בתשובה לעומר, 16/07/05 22:11
 |
|
 |
||
|
||||
 |
יסודות המתמטיקה: לא, אני לא מדבר על משהו שמניח את גדל. גם אם התקווה הפורמליסטית היתה מתגשמת במלואה, זה לא היה נותן "יסוד איתן" יותר מכל דבר אחר שאנחנו בטוחים בו: להטיל ספק זה קל. למה שמודוס פוננס יהיה נכון? מי אמר שאקסיומת האינדוקציה נכונה? התכנית של הילברט שאפה לרדת לדברים כה פשוטים שהם מאוד מאוד סבירים, אבל שום דבר איננו ברור עד שלא ניתן לערער עליו. השלכות על הפילוסופיה: ברור שאלמלא גדל, יכולנו להמשיך ולהניח בתמימותנו ש-PA, או ZFC, או איזושהי מערכת אקסיומטית אפקטיבית אחרת, באמת מספרת "את כל הסיפור" על הטבעיים, או על עולם הקבוצות, או על משהו אחר: מה שנכון הוא מה שאפשר להוכיח, מה שאפשר להוכיח - נכון. זה היה נוח מאוד (אם כי, כאמור, גם זה לא היה "מוכיח" משהו לגבי יסודות המתמטיקה). כיוון שאין זה כך, נוצר כר נרחב לפעילות פילוסופית: את מה כן כדאי להניח? את מה לא? איך מפרשים תוצאה כמו אי-תלות השערת הרצף? במובן מסויים, ההשפעה העצומה של משפט גדל על הפילוסופיה של המתמטיקה היא שהוא מאפשר לחלקים גדולים ממנה להתקיים. קל וחומר: הבנתי היטב, אבל כמו שאמרתי, זה לא שלפני גדל המתמטיקה כן היתה יכולה להיות בנויה על יסודות בטוחים, ואחריו לא. היא היתה רק יכולה להיות בנויה קצת אחרת, אולי יותר פשוט. כאמור, על 99.9% מהעשייה המתמטית, כל הפלפולים הללו לא משפיעים. נוסף על כך, השימוש ב"קל וחומר" כאן אינו נהיר לי. אם א' מסובך, קל וחומר ש-ב' מסובך? מדוע, כי ב' בבירור יותר מסובך מ-א'? מדוע שתורת הספרות תהיה יותר מסובכת, או בעייתית, או לא-משנה-מה, מאריתמטיקה? ברור לגמרי שהיא בד"כ פחות חד-משמעית; אבל סביר גם, למשל, שאין לה כל צורך במושג האינסוף. אז מה אומר הקל-וחומר? |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
אני מסיק מדבריך (ואני מקווה שאני לא טועה הפעם) שתוכל להסכים להיגד הבא: בעקבות משפטי גדל הוכח שאין מערכת אקסיומטית אפקטיבית ש"מספרת את כל הסיפור" על המספרים הטבעיים (אפילו שבלעדי המשפטים הללו לא היה מוכח ההפך). אז מה הפגם בצעד הבא: "אם כך במתימטיקה, קל וחומר שכך גם בתחומים שמטבעם הם הרבה פחות "נקיים", מוגדרים-היטב, בהירים, בנויים-אקסיומטית, כמו השפה הטבעית, למשל"? זה עשוי להישמע לך טריוויאלי ("בשביל זה לא צריך את גדל") אבל תיזכר למשל בדיון 1539 מדוסקסות שם בעיות לא רחוקות. מעבר לזה, הנייטרליזציה שאתה עושה להשלכות הפילוסופיות-של-המתימטיקה של משפטי-גדל לא יכולה שלא להישמע קצת מיתממת: "נוצר כר נרחב לפעילות פילוסופית... ההשפעה העצומה של משפט גדל על הפילוסופיה של המתמטיקה היא שהוא מאפשר לחלקים גדולים ממנה להתקיים". אז מה, בסך הכל מדובר בכמה פילוסופים מובטלים שמצאו תעסוקה? הרי ברור שזה לא כך. חסר לי קצת זעזוע, קצת דרמה, קצת ציפיות שנכזבו, משהו... זה לא סביר בעיני להציג את תולדות-פילוסופיית-המתימטיקה כלא יותר מאשר אוסף של טענות והשערות, שחלקן לפתע מקבלות חיזוק מסויים, חלקן נאלצות להתבטל, אחרות מופיעות במקומן וכו'. (פה אני מרחיב את הטיעון שלי, אבל) פילוסופים הם בני אדם, ולאירועים פילוסופיים (הוכחת משפטי גדל, למשל) יש השלכות פילוסופיות שכמעט תמיד חורגות מגרירה לוגית גרידא. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה לא שזה נשמע לי טריוויאלי, אני פשוט (בכנות, באמת ובתמים) לא מבין מה גדל תורם לדיון על תחומים כאלה. המשפט של גדל מבוסס על "פרדוקסים" הקיימים בשפה הטבעית באופן הרבה יותר פשוט. אתה רוצה לומר שאין דרך חד-משמעית להגדיר "אמת" בשפה טבעית? קח את "משפט זה הוא שקר". אתה רוצה לומר שגם אם מנסים להצטמצם למשפטים בשפה הטבעית המתארים משהו ברור כמו מספרים, מגלים שלא ניתן לעשות זאת? קח את "המספר הקטן ביותר שלא ניתן לתאר בפחות ממאה מילים". או נסה לחלק את שמות-התואר ל-self-referntial וכאלה שהם לא. כל הדברים הללו הם אכן "גדליים" ברוחם, אבל הרבה יותר *קל* לראותם ולהבין אותם בהקשר הטבעי שלהם - שפה טבעית. מה שגדל השיג הוא הכיוון ההפוך: תרגום מפתיע שלהם ללוגיקה פורמלית. למה, אם רוצים לשוב ולדון בשפה טבעית, צריך לחרוק שיניים ולסחוב את גדל בחזרה למקומות האלה? מה זה נותן? הפרדוקסים האלה, של השפה, נראים לרבים אזוטריים - אבל זה בדיוק אותה אזוטריקה שגדל הציב בלוגיקה פורמלית. הם בדיוק האנלוגיה הנכונה למשפטי גדל, והרבה יותר סביר לדון בהם מאשר במשפטיו. אני אמרתי שמדובר ב"כמה פילוסופים מובטלים שמצאו תעסוקה"? זו דרך קצת דמגוגית, נדמה לי, לנסח את מה שאמרתי. שאלת איך הייתי מנסח את ההשפעה שלו על פילוסופיה של המתמטיקה, עניתי. אתה רוצה לדבר על הדרמה האנושית? בבקשה, היא מעניינת; סיפורי חייהם של פוסט, טיורינג, גדל, פרגה, קנטור ואחרים הם מרתקים, ואכן מלאי דרמה (בהחלט גם בשאיפותיהם הפילוסופיות או המתמטיות). לא הבנתי שזה הנושא. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נראה לי שאתה צודק. אני לא בטוח שיש הצדקה להפרדה בין ההשפעות-בפועל של גדל על האופנים שבהם הפילוסופים תופסים את העולם, לבין ההשלכות הפילוסופיות-במובן-החמור שלו; אבל שכנעת אותי שאם מתמקדים בהשלכות הפילוסופיות ה"נאותות" שלו, לא אמורה להיות לגדל השפעה משמעותית מחוץ למתימטיקה. אז יש לי שאלה אחרת, ברוח סקרנית יותר: האם אתה חושב שגם מבחינה היסטורית-בפועל לא היתה לגדל השפעה משמעותית על, נניח, מדע הפסיכולוגיה? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה יהיה מאוד יומרני מצדי להשיב על השאלה הזו. כמשפט מתמטי הוא בלי ספק זכה לפרסום עצום, ואני גם נוטה להסכים שהוא יצר איזשהו "צייטגייסט" של טענות מגבילות מהסוג של "לא ניתן לעשות X". הוא בוודאי לא התוצאה המתמטית הראשונה מהסוג הזה (אפשר לחשוב גם על אי-הפתירות של משוואות פולינומיאליות ממעלה גבוהה), אבל כנראה שזו התוצאה הראשונה מסוגה ששבתה - מסיבות טובות, או לא - את דמיונם של רבים. האם פסיכולוגים הגיעו לתובנות נכונות, מעניינות או חשובות בהשראת משפט גדל? אין לי מושג. המאמר נכתב על רקע העובדה שחלק ניכר מהדוגמאות בהן מתייחסים *מפורשות* למשפט גדל כדי "להראות" משהו הן שגויות באופן יסודי, אבל אין לי יכולת לקבוע אם הפרסום שהמשפט זכה לו "הזיז" משהו בראש של הרבה אנשים שלא ניסו לגזור ממנו משהו ישירות אלא סתם שינו את הגישה הכללית שלהם לחיים. כאמור, אני חושב שגם אם זה קרה, זה היה יכול ו"צריך" לקרות גם אם אותם אנשים היו מתעמקים בפרדוקסים-לכאורה של השפה, למשל. מה שגדל נתן להם הוא תרגום של זה למתמטיקה, אבל מדוע דווקא התוצאה המתמטית הרטיטה את ליבם, כשהמקבילות שלה בשפה הטבעית הן נגישות יותר? תשובה יומרנית אפשרית היא שאנשים מייחסים חשיבות רבה (ומוגזמת) לתוצאות מתמטיות, חשיבות רבה יותר ככל שהם מבינים אותן פחות. זו כשלעצמה תופעה מעניינת (אם היא נכונה). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"אבל מדוע דווקא התוצאה המתמטית הרטיטה את ליבם, כשהמקבילות שלה בשפה הטבעית הן נגישות יותר?" אתה יכול לתת דוגמא למקבילה כזאת (פרדוקס-לכאורה בשפה הטבעית, שגדל תרגם *אותו* למתמטיקה? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
פרדוקס השקרן: |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הזכרתי שלושה כאלה בתגובה 317325. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
יפה. חשבתי שאולי לכאלה הכוונה, אבל לא הייתי בטוחה. אם כך, שני דברים: 1. קשה מאוד לקרוא למשפט גדל "תרגום" של פרדוקסים כאלה. למעשה, זה אפילו לא תרגום במובן שאתה תתרגם את הפרדוקס של ראסל לפרדוקס הספר. כי גדל הרי מרחיב מאוד את ההסתכלות הטבועה בפרדוקס השקרן, ובאופן לא טריוויאלי: קל מאוד לבוא "אחריו", ולומר - "פרדוקס השקרן כבר אומר את זה". אבל זה ממש לא מדויק: פרדוקס השקרן מדבר על עניין "נקודתי" לכאורה, ואילו משפט גדל מדבר על מערכות. 2. ודאי זכור לך שהתקיים כאן לא מזמן דיון על ההתפתחויות הרלוונטיות שחלו במהלך חמשים השנה שקדמו למשפט גדל ואפשרו אותו. אם אינני טועה, כל - או לפחות רוב מוחץ - מההתפתחויות שהזכרת, לא היו "מתמטיות" טהורות, אלא יותר מכיוון הפילוסופיה של המתמטיקה (כמו "הפרינקיפיה", למשל). כעת לדעתי, אותן התפתחויות התרחשו על רקע פורה של התפתחויות בחשיבה הכללית (אותו צייט-גייסט שהזכרת), בעיקר בכיוון של דגש על self-refference בתחומים תרבותיים שונים. במובן הזה, נראה לי סביר ולגיטימי "לרפד" את התרבות במשמעויות שונות המהדהדות ממשפט גדל - גם אם במסגרת מתמטית טהורה אין הוא מוכיח אותן כלל. (דיסכליימר: מכאן אין להסיק שאני מסכימה עם טענה כלשהי מבין אלה שציטטת כשגויות). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1. "מערכות" (פורמליות, אפקטיביות, אריתמטיות, עקביות) זה עניין אפילו-פחות-מנקודתי עבור העוסקים בפסיכולוגיה, למשל. כאמור, אני לא יודע אם בכלל אפשר לעשות משהו בפסיכולוגיה בעזרת התובנה הגדלית, אבל גם אם כן, עדיין נראה לי יותר סביר להשתמש בדמויי-גדל בשפה הטבעית (יותר סביר בדיעבד. עכשיו מאוחר מדי...) 2. ה"ריפוד" הזה הוא בסדר אם הוא נעשה בצורה מפוכחת; יותר מדי פעמים, הוא לא. אין לי שום דבר נגד אנלוגיות והשראה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
האמת, הייתי חושבת הרבה יותר על פילוסופיה וספרות מאשר על פסיכולוגיה, מאידך גיסא, כיוון שממילא אין כאן תהליך של "הוכחה", העובדה שגדל דיבר על מערכות אפקטיביות, עקביות וכיו"ב - איננה רלוונטית כלל ועיקר: אני מניחה שה"גזירה" ממנו מתייחסת בעיקר להסתכלות "מתוך" מערכת מסוימת או "מחוץ" לה - וזה מספיק כרעיון טוב להרבה דברים, שאינו נגזר אוטומטית מפרדוקס השקרן, למשל. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
>כאמור, אני חושב שגם אם זה קרה, זה היה יכול ו"צריך" לקרות גם אם אותם אנשים היו מתעמקים בפרדוקסים-לכאורה של השפה, למשל. מה שגדל נתן להם הוא תרגום של זה למתמטיקה, אבל מדוע דווקא התוצאה המתמטית הרטיטה את ליבם, כשהמקבילות שלה בשפה הטבעית הן נגישות יותר? תשובה יומרנית אפשרית היא שאנשים מייחסים חשיבות רבה (ומוגזמת) לתוצאות מתמטיות, חשיבות רבה יותר ככל שהם מבינים אותן פחות. זו כשלעצמה תופעה מעניינת (אם היא נכונה). זה דווקא נראה לי ברור. כשמסתכלים על פרדוקסים ובעיות בשפה טבעית מהר מאוד מגיעים למסקנה שרובן ככולן נובעות מניסוח בעייתי או עמימות. מה שמשפט גדל מראה הוא שאחרי שמקלפים את העמימויות, נשארים עם טיעון מדויק וחזק שמסוגל להוכיח משהו. במילים אחרות, יש משהו אמיתי מתחת לבלגן של השפה הטבעית. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
דווקא התוצאות-דמויות-גדל בשפה הטבעית לא נובעות מעמימות; נהפוך הוא, הן *מראות* שיש עמימות בלתי-נמנעת בשפה - וזו, נדמה לי, ההשראה שהרבה אנשים מנסים לשאוב ממשפט גדל. אבל אני מסכים גם עם זווית הראייה שלך :-) | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ולאו דווקא בפילוסופיה המתימטית שלהם - לדוגמה, דעותיו האנטישמיות של פרגה. האחרים ברשימתך אינם, כמדומני, מעניינים פחות בתלאותיהם/מאווייהם/דעותיהם. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הי, נחמד לשמוע ממך שוב. (לא ידעתי על דעותיו האנטישמיות של פרגה. מעניין). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הי. במצב זמני והאנרגיה הפסיכופיזית הנוכחיים שלי כנראה היתה צריכה להיות כתבה מעניינת מאוד על-מנת לעורר אותי מההייברנציה. לגבי פרגה, נדמה לי שבאחד מספריו של הפילוסוף מייקל דאמט (cf. http://www.iep.utm.edu/d/dummett.htm) כנראה ב- "Frege: Philosophy of Language", הוא מיצר בהקדמה על-כך שהוא בדיוק גילה שאחד מגדולי הפילוסופים של כל הזמנים היה אנטישמי*. הוא כמובן מתייחס שם לפרגה. יש להבין כי דאמט הקדיש חלקים גדולים ביותר מהגותו הפילוסופית לחקר כתבי פרגה, והגותו שלו (של דאמט) היא סינתזה מוזרה בין פרגה וויטגנשטיין. ד"א, אני ממליץ לך לקרוא את/לעיין ב ספר אחר של דאמט בשם "Truth and other enigmas", שאחד המאמרים שם נקרא: "The Philosophical Significance of Godel's Theorem". מאמרים נוספים שם שעשויים לעניין אותך לדעתי הם:"Platonism" יש סיכוי מצויין שתבין אותם טוב ממני..."The Philosophical Basis of Intuitionistic Logic" "Wang's Paradox" "Is Logic Empirical" "The Justification of Deduction" * הוא בטח אומר משהו קצת אחר, אבל אין ברשותי הספר. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תודה שהזכרת לי מי כתב את "Truth and other enigmas": אני נזכרת מדי פעם בספר הזה ובשמו המקסים, ומשום מה שוכחת שזה דאמט. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תודה. את המאמר "The Philosophical Basis of Intuitionistic Logic" יש לי (מופיע בקובץ החצי-מעניין-חצי-מתסכל של בנסראף ופטנם), ואני חושש שלא הגעתי רחוק בקריאתו; נתת לי מוטיבציה לנסות שוב. אם אצליח, אולי אנסה גם את ספרו.
|
|
|
|
| חזרה לעמוד הראשי |  |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |