בתשובה לגדי אלכסנדרוביץ', 01/09/05 18:22
 |
|
 |
||
|
||||
 |
שורש 2 או PI או e אינם קשורים לסימנים שאתה משתמש בהם אלא לחשיבות שאתה מעניק להם בהתאם למערכת אליה הם מיוחסים. שלושת המספרים הללו ידועים מכיוון שהם מתייחסים בין-השאר למערכות מענינות כמו המעגל (PI) הלוג הטבעי (e) והיחס שבין אלכסון הריבוע לאחד מצלעותיו. כולם ללא יוצא מן הכלל הם מספרים אי-רציונליים המשויכים לסוגי משוואות, ולכן שורש 2 שייך למשוואות שיש להן פתרון של שורשים במספרים שלמים (שורש n) ואילו PI ו- e הם מספרים (המכונים טרנסנדנטליים) אשר שייכים למשוואות שאין להן פתרון אי-רציונלי של שורשים שלמים. כדי להבין את כללי האריתמטיקה של-המתמטיקה המונדית אנא עיין בעמודים שמספר הדף (לא המסך) שלהם מתחיל בעמוד 19: תודה. |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
<ניסוי בתיקון דורון שדמי> למשוואה הבאה: (x-pi)(x-sqrt(2)) גם pi פתרון, וגם שורש 2 פתרון, כך שההגדרה שלך "שייכים למשוואות שאין להן פתרון אי-רציונלי של שורשים שלמים" אינה נכונה 1.השורש השלישי של 2 הוא לא שורש של מספר שלם, אבל גם הוא "אלגברי", בדיוק כמו שורש שתיים. ההגדרה המדויקת, היא כזו: מספר "אלגברי" הוא מספר שמהווה פתרון לפולינום עם מקדמים שלמים. 1 ואם זה לא מספיק, התחביר של ההגדרה גם לא 100% ברור. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"<ניסוי בתיקון דורון שדמי>" הנסיון הצליח, תודה על התיקון, אכן מדובר במספר "אלגברי" המהווה פתרון לפולינום בעל מקדמים שלמים : anxn + an−1xn−1 + ··· + a1x + a0 = 0
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
האם ההגדרה למספר אלגברי דורשת שהפולינום יהיה סופי? כי אם לא, אז גם פאי הוא פתרון למשוואה המפתחת את סינוס לטור טיילור ומשווה אותו לאפס. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
למיטב ידיעתי, לרוב מגדירים פולינום כסופי, ורוב ההגדרות לטור טיילור מגדירות אותו כ''מעין פולינום אינסופי''. בכל אופן, כאן הכוונה הייתה, כמובן, לפולינום סופי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הנה שאלה נחמדה: האם כל מספר הוא שורש של טור טיילור בעל מקדמים שלמים? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
שלמים, רציונליים, מה זה משנה? :) | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כמו שאמרו, ההגדרה המקובלת לאלגבריות מדברת על פולינום סופי, ובאופן כללי פולינום הוא דבר סופי (למרות שאפשר לדבר על סכומים אינסופיים גם בצורה "פורמלית" בלי להיכנס לשאלת ההתכנסות שלהם - אם איני טועה זה מה שמכונה "פונקציה יוצרת"). ניג'וס: אני לא חושב שתוכל לקבל את פאי בצורה שאתה מתאר. קודם כל, אתה בוודאי מתכוון לארקסינוס. שנית, אתה צריך לפתח את טור הטיילור בצורה כזו שהוא יחזיר לך באמת פאי ולאו דווקא אפס. שלישית, לא הבנתי למה המקדמים יהיו שלמים. הרי אם היה מספר סופי של איברים בסכום אפשר היה לכפול את הכל במכנה המשותף, אבל מי אומר שיהיה כזה אם יש אינסוף איברים בסכום? (לא שאני בטוח עד כמה זה משנה: מספר אלגברי הוא כזה שפולינום במקדמים רציונליים מאופס על ידו, ובמקרה הסופי זה שקול לפולינום במקדמים שלמים - אבל אני לא רואה מניעה לקחת דווקא את המקדמים הרציונליים בתור ההגדרה). הדרך ה"נוחה" לקבל פאי בעזרת טור טיילור היא זה של ארקטנגנס דווקא (מחושב בנקודה 1). היא "נוחה" במרכאות כי הסכום מתכנס לאט מאוד. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"אתה צריך לפתח את טור הטיילור בצורה כזו שהוא יחזיר לך באמת פאי ולאו דווקא אפס" למה? לגבי הגבלת המקדמים: אפשר לנסח השערה חלשה שתעסוק במקדמים רציונליים, והשערה חזקה שתעסוק במקדמים שלמים. אם ההשערה החזקה תתברר כנכונה, זה יהיה משפט הרבה יותר מרשים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כל מספר הוא שורש של טור טיילור עם מקדמים רציונליים. כל מספר הוא גם שורש של טור טיילור עם מקדמים שלמים, אם כי לא כזה שמתכנס בהחלט, מסיבות מובנות. דרישה יותר משמעותית יכולה להיות שטור כזה יתכנס גם בסביבה של המספר, כדי שהפונקציה תהיה ''בעלת משמעות''. על זה אני עוד צריך לחשוב אבל נדמה לי שגם זה נכון. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הסכומים האינסופיים שאינם מתכנסים הם אלה שעליהם מדבר אלון במאמר? 1+2+4+8+16+32... = -1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא בדיוק. אלון דיבר על המספרים הדיאדיים (p-אדיים, p=2): |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה מדבר על הדרך הנוחה ל*פתח* את פאי בטור טיילור, ואני חשבתי על הדרך הנוחה לקבל משוואה של פולינום במקדמים רציונלים שהשורש שלה הוא פאי (אם אפשר בכלל). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם אתה רוצה באמת להיות לא דורון שדמי כדאי שלא תקרא לזה פולינום אלא טור טיילור. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אוקיי. קיבלתי. שתי שאלות: א. האם ההבדל הוא בסופיות הפיתוח בלבד (כלומר שפולינום חייב להיות סופי)? ב. האם יש הוכחה פשוטה לכך שאי אפשר לקבל את פאי ממשוואה של פולינום (סופי... :) )? ב-"פשוטה" הכוונה לכך שמישהו בעל תואר בפיסיקה (כלומר, מעט מאוד ידע באינפי, ידע בחישובים מתמטיים, ובלי ידע בכלל בחבורות, קבוצות, אידיאלים ודברים כאלו) יוכל להבין? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
יש הוכחה מלאה לאי-האלגבריות של פאי בספר Proofs from the Book. היא לא פשוטה, אבל היא "פשוטה". | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה משעשע שאתה מתייחס להוכחות מהספר "Proofs from the Book". זה היה יותר משעשע אם היית מתייחס להוכחות מהספר "Proofs NOT form the Book". |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"The Book" - הכוונה כמובן לספר שעליו דיבר ארדש? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כן (אבל ראה תגובה 327370). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"היא לא פשוטה, אבל היא "פשוטה"." מה זה? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מן הסתם הכוונה היא שההוכחה אלמנטרית (לא מצריכה שימוש בתאוריות מתמטיות מורכבות) אבל אינה פשוטה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לדעתי הכוונה להגדרה "פשוטה" מתגובה 327300. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה הינו הך (''בלי ידע בכלל בחבורות, קבוצות, אידיאלים ודברים כאלו''). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אלון השתמש בחינניות בעובדה שהשתמשתי פעמיים במלה ''פשוטה'' בתגובה שלי - האחת בלי מרכאות והשניה עם מרכאות. פשוטה במרכאות היא מה שפרטתי לאחר מכן, פשוטה ללא מרכאות היא פשוטה ממש. לאלון - אחפש את הספר בהקדם באוניברסיטה הקרובה למקום מגורי. תודה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני מתנצל, טעיתי והטעיתי. בספר PftB יש רק הוכחה לכך שפאי (ולמעשה גם פאי בריבוע) הם אי-רציונליים. שלחתי את ההודעה בלי להביט בספר, והייתי הרבה יותר מדי אופטימי. הוכחה לכך שפאי הוא טרנסצנדנטי יש, למשל, בנספח 1 של הספר Algebra של Lang. ההוכחה הזו, אני חושש, כבר איננה אלמנטרית במובן שתיארת (דרושה קצת תורת השדות), וחוץ מזה היא גם לא פשוטה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
(סליחה שאני מנדנד, אני מעוצבן מזה שטעיתי ומזה שאני מתחיל קצת לשכוח דברים שפעם ידעתי). יש הוכחה "פשוטה" לטרנסצנדנטיות של פאי ב-Introduction to the Theory of Numbers של Hardy & Wright, בסעיף 11.14. ההוכחה לא ארוכה, אבל היא כתובה באופן דחוס למדי; עם קצת סבלנות אפשר לעקוב אחריה לאט לאט ואולי להצליח ממש להבין "למה" זה נכון. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
א. כן. לפיזיקאי זה עלול להראות ענין של מה בכך, אבל יש הבדל עצום בין פולינום וטור. ההבדל נעוץ בכך שערך של פולינום ניתן לחישוב ע''י פעולות חשבון בלבד ואילו ערך של טור זקוק להגדרה של התכנסות (בקיצור טופולוגיה). ב. מצטער, חשבתי שאתה יודע שפאי הוא מספר טרנסצנדנטלי (שאינו שורש של פולינום במקדמים שלמים). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
א. תודה. אכן, בפיזיקה נוטים לפעמים להפוך טורים לפולינומים על ידי הזנחת הזנב. ב. יש הבדל בין ''יודע כי אמרו לי'' לבין ''יודע כי ראיתי את ההוכחה''. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בעל תואר בפיזיקה ובלי כל ידע בחבורות? אתה חיב להיות יותר זקן ממני! | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
איך נעשה החישוב הזה? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כל מי שעשה תואר בפיזיקה בארבעים השנה האחרונות (לפחות) חייב לדעת משהו על חבורות, אחרת היה נכשל בקורס על חלקיקים אלמנטריים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
וולאק. מה יכול להיות אלמנטרי בחלקיקים שנדרשים לתורת החבורות? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תורת החבורות היא לא קורס חובה בתואר לפיזיקה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
''תורת החבורות'' בפני עצמה אולי לא, אבל בשביל תואר ראשון בפיזיקה נדרש ידע בתורת החבורות, והוא נלמד באחד מאותם קורסים של מתמטיקה לפיזיקאים. אפילו אלגברה ליניארית לא נלמדת בקורס נפרד, אבל מי שלא יודע ללכסן מטריצות לא יוכל לקבל תואר במוסד אקדמי מחוץ ללטויה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מתי (ולמה) ביטלו את אלגברה לינארית? בשביל תואר בפיזיקה צריך ידע בחבורות (בשביל כל סימטריה וטרנספורמציה) אבל לא צריך לדעת שקוראים לזה "חבורה". |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בואו נבחין בין חבורות רציפות ( חבורות לי וכאלה) שפוגשים בהם די הרבה, אפילו אם לא ממש יודעים שככה קוראים להם, לבין חבורות בדידות שמופיעות בקריסטלוגרפיה למשל. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא יודע. מכל מקום, הנה תכנית הלימודים בת"א: http://minerva.tau.ac.il/physics/syllabus/sylabus_20... | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בטכניון דווקא לוקחים קורס נפרד באלגברה לינארית (אפשר שלא?) אבל חבורות? ממש לא. כמובן שאני מניח שחבורות, כמו רוב החומר המתמטי שפיזיקאים יודעים, נלמד אד-הוק במהלך שיעורי הפיזיקה (ומהמעט *מאוד* שראיתי, צורת ההצגה היא טכנית למדי ולא מתמקדת בהיבטים התיאורטיים או במקרי הקצה). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
דווקא אלגברה לינארית היה קורס חובה נפרד אצלנו. אמנם אלגברה לינארית לפיסיקאים, אבל בכל זאת למדנו (גם) ללכסן מטריצות. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
דווקא עשיתי תואר (ראשון בלבד) בפיסיקה בשנים האחרונות, ולא למדתי חבורות. הקורס על חלקיקים אלמנטריים היה בחירה, ולא בחרתי בו. אני לא חושב שהמוסד בו למדתי קשור ללטביה, אבל אני יכול לברר בשבילך, אם אתה רוצה. השנתון ניתן למציאה כאן (הוא לא השתנה בצורה משמעותית מהתקופה בה אני למדתי) - http://www3.huji.ac.il/shnaton/new/search_frameset.h... צריך בסך הכל לבחור את המסלול בפיסיקה (מלא) ולראות מה כוללים הקורסים ומה לא. יכול להיות שנגענו בחבורות בקורס זה או אחר, אבל בצורה כל כך שטחית שלא שמתי לב אפילו. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
דורון שדמי: יכול להיות שנגענו בחבורות בקורס זה או אחר, אבל בצורה כל כך שטחית שלא שמתי לב אפילו. האייל האלמוני: היתכן שאנחנו כן שמנו לב? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני חושד שהוא למד לבד את הנושאים האלו (מעט אינפי וכו') חשב שזה אקוויולנטי לתואר בפיסיקה ולכן שאל את השאלה הזו. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה דווקא טועה, וראה תגובותי לשוטה הכפר הגלובלי. הקורס אינפי 1 באוניברסיטה העברית זה מעט מאוד אינפי מבחינתי. אני תוהה איך הצלחתי לגרום לכל כך הרבה אנשים פה לחשוב שאני אידיוט מושלם. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני מתנצל. לא התכוונתי להציג אותך בתור אידיוט. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כל מה שכתבת בהודעה הזו פרט לשורה האחרונה היה מיותר לחלוטין. אני מניח שכל מי ששרד עד כאן יודע מתמטיקה אלמנטרית ולכן לא זקוק להרצאה על מה זה שורש שתיים ומה ההבדל בין מספרים אלגברים לטרנסנדנטיים. במאמר שאליו הפנית אותי, החל מעמוד 19 יש הרבה חצים ואני לא מבין מה אתה רוצה ממני. בפרט אני לא רואה איפה אתה מגדיר שם את שורש שתיים. אם התשובה שלך היא "אני לא מגדיר את שורש שתיים" או "שורש שתיים הוא חסר משמעות במתמטיקה שהמצאתי" טוב ויפה, אבל אז אני תוהה בקשר למה הטעם במתמטיקה שלך. אם לעומת זאת אתה כן מגדיר את שורש שתיים, אני מבקש שתראה לי *כאן* איך אתה עושה את זה, בלי פילוסופיה מסביב. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם כתבתי "החל מעמ' 19", אז איתך הסליחה, זה צריך להיות החל מעמ' 14 (מספר הדף, לא מספר במסך). בקשר לשורש 2 ראה נא את הדבר החמוד הזה: |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מה שנחמד הוא שאפשר להרחיב את זה למרחב n-מימדי לכל n. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כן אני יודע. כשיצרתי את זה קראתי לאיור The chain of shadows כי הוא מראה שכל שורש n הוא האלכסון של המימד n וה"צל" של שורש n+1, שהוא האלכסון של מימד n+1 . |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מזכיר לי משהו שאמרו לי כשהתחלתי ללמוד מתמטיקה: "ציורים מיועדים להבהרה בלבד, אל תשמש בהם כדי להוכיח משהו". נו, ואיך אתה מגדיר את שורש 13? ואת הלוגריתם הטבעי של חמישים ושלוש? |
|
|
|
| חזרה לעמוד הראשי |  |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |