 |
|
 |
||
|
||||
 |
מתוך המאמר: "אחד הגורמים המתסכלים במקרה של ג'יימס וטרחנים אחרים הוא שלל העדויות ההיסטוריות של מדענים מקצועיים וחובבים שהשיגו הישגים שהקדימו את זמנם ולא זכו להכרה בחייהם (גלואה, שהוזכר לעיל, הוא דוגמה מצויינת מהעולם המתמטי)." כמה (ואיזה) דוגמאות ברורות יש לנו לטרחנים-לכאורה שברבות השנים נתגלו כפורצי דרך? "מן המפורסמות" היא שיש רבים כאלה, אבל הדוגמא (המצוינת) של גלואה לא כל כך הרשימה אותי. מעיון בביוגרפיה שלו נראה כאילו היה קורבן לכמה צירופי מקרים אומללים שמנעו ממנו להתקבל לביה"ס הפוליטכני אבל לא ראיתי עדויות ברורות ליחס מבטל/מזלזל מצד גדולי המתמטיקאים של התקופה. מתוך ויקיפדיה: His memoir on equation theory would be submitted several times but was never published in his lifetime, due to various events. Initially he sent it to Cauchy, who told him his work overlapped with recent work of Abel. Galois revised his memoir and sent it to Fourier in early 1830, upon the advice of Cauchy, to be considered for the Grand Prix of the Academy. Unfortunately, Fourier died soon after, and the memoir was lost. The prize would be awarded that year to Abel posthumously and also to Jacobi. כלומר הוא התכתב עם מתמטיקאים ידועים, הגיש מועמדות לפרס מכובד ופרסם מאמרים. כנראה שלא הצליח לנסח את רעיונותיו בצורה בהירה מספיק, אבל, לדעתי, לו לא היה נהרג בגיל 20, סביר שהיה זוכה להכרה לה היה ראוי כעבור כמה שנים.Despite the lost memoir, Galois published three papers that year, which laid the foundations for Galois Theory. In January 1831, Galois returned to mathematics after a brief hiatus. Simeon Poisson asked him to submit his work on solutions of equations. Later that year, Galois would receive a letter of rejection from Poisson while in prison for his revolutionary activities. Poisson stated (to others): His argument is neither sufficiently clear nor sufficiently developed to allow us to judge its rigor. בקיצור, איזה עוד דוגמאות יש? |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
זהירות. "הוא התכתב עם מתמטיקאים ידועים" זה לא כזה הישג, כפי שבוודאי שמת לב. כנ"ל "הגיש מועמדות לפרס מכובד", וגם "פרסם מאמרים" לא היה אז מה שזה היום. די ברור שרעיונותיו המבריקים היו מגובשים למדי לפני מותו, ודי ברור שהיה לו קשה להשיג אוזן קשבת - אבל זה בערך כל מה שברור, אני מסכים. אגב,זה לא בדיוק "טרחנים-לכאורה שברבות השנים נתגלו כפורצי דרך". אני באמת לא מכיר מצב שבו מישהו פרסם טקסטים בעלי אופי ממש קראנקי (עם המאפיינים שציינתי) ובסוף נתגלה כגאון; אני רק מתכוון למקרים (אותם אוהבים להזכיר הטרחנים הכפייתיים) של אנשים שלא זכו להכרה ראויה בחייהם. כל זה היה התחמקות מהשאלה שלך, ואני לא בטוח שיש לי דוגמאות טובות אחרות במתמטיקה. זה גם די סביר: כזכור, אני מאמין שאולי יותר מבכל תחום אחר, קל במתמטיקה להפריד מוץ מתבן. היו שני מתמטיקאים בריטיים בכירים שלא השיבו למכתבו של רמנוג'ן, אבל כשהארדי וליטלווד עיינו בתוכנו ברצינות, תוך כמה שעות הם ידעו. קנטור לא ממש רווה נחת בחייו, כידוע, אבל ללא שום ספק היו מתמטיקאים בכירים מאוד שהכירו עוד בחייו בחשיבות העצומה של עבודתו (דדקינד, למשל). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
קנטור לא היה ידוע כשראסל שלח לו את הפרדוקס שלו? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נראה לי שאתה מתבלבל עם פרגה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא עד כמה שידוע לי. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
עד כמה שידוע לי, ראסל שלח את הפרדוקס המפורסם שלו במכתב לפרגה. לא ידוע לי על מכתב ששלח לקנטור שבתקופה הרלוונטית כבר לא היה בקו השפיות. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אולי יש יותר מוורסיה אחת... לפי מה ש*אני* שמעתי, ראסל שלח אותו *בגלויה* לקנטור, כשהיה (ראסל) בן 15... | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה כבר (כנראה) לא נכון - ראסל גילה את הפרדוקס ב-1901 כשהיה בן 29. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נו, טוב - המרצה שלי לתורת הקבוצות היה אחלה, אבל ייתכן שהסטוריה של המתמטיקה לא הייתה הצד החזק שלו... | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא אמרתי שהוא לא היה ידוע, אמרתי שהוא לא רווה נחת. הוא לא הצליח מעודו להיחלץ מהאוניברסיטה הדי-שולית בה היתה לו משרה (ינה), וקרונקר תקף בחריפות את תורתו. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
קרונקר [ "את המספרים הטבעיים ברא אלוהים וכל השאר הוא פרי רוחו של האדם" ] סבר בשפה שלך/שלכם שקנטור הוא "טרחן כפייתי במתמטיקה" לכן כדאי לך להציץ על הדמיון בין כתב המושגים של פרגה בחזון שלו לאריתמיזציה של הלוגיקה ,( ששוטח אחד כך רק ללוגיקה מסדר ראשון ), לצורות של המספרים האורגנים בשירטוטים.. של המספר האורגני | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
קנטור גילה פרדוקסים עמוקים בתורת הקבוצות שהוא פיתח ושלח על כך מכתב להילברט בסמוך לכינוס ב 1900 { בסמוך לרפיון הנפש אשר לקה בו ] | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני שמחה לשמוע על כינוס מתמטי אחד שלא נכחת בו. או שאני טועה? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בתאריך 29.3.2000 התקיים ביוזמה שלי בצפון הארץ בזיקה לכינוס שהיה בפריס, כינוס "מאה מהילברט" בהשתתפות למעלה מ 200 משתתפים. כמו כן יצאה לאור ביוזמתי החוברת "מאה מהילברט" והופצה בארץ ב 800 עותקים, כולל למעלה מ 50 מתמטיקאים ידועים. משה |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נעתקו מלים ממקלדתי. חוששתני שאיאלץ לפרוש | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
את יכולה להשאר במקומך. האם שמעת במקרה על הספר "מכתבי אהבה למתמטיקה" אשר יצא לאור בעברית בחודש מאי 2002 |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בדיוק עכשיו כתב לי עליו מישהו בשם משה קליין. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כן ראיתי, הוא כתב לך עליו ומה דעתך על השם "מכתבי אהבה למתמטיקה"? אולי במקרה עיינת בו או אפילו קראת אותו |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אחלה שם. לא עיינתי ולא קראתי. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם השם מצא חן בענייך, הנה הפניה אליו במקום: |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
>"הוא התכתב עם מתמטיקאים ידועים" זה לא כזה הישג, כפי שבוודאי שמת לב. אני מניח שאתה מתכוון לכל השמות שמשה קליין אוהב לנפנף בהם כשוקד על הבשר בערב חג העצמאות ולא, נניח, אלינו. בכל אופן, אני לא הייתי מפנה את ג'יימס האריס לשלח על מנת שישקול את מועמדותו לפרס וולף. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1) אתה מכיר את דעתו של שלח על שיטת הכפיה של כהן לפתרון של הבעיה הראשונה של הילברט ? 2) מה לדעתך, חושב שלח, על העבודות של שדמי ? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1) לא. סביר להניח שדעתו היא שזהו כלי מצוין לקבלת תוצאות אי-תלות. 2) שתי אפשרויות: א) הוא לא שמע מעולם על עבודותיו של שדמי. ב) הוא שמע עליהן וחושב שהן לא-מענינות/לא-בהירות/לא-נכונות. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1) אם כבר הזכרת את שלח בהקשר שלי, אני מאד ממליץ לך להתעניין בעבודות שלו החל משנת 1990 לגבי פיתרון שונה משל פול כהן לגבי השערת הרצף של קנטור [ אני יכול לשלוח לך הפניות אם תביע רצון ] 2) אני מניח שקיימת אפשרות נוספת ביחס לשדמי, אותה לא כתבת. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אנא תן הפניות לשלח. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
שלח לי אימייל | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם אני לא טועה (וזו אפשרות, כי קשה לי לטעון שאי פעם הבנתי את מה שהוא עושה מעבר לנפנוף ידיים) שלח מדבר על RGCH, גרסא שונה של השערת הרצף שאני אופתע מאוד אם דורון מסוגל אפילו להבין אותה. בוודאי ששלח מקבל את תוצאות האי-תלות, ובפרט את כפיית כוהן. הרמיזה כאילו יש איזשהוא קשר ולו הקלוש ביותר בין תורת ה PCF של שלח לבין "עבודתו" של אדם אשר לא מבין אפילו מה זו קבוצה ופוסל בהבל פה את קיומם של מונים היא מגוכחת במקרה הטוב. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תוכל להכניס כאן כמה מילים על RGCH? אני אופתע מאוד אם אהיה מסוגל להבין אותה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בגדול, שלח מסביר שפעולת ההעלאה בחזקה היא "גסה" מדי וניתן להכריע לגביה מעט מדי. הוא מגדיר העלאה בחזקה שונה ומגיע לגביה לתוצאות (ולמעשה זה מה ש GCH דורש - להכריע לגבי תוצאה של העלאה בחזקה). ההגדרה הפורמלית היא טכנית ואתה מוזמן לקרוא את 1 אם זה מעניין אותך. הניחוש שלי הוא שכל מי שלא מתעסק בתחום ייאלץ להקדיש שעות רבות בכדי לצלוח אפילו את ההוכחה הראשונה. 1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תודה גיל על ההפניה למאמר ! שלח אכן סבור כי קנטור לא היה שבע רצון כלל אם הוא היה רואה את הפתרון של פול כהן של השערת הרצף ב 1960. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
גיל האם שלח פתר את הבעיה הראשונה של הילברט? משה |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
את הבעיה המקורית פתרו באמצעות הוכחת אי-תלות. שלח מגדיר את הבעיה אחרת והגיע לתוצאות שקטונתי מלשפוט, אבל חכמים ממני מספרים שהן מהפכניות. יש גם גישות אחרות ששמעתי עליהן, כמו למשל הכנסת אקסיומות של קרדינלים גדולים. בין זה לבין ה"רצף" שדורון מקשקש עליו אין ולו חלקיק של קשר, וכל ה name-dropping שבעולם לא ישנה את זה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ומגוחכת במקרה הרע. :-) | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1) תודה על ההמלצה. חיפשתי קצת ומצאתי הגדרה של RGCH (בהנחה שלזאת כיוונת). בעצם שלח הוכיח משהו אחר, חלש יותר וקשור ל-GCH. הוא לא חושב שזה פיתרון לבעיה של הילברט. 2) איזו אפשרות? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אורי , נדמה לי שלא מנית את האפשרות ששלח מכיר את העבודות של שדמי אבל טרם גיבש לגביהן דיעה סופית |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אולי הוא העריך שזה שלב ביניים קצר כל כך עד שהוא זניח. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה נכלל תחת ''לא-בהירות'', אלא אם דורון פנה אליו בדקות האחרונות. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אכן, אם גלואה לא היה נהרג בגיל צעיר והיה יכול לעסוק במתמטיקה במקום בפוליטיקה, הוא היה זוכה להערכה | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
טרחנים לכאורה מפורסמים טרחנים, לכאורה מפורסמים טרחנים לכאורה, מפורסמים טרחנים, לכאורה, מפורסמים ובהכללה גנרית: לכאורה טרחנים מפורסמים לכאורה, טרחנים מפורסמים וכו' העיקר להשתמש בגלואה למשהו.. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
טרחנים, בהכללה גנרית, טרחנים, העיקר להשתמש, גלואה גנרית בהכללה, להשתמש גנדית בהכללה, טרחנים למשהו גנרית, וכו' |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני חושב שראמנוג'ן ניצל בנס בהתואר ''טרחן''. אם הארדי היה קצת יותר עסוק או קצת יותר חסר סבלנות, הוא היה זורק את המכתב של ראמנוג'ן לפח. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
יפה כתבת ראובן, הארדי הרי זרק בהתחלה את המכתב של רמנוגן, לפח, אבל רק לאחר שיח ! בארוחת ערב (?) עם עמיתו ליטלווד, הוא רץ לחדרו, בתקווה שהמנקה לא ניקתה לו את החדר וזרקה את המכתב לפח. רמנוגן אגב, התעניין במיוחד במספר 24 שזהו הריבוי הקוונטי( אורגני) למספר 5 כפי שאפשר לראות מהשירטוטים של המעגלים האלקטרונים.. בתורה המונאדית. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
יש סימוכין לסיפור? לא הצלחתי למצוא אותו בביוגרפיות של ראמאנויאן. מה שכן מצאתי הוא זה: http://www.4to40.com/legends/index.asp?article=legen...
""Sir," the boy asked, "if no bananas is distributed among no one, will everyone still get one banana?" There was roar of laughter in the class. What a silly question to ask! "Quite," the teacher said loudly and thumped the desk. "There is nothing to laugh at. I will just explain what he means to say. For the division of bananas, we divided three by three, saying that each boy will get one banana. Similarly, we divided 1,000 by 1,000 to get one. What he is asking is that if zero banana is divided among zero, will each one get one? The answer is 'no'. Mathematically, each will get an infinite number of bananas!" Everyone laughed again. The boys understood the trick arithmetic had played upon them. What they could not understand was why the teacher later complimented the boy who had asked that absurd question. The boy had asked a question that had taken mathematicians several centuries to answer. Some mathematicians claimed that zero divided by zero was zero. Others claimed it to be unity. It was the Indian mathematician Bhaskara who proved that it is infinity. The boy who asked the intriguing question was Srinivasa Ramanujan. Throughout his life, whether in his native Kumbakonam or Cambridge, he was always ahead of his mathematics teachers." |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
It was the Indian mathematician Bhaskara who proved that it is infinity נשמע כמו מקור (ב)אשקרה אמין.
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
סיפור חמוד להפליא... | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
קרא בבקשה על ראמנוגן בספר על-מרחב של מיציו קאקו בהוצאת הד ארצי בעמוד 201 את סיפור המכתב עם הרדי וליטלווד אם תבקש זאת , אצטט את הקטע הזה כאן . |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כאוות נפשך. הערה סיגנונית: מנומס יותר לא לחלק פקודות, אלא לידע - "את הסיפור ... ניתן למצוא/קראתי ב..." |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"יש סימוכין לסיפור? לא הצלחתי למצוא אותו בביוגרפיות של ראמאנויאן." | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא הבנתי. האם ניסית לרמוז שהייתי לא מנומס? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תרשה לי להעיר לך עכשיו לגבי הודעת הפתיחה שלך בפתיל זה. כאשר נוצרת אגדה או מיתוס ( במקרה זה - גלואה) זה ממש מגוכח לבצע מחקר ארכיאלוגי להראות שהמיתוס אינו מדויק. גלואה הוא בבחינת סמל לגאון נדיר ביותר שהקהילה המתמטית דחתה על הסף. ועכשיו לנושא ביננו: נדמה לי שחשפתי בפניך את המורכבות האמיתית היום ( 2005) לגבי השערת הרצף של קנטור על ידי טובי המתמטיקאים בעולם. כולל שהרן שלח , ואתה לא ידעת על כך קודם. נדמה לי לחידשתי לך סוגה חשובה ביותר לגבי ראמנוגן והרדי אשר לא ידעת עליה כלל קודם. כן, בהחלט פגעת בי בהקשר הדיון , כשהרשת לעצמך לכתוב באופן הבא: "אני מניח שאתה מתכוון לכל השמות שמשה קליין אוהב לנפנף בהם כשוקד על הבשר בערב חג העצמאות ולא, נניח, אלינו. בכל אופן, אני לא הייתי מפנה את ג'יימס האריס לשלח על מנת שישקול את מועמדותו לפרס וולף." אני לא ממש כועס עליך משום שאני רואה שאתה גם מתחיל לנפנף בשמות במכלול של יכולת ההבנה המתמטית שלך. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
גלואה הוא אולי סמל לכך _בקרב_ אותם גאונים (?) נדירים (?) שהקהילה המתמטית דוחה על הסף. נתת אותו כדוגמה לנו בתור *הוכחה* לכך שיכול להיות מצב ריאלי שבו מתמטיקאי גאון לא יזכה להערכה בחייו מהקהילה המתמטית. זה אך טבעי שננסה לבחון ולגלות האם הדוגמה הזאת רלוונטית לנושא הדיון או לא. על כן, האמת ההיסטורית רלוונטית מאוד לנושא. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
עייפתי מהדיון על גלואה בו נתמקד בעיקר- המתמטיקה |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
א. אם פגעתי בך או במישהו אחר אני מתנצל. זו לא היית כוונתי. ב. אני לא חושב ש"חשפת בפני" את ה"מורכבות האמיתית היום (09.09.2005) לגבי השערת הרצף". נתת הפנייה לנושא אחד (RGCH, הלינק עצמו ניתן ע"י גיל) מאד מענין, אבל לא משנה כלל את העמדה המקובלת של "טובי המתמטיקאים בעולם" לגבי מעמדה של השערת הרצף (בלתי תלויה, אין סיבה טובה להניח אותה או את שלילתה). ג. הסיפור על מכתבו של ראמנויאן להארדי הוא קוריוז חביב ותו לא. וודאי שאינו "סוג(י)ה חשובה". ד. ניסיתי להעביר את סיפורו של גלואה לימינו באמצעות אנלוגיה1. לשם כך הייתי צריך לבחור שם של מתמטיקאי נודע ושל פרס מכובד. בכוונה נקבתי בשמו של ג'יימס האריס ולא של דורון כדי לא לעורר אנטגוניזם. ה. אשמח אם לא תערב את יכולת ההבנה המתמטית שלי באותו אופן מביש בו עשית זאת עם אלון. ו. מה שהאייל הצעיר2 אמר. 1 דיסקליימר: כל ידידי קרובי ומכרי מעידים עלי שאני גרוע באנלוגיות. 2 כמה צעיר, תמהני? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
2 בשלב זה תיאלץ להמשיך לתמוה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
עד מתי אמשיך לתמוה, תמהני. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא יודע. בכל אופן, יש פה גרסה של עקרון אי-הוודאות: גם אם תדע ביום t בן כמה אני ביום t, לא תדע בן כמה אני היום, אלא אם כן תקבל (כמו כל המתמטיקאים) את ההנחה הסמויה, שהגיל שלי מתקדם באופן ליניארי. כמובן שלהנחה זו יש דוגמה נגדית: אני מכיר אישה שהגיל שלה שואף אסימפטוטית ל-40. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
>אלא אם כן תקבל (כמו כל המתמטיקאים) את ההנחה הסמויה, שהגיל שלי מתקדם באופן ליניארי. זה כמובן לא מספיק אם לא אדע מהו הקצב. בכל מקרה, אי הוודאות במקרה זה נובעת דווקא מתורת היחסות. האם גילינו גישה חדשה לאיחוד עם תורת הקוונטים? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"זה כמובן לא מספיק אם לא אדע מהו הקצב." בגרסה הראשונה של התגובה הקודמת התייחסתי לזה, אבל החלטתי שהניסוח מסורבל ("פונקצית גילי בשנים ביחס לזמן שעבר בשנים מאז [נקודת זמן שרירותית] היא פונקציה ליניארית ששיפועה 1"). גם ככה המשפט ההוא היה ארוך מדי. לגבי איחוד התורות: פרס הנובל שלנו כבר בדואר. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
רוב הנשים שהגיעו לגיל 39 ומעלה, גילן ממשיך לנצח לשאוף אסימפטוטית ל-40. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מלמטה, אני מקווה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
עד שהצעיר יהיה פחות צעיר. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בוא נפסיק את הדיון על גלואה או על דורון בוא ונשוחח סוף סוף על מתמטיקה |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
עוד דבר: הייתי שמח לדעת מה דעתך על תגובה 328412 והפתיל שהתפתח אחריה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
טוב הבה ונשוב לעסוק במתמטיקה. כי זה הנושא החשוב ולא העניין האישי , הכבוד, היוקרה או הפרסים. בואו נמשיך לעבוד: אני מעדיף להגדיר את נושא הדיון במקום "מתמטיקה" ל "שפת המתמטיקה". אם כבר הזכרתם נשים בהקשר של גילם הרי עולה שאלה האם המתמטיקה שהכרנו עד היום היא גברית בעצם והאם יכולה להיות מתמטיקה נשית ? בקשר לפתיל החדש שפתח דורון על אכסיומת הקיום רציתי להגיד לשאלך אורי, ששנים האחרונות חלה התעוררות גדולה בקשר לתורת הקבוצות. פרשנויות חדשות של השערת הרצף, תורת הקבוצות ללא אכסיומת הבחירה ( השקולה כמובן ללמה של צורן ) מנקודת המבט הסוביקטיבית (שלי ) אני מעדיף לכנות זאת : בעיתיות בקשר לבעיה הראשונה של הילברט. כמו כן תסכימו איתי שמהות הקשר בין מתמטיקה לפיסיקה היא עדיין בגדר תעלומה. לכן אני מציע לנסות ולאפיין שתי הבעיות הקרדינליות שיש היום בשפת המתמטיקה. 1) הבעיה הראשונה של הילברט - השערת הרצף 2) הבעיה השישית של הילברט - הקשר בין מתמטיקה לפיסיקה. אולי אתם חושבים ( וזה בסדר) שאין כיום בעיה במתמטיקה ( לא במובן הרגיל של חידה המצפה לפיתרון קל או קשה ) אני עוצר כאן ומחכה לתגובה בכדי להמשיך. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה ממשיך להזכיר כל הזמן את השערת הרצף ואת תורת הקבוצות, וגם כשאתה לא מזכיר ללא הרף שמות וכנסים זה נשמע כאילו אתה זורק לאוויר מילים רק על מנת להרשים ו"לבלבל את האויב". תורת הקבוצות לא התעוררה רק בשנים האחרונות (אלא אם כן אתה מדבר על עשרות השנים האחרונות). עוד אבחנה חשובה שאתה מחמיץ היא שהתחום הנקרא "תורת הקבוצות" כבר מזמן איבד כל קשר לקנטור או לאבחנות נאיביות בקשר להגדרה של מספר. רובו המכריע של התחום לא עוסק בכלל ביסודות המתמטיקה. מתוך שלושה קורסים ושני סמינרים שלקחתי בנושא רק השליש הראשון של הקורס הראשון עסק ב"יסודות המתמטיקה". בשאר הזמן למדתי על כפיות והרחבות גנריות ועל עצי סוסלין ומשפחות קורפה ועל שיכונים אלמנטריים לא טריויאליים באמצעות על-חזקות והקשר שלהם למונים גדולים ועל מבנים טכניים שנקראים אקסטנדרים, ועוד כל מיני שמן הסתם כבר שכחתי. רוב העבודה כלל לא נעשתה בתוך ZFC. בקיצור, ל"התעוררות" הזו כפי שאתה מכנה אין קשר לבסיסה של המתמטיקה. תורת הקבוצות זהו תחום עיסוק פורה ומתפתח (אם כי למרבה הצער מעט מנותק) ועומד בפני עצמו והוא לא "בסיס" לשום דבר. בניגוד לתחומים אחרים במתמטיקה (לפחות עד כמה שאני מכיר), בתורת הקבוצות אכן יש את ההרגשה המוזרה של קרקע לא יציבה - חלק גדול מהעבודה דורש אקסיומות חזקות יותר מ ZFC, ונדרשת אינטואיציה ויכולת רבה על מנת להגדיר אקסיומות עמוקות ובעלות משמעות. כל טרחן יכול להגדיר הגדרה חסרת טעם, אבל האינטואיציה של אדם כמו וודין למשל מביאה לכך שהמונה הקרוי על שמו מתגלה בהקשרים רבים ומועילים. מפריע לי לשמוע ממך על ה"בעייתיות" של השערת הרצף. כששלח מדבר על השערת הרצף הוא מסתמך על עשרות שנים של עבודה בתחום ועל אינטואיציה באשר ל-עניין- שיש בשאלה. שלח טוען שהשערת הרצף אומנם נפתרה, אולם ניתן לחדד את השאלה על מנת להגיע לאבחנות דקות ומועילות יותר. אין לזה קשר ליסודות המתמטיקה. כאשר דורון מדבר על השערת הרצף, מדובר על אדם שאין לו מושג מה זו תורת הקבוצות, אין לו אינטואיציה מינימלית לנושא, ואף את ההגדרות הבסיסיות הוא איננו מבין. כאשר אתה מדבר על שלח ועל השערת הרצף, התחושה שלי היא שגם אתה לא ממש מבין במה מדובר - הגרסא של שלח היא טכנית ומסובכת, האינטואיציה מאחוריה לא ברורה לי למרות שראיתי דברים דומים בעבר, ואני אופתע מאוד אם יסתבר שאתה מבין אפילו עשרה אחוזים מהנושאים הטכניים המשמשים את שלח להוכחת הלמה הראשונה במאמר אליו קישרתי. דעתי היא שאתה פשוט קופץ כמוצא שלל רב על העובדה שמתמטיקאי ידוע כמו שלח מפרסם מאמרים עם המילים "השערת הרצף" באבסטרקט על מנת לשלוף את העובדה הזו ברגע המתאים ולשוות מכובדות שאינה במקומה להגדרות מטורללות והוכחות טרחניות שקנטור טעה. זה דומה לתיכוניסט מסטול שפולט "הכל יחסי" בעוד חברו שולח אותך לקרוא מאמרים על תורת היחסות הכללית. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
גיל יקר, תודה על התייחסותך הרצינית והמעמיקה לנושא הדיון. דורון הגיע לתובנות שלו בדרך של חקירה עצמית ואילו אני דווקא יש לי ( לדעתי לפחות) רקע רחב בתחומים רבים במתמטיקה. השאלה שעינינה ומענינת אותי החל משנת 1980 ועד רגע זה היא האם יש דרך משמעותית לחבר או לאחד את ענפי המתמטיקה הרגילה מעבר ללוגיקה הרגילה. עזוב לרגע את השאלה האם זה מעניין חוקרים באקדמיה שאלה כזו. אני שואל אותך בפשטות ,לאחר שענית לי בצורה כזו יפה מעמיקה ומקצועית, האם לא היית שמח, כמתמטיקאי, לגלות שקיים חיבור מרענן מפתיע ומעורר באמת, בין כל ענפי המתמטיקה ? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני הייתי מאוד שמח, אבל זה לא נראה לי סביר. יש לך רעיון לחיבור כזה? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם אתה שמח על האפשרות, אז אני גאה להקרא "טרחן כפייתי במתמטיקה" בהקשר של חיפוש החיבור המדויק והאורגני בין על ענפי המתמטיקה , אז תאמר לי אייל צעיר, לפני שאני מנסה לגלות מגלה לך את מהות החיבור, האם אתה מצליח לראות את הציור שציירתי בשנת 1980 כחזון מתמטי ? בקישור המצורף: www.makom.org.il/ganadam/article/51
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
קודם כל, הרשה לי לומר שאתה מוכשר. לגופו של עניין: כאשר אתה טוען שהציור הוא חזון מתמטי, אני משער שאתה מרמז על כך שחיבור בין תחומי המתמטיקה ילמד אותנו על האדם ותודעתו. אני מתלבט מאוד בשאלה, עד כמה אני מתחבר לרעיון הזה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
א. לא ענית לבקשתי. ב. מה שגיל כתב (מינוס אקסטנדרים, שעליהם איני יודע דבר. <רמז>). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ממה שאני זוכר (פעם אחרונה שנגעתי בזה היתה לפני שנתיים) אקסטנדרים קשורים למונים λ-חזקים. למשל, השיכון שמעיד על מונה שהוא מדיד שקול לקיומו של אולטרה-פילטר. אולם אין פורמולציה מקבילה ב ZFC של תכונת "λ-חזק" באמצעות קיומו של אולטרה-פילטר יחיד, ולכן בניה רגילה של על-חזקה אחת לא מספיקה במקרה הזה, והמודל M שמקבלים בסוף במקרה החזק הוא גבול מכוון של על-חזקות. אפשר גם ללכת הפוך, ואם κ הוא λ-חזק והשיכון נתון אז ניתן להגיע חזרה לקבוצה המכוונת של על-חזקות (עם אולטרה-פילטרים ספציפיים שתלויים ב λ וב κ) המסומנת כ κ,λ)-Extender) . קל יחסית לוודא שהגבול המכוון של המערכת הזו זהו המודל M עצמו, ואז יש לנו שתי הגדרות שקולות. יש לזה גם מן הסתם טריליון שימושים אחרים (שמעתי הרבה פעמים על כפיה מבוססת אקסטנדרים), אבל אני חושב שזו היתה המוטיבציה המקורית. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תודה. לא הבנתי הכל (עבר הרבה זמן מאז התעסקתי בקבוצות), אבל קיבלתי מושג כללי. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מותר לשאול במה אתה מתעסק? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מותר, ותקבל תשובה עם עודף. אי שם בנבכי הזמן, מעט לפני ההתפוצצות הקמבריאנית, ומעט אחרי שסיימתי תואר ראשון, עסקתי בתורת הקבוצות (אצל מוטי גיטיק בת"א, למי שאיכפת1). לא ממש התמדתי בנושא (זה היה במקביל לצבא), אבל את היסודות (אקסיומות, סוסלין, מרטין, קורפה, כפיות ועוד קצת) אני יודע (או לפחות ידעתי). אחרי הצבא, פניתי להשלים את התואר וכתבתי תזה בתורת המשחקים (אצל אילון סולן וגו'). היום אני עושה דוקטורט אצל איתי בינימיני במכון ויצמן (זה כבר בטח מענין את כולם2) בהסתברות (1, אני מקוה). ליתר דיוק, בפרקולציות, הילוכים מקריים ודברים דומים. עכשיו, אחרי שסבלת דייך, אם תרצה לדעת עוד על הנושאים הללו, שאל. 1 הנה הגדרת את הקבוצה הריקה ללא ההגדרות המעגליות שלכם. 2 הנה הגדרתי גם את הקבוצה המלאה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
דווקא על כמה דברים שמעתי, אבל לא ברור לי מה זה ''סוסלין'', ''מרטין'', ''קורפה'', ''אילון סולן וגו''' ו''פרקולציות''. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
טוב, נתחיל בקל ביותר. אילון סולן הוא פרופסור לתורת המשחקים באוניברסיטת תל אביב וה-"וגו"' מתיחס להערה בסוגריים הקודמים - "למי שאיכפת1". הלאה. סוסלין מתיחס למתמטיקאי בשם זה שהעלה בעיה מענינת, שנודעה כ-"השערת סוסלין" (SH - Suslin's Hypothesis). הבעיה היתה פתוחה כמה עשרות שנים עד שכהן המציא את הכפיה ב-1960 ואז הוכח ש-SH בלתי תלויה ב-ZFC (כתמיד, בהנחת ש-ZFC קונסיסטנטית). להשערה: קח יחס סדר לינארי S. נניח שהוא (1) בלי איבר קטן ביותר או גדול ביותר. (2) "צפוף בעצמו": לכל שני איברים יש איבר בניהם. (3) שלם: לכל קבוצה יש חסם עליון ותחתון. חסם עליון לקבוצה הוא האיבר הקטן ביותר הגדול מכל האיברים בקבוצה. תחתון אנאלוגי. (4) ספרבילי: יש קבוצה Q בת-מניה וצפופה בטופולוגית הסדר על S. דהיינו, לכל שני איברים ב-S יש בניהם איבר ב-Q. מן המפורסמות היא ש-S כזו חייבת להיות איזומורפית ל-R, הממשיים עם יחס הסדר הרגיל (תרגיל: הוכח). השערת סוסלין: אם S מקיימת (1)-(3) וגם (4') כל קבוצה של קטעים פתוחים זרים היא בת מניה. אז היא איזומורפית ל-R (תרגיל: הוכח (4) => (4')). דרישה (4') נקראת בדר"כ CCC - countable chain condition, אם כי מן הראוי היה לשים antichain במקום chain. אחרי שכתבתי כל זאת, נשאלת השאלה למה לא הפניתי לויקי: על השאר, יותר מאוחר. 1 שאלה: מאיפה צצה המילה הזו "איכפת"?2 השימוש בה מאוד משונה, לדעתי. 2 תשובה: למי איכפת? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מעניין מאוד, תודה. הביטוי "טופולוגיית הסדר" נשמע לי די חדש. אני רגיל למילה "טופולוגיה" רק בהקשר של אוסף קבוצות פתוחות שסגור לחיתוך סופי ואיחוד בן מנייה (ולספרביליות שמוגדרת על ידי דבר שכזה). האם יש שקילות בין המושגים? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה אותו מובן. בהנתן יחס סדר מלא טופולוגית הסדר עליו היא הטופולוגיה המושרית מכל הקרניים (תת-בסיס) או כל הקטעים (בסיס). בקיצור1: 1 מתישהו אני אלמד מנסיון העבר. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לי אכפת. לפי אבן־שושן, אכפת הוא "לוחץ, נוגע" בארמית. ומכאן "מי שאכפת לו" הוא מי שהדבר נוגע אליו. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תודה. לא באאמת התכוונתי ל2. בכל זאת יש כאן משהו מוזר. במשפט "איכפת לי" הנושא הוא מובלע (או איך שקוראים לזה) כמו ב-"נראה לי". למרות זאת לא מטים את איכפת כמו את נראה. "איכפת לי מהם" ולא "איכפתים לי". |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כאמור, הביטוי ארמי וקשה להטותו כאילו היה תואר עברי. וטוב שזה לחץ לך - כך גם אני למדתי דבר חדש. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
למרות שזה מופיד בויקי, החלטתי להוסיף עוד קצת. קח עץ אינסופי כלשהו. קל לראות1 שחייבת להיות לו קומה אינסופית או ענף אינסופי. עכשיו קח עץ מעוצמה א1 2. האם חייב להיות לו ענף באורך א1? האם חייבת להיות קומה בגודל א1? מסתבר13 שאפשר לבנות עץ בגודל א1 בלי שניהם. עץ כזה נקרא עץ ארונסיאן (aronszajn). קבוצה של איברים בעץ היא שרשרת אם לכל שני איברים אחד מהם הוא צאצא (לאו דוקא ישיר) של השני. ענף הוא שרשרת וכל שרשרת מוכלת בענף. קבוצה של איברים בעץ היא אנטי-שרשרת אם לכל שני איברים אין צאצאים משותפים. קומה בעץ היא אנטי-שרשרת אבל לא כל אנטי-שרשרת מוכלת בקומה. האם יש עץ בגודל א1 כך שאין בו שרשרת בגודל א1 ואין בו אנטי-שרשרת בגודל א1? עץ כזה נקרא עץ סוסלין, ומסתבר שקיומו שקול לקיום קו סוסלין (הקבוצה מהתגובה הקודמת שאינה שקולה לממשיים)1. 1 תרגיל: הוכח. 2 תרגיל: הגדר. 3 כבר לא כל כך קל. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מרתק. מה ההבדל בין שרשרת וענף? איך אתה מגדיר ענף? אני לא מכיר "ענף" אלא רק "תת עץ" והוא בבירור לא שרשרת, אבל כמובן שכל שרשרת מוכלת בתת עץ כלשהו. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אאל"ט, בעץ סופי ההגדרה פשוטה: ענף הוא מסלול משורש העץ אל אחד העלים (יש רק אחד כזה לכל עלה). באופן כללי (ואם הבנתי נכון) אז ענף של עץ הוא שרשרת שבה יש את השורש, את אחד הבנים של השורש (נסמנו X1), את אחד הבנים של X1 (נסמנו X2) וכן הלאה... |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה נכון אם מדובר בעץ אינסופי "רגיל", כזה שהגובה שלו הוא א0. עץ כללי מוגדר להיות יחס סדר חלקי כך שלכל איבר קבוצת האיבר הקטנים ממנו סדורה היטב (ביחס לסדר המדובר). ענף מוגדר אז בתור שרשרת מקסימלית. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תודה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הדרך הפשוטה ביותר היא להגדיר ענף בתור שרשרת מקסימלית. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הבה ונמשיכה (בתקוה שמישהו עוד קורא את זה). מרטין מתיחס לאקסיומת מרטין. קח יחס סדר חלקי P, לאו דווקא עץ. נגיד ששני אברים מתיישבים אם קיים איבר שקטן משניהם. אנטי-שרשרת היא קבוצה של איברים שאינם מתיישבים (בזוגות). יחס הסדר שלנו הוא ccc אם אין אנטי-שרשרת לא בת-מניה. קבוצה D היא צפופה אם לכל איבר x ב-P יש y ב-D שקטן ממנו y<x. קבוצה F היא פילטר אם: לכל x ו-y ב-F יש z ב-F שקטן משניהם. אם x שייך ל-F, כל מה שגדול ממנו (ב-P) גם שייך ל-F. אם P היתה עץ אז פילטר==ענף. עכשיו, אקסיומת מרטין לעוצמה k, המסומנת MA(k) היא ההצהרה: לכל יחס סדר P, המקיים ccc, לכל משפחה בגודל עד k של קבוצות צפופות, יש פילטר שהחיתוך שלו עם כל אחת מהקבוצות הצפופות הנ"ל אינו ריק. ברור1 ש-MA(א0) מתקיים. ברור2 ש-MA(2^א0( לא מתקיים. אקסיומת מרטין, MA היא הטענה MA(k) לכל k שקטנה מ-2^א0. השערת הרצף גוררת MA באופן טריויאלי. למה זה טוב? אם אנחנו מניחים שהשערת הרצף לא נכונה (במודל שלנו) מתעוררות כמה שאלות לגבי העוצמות שבין א0 ל-2^א0. למשל: האם איחוד של k קבוצות בעלות מידה אפס היא מדידה ובעלת מידה אפס? האם איחוד של k קבוצות מקטגוריה ראשונה היא גם מקטגוריה ראשונה? ועוד כהנה וכהנה. מסתבר התשובות לשאלות האלו באות ביחד ו-MA(k) גורר תשובה חיובית עבור k. גם השערת סוסלין נכנסת לכאן. MA(א1( גורר אי קיום קו או עץ סוסלין. זה שימושי עבור כפיות. למעשה, כל מה שתארנו כאן, מאוד דומה לכפיה. טוב, זה היה מתיש. ליל מנוחה. 1 אתם יודעים מה בא כאן. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא מבינה, לא היה פשוט יותר למלא את הבטחתך ולענות לי מה מעניין בהסתברות? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
וואלה. איך לא חשבתי על זה. מחר1. באמת. בהסתברות 1. 1 אולי נפליגה בספינות... |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כאן אני כבר לא מצליח לעקוב. אני צריך לשבת, ולכתוב את ההגדרות, ולעשות תרגילים, ולקלל את המרצה, ולא ללמוד למבחן בתורת השדות תוך כדי. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
עזוב את העצים. אני מעוניין לשמוע על פרקולציה. אולי אתה תצליח להסביר לי את הקשר לקונפורמיות. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
גבירותיי ורבותיי, עקב בקשת הקהל, פרקולציה! קח את הגרף של Z^2, הסריג הדו-מימדי. להבהרה: הקודקודים הם כל הקואורדינטות השלמות במישור ושני קודקודים מחוברים אם המרחק בינהם הוא אחד, בקיצור, רשת דייגים אינסופית. עכשיו, ספר מטורף בא עם מספריו, וגוזר חלק מהקשתות (ה"חיבורים" בין צמתים ברשת). כל קשת הוא גוזר בהסתברות (1-p) ומשאיר אותה לנפשה בהסתברות p, באופן בלתי תלוי. מה קורה לרשת? אנו מתענינים בשאלה האם יש רכיב אינסופי או שמא הרשת נגזרה לגזרים סופיים. אם יש רכיב אינסופי, כמה יש? אחד, שניים, אלפיים, אינסוף? המשך יבוא... |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
במהרה, אני מקווה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
המשך... במודל שתיארנו ברור1 שההסתברות לקיום רכיב אינסופי (נקרא לה r) עולה עם p. ברור גם ש- r(0)=0 (אין קשתות) וש-r(1)=1 (כל הקשתות ישנן). בעזרת חוק 0-1 של קולמוגורוב2 נקבל r(p) הוא 0 או 1 לכל p. מאחר ו-r עולה קיבלנו שקיימת נקודה קריטית p_c כך ש: אם p<p_c אז r(p)=0 (אין רכיב אינסופי), ואם p>p_c אז r(p)=1 (יש רכיב אינסופי). נשארו השאלות מהו p_c ובפרט האם אינו טריויאלי (כלומר לא 0 או 1), מהו r(p_c), ומה קורה עם מספר רכיבי הקשירות האינסופיים. שאלות? תשובות? 1 תרגיל: הוכח באופן ריגורוזי. 2 לפעורי הפה: החוק אומר שאם מאורע כלשהו, התלוי בתוצאה של אינסוף הגרלות, בלתי תלוי בתוצאה של כל קבוצה סופית שלהן, אז הסתברותו היא בהכרח 0 או 1. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם נתחיל מקשת קיימת (p>0) ונבדוק מה הסיכוי שהיא חלק מרכיב אין סופי, נילך לאחד הצמתות, ואז הסיכוי שקיימת קשת נוספת באותו כיוון היא p' והסיכוי שקיימת קשת בלפחות כיוון מאונך אחד היא 2p-p^2 לכן הסיכוי שיש לפחות עוד קשת אחת הוא 3p-3p^2+p^3 (שתמיד קטן מ1) והסיכוי שמהקשת הזאת יש עוד קשת הוא זהה, לכן הסיכוי שקיימות אין סוף קשתות כאלה הוא אפס. אותו חישוב מתקיים, כמובן, גם לצד השני. לכן, r(p<1)=0. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ראשית, לסריג הריבועי שאג"ג מתאר, אפשר להראות משיקולי סימטריה שהנקודה הקריטית היא בחצי, לפחות כאשר מדברים על פרקולצית קשתות. לא ברור לי מה בדיוק לא נכון בשיקול שלך, אבל אם תחשוב שניה על "עץ" שמכל ענף יוצאים עוד שני ענפים (כלומר כל צומת מכילה 3 ענפים1) ,תוכל להשתכנע שקיים p לא טריוויאלי שהוא קריטי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
>לסריג הריבועי שאג"ג מתאר, אפשר להראות משיקולי סימטריה שהנקודה הקריטית היא בחצי. מה אתה מקדים את המאוחר? :-) בכל אופן, זה נכון אבל לא כל כך קל כמו שאתה מתאר את זה. למעשה, אין לזה הוכחה ממש אלמנטרית. <תוכן פירסומי> אם מישהו ממש מתענין, הוא מוזמן לבוא לשמוע את הקורס שאעביר בנושא "הילוכים מקריים ופרקולציות" במכון ויצמן בסמסטר א'. </תוכן פירסומי> באשר לעצים: פרקולציה על עץ כזה יוצרת (בערך) את מה שנקרא תהליך Galton-Watson. במקורו, זהו מודל לחישוב סיכויי ההכחדות של שמות משפחה. המודל הוא כדלהלן: נניח שיש התפלגות P הקובעת את מספר הילדים הזכרים (שממשיכים את שם המשפחה) לאדם (זכר) נתון. נתחיל בזכר אחד בדור הראשון. בדור השני נגריל את מספר הילדים שלו לפי התפלגות P. בדור הבא לכל אחד מהם נגריל ילדים גם לפי התפלגות P, עד אשר המשפחה נכחדת או לנצח. ברור1 שאם התוחלת של P קטנה מ-1, ההכחדות היא ודאית. מה שפחות ברור הוא שאם התוחלת של P גדולה מ-1, יש סיכויי חיובי להשרדות (עד אינסוף). הסיכוי המדויק תלוי בהתפלגות והוא יכול להיות קטן כרצוננו, אבל הוא תמיד חיובי. עבור P עם תוחלת 1 בדיוק, ההכחדות היא ודאית2, אבל תוחלת גודל המשפחה ומספר הדורות היא אינסופית. מכאן, שעבור פרקולציה על העץ הבינארי, p_c=1/2 ועבורו אין רכיבים אינסופיים. 1 הוכח. 2 מלבד במקרה הטריויאלי, בו בהסתברות 1 יש ילד אחד. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה פחות או יותר עשית את החישוב שמסלול נתון קיים בגרף. זה כמובן 0, אבל יש הרבה מסלולים אפשריים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
2 נראה לי שהפה נפער רק *אחרי* ששומעים מהו החוק הזה. אפשר סקיצה של ההוכחה? | |
|
|
| חזרה לעמוד הראשי |  |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |