בתשובה לגדי אלכסנדרוביץ', 21/05/05 21:11
 |
|
 |
||
|
||||
 |
כאמור, אני מתכחש לתגובתי הקודמת. אז נלך בדרך אחרת: הסיכוי להגריל מספר טבעי מתוך הרציונליים הוא אפס ומכאן שמידת-אפופידס של הטבעיים ביחס לרציונליים היא אפס. במסגרת מידה זו, שימוש במיפויים אסור (כדי שלא תמפה לי את הרציונליים לזוגיים למשל). |  |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
המממ, סליחה על הניטפוק, אבל מה בדיוק פונקצית ההסתברות שלך? אין פונקצית הסתברות אחידה על הרציונליים (עד כמה שידוע לי), ואם אתה לוקח הסתברות אחידה על הממשיים (גם אם נתעלם מכך שהיא צריכה להיות מוגדרת על אוסף סופי של קטעים סופיים), ההסתברות לבחור מספר רציונלי כלשהו היא אפס, אז הם והטבעיים באותה סירה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הם באותה הסירה כמו שקבוצת הטבעיים וקבוצה סופית נתונה הן באותה עוצמה בטענה שעוצמת הממשיים גדולה מעוצמות שתיהן פי אינסוף... ואם נחזור לעניין המידה, אזי מעל מידת הטבעיים יש את מידת הרציונליים ומעליה מידת הממשיים ובינהן כמובן מידות ביניים, לא טוב? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם אינני טועה, יש באמת מתמטיקאים שמנסים ''לעדן'' את החלוקה הקיימת של עוצמות, משום שקריטריון השקילות באמת קצת ''גס'' מדי לעניין זה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
שימוש באורדינלים (מספרים סודרים) מהווה "עידון" שכזה. הבעיה היא שכאן אנחנו מוסיפים לקבוצה גם יחס סדר חלקי, וקצת מתרחקים מהרעיון האינטואיטיבי של "אותו גודל" שנובע פשוט מהיכולת לסדר את אברי שתי הקבוצות שאנחנו משווים בזוגות זוגות. (אין לי מושג אם ה"עידונים" שעליהם אתה מדבר כאן הם אכן האורדינלים. יש מתמטיקאי באיזור?) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא התכוונתי לאורדינלים והרעיון של ''אותו גודל'' המבוטא באמצעות שקילות לא כל כך אינטואיטיבי בעיניי. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
למה לא, בעצם? אמנם, אי אפשר לשכנע או לטעון טיעונים מתמטיים כאן, אבל מה נראה יותר נכון, אינטואיטיבית, מאשר "לכל איבר בקבוצה אחת מתאים בדיוק איבר אחד ויחיד בקבוצה השנייה"? במקרה הסופי זה בדיוק מה שאנחנו מצפים שיהיה, ואלמלא הדוגמאות בשטח שהיו מסבכות לנו את החיים במקרה האינסופי, ההגדרה הייתה כמעט ברורה מאליה. (אם ננסה לפרמל קצת יותר את מה שאני אומר: הגדרה "אינטואיטיבית" היא הגדרה שבה אומרים בהתחלה "הגיוני" ואחרי שרואים מה קורה בפועל אומרים "לא הגיוני". הגדרה "לא אינטואיטיבית" ששווה משהו היא כזו שבהתחלה אומרים "לא הגיוני" ואחרי שרואים מה קורה בפועל אומרים "הגיוני"). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ראשית, הגדרה אינטואיטיבית נראית לי "הגיונית" בכל מקרה. שנית, ייתכן שעם מושג השקילות קרה לי משהו דומה מאוד למה שאתה מתאר שקורה להגדרות אינטואיטיביות: אחרי שסיפקתי לידיד רעיון איך להסביר אותה אינטואיטיבית לסטודנטים שלו, היא הפכה בשבילי ללא הגיונית. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
יש כמה וכמה מקרים שבהם אני אמרתי על משהו ''הגיוני'' ואחר כך, כשראיתי את ההשלכות, אמרתי ''לא הגיוני'' אקסיומת הבחירה היא כמובן זו שקופצת מייד לראש, אבל גם בטופולוגיה הקבוצתית המעטה שלמדתי כבר היו כמה וכמה דברים. לכן, לפחות עבורי, ''אינטואיטיבי'' ו''הגיוני'' הן לא מילים נרדפות. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא אמרתי שאינטואיטיבי והגיוני הן מלים נרדפות: אתה קישרת ביניהן, ואני הסכמתי לקיומו של קשר מסוים. ומה בהשלכות של אכסיומת הבחירה "לא הגיוני" בעיניך? משפט הסדר הטוב? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מקובל להציע בהקשר הזה את הפרדוקס של בנך-טרסקי: |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
(אחד המתמטיקאים באיזור מתקשה לפענח מהם העידונים הללו). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא אמרתי שיש כאלה, אלא רק שמנסים לייצר אותם.. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא ידוע לי שמנסים (מי?). מצד שני, יש הרבה מאוד דברים שאינם ידועים לי. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני מצטער, אבל אני לא בטוח שהבנתי מה זו ''מידת הרציונליים'' ואיך היא נבדלת מ''מידת הטבעיים''. ההגדרה שאני מכיר למידה מאפשרת, כאמור, להגיד הן על כל קבוצה של מספרים טבעיים, הן על כל קבוצה של מספרים רציונליים והן על מקרים מסויימים של קבוצות של מספרים ממשיים (כמו קבוצת קנטור) שהן באותה מידה - אפס. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
עזוב, חבל על המאמץ של שנינו. אני מניח שנושא זה כבר מוּצא עת תום ע"י המתמטיקאים וכל הפתיל הזה היה נחסך אם הייתי טורח להציץ בהגדרות בסיסיות בתחום - למשל http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%AA%D7%95%D7%A8%D7%A...). | |
|
|
| חזרה לעמוד הראשי |  |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |