בתשובה לגדי אלכסנדרוביץ', 24/05/05 12:01
 |
|
 |
||
|
||||
 |
אבל אני לא אומר "קבוצה X גדולה מ-Y אם ורק אם X מכילה ממש את Y", אלא "אם X מכילה ממש את Y, אז X גדולה מ-Y". ואם לא? אז לא, בשביל המקרים האחרים תחפש הגדרה אחרת. ואז זה יוצא לגמרי אינטואיטיבי, גם לקבוצות סופיות. אני חושב שעניינים של מידה והסתברות אסימפטוטית לא מצליחים לתפוס את בעיות האינטואיציה הנאיבית: מבחינה האינטואיציה הנאיבית, נדמה לי, קבוצת הזוגיים גדולה ממש (גם אם במעט מאוד) מקבוצת הזוגיים ללא 2004. |  |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
הכל טוב ויפה ואני מסכים עם ההגדרה שלך, אבל היא מתרסקת אחרי שהולכים צעד אחד מעבר לנאיביות הבסיסית, כי: 1) ההגדרה לא נותנת לנו להשוות המון קבוצות שונות. 2) ההגדרה מאפשרת מצבים תמוהים כמו זה: אם יש לנו את קבוצת כל הטבעיים בלי 1 ו-2, וקבוצת כל הטבעיים בלי 1, השנייה מכילה את הראשונה. עכשיו, אם ניקח את הקבוצה הראשונה וכל מה שנעשה הוא לשנות את השם של האיברים שבתוכה (להפחית 2 מה"שם" שלהם), פתאום הקבוצה הראשונה מכילה את השנייה. זה נראה עקום. למה ששינוי שם של איברים ישנה את הכמות שלהם? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1. כבר אמרתי בתגובה המקורית שזו הגדרה לא פוריה. 2. יפה. על זה לא חשבתי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
במחשבה שניה, אני (תוך המשך חבישת כובע הנאיבי) לא בטוח שאני קונה את מה שעשית ב-2. מצד אחד, אתה מספר לי שרק שינית את השם של אברי הקבוצה. מצד שני, אני רואה שבהשוואת הקבוצה לפני שינוי השם לקבוצה אחרי שינוי השם, מדובר על אותה קבוצה בתוספת שני אברים. כלומר, על פניו זו קבוצה שונה מהותית. לנוכח ה"פרדוקס", הנטייה הברורה שלי תהיה לפקפק ב"חוקיות" המהלך של שינוי השם, ואכן זה מהלך חשוד: אתה לא סתם משנה את ה*שם* (נניח את הסמלים שבהם כותבים את המספרים), אתה משנה את המספרים עצמם. ובהתחשב בכך שלמספרים המקוריים וגם לחדשים יש זיקה למספרים בקבוצה אליה אנו משווים, ובהתחשב בכך שבקבוצה אליה אנו משווים לא עשית טרנפורמציה כזו, נראה לי די ברור שרימית כאן... (אבל יותר מכך אני חושב שאנחנו טוחנים מים עכורים. הדיון מעלינו עם המעטפות והמטבעות מעניין הרבה יותר. פי 3, בהסתברות חצי אם לא יותר; כדאי להחליף). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני מסכים שזה מפוקפק, אבל מצד שני, מה אתה יכול להגיד נגד המהלך של שינוי השם חוץ מאשר "זה לא מסתדר לי בסוף"? גם אם נניח שאני משנה את "המספרים עצמם" (הסיבה היחידה שאני חייב לעשות את זה הוא ששיטת ההשוואה שלך מכריחה שהמספרים יהיו מאותו סוג), הרי שזה עדיין לא מסביר איך נוצרים "איברים חדשים". הרי אני בבירור *לא* מוסיף כלום. אני רק לוקח מספרים ומשנה אותם. האם במהלך ה"שינוי" הזה מתפצל מספר כלשהו לשתיים? ברור שלא. כל מספר אני משנה כך שהוא הופך למספר אחד ויחיד אחר. אז מאיפה צצו שני המספרים האחרים? אני גם לא קונה את הטענה שמדובר בשינוי "המספרים עצמם". באיזה מובן הם שונים, חוץ מזה שכרגע הם מסומנים בסימן אחר? אני עדיין יכול לחבר ולחסר אותם בדיוק כמו קודם, למשל. הנקודה היחידה שאתה יכול לזקוף לזכותך היא שלא הפעלתי את שינוי השמות גם על הקבוצה השנייה - אבל למה, בעצם, אני מחוייב לעשות את זה? כמובן, כדי לסבך את זה עוד יותר, שים לב שבקבוצה *סופית*, לא יהיו לנו שום בעיות עם "רמאות" כמו זו שעשיתי כאן. כמובן, ייתכן שזה מקרי; מצד שני, אני נוטה לחשוב שהסיבה למוזרות נובעת מאינסופיות הקבוצה, ולא מאיזו רמאות שמבצע שינוי השמות. (לדעתי דווקא אלו לא מים עכורים, אולי לא השתתפתי במספיק דיונים בנושא, אבל ה"חוקיות" של העתקות חח"ע ועל היא דווקא די מסקרנת) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אולי זה ברור לכולם, אבל לצורך הפרוטוקול: אם מרשים "שינוי שם" באופן כללי, נשארים בדיוק עם ההגדרה הרגילה של 'עוצמה'. מצד שני אפשר לדמיין הגדרות יותר מגבילות; למשל - מותר לשנות שם רק למספר סופי של מספרים (לך תארגן החלפת תעודות זהות אינסופית). הערה שלישית: הנימוק על התפצלות של מספרים נשמע משכנע, עד שמפעילים אותו על העתקה מהקטע (0,1) לקטע (0,2) או לישר כולו (שהיא הומיאומורפיזם, למשל). הרי יש מובן מסודר (תורת המידה) לטענה שהקטע הראשון קטן יותר. אולי צריך "יעקוביאן" גם להעתקות מסוג אחר? הערה אחרונה: נראה לי יותר אפקטיבי להתמקד בהשוואת תת-קבוצות של קבוצות מיוחדות (כמו הטבעיים או הממשיים), אחרת באמת אין שום סיכוי לייצר אינטואיציה מעבר לעוצמות. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ההערה השנייה מעניינת, אבל גם בה, הבעיה האמיתית שבכל האנומליה כאן נראית נעוצה לא ברעיון "החלפת השמות" אלא באינסופיות הקבוצה. ההערה השלישית גם כאן מעניינת, ומצביעה על חוסר הקשר שבין עוצמה ומידה - אבל בשבילו מספיק להעיף מבט בקבוצת קנטור. מידה גם לא נראית לי כמו כלי טוב למדוד כמות בכל מקרה: המידה של כל קבוצה בת מנייה היא אפס, אבל די ברור שבקבוצת כל המספרים הרציונליים יש יותר איברים מאשר בקבוצת המספרים הטבעיים עד חמש. |
|
|
|
| חזרה לעמוד הראשי |  |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |