בתשובה לד.ק., 04/07/05 22:29
 |
|
 |
||
|
||||
 |
אין לי כמעט ספק שהלמידה האנושית לא מתבצעת ע"י מילוי ערכים בשדות מוגדרים מראש, אבל למה צריך משתנה מסוג "משתנה"? המשתנים היחידים שיש ברשת נוירונים (למשל) הם אלו המחזיקים את מצבו הפרטי של כל נוירון; המערכת "יודעת" דברים (כמו לזהות את הספרה 3 במודל של ראייה ממוחשבת) דרך שינויים סטטיסטיים בקונפיגורציה של המוני משתנים כאלה. כך, כנראה, זה עובד גם במוח. אין לנו משתנה מסוג "מחרוזת" המתמלא בערך "טגוסיגלפה", אבל פונקציונלית מה שמתרחש הוא לא יותר מאשר זכירה של מחרוזת וקישורה להונדורס דרך "עיר בירה". __ ג. שגוי. המשפט G איננו נכון, ולא אתה ולא אף אחד אחר לא "רואה" שהוא נכון. שלחתי אתמול לשני חברים גירסה ראשונית של מאמר על משפט גדל; אתה מוזמן להמשיך לחקור אותי בנושא ג. הזה, אבל אפשר גם לחכות למאמר שאולי יתפרסם. |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
ממה שאני מבין, כל דבר שרשת נוירונים יכולה לעשות, יכולה לעשות גם מ"ט (תקן אותי אם אני שוב טועה). מאחר שאנחנו עוסקים בהוכחה ולא בתכנות ממש, עדיף שנתייחס למ"טים ולא לרשתות נוירונים ונחסוך לעצמנו את הקופסה השחורה. אני לא יודע מה עושה רשת הנוירונים כדי לזהות את הספרה 3 ולכן אני לא יודע להתייחס לזה. אני יותר קרוב ללימוד שפה מאשר זיהוי תמונה, אבל אני מניח שהבעיות קרובות זו לזו. בלימוד שפה, וזה לא משנה באיזה סוג של מערכת אתה משתמש, אתה חייב להבנות את הנתונים. עצם העובדה שאתה אומר למחשב להתייחס לרווח כאל מפריד בין יחידות זה כבר הבנייה שאני לא רואה איך המחשב יכול לעשות לבד. ___ האם אתה מעדיף שאחכה למאמר? אם לא: בוא ניקח את מערכת סיגמה-פי. האם זה נכון שלמשפט "למשפט זה אין הוכחה בסיגמה-פי" יש משפט מקביל Gp בסיגמה-פי? האם זה נכון ש-Gp הוא נכון בסיגמה-פי? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה נכון שלרשת נוירונים אין כוח חישובי רב משל מ"ט, אבל אני סברתי שבחלק העליון של תגובותינו האחרונות אנו עוסקים בדיון על סבירות של מחשבים לומדים, לא הוכחות חישוביות פורמליות. עמדנו כבר על הפער בין לימוד ובין חישוב טיורינגי (דוגמת המחשב בלולאה). במצב זה, אני חושב שיקל עלינו להעריך סבירות של פעולה גבוהה כמו "למידה" דווקא במערכת מורכבת כמו רשת נוירונים, ולא במערכת איטית ופרימיטיבית כמו מ"ט. אני לא בטוח שאני מבין למה כוונתך ב"להבנות את הנתונים". על התהליכים המוחיים של זיהוי תמונה אנו יודעים יחסית הרבה (כלומר: ממש מעט, אבל לא שום כלום), וחיקויים עלובים שלהם ברשתות נוירונים כבר נוצרו, למיטב ידיעתי. אני לא מצליח לראות מובן שבו יוצרי הרשתות הללו "הבנו" לתוכן את הנתונים הרלוונטיים: כל העניין שם הוא "לאמן" את המערכת להבחין בין צורות שונות בלי שאמרו לה מראש מה הן. __ אני (שוב) לא יודע למה אתה מתכוון בסיגמה-פי, אבל אני מוכן לענות על השאלה בהנחה שזו איזושהי מערכת אקסיומטית כלשהי T כמו PA, ZFC, ACA או מה שלא יהיה. אני גם מוכן להמר שהתשובה היא אותה תשובה: לא, המשפט הוא לא "נכון בסיגמה-פי"1, ולמעשה הוא לא נכון בכלל, מהסיבה הפשוטה שאם T איננה עקבית, אז T כן מוכיחה את Gp. מה שנכון הוא לא Gp, אלא המשפט "Gp (בהנחה ש-T עקבית)", או לחליפין "אם T עקבית אז Gp". זה המשפט שאנו, בני-האדם, רואים שהוא נכון. הנקודה שנדמה לי שאתה מחמיץ היא שזה גם משפט ש*אפשר* להוכיח פורמלית ב-T, ולמעשה בכל מערכת אריתמטית, אפילו חלשה למדי. יתרה מזו, הוכחת משפט גדל אפשרית בדיוק בגלל שאת המשפט הזה אפשר להוכיח פורמלית. משפט-גדל על מערכת, אני מדגיש שוב, הוא לא מטא-משפט עם מטא-הוכחה, אלא סתם משפט רגיל שניתן להוכחה בתורה עצמה. אם אתה טוען שאנו "רואים" ש-Gp נכון וזהו, בלי קשר לשאלה (שנראית לך לא מעניינת) האם T היא עקבית, אתה צריך לדעת שהראייה הזו שקולה בדיוק לראייה ש-T היא אכן עקבית (כלומר, לדעת ש-Gp נכון זו לא סתם הנחה הנובעת מעקביות T, היא למעשה גם מוכיחה אותה). אתה רשאי לטעון שבני-אדם "רואים" ש-T היא עקבית. כיוון שאנחנו *יודעים* שבדיוק את הטענה הזו אי-אפשר להוכיח ב-T, הרי שאתה אומר אחד משניים: או שאנו מוכיחים את האבחנה הזו במערכת פורמלית אחרת (שאז מ"ט יכולה לעשות בדיוק את אותו הדבר), או שאנחנו אמנם לא יכולים להוכיח את זה פורמלית אלא רק "לראות", באיזשהו מובן אינטואיטיבי, שזה נכון - וגם את זה, כמובן, מ"ט יכולה לעשות (כיוון שה"ראייה" הזו איננה מושג פורמלי, אינך יכול להשתמש בגדל, טרסקי וצ'ייטין כדי לטעון שמ"ט לא יכולה אף היא לרכוש את האינטואיציה הזו). 1 שמתי מרכאות מפני שאני לא מכיר מובן מקובל ל"נכון ב-T" כש-T היא תורה. "נכונות" תלויה במודל, "יכיחות" - בתורה (ולתורה לא עקבית אין בכלל מודלים). אני מניח שזה רק ניטפוק לא חשוב. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
שוב, אני לא מבין ספציפית בזיהוי תמונה, אבל כדי שהמחשב יזהה צורות, כדי שהוא ילמד משהו מסט האימון, אתה צריך להגיד לו די הרבה. אתה צריך להגיד לו מה זו צורה ואתה צריך להגיש לו את הנתונים בצורה של פיקסלים. אני לא חושב שבן-אדם מקבל את הפריבילגיות האלה כשהוא נולד. --- (סיגמה-פי זה איך שהמורה שלי קרא למערכת שמבוססת על האקסיומות של פיאנו וחלה על המספרים הטבעיים. זה מה שאתה קורא PA?) שתי שאלות: א. האם האדם כמערכת פורמאלית הוא לדעתך לא מערכת אינסופית שחשופה למשפט גדל? ב. האם לדעתך האדם כמערכת פורמאלית הוא מערכת לא עקבית? כי נראה לי ש: א. אם האדם מסוגל לאריתמטיקה בסיסית אז זה כבר מראה שהוא אינסופי לפחות באותה מידה. ב. אם הוא מערכת עקבית, אז זה נכון ש-Gp נכון עליה, וזה נכון שהיא לא יכולה להוכיח את זה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נתוני הראייה מוגשים למוח האדם בצורה של מתחים חשמליים בתאי-עצב. מדוע זה שונה מפיקסלים? __ PA זה Peano Arithmetic, כן. אני מנסה לפענח את הביטוי "האדם כמערכת פורמלית". מדובר במשפטים המתמטיים שבני-אדם יודעים להוכיח, או בידע האנושי באופן כללי - כשחם אז מזיעים, דמוקרטיה זה טוב, דברים כאלה? לאור העובדה שאתה מדבר על "עקביות" אני נוטה להניח שזה הראשון (ידע "רך" מהסוג השני לא עונה אפילו על הדרישה הלוגית הבסיסית של היות אמת או שקר). מצד שני, מה שהאדם יודע להוכיח מתמטית, זה מה שהוא יודע להוכיח ב-ZFC (לעיתים נדירות מוסיפים עוד כמה אקסיומות, שלאף אחד אין מושג אם הן נכונות, כמו שלאף אחד אין מושג אם כל האקסיומות של ZFC נכונות). איך ייתכן שנסיק שאדם איננו מ"ט/מערכת פורמלית מתוך התבוננות במערכות הפורמליות בהן אנו משתמשים כדי לעשות מתמטיקה? עניין ה"אינסופיות" גם הוא לא ברור לי. מה זה "מערכת אינסופית"? מספר האקסיומות שלה? גודל המודלים שלה? מה הקשר ל"חשופה למשפט גדל"? עבור *כל* מערכת עקבית, בין אם היא האדם ובין אם לא, זה "נכון ש-Gp נכון עליה", וזה נכון שהיא לא יכולה להוכיח את זה. למה להסתבך? תגיד פשוט, כל מערכת עקבית (המקיימת תנאים מסויימים) לא יכולה להוכיח שהיא עקבית. עכשיו, מה הטיעון? שאנחנו יודעים באיזה אורח-פלא שהמערכת-הפורמלית-האנושית היא עקבית? מהי המערכת הזו, ואיך אנחנו יודעים שהיא עקבית? חסר לי גם הפאנץ'-ליין של הטיעון. נראה לי שסיימת בנקודה בה הראית שהאדם-כמערכת-פורמלית לא יכולה להוכיח משהו (את Gp). אז? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
א. אתה אומר שהאדם שקול למ"ט. מ"ט שקולה למערכת פורמאלית. מכאן שהאדם שקול למערכת פורמאלית. ב. כשאני מוכיח ש:"1+1=2" או משהו כזה, זה אומר שהאינפורמציה הזאת נמצאת בתוכי בצורה זו או אחרת, בשפה זו או אחרת. זה אומר שבשפה הפורמאלית שבה המערכת השקולה לי מנוסחת, ניתן לבטא ולהוכיח "1+1=2". ג. אתה אומר שידע "רך", כמו המשפטים "כשחם אז מזיעים", הוא לא אמיתי או שקרי. האם ידע זה כולל את המשפט "האדם הוא מ"ט"? ד. בהנחה ש-PA עקבית, מוכח לי ש-Gp נכון, כלומר הוכחתי את Gp . אבל אם PA עקבית אז היא לא יכולה להוכיח את Gp. מכאן שאני אינני PA. ה. אלא אם כן PA (או המערכת שהיא אני) איננה עקבית. מכאן שהמשפט "האדם הוא מ"ט ששקולה למערכת לא-עקבית" הוא בהכרח נכון, לא? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ב. "להוכיח" - מאילו אקסיומות? כשאנחנו מוכיחים משפטים במתמטיקה, אנחנו באמת עושים זאת במערכת אקסיומטית כלשהי. למה דרוש לדבר על "אינפורמציה שנמצאת בתוכי"? לרוב מדברים על מתמטיקה בשפה טבעית, אבל המתמטיקאים אכן מניחים שכל עובדה שהם מוכיחים ניתנת לפירמול (למשל) ב-ZFC. הם לא טוענים שהם "יודעים" באיזשהו מובן אחר שהטענות נכונות, או שיש להם איזושהי "אינפורמציה". ג. לא, הטענה על היות המוח שקול למערכת חישובית נראית לי די חד-משמעית. למה? ד. איך הגעת למסקנה שאתה אינך PA? אתה כן יכול להוכיח את Gp? אמרת שאתה יכול לעשות זאת *בהנחה ש-PA עקבית*. יפה. זאת יכולה לעשות גם PA! שים לב: אם PA עקבית, אז היא לא יכולה להוכיח את Gp. אבל היא כן יכולה להוכיח את "אם PA עקבית, אז Gp". ההבדל ברור? וברור מדוע זה *בדיוק* מה שגם אתה יכול לעשות? אני חוזר על מה שאמרתי קודם. אתה יכול להסביר שמערכת א' איננה מערכת ב' אם מערכת א' מוכיחה שמערכת ב' עקבית. למשל, עקביות PA מוכחת ב-ZFC; ואכן, ZFC איננה PA. אתה לא יכול להסביר שמערכת א' איננה מערכת ב' סתם מצירוף ההנחה "אם מערכת ב' עקבית", שזה מה שאתה עושה פה. אם יש לבני-אדם הוכחה *פורמלית* ש-PA עקבית, אז זו הוכחה באיזו מערכת אחרת שאיננה PA. יופי, אבל אז נשארים עם האפשרות שהאדם שקול (במילותיך) לאותה מערכת אחרת. ומה עם הוכחת העקביות של אותה מערכת אחרת? זו לא תימצא במערכת האחרת, וגם לא באדם. ה. כיוון ש-ד. שגוי, כך גם ה"אלא אם כן" הפותח את המשפט הזה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כן, הבנתי סוף סוף. אחרי שקראתי את המאמר של ראטיקינן. הבעיה היא עקביות המערכת. כלומר, אם נוכיח שלא ייתכן שהאדם הוא מ"ט השקולה למערכת לא-עקבית, אז הוכחנו שהאדם אינו מ"ט, נכון? לא שאני רואה איך אפשר לעשות זאת. אבל לאט לאט... כיצד ניתן להוכיח שמערכת כלשהי היא עקבית? איך מוכחת עקביות PA ב-ZFC? ___ בקיצור, שוכנעתי שכשלעצמו משפט גדל לא גורר את אי-היות האדם מ"ט. תודה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני משתדל לא להיעלב מכך שאחרי כל המאמצים מצאת את האושר בשדות זרים :-) "אם נוכיח שלא ייתכן שהאדם הוא מ"ט השקולה למערכת לא-עקבית, אז הוכחנו שהאדם אינו מ"ט, נכון?" לא הבנתי. למה? ובאיזה מובן של "נוכיח" אתה משתמש כאן? "כיצד ניתן להוכיח שמערכת כלשהי היא עקבית?" - צריך לבנות לה מודל. מן הסתם בשביל לעשות זאת צריך להניח שמערכת *אחרת* היא עקבית... "איך מוכחת עקביות PA ב-ZFC?" - ב-ZFC אפשר (בקלות) לבנות מודל ל-PA. הדרך המקובלת לעשות זאת היא להגדיר את "אפס" כקבוצה הריקה, ואת n+1 כאיחוד של הקבוצה n עם הקבוצה {n}. כמובן שיש להיזהר: ההוכחה הזו לא שווה כלום אם ZFC עצמה אינה עקבית, או אם יש לך סיבה לדחות את אחת האקסיומות של ZFC. למשל, אחת האקסיומות קרויה "אקסיומת האינסוף", והיא אומרת שיש קבוצה אינסופית; מי שלא מאמין שזה נכון, אין לו שום סיבה לקבל את ההוכחה הזו של עקביות PA. סתם, דוגמה, שנזכור מה זה "הוכחה". __ בבקשה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נו, אתה יודע, לפעמים אפשר להבין טענה כשקוראים אותה במאמר אחרי שהיא לא הובנה במסגרת של פולמוס (ולהיפך). אל תדאג, לא שוכנעתי שייתכן שהאדם הוא מ"ט, וגם לא שמשפט גדל לא קשור לזה. שוכנעתי שאני לא יודע להראות את הנביעה הלוגית ההכרחית מאחד לשני, ושהמאמצים של פילוסופים אחרים גם הם אינם מספקים. בנוגע לראטיקיינן (בינתיים קראתי עוד כמה מאמרים שלו), אני חייב לציין שאני נהנה הנאה צרופה מלקרוא אותו. הוא שקול, יסודי ובהיר. הירידות החוזרות שלו על צ'ייטין (איך בעצם מבטאים את זה?) משעשעות לנוכח האהבה הרבה שצ'ייטין רוחש לעצמו. אבל אני לא חושב שהוא צודק כל כך במה שהוא אומר. שוב, הביקורת שלו על האנטי-מכאניסטים מניחה את המבוקש במובן מסויים, והביקורת שלו על AIT נראית לי לא מוצדקת , אם כי אני צריך לחשוב על למה. בכל מקרה, אני חושב שזה חשוב מאוד. הוא בהחלט מהווה צד פורה בדיאלקטיקה שהנושא הזה נבנה דרכה. יש לו מאמרים חיוביים יותר, כלומר לא רק ביקורתיים? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא מומחה לראטיקיינן, אבל יש באתר שלו כמה וכמה מאמרים מעניינים. אני לא יודע אם הם "ביקורתיים"; הוא ודאי לא מתעסק רק בלהוקיע את צ'ייטין (איך מבטאים? "צ'אי" כמו תה, "טין" כמו בוץ). אני לא חושב שאתה צריך לנסות לבחון אם הביקורת שלו על AIT היא מוצדקת או לא, אלא להיפך: לנסות לראות אם אתה מסוגל לגזור איזו מסקנה מרחיקת-לכת מ-AIT, ואז להעמיד את טיעונך למבחן. אני סבור שזה dead end, אבל בהצלחה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני אשמח לנצל את ההזדמנות הזו כדי להגיד גם לך וגם לד.ק. שזה ללא ספק הדיון המהנה, המעשיר והמעניין ביותר שקראתי ב-''האייל הקורא'' עד עכשיו. הייתי גם מחמיא מאוד על רמת ואופן הדיון אבל אני ארגיש כמו מורה... |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תודה על המחמאה, אני קצת המום מכך שעוד מישהו עקב. כל מה שאני יכול לומר הוא שזה ללא ספק הדיון בעל הכותרת הנגררת הכי מגוחכת שקראתי ב''האייל הקורא'' עד עכשיו (וקראתי הרבה). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה מתכוון, הכי אוקסימורונית, לא? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מגניב, תודה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
האם יותר לי רק לשאול מהו משפט G ומהי מערכת סיגמה-פי? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא יודע כמה את\ה יודע\ת. אתן סקירה תמציתית. (אלון יוכל לענות על השאלה הזאת הרבה יותר טוב ממני, אבל אני אשמח לנסות את כוחי) סיגמה-פי, או PA, היא מערכת פורמאלית לוגית. זה אומר מערכת בעלת רשימה של אקסיומות וכלל היסק (מנוסחת בשפת הלוגיקה) שבעזרתם ניתן להוכיח משפטים. האקסיומות וההגדרות שספציפיות ל-PA מוכיחות משפטים מתחום האריתמטיקה על מספרים טבעיים. המתימטיקאי דייויד הילברט שאף לבנות מערכת לוגית שממספר סופי (או לפחות ניתן לחישוב) של אקסיומות תוכיח את כל המשפטים המתימטיים הנכונים. זה נקרא פרוגרמת הילברט. קורט גדל הוכיח שזה בלתי אפשרי ע"י שימוש בגרסה פורמאלית של פרדוקס השקרן. PA היא מערכת פורמאלית שמדברת על מספרים. לכל מספר בעולם יש שם ב-PA שמנוסח מהשמות והיחסים הבסיסיים שלה ומשפת הלוגיקה. גדל בנה דרך שבה אפשר לייצג את משפטי PA באמצעות מספרים. כך הוא יכול לדבר על משפטים של השפה מתוך משפטים אחרים של השפה. [לדוגמה: ניקח שלושה משפטים: "אם X אז Y" (מספרו 100); "X" (מספרו 101); ו-"Y" (מספרו 102). אני יכול לבנות משפט: "משפט 100 ומשפט 101 מהווים הוכחה למשפט 102". המשפט הזה הוא ב-PA והוא אומר לי משהו על PA ולא רק על מספרים. ] אח"ך גדל בנה את משפט G ב-PA כדלקמן: "למשפט G אין הוכחה ב-PA". שימ\\י לב שהמשפט מדבר על עצמו. בבירור אם המשפט הזה נכון אז PA לא יכולה להוכיח אותו. אם הוא לא נכון אז יש לו הוכחה ב-PA. וניתן להוכיח ש'למשפט G יש הוכחה ב-PA' (שזה שלילתו של G). כלומר PA מוכיחה גם אותו וגם את שלילתו והיא אינה עקבית. יוצא או ש: א. PA אינה שלמה מאחר שהיא לא מוכיחה את כל המשפטים הנכונים. או, ב. PA אינה עקבית מאחר שהיא מוכיחה דבר ושלילתו. מכאן ששום מערכת (שיכולה לדבר על עולם אינסופי כמו זה של המספרים הטבעיים) אינה גם עקבית וגם שלמה. מאחר שאלה היו תנאים להצלחתה של פרוגרמת הילברט, אפשר להגיד שהיא נכשלה. יש המון פולמוס סביב העניין הזה והפולמוסון בין אלון לביני כאן הוא רק הד לדיון מתמשך בין פילוסופים על המשמעות של משפט גדל וההשלכות הפילוסופיות שלו. (ואלון יתקן את הטעון תיקון, אני מקווה) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
G זה Godel (גדל), PA זה Peano Axioms או Peano arithmetic. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בסה"כ זה לא רע :-) "הילברט שאף לבנות מערכת לוגית שממספר סופי (או לפחות ניתן לחישוב) של אקסיומות..." - סופיות מספר האקסיומות היא לגמרי לא העניין. הילברט שאף למצוא מערכת שתפרמל שיקולים "פיניטיסטיים", כלומר כאלה שאינם משתמשים באינסוף באופן מהותי. מה בדיוק עונה על הקריטריון "פיניטיסטי" לא הוגדר ולא הובהר מעולם; במובן זה, "תכנית הילברט" לא היתה אף-פעם מוגדרת היטב. "שום מערכת (שיכולה לדבר על עולם אינסופי כמו זה של המספרים הטבעיים) אינה גם עקבית וגם שלמה" - עמדנו כבר על כך שזה לא מדוייק. הדרישות הטכניות מתורה מתמטית המאפשרות להוכיח בה את משפט גדל הן טיפה יותר מסובכות מ"יכולה לדבר על עולם אינסופי"; בפרט, יש מערכות המדברות על עולמות אינסופיים (הטבעיים, הממשיים) שהן עקביות ושלמות, ומשפט גדל לא חל עליהן. "יש המון פולמוס סביב העניין הזה" - לא כל כך הרבה... :-) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
האם תוכל להגדיר למעני על אלה מערכות חל משפט גדל? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תודה על התיקונים. אני מצטרף לשאלה שמעליי - על אילו מערכות לא חל משפט גדל? המון פולמוס: בכל זאת - פנרוז, לוקאס, צ'ייטין, פוטנאם, סרל, בנסרף, דאמט, פפרמן, נייגל, ראטיקינן ואפילו גדל וטיורינג עצמם. זה שראטיקינן מתייחס בזלזול לכל מי שטוען ההיפך ממנו (קראתי סוף-סוף את המאמר) לא אומר שאין על זה פולמוס. מה שמעניין הוא שהביקורת של ראטיקינן היא שמסקנותיהם של האנטי-מכאניסטים לא נובעות בצורה פורמאלית ממשפט גדל. הביקורת הזאת היא אמנם חזקה, אבל כשחושבים שהטענה שלהם היא שיש הבדל בין מה שניתן להוכיח במערכת פורמאלית לבין מה שניתן לדעת כאמיתי, זה מערער קצת את עוצמתה. (אם כי היא עדיין עומדת, כי צריך איזשהו מנגנון הוכחה). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
במאמר שאולי יתפרסם פעם אני אתייחס קצת לשאלה של אילו מערכות חשופות ולא חשופות למשפט גדל. בתור דוגמה למערכת הדנה בעולם אינסופי שהמשפט לא חל עליה, אני אזכיר (נדמה לי שכבר הזכרתי) את התורה של שדות סגורים-ממשית (Real-Closed Fields), שקל למצוא עליה חומר ברשת ובספרות. על כמה פולמוס זה המון פולמוס אין טעם להתווכח. "הטענה שלהם היא שיש הבדל בין מה שניתן להוכיח במערכת פורמאלית לבין מה שניתן לדעת כאמיתי" - איך הטענה הזו מערערת משהו מבלי שתהיה נכונה? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מה זה "במאמר שאולי יתפרסם פעם"? הפסק לאיים ותתחיל לפרסם! | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כפי שציינתי, המאמר כבר נשלח להגהה. סבלנות. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ניסוח פשוט מביש שלי, אין לי מושג אם התכוונתי להתבדח או שסתם התבלבלתי. בכל אופן, מה שהתכוונתי לומר הוא זה: אם הביקורת של האנטי-מכניסטים היא "שיש הבדל בין מה שניתן להוכיח במערכת פורמאלית לבין מה שניתן לדעת כאמיתי", אז זו טענה טריוויאלית שלא צריך בשבילה את גדל, וכבר עמדנו על כך כמה פעמים: השיטה הפורמלית רק מאפשרת לבחון מה ניתן לגזור מאוסף של אקסיומות. איך אנחנו יודעים שהאקסיומות אמיתיות? איך אתה יודע שהוכחה פשוטה באינדוקציה על הטבעיים היא אמיתית? יש לך הוכחה פורמלית לזה? השיטה הפורמלית לא נועדה לעזור לנו לדעת יותר דברים אמיתיים, להיפך: היא נועדה לעזור לנו לדעת פחות דברים שגויים. כדי לא ליפול בכל מיני פחים של האינטואיציה (בגיאומטריה של המישור, בתורת הקבוצות, בתורת המספרים, לא משנה), אנו משתדלים לנסח במדוייק מה אנו *מניחים* ואיך אנו *מסיקים*. זה הכל. האנטי-מכניסטים קופצים מכאן להנחת-הקש שהמכניסטים מאמינים שרק מה שיכיח פורמלית ניתן לידיעה, ואז מגייסים את גדל ומנסים להראות משהו. אין לזה שום בסיס. ממילא את האקסיומות במערכת פורמלית אנחנו *מניחים*, לא מוכיחים, אז מה רבותא? אני "יודע", במובן האנושי הרגיל, הרבה דברים שאין לי הוכחה פורמלית עבורם, ולא יכולה להיות לי (באיזו מערכת פורמלית בדיוק אני אמור להוכיח שאני נשוי, או שאני אוהב את הילדים שלי, או שלכל מספר טבעי יש עוקב שאיננו 0?). גם מחשב משוכלל מספיק יכול "לדעת" דברים באותו האופן בדיוק - כי הוא רכש ניסיון, חווה חוויות וכו'. מה לזה ולגדל או AIT? זו נקודה בסיסית שלא ברורה לי בכל הדיון הזה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני חושב שהפער בין המכאניסטים לבין מתנגדיהם הרעיוניים הוא באמת בהבנה של מהו מכאניזם. אני לא בטוח שהמכאניסטים מבינים אותו יותר טוב. תמונת עולם מכאניסטית חולקת הרבה מאפיינים עם מערכת פורמאלית. העולם כולו נהיה מערכת של מצבים שמשתנים באופן צפוי בעקבות חוקים קבועים. לא ייתכן שמצב א' ישתנה גם למצב ב' וגם למצב לא-ב' באותו הזמן. כך שעל פניו המכאניזם הוא אפילו מערכת עקבית. משפט גדל מציע (אני כבר נזהר מלהגיד משהו יותר חזק) שמערכת כזו לא יכולה להיות שלמה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
" לא ייתכן שמצב א' ישתנה גם למצב ב' וגם למצב לא-ב' באותו הזמן. כך שעל פניו המכאניזם הוא אפילו מערכת עקבית". אני לא רואה כל קשר בין שני המשפטים האלה. אפשר לבנות (בקלות) מערכת דטרמיניסטית אשר, נניח, תייצר שרשרת של טענות לא עקביות בלוגיקה. ואם, נניח, המכאניזם "הוא" אכן, באיזשהו מובן, מערכת עקבית, ואם, נניח, היא אכן לא שלמה - אז מה? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא יודע אז מה. אולי אז העולם אינו מכאניסטי? ואותו הדבר גם לגבי מודל מכאניסטי של הנפש? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"אולי אז העולם אינו מכאניסטי?" למה? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם העולם מכאניסטי, איזו מערכת מתארת אותו? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נניח שהעולם הוא מכונת-טיורינג גדולה (מאוד) ומהירה (מאוד). איזו מערכת דרושה כאן? מערכת אקסיומות? של מה? ומה שלא תהיה מערכת זו, אם אכן היא נחוצה, מה בכך אם היא לא שלמה במובן של לוגיקה מתמטית? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בשביל לדבר על מכונת-טיורינג כזאת אתה נדרש למשהו שהוא כמו מערכת פורמאלית. הרי היא פועלת מתוך חוקיות מסוימת. אני לא מדבר עכשיו על המערכת הפורמאלית שהמ''ט הזאת מקבילה לה, אלא על הדרך שלך לתאר את המ''ט. אתה צריך להבין מה הקלט הראשוני ומה החוקיות של המ''ט העולמית הזאת, וזו מערכת פורמאלית עקבית. כלומר, אתה לעולם לא תוכל להגיע למודל שלם של העולם. אם תגיד לי שהעולם הוא אמנם מכאניסטי אבל שהאדם לא יוכל למדל אותו לגמרי, אז בסדר. זה שקול בעיניי ללהגיד שהוא לא מכאניסטי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא, לא, לא ולא. אחרי כל הסיבובים שלנו אתה חוזר ל"זו מערכת פורמאלית עקבית. כלומר, אתה לעולם לא תוכל להגיע למודל שלם של העולם". למה, בשם אלוהים? עזוב את העולם, עזוב בני אדם, עזוב רוח ונפש והכל. דמיין שכל העולם הוא מיליון פיקסלים קטנים המהבהבים שחור-לבן פעם בשנייה. יש לך תיאור של העולם ה*זה* כמ"ט? נכון? המערכת-המתארת-את-המ"ט היא עקבית? נכון? אז היא לא שלמה? למה? איפה --->התנאים<--- של משפט גדל? ומה זה אומר לדעתך, שהמערכת לא מתארת את העולם המנוון ה*זה* באופן שלם? איך? מה חסר? הקוואליה של הפיקסלים? עכשיו תגיד, כן, אבל העולם שלנו מסובך יותר. בטח, אבל בכל הפסקה שלך לא השתמשת בשום תכונה של העולם - שום סיבוכיות, שום קוואנטים, שום בני-אדם, שום-כלום! אז איך אתה מדמיין שהוכחת משהו כל-כך גורף - *כל* תאור של *כל* דבר ע"י *כל* מ"ט הוא תמיד לא שלם? אפילו מ"ט אי-אפשר לתאר בשלמות עם מ"ט? מה יהיה? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הערה מתודית: אלון, גבר, תירגע. עד עכשיו השיחה איתך הייתה נעימה ופורייה, חבל שזה ישתנה עכשיו. יש לך בעיה בסיסית בדיון - אתה מניח שבן-שיחך טוען את מה שהוא טוען מתוך חוסר הבנה. הבנתי טוב מאוד את כל מה שטענת כנגדי, קיבלתי הרבה מהביקורות וגם שיניתי או עידנתי כמה מעמדותיי בעקבות זאת. אבל אפילו אחרי שהבנתי את מה שאתה אומר, זה עדיין די ברור לי שהעולם אינו יכול להיות מכאניסטי ושמשפט גדל קשור לזה. זה נראה כאילו אתה מניח שאני לא יכול לחדש לך כלום. אולי זה נכון ואולי לא, אבל אתה לעולם לא תדע אם תניח את זה מראש. אני אגיד את זה פעם נוספת, בצורה הכי בהירה שיכולה להיות: הבנתי את כל הביקורות שלך כלפי השימושים השונים במשפט גדל. הבנתי, באמת, זה לא כ"ך מסובך. הביקורות שלך עומדות כנגד שימושים מסויימים, אבל לא כנגד כולם. אני בזאת מעביר את השיחה לדיון על המאמר שלך, אם זה בסדר מצדך. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
האם ההכרעה בין עולם מכניסטי ולא מכניסטי נופלת, לדעתך, רק על פי השאלה אם הוא מערכת עקבית ולא שלמה? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
העולם בעיניי אינו מערכת פורמאלית. הראייה המכאניסטית את העולם היא מערכת לא שלמה, ולעד תהיה כזאת. לכן אין שום טעם להתייחס לעולם כאל מכאניסטי אם לא ייתכן שנמצא מודל שלו. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא זו הייתה השאלה. אני ודאי חולקת על הראייה המכניסטית של העולם, אבל אני שואלת אם אתה שולל אותה *רק* מפני שלא ייתכן שנמצא מודל לעולם. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני פשוט לא רואה את העולם בצורה הזאת (או לפחות לא רק בצורה הזאת). יש הרבה דרכים טובות לראות את העולם והכי טוב זה לראות אותו בכמה דרכים בו-זמנית. יש לתפיסות מכאניסטיות ורציונאליסטיות הנטייה לשאוב אותך ולגרום לך להאמין שהן *האמת*. נראה לי חשוב להבין שיש בהן איזו אי-שלמות בסיסית. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
טוב, כנראה לא הצלחתי להבהיר את עצמי. נעזוב זה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
דווקא מסקרן אותי מה ניסית להגיד. אז איך שבא לך. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נראה לי שאתה (שוב) נלחם באנשי-קש. גם גדולי-המכניסטים (נגיד, אני) לא טוענים שאפשר יהיה להבין באיזשהו מובן את ההוייה האנושית אם נרשום את המשוואות המדוייקות של החלקיקים היסודיים ונשתכנע שהם מכתיבים חד-משמעית את תפקוד הנוירונים ואת מעשינו. אני בטוח שגם אם זה יקרה עוד ימשיכו להתווכח אם יש אלוהים ולמה אין אהבות שמחות. קח דוגמה קצת יותר פשוטה מ"העולם": כדור מתגלגל במישור. יש למצב הזה תיאור מכניסטי מוצלח מאוד, אבל הוא לא עוזר להבין "למה" יש דבר כזה, אינרציה, ולא את "חוויית הגלגול במישור". זה ברור לגמרי, ולי לא ברור למה צריך לגייס את גדל כדי להוכיח שהמודל של העולמצ'יק הזה או של העולם שלנו הוא לא "שלם". אתה סבור שלא ייתכן שנמצא "מודל" של כדור מתגלגל, או אוסצילטור הרמוני, או חלבון, או תא, או מוח? אם כל הדברים הללו מתנהגים על-פי כללים מכניים פשוטים, למה אתה אומר ש"אין שום טעם" להתייחס אליהם באופן מכניסטי? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בוא נעשה סדר. א. הטענות שלי באופן כללי הוא נגד רציונאליזם. המכאניזם והמטריאליזם הם צאצאים שלו, וכך הם נכנסו לדיון. א1. הדיון הראשון עסק במקום שצריכה, לדעתי, לתפוס האמונה בהסתכלות על העולם. נשמעו הרבה טיעונים רציונאליסטיים נגד האמונה והדת ונראה היה לי מעניין להראות שמודל רציונאליסטי של העולם לא יכול להיות שלם ושתמיד יש שימוש באמונה. א2. הדיון השני עסק באדם כמכונת-טיורינג. נראה היה לי שמשפט-גדל מהווה ראיה נגדית. שכנעתי אח"ך שלא כן הוא אבל אני מתחיל להשתכנע בחזרה. אבל הטיעון הוא אחר מזה של לוקאס. משפט גדל כאן לא חל על המערכת שמקבילה למ"ט, אלא על המערכת שמתארת את המ"ט. (ראיתי שפרסמת את המאמר, אז אני לא ארחיב עד שלא אקרא). ב. יכול להיות שאני לא מבין למה אתה מתכוון ב"מכאניזם". אבל אם אתה מדבר על חישוב תנע של כדור מתגלגל, ולא על הבנות לגבי אלוהים ואהבה, אז הוא נראה לי דבר די חלש, המכאניזם הזה. ג. אין אהבות שמחות? נו, תפסיק. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
(טוב, במקום זה, חזור על הטיעון - אם טוב הוא בעיניך עדיין - בדיון על גדל, ונמשיך שם, כפי שהצעת). | |
|
|
| חזרה לעמוד הראשי |  |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |