בתשובה ליזהר, 16/05/05 10:55
 |
|
 |
||
|
||||
 |
אני מסוגל לדמיין את מושג האינסוף בקלות. אני תמיד חושב על קטע שמציין את ציר המספרים בין 0 ל-1 וזוכר שבין כל שתי נקודות שנמצאות עליו יש עוד נקודה, וכך הלאה. |  |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
מעניין שלאינסוף הזה הגעתי בגיל מבוגר יחסית, בעוד שכבר בתור ילד די צעיר (קשה לי לשחזר, אבל כנראה בכתות הנמוכות של בית ספר יסודי, או אולי אפילו בגן) הכרתי את האינסוף כתשובה למהו הספר הגדול ביותר. מיליון1? אז כמה זה מיליון ועוד אחד? ___ 1 לא שידעתי כמה זה מיליון, או אפילו אלף, אבל ידעתי שזה המון. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
גם אני חשבתי על אינסוף ככה בתיכון, והסתבכתי די קשה במפגש הראשון שלי עם עוצמות. הרי את התכונה הזו יש למספרים הרציונליים בדיוק כמו לאי רציונליים, אז למה האינסוף של האי רציונליים הוא "יותר גדול"? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לוקח את הבעיות אחת-אחת. מספיק לי קודם כל לתפוש מה זה אינסוף, אחר כך לעשות סדר בין האינסופים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הבעיה היותר גדולה שלי הייתה, למה אינסוף הרציונלים אינו גדול יותר מזה של הטבעיים. השקילות הזאת אף פעם לא הסתדרה לי יותר מדי טוב. (כן, אני מכירה את הפונקצייה, אז מה?) | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לטעמי זה הרבה פחות לא-אינטואיטיבי, מהטעם הפשוט שאנחנו רגילים לחשוב על אינסוף "יחיד". אז אם יש "המון" מספרים טבעיים ויש "המון" מספרים רציונליים, כל עוד לא עשינו הבחנה בין סוגי אינסופים אי אפשר לצפות שיהיו "יותר" רציונליים מטבעיים. נכון, אמנם, שמרגע שמגלים שיש "יותר" אי רציונליים מרציונליים הפתח הזה נפתח. דרך טובה לנסות ולהבין למה זה הגיוני שיש אותו מספר רציונליים כמו טבעיים היא לזכור מה זה בעצם רציונלי - כל מספר רציונלי ניתן להצגה בתור זוג של מספרים שלמים (ואני מניח שאת מסכימה שזה הגיוני שמספר השלמים הוא כמספר הטבעיים). זה אפילו פחות מזה - יש הרבה זוגות שמייצגים את אותו מספר רציונלי (1/2, 2/4, וכו') אבל מספיק להיות לארג'ים ולהניח שכל מספר רציונלי מיוצג על ידי זוג מספרים טבעיים. לכן השאלה הפשוטה היא: האם יש יותר זוגות מספרים שלמים מאשר מספרים שלמים? אותי הנקודה הזו מאוד בלבלה בהתחלה, דווקא בהקשר של מספרים ממשיים ("האם בריבוע היחידה יותר מספרים מאשר בישר היחידה"?) ואני אתקשה לשכנע אותך לקבל את זה אינטואיטיבית - אבל לפחות יש לנו יתרון אחד והוא שהפסקנו לדבר על "טבעיים" ו"רציונליים", שביניהם יש ניגוד חריף שבגללו האינטואיציה שלנו מסרבת לקבל את שקילות הגודל שלהם: הטבעיים הם "בדידים" ואילו הרציונליים "צפופים", במובן זה שבין כל שני מספרים טבעיים סמוכים אין אף מספר טבעי, ואילו אצל הרציונליים לכל שני מספרים ניתן למצוא אחד ביניהם. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כן, רק שהצפיפות של הרציונלים יוצרת בעיה דומה מהכיוון ההפוך - אינטואיטיבית, נדמה שהעצמה שלהם הרבה יותר קרובה לזו של הממשיים. וכמובן, הבעיות החריפות יותר מתעוררות בקרדינלים הגבוהים... |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אכן, כתבתי כאן קודם שלדעתי החלק הבאמת לא אינטואיטיבי הוא ההפרדה בין הרציונליים לממשיים (אני חושב שקנטור עצמו צוטט כאומר דברים בסגנון "ההוכחה הייתה נכונה, אבל לא יכלתי להאמין לה"). אבל אני לא בטוח שדווקא בקרדינלים גבוהים מתעוררות בעיות (איזה? כי הרי מרגע שעזבנו את הממשיים כבר הרבה פחות קל לדמיין את מה שהולך שם ולכן האינטואיציה לא שווה הרבה ממילא, ויש לנו את משפט קנטור על קבוצת החזקה שמבטיח לנו אינסוף קרדינלים שונים, ודווקא מוכיח את זה בצורה די אלגנטית ואינטואיטיבית. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הבעיה בקרדינלים הגבוהים היא כבר לא בדיוק של אינטואיציה, אלא של כל מיני משפטים ש''מתקלקלים'' שם. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
איזה? זה מעניין, אני מכיר הפרדות חדות רק בין אלף אפס ועוצמת הרצף. כמובן, קרוב לודאי שזה בגלל שלא למדתי ברצינות שום דבר שמתעסק עם עוצמות גבוהות יותר... | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם מדברים על השוואת גדלים (של קבוצות, דה) ואינטואיציה, אני רוצה להזכיר כאן את תגובה 226962. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תודה על התגובה. למען האמת לא חשבתי על "הכלה", למרות שהוא הרבה יותר אינטואיטיבי אפילו מרעיון ה"התאמה". הבעיה הבסיסית בגישה הזו היא, כמובן, שגם קבוצות סופיות (על מושג ה"כמות" אצל קבוצות סופיות אין ויכוח, נכון?) בעלות אותה כמות איברים יכולות שלא להיות מוכלות אחת בשנייה בכלל, כי אין בהן את אותו סוג איברים. לכן ההשוואה הופכת להיות לא-מוגדרת-היטב-כל-כך. אין בעיה לפתור את זה, כמובן: פשוט נאמר "נעתיק כל איבר מאחת הקבוצות לאיבר בקבוצה האחרת, כך שניתן יהיה לדבר על יחסי הכלה וכו'." וכאן זה באמת משתגע כשעוברים לקבוצות אינסופיות, כי אפשר לתת העתקה אחת שבה יש הכלה הדדית, והעתקה נוספת שבה אין כזו. דוגמה קלאסית היא זו של המספרים הטבעיים: פעם אחת תעתיק אותם לעצמם, פעם אחרת לעצמם עם הזזה ב-1 (או הסרת 1948). לכן הכלה, לדעתי, הוא גם כן מהמושגים שאומרים עליהם "הגיוני" בהתחלה אבל מהר מאוד משנים את זה ל"לא הגיוני". השוואת כמות באמצעות העתקות חח"ע ועל, למרות הפרדוקסליות שהיא לכאורה יוצרת, ממשיכה להיראות לי פחות "לא הגיונית" מאשר הגישה שאתה מציע. אגב (סתם קוריוז), אחת מהתוצאות של התחושה שלנו שאפשר להגדיר הסתברות אחידה על הטבעיים למרות שאי אפשר היא "פרדוקס המעטפות": |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מה הקשר בין פרדוקס המעטפות להסתברות אחידה על הטבעיים? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מתוך הערך: "הפרדוקס מנוסח תוך התעלמות מן התהליך המשמש להגרלת הסכום המקורי, X. בפועל, אין אפשרות "לבחור" סכום בלי שתהיה התפלגות א-פריורית שממנה הסכום הזה נבחר. כעת, נקודת המפתח היא שלא קיימת התפלגות שבה הסיכוי להרוויח (לעבור מ- Y ל- 2Y) שווה לסיכוי להפסיד (לעבור מ- Y ל- Y/2). ביתר פירוט, כאשר הסכום Y במעטפה הראשונה ידוע, ההתפלגות א-פריורי של X קובעת את הסיכויים שהמעטפה השניה תכיל 2Y או Y/2, ובמעבר על כל האפשרויות, היתרון שברווח הגדול יותר מתאזן בכך ש'בדרך כלל' הסיכויים להפסיד גדולים מן הסיכויים להרוויח. חשוב להעיר כאן שאילו היתה ההתפלגות של X אחידה על פני כל המספרים (כלומר, כל הערכים של X היו סבירים באותה מידה), היה הפרדוקס עומד בעינו. אלא שלא קיימת התפלגות אחידה על כל המספרים." בעברית: מה שגורם לפרדוקס הוא ההנחה שהסיכוי להימצאות סכום כסף כלשהו במעטפות (וסכום כסף הוא מספר טבעי או לכל היותר רציונלי) יכול להיות אחיד. בפועל זה לא כך, ולכל פונקצית הסתברות שרק תבחר, תמיד יהיה סכום כלשהו (אם הולכים לסכומים גדולים מספיק) שהסיכוי שתקבל אותו או משהו גדול ממנו קטן מהסיכוי שתקבל משהו מהסכומים האחרים. לכן לא תמיד משתלם להחליף. (אם לא הבנתי את הפרדוקס, אשמח לקבל הסברים ופרשנויות אחרות) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
עכשיו נזכרתי מה דיכא אותי תמיד בסטטיסטיקה: השעמום. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הבנת את הפרדוקס, אבל try this: אני מטיל מטבע עד שיוצא עץ. נניח שהטלתי k פעמים, אז אני שם במעטפה אחת שלוש-בחזקת-k זוזים, ובמעטפה השנייה פי 3 מזה. אני נותן לך לבחור איזו מעטפה לפתוח, ומותר לך להחליף אחרי שהצצת בפנים. אתה לא יודע מהו k, אבל אתה יודע בדיוק איך בחרתי אותו. * אתה רואה 3 זוז. מה אתה עושה? * אתה רואה 9 זוז. מה אתה עושה? * אתה רואה מה-שלא-יהיה. מה אתה עושה? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ניסיון: התוחלת של משתנה מיקרי גיאומטרי עם פרמטר 0.5 היא 2, כלומר אם במעטפה יש 3*9 זוזים, או יותר, אני לוקח אותה. אחרת את השניה? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם במעטפה יש 27 זוזים, מה הסיכוי שבשנייה יש 9? 81? מה כדאי לעשות? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם יש בה 27 זוזים, ההטלה אשר הניבה עץ לראשונה היא השניה (בהסתברות א-פריורית של 0.25) או השלישית (בהסתברות א-פריורית של 0.0625). כלומר כדאי להשאר עם המעטפה שבידך. לשם מה יש צורך בהסתברויות הפוסט-פריוריות? (ניחוש: כי אם מחשבים אותן, מקבלים מסקנה שונה מזו שהצגתי לעיל). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
למה 0.0625? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כי אני לא יודע להכפיל שני מספרים בלי לטעות שלוש פעמים. 0.125. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ועכשיו למה "כלומר כדאי להשאר עם המעטפה שבידך"? מאיזה חישוב אתה מסיק זאת? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
התכוונתי לכתוב "לא חישוב, אלא היוריסטיקה" ולהסביר שעומדת בפני בחירה בין שתי אפשרויות (מתוך הרבה), כאשר האחת סבירה יותר מהאחרת, ושאומנם אין ממש דרך להסיק מכאן על ההסתברויות הפוסט-פריוריות, אך "נראה לי" שכאן המסקנה דווקא תופסת. אבל אז נזכרתי שמדברים על הסתברות, וחישבתי. ההסתברות המותנית שבאחת המעטפות יש 9-זוזים, בהינתן שבשניה יש 27 - היא ההסתברות שבאחת המעטפות יש 9-זוזים ובשניה יש 27-זוזים, חלקי ההסתברות שבאחת יש 27 זוזים - כלומר היא ההסתברות שיצא "עץ" בהטלה השניה, חלקי סכות ההסתברויות של המאורע "יצא עץ בהטלה השניה" ו-"יצא עץ בהטלה השלישית" - והיא שווה לשני-שלישים. ההסתברות המותנית שבאחת המעטפות יש 81-זוזים, בהינתן שבשניה יש 27 - היא ההסתברות שבאחת המעטפות יש 81-זוזים ובשניה יש 27-זוזים, חלקי ההסתברות שבאחת יש 27 זוזים - כלומר היא ההסתברות שיצא "עץ" בהטלה השלישית, חלקי סכות ההסתברויות של המאורע "יצא עץ בהטלה השניה" והמאורע "יצא עץ בהטלה הרביעית" - והיא שווה ל...שני-שלישים. כלומר לא משנה אם מחליפים או לא. באופן מאד לא מפתיע, זו גם התוצאה הכללית. אני מוכרח לציין שהטיעון השגוי שהצגתי במקור (זה עם התוחלת) עדיין נשמע לי משכנע. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
רגע. שמעתי פעם משהו על כך שההסתברויות אמורות להסתכם ל-1. כמה מביך. לרוע המזל, אאלץ לחזור לשולחן השרטוטים רק מחר. לילה טוב. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נו, סתם עוד טעות חישוב, היה צריך להיות "3\1". נראה שה-"בעיה" היא שתוחלת הרווח לכל מטעפה היא אינסופית ([sum[(3/2)^n אינו מתכנס), ולכן לאחר שפתחת את המעטפה שלך, וראית סכום סופי של כסף - כדאי לך להחליף (ואם לא פתחת - אז לא שווה, תוחלת הרווח בשתי המעטפות זהה - ואינסופית). המשחק שעוזי הציג למטה מציג catch דומה: גם בו תוחלת הרווח אינסופית, אך ההסתברות להשיג אותה היא אפס (מזכיר קצת חשבון גבולות...). איך באמת כדאי לנהוג במקרה הזה? מתי כדאי לפרוש? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
איזו אינפורמציה נוספה לך כתוצאה מפתיחת המעטפה? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מה זאת אומרת, עכשיו הוא יודע מה יש במעטפה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
(במקרה ואתה לא צוחק, אנא הסבר). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אולי נדבר קודם על הווריאנט של תגובה 303243. איזו אינפורמציה נוספת לך מפתיחת המעטפה הראשונה? התשובה היא שעכשיו יודעים מה יש במעטפה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אבל כאן אומר עומר (או עומר אומר) שהוא מתכוון לפתוח את המעטפה ואז להחליף אותה בכל מקרה. מאחר וזה הולך לקרות לכל סכום שיתגלה שם, די קשה לי לראות איזו אינפורמציה נוספה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נניח שהיו אלף מעטפות, זה משנה את השיקולים? אני מזכיר לך את השאלה עם ההרמון. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני חוזר: עומר הודיע שלאחר פתיחת המעטפה הוא מתכוון להחליף אותה, לא משנה מה הוא רואה שם. אולי אני לא מנסח טוב את השאלה: במקום "איזו אינפורמציה נוספה לך?" אני צריך לשאול "אם אתה יודע מראשמה אתה הולך לעשות בכל מקרה, איזה תועלת קיבלת מהאינפורמציה שנוספה לך?" | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בחידה שלך על ההרמון, שרפת כשליש מהבחורות וזה לא שינה כמה הן יפות. למעשה, הודעת מראש שכך תעשה. אני מסכים איתך ספציפית בשאלה הזאת, אבל רציתי להגיד שיש מקרים שגם אם אתה מכריז מראש שלא תיקח את המעטפה, עדיין תוכל ללמוד משהו מפתיחתה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בסדר, אלא ששם גם הסברתי מה אני עושה עם האינפורמציה שנוספה לי: אני משתמש בה לחישוב הממוצע, והממוצע הזה *כן* ישנה את הבחירה שאני עומד לבחור. כאן ישנה הצהרה שהפירוש שלה בעיני הוא שהאינפורמציה הנוספת לא תשמש לכלום (אלא אם כן החמצתי משהו ועומר יסביר מהו). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה צודק, האמירה שלי היתה נון-סקוויטר , פשוט תמיד שאני רואה בעיות כאלה אני אוהב לחשוב על הגבול התרמודינמי שלהם. ההשכלה שלי היא בעוכרי. אגב, עוד תובנה חצי קשורה של פיסיקאים: לא תמיד התוחלת היא האוביקט המעניין. לפעמים הטיפוסי הוא לא הממוצע. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"עומר יסביר"? השיחה הזו מלחיצה יותר מראיון עבודה (מה עוד, שאני בברור לא מתאים לתפקיד). אני לא חושב שהחמצת משהו. השאלה אם להחליף מעטפה לפני שהסתכלת בשלך, דומה לדילמה "משחקים את המשחק של אלון בשני חדרים שונים - באיזה חדר אתה מעדיף לשחק?". זו לא באמת דילמה, כי זה לא באמת משנה. לעומת זאת לאחר שהסתכלת בשלך, היא קצת כמו השאלה "האם אתה רוצה לשחק שוב?" לאחר משחק אחד. עכשיו, בדיוק כמו במשחק של עוזי, נראה שהתשובה היא תמיד "כן", כי התוחלת של כל משחק היא אינסופית ויש לך סיבה טובה לקוות שבפעם הבאה תרוויח יותר (כמו בכל משחק שבו הרווחת פחות מהתוחלת, ואז שואלים אותך אם אתה מעוניין לשחק שוב). ה-"בעיה" היא כמובן שהתוחלת גדולה יותר מכל הערכים של המאורעות במרחב המדגם, כלומר תמיד מרוויחים פחות מהתוחלת. התוחלת פשוט נכשלת בתפקידה כאומדן לרווח הצפוי. איך בכל זאת להחליט האם משחק נתון היה "משתלם" או שכדאי לנסות אחד אחר? לא יודע. אולי במקרים כאלה אין ברירה אלא להתעלם מהערך של המשחק, לחשב את ההסתברות לרווח גדול יותר במשחק הבא, ולהחליט - רק על סמך ההסתברות הזו - אם זה סיכון משתלם. ואולי לא. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
איל לי אלא לחזור לשאלה הקודמת: אם אתה יודע להגיד שהתשובה לשאלת ההחלפה היא תמיד "כן", מה יצא לך מזה שהצצת במעטפה? ואם לא יצא לך כלום, בשביל מה לטרוח ולפתוח אותה בכלל? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מהי השאלה עם ההרמון? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
שאלה שמזכירה קצת את דילמת הקרונית | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
את זה אני כבר יודעת. זאת בדיוק הדילמה שלי. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה מתחיל בערך ב תגובה 276135 | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא הצלחתי למצוא את הפתיל על המבנה המרחבי של חלבונים, ואני מקווה שיסולח לי שאני מדביק את הלינק הבא כאן. כדאי לצפות באנימציה הקצרה, יש בה משהו חושני נעים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
חמוד. פורנו לגיקים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם אני רואה 3 זוז, אני מחליף מעטפה. k המינימלי הוא 1, אז במעטפה הפחות שווה יש לפחות 3 זוזים, מה שמבטיח שאם יש במעטפה 3 זוזים היא הפחות שווה. אם אני רואה מטבע של 9 זוז אני מטיל מטבע עם שלושה צדדים ואם יוצא פלי אני מחליף. יש סיכוי של שליש בלבד שהוגרלו 9 זוזים (ואז במעטפה השנייה יש 27) ושני שליש שהוגרלו 3 זוזים (לפחות על פי החישוב שעשיתי). באופן כללי אם אני רואה x זוזים אני בודק מה ההסתברות שהוגרלו x זוזים בהינתן שבמעטפה שלי יש x זוזים. אני משתמש בנוסחת בייס, כשההסתברות באופן כללי שיוגרלו x זוזים מתפלגת גיאומטרית. מהחישובים שלי אני מקבל שתמיד ההסתברות היא שליש (כש-x הוא לא 3), לכן תמיד אני עושה מה שעשיתי במקרה של 9. פספסתי משהו? אני לא רואה כאן את הדמיון למקרה המעטפות, כי כאן אני ארצה "להתקדם" רק בכיוון אחד, והוא חסום מלמטה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אה, נכון, תוחלת הרווח. פיכסה. התוחלת יוצאת חיובית, לא? משהו כמו 2x/9? אז המסקנה המתבקשת היא באמת שכדאי להחליף תמיד במקרה הכללי. יש לזה פתרון? משהו ש(לא במפתיע) פספסתי? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה לא רוצה לחשוב על זה לבד? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הטעות שלי היא בחישובים, או שאני מפספס כאן משהו עקרוני שמעיד על זה שאני לא מבין מתמטיקה בכלל והסתברות בפרט? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
התשובה המתבקשת היא תגובה 303185, אבל אז יגידו לי עוד פעם שאני רשע, וזו טענה שאני לא מוכן לקבל. מצד שני, אני באמת חושב שזו בעייה שראוי לחשוב עליה. אז אני רק אסביר למה אני קצת מענה אותך (ואת עומר), ואם תתייאש אני אסביר איך אני רואה את הפתרון של ה"פרדוקס" הזה. אתה התחלת מהבעייה הקלסית של המעטפות עם הסכום הכפול. הפתרון שלך לבעייה היה ציון העובדה שבשאלה חסר נתון (איך הוגרל הסכום במעטפה הקטנה), והאבחנה שההגרלה הזו אינה יכולה להיות אחידה. הפתרון הזה מופיע כמעט בכל מקום בו ראיתי דיון בשאלה הזו, אבל הוא מאוד לא שלם. הוא נכון במובן זה שהשאלה לא אומרת מהי ההתפלגות, ולכן הערכת התוחלות אינה נכונה; אבל הוא יוצר רושם שגוי לפיו, ברגע שנבחר התפלגות מסויימת מפורשת, הבעייה תיעלם. היא לא, כמו שהתרגיל שהצגתי מראה. לכן, אין זה נכון גם לומר שבעיית המעטפות קשורה לאי-היכולת לבחור מספר טבעי בהתפלגות אחידה. אפשר להשאיר אותה בעינה עם התפלגות גיאומטרית. אם זה מנחם אותך, אתה בחברה מכובדת למדי: בשני המאמרים האלה יש משפטים לא זהירים מהסוג שתיארתי. המאמר של דב סאמט, בכל אופן, נחמד מאוד. התכתבתי גם איתו וגם עם דוולין בניסיון לברר את מקורה של הגרסה החריפה יותר שהבאתי, ללא הצלחה; דוולין לא הכיר אותה, ודב זוכר ששמע עליה באיזשהו כנס לפני כמה שנים. אני משוכנע ששמעתי עליה מאבא שלי, אבל הוא לא הצליח לזכור מאין הוא עצמו שמע עליה. הדרך לחשוב על הבעייה הזו, לדעתי, היא לנסות ראשית לראות אם יש פה איזה פרדוקס מתמטי(!). אין, אבל יש אבחנה מעניינת שאולי שווה לזכור אותה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני הייתי מציע את התרגיל הבא בתור שאלה מנחה: * * * * * ************************** ספוילר ל"פתרון" הפרדוקס (לפי דעתי, אבל אולי אלון עוד יפתיע) ************************** * * * * * נניח שבשתי המעטפות היו שמים סכומי כסף מההתפלגות שאלון תאר _באופן בלתי תלוי_. כלומר מגרילים פעמיים ושמים את הסכומים המתקבלים במעטפות. נותנים לך אחת מהם, אתה פותח, מסתכל ואז מציעים להחליף. מה כדאי לעשות? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
פרדוקס מתמטי לא ממש יכול להיות. אם היינו מגיעים לסתירה כלשהי מתוך האקסיומות של תורת ההסתברות, זה היה אומר שהאקסיומות של תורת ההסתברות לא ממש שוות הרבה - ובמקרה הזה (להבדיל מהפרדוקס הקלאסי), ההסתברות מוגדרת היטב. ה"אנומליה" היחידה שיש כאן, עד כמה שאני רואה, היא שהתוחלת של המשתנה המקרי של הסכום של המעטפה הפחות שווה היא אינסופית. אז הבעיה צריכה להיות ב"פרשנות" שנותנים לתוצאות. המצב הוא שתמיד משתלם להחליף. את זה אני מוכן לקבל; זה לא נראה לי יותר אי סביר אינטואיטיבית מאשר פתרון הבעיה של מונטי הול. הבעיה האחרת היא בזה שאפשר לכאורה לצבור תוחלת עוד ועוד, על ידי סדרה של החלפות של המעטפה, כי תוחלת של "החלפה" היא חיובית. אני לא בטוח שזה אומר בדיוק את זה - צריך לבדוק מה התוחלת של שתי החלפות, ושלוש וכו', ויש לי הרגשה שהיא לא הולכת לגדול. לכן, למרות שאתה "מרוויח" מהחלפה, אחרי ההחלפה הראשונה אין ממש טעם להמשיך (ולכן, במובן מסויים, גם אין טעם להחליף מלכתחילה). אבל את זה אני צריך קודם כל לבדוק מתמטית, ולא ברור לי אם זה הכיוון הנכון בכלל (כמו ב"מדריך הטרמפיסט לגלקסיה", כשאני לא יודע מה השאלה, התוצאה היא...) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"המצב הוא שתמיד משתלם להחליף. את זה אני מוכן לקבל" - באמת? אם כך, משתלם לך להחליף את המעטפות גם בלי שבכלל פתחת את הראשונה, ואם זה לא פרדוקס בעיניך פנה לאופטומטריסט הקרוב. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני בטוח שאתה לא רוצה שתמיד יאכילו אותך בכפית - ככה לא לומדים. "כשאני לא יודע מה השאלה" זה המצב הרגיל במחקר מתמטי, לעומת מבחן באינפי. נניח שאנחנו הופכים את סיפור המעטפות למשחק: מה שיש במעטפה שבחרת לבסוף הולך אליך, והמעטפה השנייה חוזרת אלי. אנחנו משחקים שוב ושוב. האם יש לך יתרון במשחק הזה? מה תוכל לומר על המשתנה המקרי המתאר את הרווח שלך בסיבוב אחד של המשחק? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מכיוון שאתה ממילא הולך לכתוב מחדש את הערך על "פרדוקס המעטפות" בויקיפדיה, הנה עוד פרדוקס: במשחק שלי קובעים פרס התחלתי בגובה שקל אחד. אתה יכול לבחור בין שתי אפשרויות: לקבל את הפרס, או להטיל מטבע. אם הצלחת בהטלה, הפרס מוכפל פי 3 וחוזרים לשלב הבחירה (ואם לא, הפסדת). ניתוח אסטרטגי: כאשר הפרס הוא X, אני יכול לקבל אותו ולצאת ברווח של X, או לחכות לשלב הבא - בסיכוי 1/2 אני מפסיד, ובסיכוי 1/2 אני יכול לבחור פרס של 3X. ברור שכדאי להמר, כי סיכויי הרווח וההפסד שווים, והרווח האפשרי עולה בהרבה על ההפסד. אם כך - מתי תפרוש מהמשחק? וכמה תרוויח באסטרטגיה הזו? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא קוראים לכל המשפחה הזאת בשם דילמת(או פרדוקס) המהמר? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
גם. בעצם קוראים לזה "מפלת המהמר" (gamblers ruin). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא. מפלת המהמר מתייחסת למצב טבעי הרבה יותר: אם כספך מבצע הילוך מקרי, לא משנה כמה עשיר אתה בהתחלה, בסוף תתרושש (בתנאי שאתה אף-פעם לא אומר "דייני"). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
למה שאני אפרוש? (חוץ ממגבלות חיצוניות של זמן?) | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
האסטרטגיה שלך היא לא לפרוש לעולם? כמה תרויח ככה? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תלוי כמה זה X במידה וX זה סכום סביר (נניח, מעל ל5 שקלים) אז אני ארוויח המון. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1. בלי לפרוש מהמשחק אתה לא מקבל שום דבר. 2. בשום שלב לא כדאי לפרוש (= תמיד תוחלת הרווח גדולה יותר אם ממשיכים). 3. אם לא תפרוש, הסיכוי שתפסיד בסופו של דבר הוא 1. 4. לכן האסטרטגיה "בחר תמיד באפשרות המשתלמת ביותר" מביאה לתוצאה הגרועה ביותר! |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הבה נחרוג מהתחום התיאורטי לתחום המעשי: כמה אתה מוכן לשלם תמורת השתתפות במשחק הזה? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם X שווה ל10 או 20 שקלים, אני מוכן לשלם עשרות אלפי שקלים כדי להשתתף במשחק הזה (אולי אפילו 100,000-200,000) | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא לגמרי ברור לי מהו X אצלך. כשעוזי ניסח את ה"פרדוקס" (תגובה 303303), הוא ציין שהפרס ההתחלתי הוא בגובה שקל אחד; הוא דיבר על X רק בשביל לנתח מה אפשר/כדאי לעשות בשלב כללי כלשהו במשחק (ו- X שם הוא כמובן חזקה שלמה כלשהי של 3). אז הרשה לי לחזור על שאלת שכ"ג, רק ביתר דיוק: כמה אתה מוכן לשלם תמורת השתתפות במשחק הזה (עם פרס התחלתי בגובה שקל אחד)? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
10 שניות. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא הבנתי נניח ואני זוכה בהטלת מטבע ראשונה ב3 שקלים. האם הפרס על ההטלה הבאה הוא 9 ש"ח וכו..? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא, אם זכית ב- 3 שקלים המשחק נגמר. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כבר בהתחלה אתה יכול לזכות בשקל אחד שלם. אם תרצה להמשיך במשחק, עליך לוותר עליו ולהטיל מטבע: זכית (נגיד "עץ"), המשחק נמשך כשאתה יכול לזכות בשלושה שקלים. הפסדת, המשחק נגמר. כעת אתה יכול לזכות בשלושה שקלים, או להמר. אם תהמר ותפסיד, המשחק נגמר (ואתה לא מקבל כלום). אם תהמר ותזכה, הפרס גדל לתשעה שקלים, ואתה שוב יכול לבחור האם לקבל אותו או להמשיך להמר. וכן הלאה. בסופו של דבר אתה מקבל לכל היותר פרס אחד: ברגע שהחלטת להשתפן ולוותר על המשך המשחק ועל הסיכוי לפרסים הרבה יותר גדולים, תוכל ללכת הביתה עם ה-10460353203 שקלים העלובים שלך... |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הבנתי. בוא נראה, הטלה לוקחת 10 שניות, ויש 3600 שניות בשעה, בוא נאמר שמקדישים לנושא 10 שעות ביום- ז"א 36,000 שניות. למשך 3 שנים זה יוצא 36 מיליון שניות- משמע 3.6 מיליון הטלות. בגלל שבמספר כ"כ גדול של הטלות אפשר לקבוע כמעט בדיוק מה יהיה הסיכוי שאני אזכה ב 30 או 40 פעמים רצוף . אני אוכל לקבוע מספר מסוים ( בשביל זה אני צריך מחשבון) וברגע שאני מגיע לאותו מספר אני אפסיק את המשחק. אח"כ אני אחשב כמה זה 3בחזקת 30 או 40 . אני מוכן לשלם 70-80 אחוזים מאותו מספר. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה לא יכול לשחק במשחק הזה כמה פעמים שתרצה. מוצע לך משחק אחד (לפי מה שהוסבר לך על "משחק"). כמה אתה משלם? (חידה נספחת שכבר נפתרה כאן כמדומני: איך נוכל להטיל מטבע כשאתה ואני נמצאים משני עבריו של קו טלפון ולא סומכים איש על רעהו?) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מה שהתכוונתי בתגובה הקודמת זה לבצע משהו כמו הוראת קבע. אני אחלק את הסכום שעוזי חישב למספר הפעמים שאני אפסיד במשחק עד שאגיע למספר הנצחונות הרצוף המיוחל ואקח את כל הקופה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה עושה לך חיים קלים. אם יש לך קרן אינסופית כדי לכסות את ההפסדים עד אותה זכיה שתניח את דעתך, בשביל מה לך בכלל לבזבז את זמנך על משחקים מטופשים? בוא נניח שמצבך הכלכלי הוא בערך כמו שלי: יש לך קצת כסף שאתה מוכן לסכן תמורת הימורים עם תוחלת לא-שלילית, אבל לא סכום אינסופי. אני מציע לך הזדמנות *אחת* לשחק נגדי בתנאים שהובהרו, ושואל אותך כמה תהיה מוכן לסכן. סמיילי הציע חצי שקל. אתה מוכן להעלות את הרף? עד איזה גובה? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני הצעתי חצי שקל בתנאים שפורטו בתגובה 303630 ולא באלה שפורטו בתגובה 303629 | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תמורת האופציה לאסוף שקל לכיסך אתה מציע רק חצי שקל? אני בטוח שיזם זריז מחשבה יהיה מוכן לשלם לפחות 99 אג'. אני מחכה להתעות טובות יותר. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בינתיים החצי שקל שלי הוא ההצעה הטובה ביותר שקיבלת (מה שגורם לי לשקול להוריד את ההצעה שלי ל25 אג'). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
חכה, היזמים זריזי המחשבה עוד יתעשתו. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1 ש"ח (שוטף + 60) | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני קונה במאה, ומוכר לך את הזכות להפסיק את המשחק לפני הסיבוב הראשון במאתיים חמשים... | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מאה ש"ח. אוקיי, סוף סוף מישהו לא מסתפק בשטיקים אלא נענה לאתגר. מאה ועשרה, מישהו? (ההנהלה אינה מתחייבת לקבל את ההצעה הזולה ביותר או כל הצעה שהיא) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
חשבונית על-סך 8510365821339850160.7 שקלים בדרך אליך. אבל לא ברור לי למה תרצה לעצור בשלב ה-40 של המשחק. אמנם אם תהמר תפסיד בסיכוי של 0.5, אבל אם תנצח בהימור, *תשלש* את הרווח שלך. האסטרטגיה שהובילה אותך עד לשלב הארבעים ("בחר באפשרות שתוחלת הרווח ממנה גדולה יותר") אומרת להמשיך. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אל תשכח את המע''מ. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
טוב, ההסבר שלך יהיה נכון לגבי כל מספר שאני אציע. לכן, אני אציב מספר שרירותי שיהיה גבוה מספיק כדי להצדיק את ההשקעה. אני לא יודע מה איתך אבל מבחינתי אין הרבה הבדל בין 800 טריליארד שקלים ל2600 טריליארד שקלים לכן זה לא יהיה פספוס גדול מבחינתי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בהתחלה מטילים מטבע, אם הוא נופל על עץ, אתה לא מקבל כלום והמשחק נגמר, אם הוא נפל על פלי, אתה יכול לקחת שקל יחיד, או להמשיך במשחק. אם המשכת במשחק, מטילים את המטבע שוב, אם הוא נופל על עץ, אתה לא מקבל כלום והמשחק נגמר, אם הוא נפל על פלי, אתה יכול לקחת 3 שקל, או להמשיך במשחק. אם המשכת במשחק, מטילים את המטבע שוב, אם הוא נופל על עץ, אתה לא מקבל כלום והמשחק נגמר, אם הוא נפל על פלי, אתה יכול לקחת 9 שקל, או להמשיך במשחק. אם המשכת במשחק, מטילים את המטבע שוב, אם הוא נופל על עץ, אתה לא מקבל כלום והמשחק נגמר, אם הוא נפל על פלי, אתה יכול לקחת 27 שקל, או להמשיך במשחק. אם המשכת במשחק, מטילים את המטבע שוב, אם הוא נופל על עץ, אתה לא מקבל כלום והמשחק נגמר, אם הוא נפל על פלי, אתה יכול לקחת 81 שקל, או להמשיך במשחק. .... אם המשכת במשחק, מטילים את המטבע שוב, אם הוא נופל על עץ, אתה לא מקבל כלום והמשחק נגמר, אם הוא נפל על פלי, אתה יכול לקחת 3^n שקל, או להמשיך במשחק. ... השאלה היא מתי לפרוש, לכאורה, כשאתה נמצא במצב לקחת 81 שקל או להמשיך, כדאי לך להמשיך, משום שהסיכוי להרויח 243 ש"ח הוא חצי, והסיכוי לא להרויח כלום הוא חצי, ככה שהתוכלת של להמשיך היא 121 ש"ח וחמישים אגורות, בעוד שהתוכלת של לצאת היא 81 ש"ח (שזה פחות). הבעיה היא שאותו חישוב מתקיים לכל סכום, לכן אף פעם לא כדאי לפרוש, אבל מצד שני, ודאי ברור לך שאם לא תפרוש מתישהו המטבע יפול על עץ, ואתה תפסיד את כל הרווח. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הנה המשחק: על השולחן מונח שקל אחד. אתה יכול לאסוף אותו וללכת הביתה, או לבקש מעוזי שיטיל מטבע. אם בחרת באפשרות השנייה, עוזי מטיל את המטבע, ושניכם מסתכלים על התוצאה: אם יצא עץ, אתה הולך הביתה חסר כל, אבל אם יצא פלי, עוזי משלש את הסכום על השולחן, כך שכעת מונחים עליו שלושה שקלים. כעת אתה שוב יכול לאסוף את הכסף מהשולחן וללכת הביתה, או לבקש מעוזי להטיל מטבע נוספת. אם בחרת באפשרות השנייה ויצא עץ, אתה הולך הביתה מחוסר כל, ואחרת (יצא פלי) עוזי שוב משלש את הסכום על השולחן, כך שעכשיו מונחים עליו תשעה שקלים, וחוזר חלילה. כמה אתה מוכן לשלם על מנת להשתתף במשחק? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אולי זה נושא למכירה פומבית. יהיה מעניין לשמוע הצעות מאיילים שונים. (אני כמובן אארגן את המשחק תמורת קומיסיון צנוע) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה שאתה שואל רק מוכיח שאתה גבר: "הנשים שהשתתפו בניסוי הרוויחו בממוצע לא פחות מהגברים בכל אחת מהאפשרויות האלה. אך כשהועמדה לפניהן בחירה בסיבוב הבא - השתתפות בתחרויות, או לחזור למה שעשו בתחילה ולקבל סכום נמוך בהרבה על כל תשובה נכונה, רוב הנשים העדיפו לא להתחרות, גם לא אלו שהשיגו את התוצאות הטובות ביותר בסיבובים הקודמים. רוב הגברים, לעומת זאת, בחרו באופציית התחרות, אפילו אלה שהישגיהם היו הגרועים ביותר." (מתוך http://www.haaretz.co.il/hasite/pages/ShArtPE.jhtml?...) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא מבין מה פרדוקסלי פה. כל מי שטיפה התעניין בשוק ההון מכיר את הטרייד-אוף בין תשואה לבין ביטחון. בכל השקעה קיים יסוד של אקראיות, ולכן אפשר לדבר על *תוחלת* התשואה שלה ועל *שונות* התשואה (יש כמובן דרכים אחרות, פרט לשונות, למדוד וריאביליות, אבל בואו נצטמצם לשונות). אנשים מעדיפים תוחלת תשואה גבוהה, ושונות תשואה נמוכה ("שנאת סיכון"). דא עקא, תוחלת ושונות הולכות יד ביד: כשהאחת גבוהה, כך גם האחרת. משקיעים ספקולנטיים מעדיפים השקעות עם תוחלת תשואה ושונות תשואה גבוהות, ומשקיעים שמרניים יעדיפו אותן נמוכות. הבחירה היא עניין אישי/סובייקטיבי/פסיכולוגי, ולכל משקיע יש, או אמורות להיות, "עקומות אדישות" (נדמה לי שככה קוראים להן) שמבטאות את העדפותיו בנוגע לטרייד-אוף הנ"ל. פואנטת ביניים: אף אחד לא מסתכל רק על תוחלת התשואה (אחרת כל חברות הביטוח, הטוטו ומפעל הפיס היו פושטים את הרגל); יש לקחת בחשבון תמיד גם את השונות. "אסטרטגיה" במשחק של עוזי היא לפרוש לאחר n סיבובים 1, אם לא הפסדנו בהטלת המטבע קודם לכן, כמובן. אם בחרתי n כלשהו, אזי ניתן לחשב את תוחלת ה"פדיון" מהמשחק (ולא הרווח, משום שתכף אדבר על מחיר הכניסה), וכן את שונות הפדיון 2. כל בחירה של n מתאימה לנקודה במישור התוחלת/שונות; בין כל הנקודות האלו, אני אבחר את זו שיושבת על עקומת האדישות ה"שווה" ביותר שלי (ייתכן שיש יותר מאחת, ואכן ביניהן אני אהיה אדיש). העקומה הזו חותכת את ציר ה"תוחלת" בנקודה כלשהי, וערך תוחלת זה הוא בדיוק הסכום המקסימלי שאסכים לשלם על מנת להכנס למשחק. שתי הערות טכניות: (א) הנחתי שכל הטלות המטבע מתבצעות כהרף-עין, כך שאין פה אלמנט של זמן; (ב) האסטרטגיה של להמשיך לשחק לנצח מבטיחה תוחלת פדיון של אפס, ולכן היא לא מעניינת. אז איפה הפרדוקס? _____________ 1 לפרוש עם השקל ההתחלתי משמעו לפרוש בסיבוב מספר 0 2 פה כתבתי קודם את הנוסחאות המדוייקות לשני הגדלים הנ"ל, אבל המוזילה שלי מציגה אותן בצורה מעוותת שלא הצלחתי לתקן. לא משנה - העקרון לא תלוי בנוסחאות |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אניחושב שאתה מתחמק מהבעיה (לא ממש, רק לא מפרט עד הסוף), נסה לחשוב עליה מהצד השני. נגיד שאתה בעל קזינו שרוצה להכניס משחק חדש, ומעוניין לקבוע את המחיר שלו. לצורך ההנחה, נניח שאתה יודע שלא תהיה לך בעיית לקוחות. אם המשחק הוא הטלת מטבע פשוטה, עץ לוקח 10 שקל, פלי לא לוקח כלום, אז התוכלת של המשחק היא 5 שקל, ולכן אם מספיק אנשים ישחקו, העלות של משחק (נתעלם לרגע מעבודה, פחת וכל זה) תשאף ל5 שקל. לכן, אם תקח 7 שקל, תרוויח *בממוצע* 2 שקל מכל משחק. להבדיל, אם המשחק הוא אין סופי עם תוחלת אין סופית, כמו זה שעוזי תיאר למעלה, לא כדאי לך להכניס משחק כזה בשום מחיר, משום שבכל מחיר שתכניס, עבור מספר לקוחות גדול מספיק, בממוצע תפסיד כסף. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אז נניח שאתה טיפוס כזה שמוכן להימור בתוחלת X בתנאי שסטיית התקן אינה עולה על 10X. במקרה כזה, זה לא עוזר שאתה מחליט מראש על אסטרטגיה: אם הגעת לשלב ה-n, אתה צריך להחליט האם לסכן את הפרס הנוכחי X (שהוא כמעט כל רכושך, אם n מספיק גדול), בהימור שמביא לרווח של X/2 בתוחלת, עם סטיית תקן 3X/2. כל הזמן אותו יחס. כל הזמן כדאי להמשיך להמר. עד שמפסידים הכל. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
את תגובה 303650 כתבתי במטרה לענות על השאלה "כמה היית מוכן לשלם על מנת להשתתף במשחק?", וכנראה מיקמתי אותה לא טוב (אם כי אני עדיין עומד מאחורי מה שכתוב בה). אז בוא נשכח משיקולי שנאת סיכון. כתבת: "הימור שמביא לרווח של X/2 בתוחלת"; אתה מניח אם כך, במובלע, שהמשחק *בוודאות יעצור* בשלב הבא, אבל מייד לאחר מכן מדבר על "להמשיך להמר". זה קצת בעייתי בעיני, ועשוי להיות שורש הקושי (אני עדיין חושב שצריך להחליט מראש על אסטרטגיה). את השאלה הבסיסית שלך אני מבין בתור "כיצד צריך לפעול אדם שאכפת לו רק מתוחלת הזכייה?". אם נסכים ש"מרחב האסטרטגיות" הוא זה שהצעתי, אזי התשובה היא שזוהי בעיית אופטימיזצייה לא חסומה, ולכן פשוט אין דרך פעולה אופטימלית: לאסטרטגיה "פרוש בשלב n" יש ערך 3/2 בחזקת n, ולקבוצת הערכים הנ"ל אין מקסימום. לא צריך את כל המנגנון ההסתברותי כדי לייצר בעייה כזו - אני מציע לך כל סכום שתבחר; בכמה תבחר? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אחת מההנחות הקבועות בתורת המשחקים היא שאפשרות נוספת לא יכולה להזיק. אם בצעד הבא הפרס עומד על 3X (וזוכים בו בסיכוי חצי), אז תוחלת הרווח היא *לפחות* 3X/2; העובדה שאפשר להמשיך להמר אמורה להגדיל את הרווח ולא להקטין אותו. גם הבעיה שאתה מציע מעניינת, אבל ההבדל הוא שבסיטואציה של המשחק יש רק שתי אפשרויות (בכל שלב, כמובן). זה הופך את העובדה שהרווח לא חסום ליותר מסובכת. אם העסק לא מספיק מסובך, הנה בעיה חדשה. נניח שאנחנו מחליפים מעטפות. אני מטיל מטבע עד שנופל "עץ", ושם במעטפה 3-בחזקת-מספר-המטבעות. אתה עושה אותו דבר, עם 4-בחזקת (כל ההגרלות בפיקוח רואה חשבון). כעת מחליפים מעטפות, וכל אחד מקבל את הפרס שהשני הטמין במעטפה. האם אתה מעוניין לשחק? זה נשמע כמו רמאות, אבל אני יכול לשכנע אותך להסכים: אני אפתח את המעטפה שלי ראשון! אם קיבלתי 4, המשחק משתלם לך. אם קיבלתי 16, המשחק משתלם לך. וכן הלאה: לא חשוב כמה אני מקבל, אתה תמיד מרוויח. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
התוחלת של המשתנה המקרי של הרווח המוחלט שלי היא אינסוף. לעומת זאת, אם אני מסתכל על רווח "יחסי", כלומר הרווח שלי פחות הרווח שלך, אני מקבל משתנה מקרי סימטרי לגמרי סביב האפס, ולכן התוחלת, שלא במפתיע, היא אפס (הרי הסיכוי שלי לבחור במעטפה הנכונה, בלי קשר לכמות ההחלפות שלי, הוא בדיוק 50:50). אני חושב שאני מתחיל לראות את הבעייתיות כאן. נניח שבמעטפה היה פשוט מושם סכום כסף קבוע (ובמעטפה השנייה היה מושם סכום גדול פי 3), בלי שיאמרו לי איך הוא נבחר. מן הסתם תוחלת הרווח היחסי שלי אם הייתי דבק במעטפה שלי הייתה כמו תוחלת הרווח היחסי אם הייתי מחליף מעטפה - אפס. אני מתחיל לחשוב שהבעיה שלי היא בשלב שבו אני אומר "יש לי סיכוי של 50:50 שבמעטפה שלי יש את הסכום הקטן יותר, כלומר סיכוי של 50:50 שאם אני אחליף אני ארוויח 2x, ואחרת אפסיד 2x/3". אני מתקשה לנסח במילים מה בדיוק הבעיה לדעתי, אבל אני מרגיש שזה נובע מכך שבשלב שבו אני אומר את זה, הסכומים כבר הוגרלו ונמצאים במעטפות, ולכן אם אני אחליף אני יכול להשיג רק רווח בטוח או הפסד בטוח. מכיוון שהסכומים כבר הוגרלו, המצב שבו אני נמצא כשאני בא לבחור בין המעטפות זהה למצב שבו במעטפות הושם סכום כסף קבוע בלי הגרלה. לכן לא נכון לקחת את התוחלת על הרווחים מהבחירה הזו. למעשה, אני לא חושב שאני מסוגל לכתוב משתנה אקראי שממדל את ה"בחירה להחליף". אבל די קשה לי להתנסח כאן, האמת. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"אם אני מסתכל על רווח "יחסי", כלומר הרווח שלי פחות הרווח שלך, אני מקבל משתנה מקרי סימטרי לגמרי סביב האפס, ולכן התוחלת, שלא במפתיע, היא אפס". אתה בטוח? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כמובן שאני לא בטוח, אבל זה מה שנראה לי. המשתנה המקרי של הרווח היחסי שלי הוא תמיד מה שאני הרווחתי פחות מה שאתה הרווחת. כלומר, הערך שלו תמיד יהיה שתיים כפול שלוש בחזקת k כלשהו. הוא מתקבל רק עבור המצב שבו אחרי ההחלפה יש לי מעטפה עם 3 בחזקת k+1, ולך יש 3 בחזקת k. ההסתברות לסיטואציה כזו היא קודם כל 1/2 בחזקת k (כדי שיוגרל 3 בחזקת k) ואחר כך כפל עוד 1/2 - ההסתברות שאני אתחיל עם המעטפה שמכילה את הסכום היותר קטן. אני כזכור תמיד מחליף. עכשיו, זה נראה לי סימטרי לגמרי עם האפשרות שאני לא ארוויח אלא אפסיד: כאן שוב צריך להגריל 3 בחזקת k (בהסתברות 1/2 בחזקת k) אבל הפעם אני צריך להתחיל עם המעטפה עם הסכום הגבוה יותר, ולכן כופלים שוב ב-1/2. האם אני מפספס כאן משהו ו"הפתרון" הוא "התוחלת (של הרווח המוחלט) אינסופית ולכן זה נראה מוזר"? זה פתרון שאני מתקשה לקבל. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה לא עובד מסודר. למדת הסתברות, או עוד לא? קודם כל ראה מהו מרחב המדגם, אח"כ בדוק מה ערכו של המשתנה המקרי בכל נקודה, רשום ביטוי לתוחלת שלו, ותראה מה יוצא. מה שלא יצא, זה לא יכול להיות "פתרון שאני מתקשה לקבל"; אנחנו בינתיים בשלב המתמטי. אחר-כך ננסה להבין מה זה אומר ולמה. (אני לא מנסה להציק, רק להראות לך שיש ערך לעבודה מסודרת לפי ההגדרות. אתה כל הזמן רץ קדימה, מנחש את התשובה ותוהה אם אתה מפספס משהו, בפעם החמישית כבר כמדומני. אל תפספס, אז לא תצטרך לתהות. בכל זאת נראה שהכותרת הנגררת שהעניק לי אורי היא מוצדקת). |
|
|
|
| חזרה לעמוד הראשי |  |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |