739
דורון שדמי • בתשובה להאייל הצעיר שבת, 10/9/2005, 2:10
"על מה אתה מדבר כשאתה אומר "עיקביות איננה בהכרח עקבית במתמטיקה"? מה המשמעות של המשפט הזה?"

מאוד פשוט:

אין למתמטיקאים שום בעיות לרוקן מילים מתוכנן המקורי ולכפות אליהם מושגים בעלי משמעות הפוכה כגון:

רצף מתואר במושגים של אוסף אלמנטים מובחנים.

EACH ו-ALL יש להם אותה משמעות במושג כמת-אונברסלי.

עיקביות איננה בהכרח נאותה (ראה את תגובתי לברוך בתגובה 328402

לסדרה אינסופית יש גבול, וכו'.

אני טוען שזילות כזו בשפה פשוט לא תיתכן במערכת הטוענת להגדרות ריגורוזיות.
פתיחת ספר היסודות של אוקלידס 328742
האייל הצעיר • בתשובה לדורון שדמי שבת, 10/9/2005, 2:25
המתמטיקה בנויה מהגדרות ריגורוזיות *בגלל* שהיא לא מתבססת על העמימות שבשפה, דבר שאתה עושה כל הזמן. הסיבה שקוראים לחבורה "חבורה" ולא "שפריכצניק" היא כי מתמטיקאים, בסופו של דבר, הם בני אדם (כך אומרים). גם הם צריכים לנסח טענות ולתקשר בקלות. לכן הם בוחרים מילים שבקלות מתחברות להם אסוציאטיבית למושג הפורמלי.

אף מתמטיקאי שרואה ברחוב חבורה של אנשים לא מחפש את היחידה.
פתיחת ספר היסודות של אוקלידס 328748
אורי גוראל-גורביץ' • בתשובה להאייל הצעיר שבת, 10/9/2005, 2:36
אני רוצה למחות. אני חיפשתי את האחת והיחידה בכל חבורה שרק נתקלתי ובכל חוג שרק ראיתי (את האפס היה לי קל למצוא). אבל, האם אני ראוי להקרא מתמטיקאי?
פתיחת ספר היסודות של אוקלידס 328750
האייל הצעיר • בתשובה לאורי גוראל-גורביץ' שבת, 10/9/2005, 2:46
המחאה שלך מוצדקת. אני חוזר בי.
פתיחת ספר היסודות של אוקלידס 328814
האייל האלמוני • בתשובה להאייל הצעיר שבת, 10/9/2005, 12:58
"אף מתמטיקאי שרואה ברחוב חבורה של אנשים לא מחפש את היחידה."
מה, מתמטיקאים הם לא בני אדם?
פתיחת ספר היסודות של אוקלידס 328744
האייל הצעיר • בתשובה לדורון שדמי שבת, 10/9/2005, 2:32
תגובה 318070.

(בתקווה שגדי לא יצרח.)
חזרה לעמוד הראשי
מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים
האייל הקורא RSS מאמרים | כתבו למערכת | אודות האתר | טרם התעדכנת | ארכיון | חיפוש | עזרה | תנאי שימוש © כל הזכויות שמורות