 |
|
 |
||
|
||||
 |
אם עד סוף השבוע אין איזה נימוק חדש-אמיץ ממך או מעוזי, אני מכריז חד-צדדית על ניצחון טכני לפלטוניזם אריתמטי. |  |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
לפני שאתה מכריז הכרזות, הייתי רוצה לדעת מהו בדיוק (בדיוק) הפלטוניזם האריתמטי שאתה מדבר עליו. לאילו טענות יש ערך אמת 'טבעי' - באיזו שפה הן צריכות להיות מנוסחות, מה אתה מניח על המבנה הטכני שלהן, ועל מה הן צריכות לחול. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בשלב זה, אני מסתפק בטענה שכל טענה מסדר ראשון בשפה של האריתמטיקה1 היא בעלת ערך-אמת. אין כל הנחה על המבנה הטכני. את השאלה האחרונה אני לא בטוח שאני מבין - אני מפרש את הטענות (באופן ברור) כטענות על המספרים הטבעיים. פסוק מהסוג "קיים x כך ש-P" הוא נכון אםם יש מספר טבעי כך ש-P; שאר המרכיבים של פסוקים מסדר ראשון הם אפילו עוד יותר טריוויאליים. 1 עם סימן =, ועם אוסף לא מוגבל של סימני פרדיקטים ופונקציות מכל arity. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מה זה "בשפה של האריתמטיקה"? דווקא מערכת עם קבוע ופונקצית עוקב כמו ב- PA? מותר חיבור וכפל (גם כמו ב-PA, בערך)? האם אתה מרשה להשתמש בשפה של ZFC? למה לא? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
סברתי, אולי בטעות, ש"השפה של האריתמטיקה" היא מונח מקובל. בכל אופן, כן, הכוונה לשפה שמכילה את הקבוע 0, את סימן העוקב, ואת הסימנים +, * ו-> (למה "בערך"?). הניסוח "כמו ב-PA" מפריע לי; PA היא מערכת של אקסיומות בשפה הזו, אבל לשפה עצמה אין שום קשר למערכת אקסיומטית מסויימת. למה אני צריך את השפה של ZFC? אני רוצה לדבר על מספרים טבעיים, לא על קבוצות עם יחס שייכות. אין איזה משפט אריתמטי שאפשר *לנסח* בשפה של ZFC ולא בשפה שציינתי, אלא אם אני מחמיץ משהו. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
(לגבי הטרמינולוגיה: PA היא שפה עם מערכת אקסיומות; באחת הדרכים לנסח את המערכת, השפה לא כוללת + ו- *, אבל ממילא יש מספיק אקסיומות האינדוקציה כדי שאפשר יהיה להגדיר אותן. לכן "בערך"). לאן אני חותר? אני יודע שיש משפחה גדולה של טענות שאפשר לנסח ב- PA, ועבורן אין צורך ב- ZFC. אני מנסה להבין איך אתה, בתור מי שמאמין בקיומו של מודל "אמיתי" למספרים הטבעיים, מבדיל בין טענות ZFC שיש להן פירוש טבעי (בשני המובנים), ולכן גם ערך אמת מסויים, לבין טענות ZFC שהן מדי מורכבות (?) שלא חלות על המודל הזה. בסופו של דבר אני מניח שאפשר לנסח גם את אקסיומת הבחירה כך שתחול על המודל היחיד שקיים באמת, ואז הייתי שמח לשמוע מה ערך האמת האמיתי שלה... |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא לגמרי הבנתי. אני לא יודע אם ואיך אפשר לנסח את אקסיומת הבחירה בשפה שתיארתי, וגם אם כן, ברי שזו תהיה גרסה חלשה שלה (בת-מנייה). אני אנסה להתעקש עוד פעם אחת להשאיר את השפה המורכבת של קבוצות מחוץ לתמונה, ולהסכים (או לא להסכים) על קיום ערך-אמת לפסוקים בשפה שתיארתי. (המונח "מודל אמיתי למספרים הטבעיים" בעייתי בעיני, כי ל"מודל" יש פירוש פורמלי כמודל של מערכת אקסיומטית מסויימת. אני לא חושב על הטבעיים כמודל של כלום, אלא כמשהו שקודם למושגים "מודל" ו"הוכחה"). ("המודל היחיד שקיים באמת" זה לא ביטוי שלי... הסברתי כבר שאני עובד בשמחה עם הממשיים, עם עולם הקבוצות של ZFC, עם קטגוריות, וכו'. לענייננו כרגע אני מבקש להתרכז במושג פשוט: המספרים הטבעיים). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תגובה 432288 (וגם התגובה שמעלי, אם רוצים להמשיך את השיחה המסויימת הזו). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לפני שאענה, האם הנימוק שלך בעד הפלטוניזם האריתמטי הוא רק מה שמופיע בתגובה 319534? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא בדיוק. הנימוק שלי בעד הפלטוניזם הוא שזהו מצב הרבה יותר סביר מהאלטרנטיבה. הנימוק היחיד שאני רואה *נגד* הפלטוניזם (האריתמטי) הוא זה שאומר שיש משפטים שאינם יכיחים ב-PA, או ZFC, או מה שלא יהיה. בתגובה שהזכרת אני רק מנסה לשכנע שזה נימוק חלש: בהרבה מצבים, אי-יכיחות כזו רק גורמת לנו להסיק שהאקסיומות חלשות מדי, לא שאין לפסוק ערך אמת. אני לא רואה מדוע לא להחיל את אותו שיקול גם על מצבים שאינם דמויי-גולדבאך. השאלה אם נוכל או לא נוכל לדעת נראית לי משנית; ממתי מה שאנחנו יודעים על האמת, או חושבים שאנו יודעים, משפיע עליה? הבאתי כבר את הדוגמה של סוג הדם של קליאופטרה. לעולם לא נדע מהו, אבל זו לא סיבה בעיני להניח שלא היה לה כזה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לרגל היעלמותי הקרבה ובאה, הייתי שמח לנסות ולסגור את הפתיל הזה שנותר, מבחינתי, תלוי ותלוש. "מחר" ו"מחרתיים" חלפו שניהם... מה המהלך הבא שלך? תזכורת: אני מנסה להפיל עליך (ועל עוזי) את חובת ההוכחה שישנם משפטים ללא ערך אמת או שיש ריבוי אונטולוגי, בהקשר הפשוט יחסית של טענות מסדר ראשון על הטבעיים (כלומר, כאלה שאפשר לנסחן עם "קיים", "לכל", סימני חיבור וכפל, קבועים מספריים והסימנים הלוגיים הרגילים). הטענה שלי היא שיותר סביר להניח שלכל פסוק כזה יש ערך-אמת מאשר להניח את ההיפך, ולכן אם טוענים את ההיפך, יש לנמק. הנימוק "הנה מערכת אקסיומות מאוד חזקה, והיא לא מסוגלת להכריע כל פסוק כזה" הוא, לעניות דעתי, לא משכנע. חולשותיהן של מערכות אקסיומטיות אינן ממין העניין; איש לא הבטיח לנו שכל מה שנכון נוכל להוכיח. יתרה מזו, דנו בדוגמאות בהן *ברור* שחוסר היכולת לספק הוכחה פורמלית במערכת מסויימת איננו מעיד על טשטוש של ערך האמת: כל הפסוקים מטיפוס "קיים X כך ש-(משהו ניתן לחישוב)". אין לנו ספק שאם מערכת אקסיומטית סבירה לא מסוגלת להוכיח משהו כזה, זה רק מעיד על חולשתה, ובאמת אין מספר X כזה (כי אם היה, היינו יכולים להציגו, ולהוכיח שהוא כזה באותה מערכת). אם כך הוא בפסוקים מסוג זה, אני לא מצליח להבין מדוע מפרשים אחרת בפסוקים מסוג אחר. נימוק אחר שאפשר להעלות (והעליתם) הוא כזה: אם אני כל כך נאיבי שאני מייחס ערך אמת לכל פסוק כנ"ל, למה אני עוצר כאן ולא ממשיך אל השערת הרצף וכו'? בשלב זה, התשובה שלי היא שאני באמת לא בטוח שאני חייב לעצור, אבל אם אני רוצה לעצור, אני יכול להצדיק זאת כך: כמתים המתייחסים לקבוצות שרירותיות של טבעיים הם מיד חשודים יותר מכמתים המתייחסים למספרים עצמם. המושג "קבוצה שרירותית" הוא באופן איכותי יותר בעייתי מהמושג "מספר טבעי שרירותי", מסיבות שאני חושב שכולנו מסכימים עליהן (ואם לא, אפשר לדון גם בזה). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"היעלמותי הקרבה ובאה"? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הוא יוצא לחפש את הסנרק. איפה מחפשים? בגוגל, כמובן. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מחר. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
שכחת להוסיף ''כה''ב'' בכותרת. מחר כבר יהיה לי קשה להגיב, אז אשמח אם תכתוב משהו אבל יכול להיות שתצטרך קצת לחכות עד שאענה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לאן ומדוע אתה נעלם? האם זו חטיפה ידועה מראש? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תודה על הפירוט. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כמעט אפשר לחשוב שנעלבת. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
באמת נעלבת? אפשר לשאול למה? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לשאול פולנייה ''למה נעלבת'' פירושו להוסיף חטא על פשע. אני אמשיך לשבת לבד בחושך. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אולי יעזור אם אפנה אותך לפתיל בערך החל מתגובה 383437. שימי לב במיוחד לידיד מתגובה 431142. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
טוב, נתחיל בתגובה 318029. אני הייתי מתאר את ההיררכיה האונטולוגית קצת אחרת. 0. המספרים הסופיים1, זאת אומרת, הטבעיים אבל בלי התיחסות לקבוצות אינסופיות בכלל. בלי "כל הטבעיים" או "כל הזוגיים". המספרים הסופיים האלה, הם אלה שעמם יש לנו ניסיון יומיומי ישיר ועשיר ולגביהם אני מוכן לקבל את הקביעה "קיים ערך אמת מוחלט"2. הלוגיקה ונגזרותיה נכנסת בו זמנית יחד עם המספרים הסופיים, אלא שהיא חלשה בהתאם: הכמתים מוגבלים לקבוצות סופיות מוגדרות (כל המספרים עד 5). גם תורת הקבוצות הסופיות-תורשתית3 נמצאת כבר כאן. כל אלה נראים לי שקולים מבחינה אונטולוגית. אחרי זה באים (1.) המספרים הטבעיים הרגילים, כמקשה אחת, עם הקבוצות הלא שרירותיות (אתה הבדלת בין "קבוצה שרירותית" ל- "מספר טבעי שרירותי", אבל נכון יותר לדעתי להבדיל בין קבוצות שרירותיות למפורשות). יחד אתם אני מקבל יותר לוגיקה ואת כל הקבוצות הסופיות תורשתית יחד (תורת הקבוצות בלי אקסיומת האינסוף). אחרי זה מגיעות (2.) הקבוצות השרירותיות של טבעיים והקבוצות האינסופיות בתורת הקבוצות וגם הכח המלא של הלוגיקה המוכרת. כשמסתכלים על זה כך, כבר המבנים ששייכים ל-1 אינם מתוארים באופן מלא ע"י הניסיון. אני לא אומר שאין הבדל בין 1 ל-2 (למשל ביחס לפסוקים דמויי-גולדבאך), אבל אני לא חושב שהאובייקטים ב-1 הם מוחלטים. לקח לי הרבה זמן (גם נטו) לכתוב את התגובה הזו ואני לא ממש מרוצה. כדאי שתשאל שאלות כדי שאבין מה רציתי לאמר. 1 סתם שם. 2 לצורך הדיון הזה. 3 אלו שמורכבות רק ממספר סופי של קבוצות סופיות-תורשתית. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"סוד הקבוצות השרירותיות של מספרים טבעיים" הוא המשכן של תיאוריות "מדעיות" שאותי כלל וכלל לא הרשימו. _______________ רמז: אם תאמרו "די, ספחת, יצאת מכל החורים", אז אשיב: "קפוצי תחת ימותו בסוף מטחורים!" |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
משהו עם מונאדי? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בלעכס, את זה היינו אמורים לפתור? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אצלי האסוציאציה היתה מיידית, אבל כנראה הפופולריות של שיטת פאולה כבר לא מה שהיתה פעם. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"אני לא חושב שהאובייקטים ב-1 הם מוחלטים." - זה כל מה שאני מנסה להבין: מנין הספקנות הזו? נדמה לי שאתה אומר שיש אפילו משפטים דמויי-גולדבך שאין להם ערך-אמת, וודאי שאתה אומר שיש משפטים דמויי-twin-primes שאין להם ערך אמת. לגבי המקרה הראשון, זה נשמע לי ממש מוזר, אבל לא אכנס לסיבות לפני שאוודא שאתה באמת מתכוון לכך. לגבי המקרה השני - מדוע אתה סבור כך? התיזה שלי היא שחולשתן של מערכות אקסיומטיות היא נימוק מאוד לא משכנע. האם זה הנימוק, או שיש אחד אחר? 1 ליתר דיוק: לא אבדנו, פשוט עבדנו. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לענות לך עכשיו או לחכות 8 חודשים? בקצרה: כמו שאני רואה זאת, רק לגבי הדברים ב-0 יש לנו ניסיון "ישיר" (כמו האבחנה ש-2+2=4). לגבי דברים ב-1 ההבנה שלנו נובעת מאנאלוגיות ותובנות שנובעות מהמקרה הסופי. זה כולל גם היסקים לוגיים וגם את ההנחה שלכל משפט דמוי-גולדבך יש ערך אמת (על זה אולי אפשר להתווכח, אבל זה לא נראה קריטי לדיון). ההנחה הזו נראית לי די ייחודית למשפטים דמויי-גולדבך, קשה לי לראות סיבה להניח משהו דומה לכל משפט מסדר ראשון. אני מניח שאפשר לכנות את גישתי "פיניטיסטית-אפיסטמולוגית". פיניטיסטיים בדרך כלל מאמינים שהדברים היחידים שקיימים באמת הם סופיים ואולי מן הראוי לכנות זאת "פיניטסטי-אונטולוגי". לשיטתי, מבנים אינסופיים קיימים, אבל אין דרכי חקירה אינסופיות. כיון שכך, שום אובייקט אינסופי "סביר" אינו מוחלט כי ישנן תכונות שלו שאינן נקבעות ע"י שיטות החקירה שלנו. בפרט המספרים הטבעיים (מרמה 1 ומעלה) אינם מוחלטים. עוד יותר בקצרה: הנימוק שלי הוא חולשתן של שיטות החקירה שלנו, כולל מערכות אקסיומטיות. 1ולפיכך אבדנו. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אולי אני מתפרץ לדלת פתוחה, אבל הנה שני הביט שלי: משפט פיתגורס מוכח באופן כללי לכל זוג שלמים a ו-b המשמשים כניצבים במשולש ישר זווית. אם מתעקשים להיות אמפיריציסטיים, ניתן לנסח את ההוכחה כתוכנית מגירה שתופעל מחדש עבור כל משולש שמדען יתקל בו. כלומר, לכל הפחות ניתן להסכים (אני מקווה) שהמשפט נכון עבור משולשים שניתקל בהם. כך שבמידת הצורך, יתאפשר לבצע סיקול ממוקד במרכז היתר. אם כמה עשרות אלפי תצפיות מספיקות כדי להניח ש*כל* שני גופים מושכים זה את זה בפרופורציה הפוכה למרחקם בריבוע, וזה נחשב חלק משיטות החקירה שלנו - אני חושב שיהיה זה אך הוגן להכליל את הוכחת משפט פיתגורס כחלק משיטות החקירה שלנו. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
איפה כתבתי שהוכחת משפט פיתגורס אינה חלק משיטות החקירה שלנו? ההוכחה היא סופית, לא? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא הצלחתי להמתין בסבלנות עד תום תקופת הצינון בין תגובות בדיוננו. סליחה, אם כך, על שאני מתפרץ לדבריך. ראה, ברור שאיני יכול "לסתור" את הגישה שאתה מציג. את מה ששיטות החקירה שלנו יכולות לברר, שנינו מסכימים שהוא מוחלט (במידה ידועה). מה שלא מאפשר בירור כזה הוא, בהגדרה, בלתי-נודע, והויכוח אם הוא "מוחלט, אך לא ניתן לידיעה" או "לא מוחלט" הוא ויכוח תיאורטי או פשוט חסר-שחר. בכל זאת אקשה. כמו שכבר הזכרנו, ישנם דברים ששיטות החקירה שלנו אינן קובעות ובכל זאת (נדמה לי) שאין ויכוח שיש להם ערך-אמת: "לקליאופטרה היה סוג דם A", "לשייח ספיר יש תודעה" וכו'. אם אתה מסכים לזאת, אזי ישנם דברים שהם מוחלטים למרות שתכונותיהם אינן נקבעות ע"י שיטות החקירה שלנו, ומכאן שההיקש "אינו מוחלט *כי* ישנן תכונות שלו שאינן נקבעות..." אינו תקף. דרוש דבר-מה נוסף - מהו? מה הופך את הטענה "בפיתוח העשרוני של פאי יש רק מספר סופי של 7-ים" ליותר לא-מוחלטת מהשאלה על קליאופטרה? ועדיין לא הצלחתי להבין אם אתה מסכים שלכל פסוק דמוי-גולדבך (פאי-0-1?) יש ערך אמת, או שגם זה לא. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
עדיין לא הגיע תורי להגיב, כמדומני, ואכן לא אגיב, רק אקשר ל: |
|
|
|
| חזרה לעמוד הראשי |  |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |