בתשובה לסמילי, 21/11/02 15:37
 |
|
 |
||
|
||||
 |
אני מבין שקשה, אז בוא נסתכל על דוגמא יותר פשוטה (אחרי זה תוכל לבדוק בעצמך איך היא קשורה למה שכתבת ב- 6). נלך הפעם על בעיית החלקיקים החפשיים לחלוטין (פוטנציאל אפס בכל מקום), ולצורך הפשטות נתיחס שוב למקרה החד-מימדי נטול הספין. קח את שתי פונקציות הגל המתאימות למצבים עצמיים: f(x) = exp(ix) עכשיו: לפונקציה f אין גבול באינסוף (היא מבצעת אוסצילציות). אם תרצה לטעון שהעסק מתאפס, תצטרך לספק כל מיני הסברים מפוקפקים, כמו שסיפקת ביחס לטור הזכור לשימצה. מבחינה מתמטית, אותו הסבר מפוקפק שתתן יהיה שקול לתנאי שפה: המרחק בין +00 ל- -00 אצלך, יצטרך להתחלק באופן מדויק בשני פיי כדי לקבל התאפסות מדויקת (יש אנשים שהענין יראה להם תמוה).g(x) = exp(i2x) <f|g> = int(-00,+00)[conj(f)g] = int(-00,+00)[exp(ix)] = = -i*[f(+00) - f(-00)] עכשיו בוא ניקח מצב עצמי נוסף h שפונקציית הגל שלו: h(x) = exp(i*a*x) כאשר a שווה לשורש 2 ועוד 1.כדי שיתקיים: <f|g> =?= 0 תצטרך לדרוש שהמרחק בין האינסופים יהיה כפולה מדוייקת של שורש 2 כפול פיי. קצת לא מסתדר עם הדרישה הקודמת.וזו רק ההתחלה... אבל אתה הרי "פיסיקאי", אז בעצם מה אכפת לך? |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
הגלים האלה לא מתאפסים ולא בטיח. אפשר להשתמש בהם כקירוב טוב למצב בו יש כמות גדולה של חלקיקים. הרבה יותר טוב להשתמש בהם כבסיס-על-ידי-טרנספורם-פוריה של פונקציות אמיתיות (אגב, אם תעשו טרנספורם פוריה של גל הרמוני, תקבלו פונקצית דלתא. לא בכדי, גם זו לא פונקציה פיסיקלית.) זה נוח גם לפיזור, ולכל מיני דברים כאלה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לאו דוקא כמות גדולה של חלקיקים, כמו שצפיפות גבוהה של מצבי האנרגיה(כלומר: הפרשים פיציים בין הע"ע של ההאמילטוניאן). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה דורש כמות גדולה של חלקיקים, כתנאי מקדים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
למה? צפיפות המצבים אינה בהכרח מחייבת את איכלוסם. דוגמא סתמית (ולא כ"כ מייצגת): רמות האנרגיה המעוררות של אטום המימן בקירבת אנרגיית היינון - יש רק אלקטרון אחד, אבל הרבה מאד1 מצבים עצמיים צפופים. מצד שני, אם אתה מסתכל מכיוונים של תורת השדות, אז גם הואקום הוא עסק "רוחש" למדי. 1 אינסוף, בגישה הנאיבית. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אנחנו מדברים על האינסוף פה, לעזאזל. גבול או לא גבול, גל הרמוני הוא לא פתרון פיסיקלי עבור חלקיק יחיד, אלא לכל היותר קירוב עבור כמות גדולה מאד של חלקיקים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
איך יתכן ש- (f(x)=exp(ix (על כל הישר הממשי) היא פונקצית גל, אם האינטגרל של ריבוע הערך המוחלט אינו סופי? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זהו בדיוק. היא לא פונקציית גל אמיתית (ומהסיבה שציינת). אני במתכוון יוצא מתוך הנחותיו של סמילי כדי להראות שהן מובילות לתוצאות מפוקפקות. מצד שני, אם היינו לוקחים קופסא גדולה כרצוננו, ודורשים תנאי שפה מחזוריים, היינו מקבלים מספר בן מניה של ערכים עצמיים. ע"י הגדלת הקופסא עוד ועוד, ההפרשים בין הע"ע קטנים כרצוננו, ובשלב זה אנו יכולים לקרב את החישוב באמצעות הרצף (משום הנוחות לצרכי חישוב: סכומים הופכים לאינטגרלים, מקדמי הפורייה הופכים פונקציה רציפה שניתן להפעיל עליה כלים אנליטיים, וכו'), בעוד שההשפעה על התוצאות שנגרמת ממעבר זה זניחה לחלוטין. הקופסא היא רק סוג אחד של טיפול. קיימות גישות אלטרנטיביות. מה שעקרוני בעסק, הוא שהרכבת הבעיה צריכה להיות כזו שתגדיר אותה היטב. מותר אחרי כן לעבור ולחשב באמצעות הרצף, אולם צריך לזכור שבאופן זה אנו מאפשרים מצבים אסורים, ואין לטעות בהם ולהחשיב אותם כמצבים אמיתיים. בסוף התהליך, יש משמעות פיסיקלית רק לתוצאות עבור גדלים שהיו קיימים בבעיה המקורית (לפני המעבר לרצף). את היתר יש להעלים. דוגמא: חלקיק נמצא בנקודה יחידה - בלתי אפשרי, חלקיק נמצא בסביבה סופית קטנה כרצוננו - אפשרי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נירמול בקופסא מקלקל את שימור התנע הזוויתי, לעומת נירמול בכדור, לדוגמא, שמקלקל את שימור התנע הקווי. לכן מתעלמים בד''כ משאלת הנירמול, או שתופרים אותו ספציפית לפי אופי הבעיה, ולפי מה שאנו מעונינים לחשב בה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כן, אבל סמילי מתעקש לדבר על מצבים, ולא פונקציות. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אפשר לבצע את הנירמול רק בזמן החישוב של הערכים. ------------------------------------------------- 1 אני משוכנע שכן, לדעתי, ההסבר נמצא כאן תגובה 106791 |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זו בדיוק הסיבה שאנחנו1 רוצים שהפונקציות יהיו ב- L2, שהוא, כזכור, המרחב של פונקציות שהאינטגרל של ריבוע הערך המוחלט שלהן סופי. אם האינטגרל אינו סופי (כמו במקרה של (exp(ix על הישר הממשי) אין במה לנרמל. 1 אני והפיזיקאים? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1. יש במה לנרמל. הנירמול נעשה פשוט בצורה שונה, אבל זה הנימול. 2. המקרה של (exp(ipx הוא דווקא קל, וכאמור, יש לו הוכחה בכל ספר פיזיקה (בנושא) שמכבד את עצמו, וכאמור, הוכחה נוספת תסופק למבקשים בדוא"ל. 3. אתה רוצה L2, הפיזיקאים (רובם, כמובן) כבר מזמן (מאז שדיראק הראה לנו את האור, לפני יותר מחמישים שנה) לא מחוייבים לL2, ורואים את L2 (והפונקציות בL2) כהיטל של המצב על משתנה, ולא כמצב עצמו. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1. הנירמול הוא חילוק בשורש הנורמה של הפונקציה, ואם הנורמה אינסופית, זה לא הולך. 2. כידוע, החלק הממשי של (exp(ix הוא (cos(x, והאינטגרל של זה ממינוס אינסוף לאינסוף אינו מתכנס. אפשר "להראות" שהאינטרגל הוא אפס אם שוברים את הישר הממשי לקטעים של 2pi (שבהם האינטגרל הוא 0), אבל באופן כזה אפשר לקבל גם תוצאות אחרות. גרוע יותר, הערך המוחלט של (exp(ix הוא 1, והאינטגרל של 1 ודאי אינו מתכנס על הישר הממשי. 3. מההסבר שלך לשאלה מהם המצבים, אני מבין שהחלקיק בעצם נושא כמה פונקציות גל (ביחס למקום, לתנע, למטען, לספין...) ובמובן מסויים הוא וקטור של פונקציות ותו לא (אני לא טוען שהפונקציות האלה בלתי תלויות, זה מן הסתם לא נכון). בכל-זאת, למיטב הבנתי אותן פונקציות דווקא צריכות להיות במרחבי L2 המתאימים (בגלל סעיף 1). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1. כאמור (כמה פעמים אמרתי את זה?), ברצף, הנירמול הוא לדלתא של דיראק (ולא לזאת של קרוניקל), וכידוע (אני מקווה), באפס הערך של הדלתא מתבדרת. ועדיין, לא רק שזה הולך, זה רץ. 2. ועדיין, עבור כל פונקציה שניתנת לטרנספורמציית פורייה (וכל פונקציית מדידה ניתנת לטרנספורמציית כזו), האינטגרל המדובר מהווה פונקציית דלתא של דיראק, מש"ל. 3. א. אני לא יודע אם אפשר לקרוא לפונקציות של מרחב לא רציף (כמו הספין) פונקציות גל, למעשה, אני חושב ש"פונקציית גל" מתייחס רק לפונקציות של מרחב המקום (לפחות, ככה זה היה במקור). ב. <זהירות, משוואות> עבור כל משתנה מדיד ורציף (למשל, התנע p) קיימים רצף של מצבים עצמיים (מצבי התנע <p|), כך שההיטל של מצב עצמי כלשהו על מרחב המצבים העצמיים נותן פונקציית דלתא: p_0(p)=<p|p_0>=\delta(p-p_0) שים לב שכבר עכשיו יש לנו, לכאורה, בעיה לא קטנה של (כין השאר) נירמול.אם נגדיר את המשתנה הצמוד לו (במקרה זה, המקום (x=i(d/dp) נקבל שהפונקציות העצמיות הן פונקציות ה (exp(ixp_0 וכאן הגענו ל"בעיה" (התעלמתי כאן מקבועים, ומסימנים). <.זהירות משוואות> |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הגלים ההרמוניים ופונקציות הדלתא הינן פונקציות מוכללות מחוץ ל- L^2, אשר מהוות קבוצה פורשת על ידי אינטגרציה של כל האיברים ב- L^2. ניתן להשתמש בהן לצורך פישוט חישובים מסויימים, אבל הן כשלעצמן אינן מייצגות חלקיקים פיסיקליים. לדוגמה, אם ארצה לחשב את מקדם ההחזרה בפיזור, על ידי מדרגת פוטנציאל כלשהי, אפתור הבעיה עבור גלים הרמוניים (כי זה נורא קל,) ואז אראה מה קורה לפונקציה שהיא גאוסיאן באנרגיה (ולכן גם בזמן), והיא היא תהיה דוגמה לחלקיק הפוגע במחסום. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
L2 יכול להוות קרקע נוחה לחישובים מתמטיים, אבל פונקציה לא מייצגת חלקיק פיזיקלי באופן שלם, אלא, את ההיטל של מצב החלקיק על המרחב התחום (של הפונקציה). כאשר עוברים למרחב הפונקציות מעל משתנה רציף, השימוש בפונקציות דלתא הוא מחוייב המציאות (ואם המשתנה גזיר, כנראה שגם הגלים ההרמוניים נכנסים). פיזית, אי אפשר להקריס מערכת למצב כזה משום שיש צורך במכשיר מדידה ללא שגיעה (ומדובר בתחום הרצף). עדיין, השימוש במצבים העצמיים של אופרטור מדידה רציף (כולל פונקציות דלתא, וגלים הרמוניים) הוא לא קירוב שנובע מנוחות, אלא חישוב מדוייק שנובע מהלינאריות של האופרטור (כאשר, התוצאה הסופית היא קומבינציה לינארית1 של המצבים העצמיים). 1 האם צריך להבהיר שמדובר באינטגרציה ולא בסכום? כנראה שכן. אז הנה, הבהרה: מדובר במשתנה רציף, ולכן הקומבינציה הלינארית היא אינטגרציה ולא סכום. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מבחינה מתמטית, במרחב המצבים האבסטרקטי, אז כן, ודאי, השימוש במצבים עצמיים של X ו-P הוא אם לא הכרחי הרי שאלגנטי מאד. החישוב אינו מדוייק, אלא נובע מהפוך על הפוך - יש לנו פונקציונל ליניארי (ברה) מוגדר היטב (הערך בנקודה מסויימת), ואם היה וקטור מתאים (קט), למעשה, וקטור מתאים לכל נקודה במרחב, הפועל כך שבמקום סכום עושים אינטגרציה ואז זה עובד בדיוק כמו בסיס רגיל, הרי זה היה נפלא, וזה מפשט את העבודה - אז מרחיבים את L^2 כך שיכיל וקטורים כאלה, המתנהגים בדיוק בדרך הרצויה, מקווים שהמתמטיקאים מתישהו בעתיד ימצאו לכך יסוד מתמטי (לקח להם כמה שנים טובות), וממשיכים הלאה. זו, כמובן, הדרך שהפיסיקה התיאורטית המתקדמת צריכה להיעשות - קודם מוצאים אובייקט תיאורטי משעשע ומתחילים להשתמש בו, ואחר כך נותנים למתמטיקאים (או פיסיקאים בעלי נטיות מתמטיות, סבלנות, ומאסטר לסיים) לאסוף את השברים. אבל, וזה חשוב, אין בכך לומר שלאותם וקטורים יש משמעות פיסיקלית - הם מרכיבים נוחים ליצירת פונקציות פיסיקליות, לעיתים הם מהווים קירוב טוב עבור אפליקציות ספציפיות, אבל לכל קוונטה מקום (לאחר מדידה), ואלה, מה לעשות, או שממוקמים מדי או שלא ממוקמים מספיק בשביל להיות חלקיקים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כבר מצאו לזה יסוד מתמטי, מדובר על מה שפותח ע''י דיראק לפני יותר מחמישים שנה, ונוסח היטב בהמשך ע''י הקהילה המתמטית. הויכוח הזה משעשע במידה מסויימת, אני מנסה למעלה להבהיר עד כמה הוא חסר טעם. הוקטורים הם המצב של המערכת, ולכן בעלי משמעות פיזיקלית, הפונקציות הם כלים מתמטיים לצורך חישוב תוצאות, לפעמים אפשר לוותר על השימוש בפונקציות, ולפעמים אי אפשר. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני מודע לכך שהכל מבוסס מתמטית, ולו כולנו חכמים, כולנו נבונים, וכולנו מכירים את תורת ההתפלגויות, הרי שלא היה כאן ויכוח כלל. אבל בזמנו, כאשר דיראק המציא את הנוטציה והכלים הללו, לא היה לכך ביסוס מתמטי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה צודק, סליחה על האי הבנה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אגב, במכניקת הקוונטים לא קיים וקטור האפס. פורמלית היא לא עוסקת לכן במרחבים וקטוריים כי אם במרחבי 'קרניים' - אין חשיבות לראשית. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אין חשיבות ל''גודל'' של הוקטור, רק לכיוון. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1. נכון שהדלתא של דיראק אינה "פונקציה", אבל היא (במובן מסויים) גבול של פונקציות באופן ששומר על מכפלות פנימיות, ואפשר לחיות איתה בשלום יחסית. אפשר להגדיר את האינטגרל שלה על הישר הממשי באופן עקבי, ומתקבל המספר 1. זו הסיבה שאין בעיות של נירמול. הבעיה עם (exp(ix היא שהאינטגרל אינו סופי, וזו אופרה אחרת. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
האינטגרל של המכפלה של הדלתא של דיראק עם הצמוד שלה מתבדרת גם היא. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם הבָנתי המוגבלת אינה מטעה אותי (היי, תמיד יש פעם ראשונה), "רנורמליזציה" עוסקת בדיוק בבעיתיות שנובעת מאינטגרלים לא סופיים. אחרת הכל הופך לנירמול פשוט שלא היה זוכה לכיסוי עיתונאי גדול כל-כך. אחרי הכל, כפל בקבוע זה לא עניין גדול, כמו שאמר לי פקיד הבנק שגבה 243 אחוזי ריבית על האובר שלי. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
יש לך מספר כשלים בהבנה של המכניקה הקוונטית, למרות שכבר הסברתי את כולם, התגובה הזו שלך מעידה שלא ממש התקדמנו, ואתה חוזר על כמה מהם פעם נוספת. 1. מכניקת הקוונטים מוגדרת מעל מצבים, ולא פונקציות גל. פונקציות הגל הם ההיטל של המצב על משתנה רציף כלשהו. למשל, את בעיית החלקיק החופשי אפשר לפתור בקלות במרחב התנע, והמעבר למרחב המקום הוא פשוט מטופש, וחסר טעם. 2. אל מרחב מצבים רציף מתיחסים כאל צפיפות מצבים, מה שמחייב *תמיד* לעשות אינטגרל (זכור את הרולטה). כמו שאי אפשר למדוד את המרחק של חיפה (רק את המרחק של חיפה ממקום אחר), כך אי אפשר למדוד שום ערך מעל מרחב המצבים הרציפים ללא שגיעה, מה שיביא *תמיד* אינטגרציה. לכן, אם יש לך חישוב שמכיל ברא או קט של מצב רציף, תדע שאתה צריך לעשות אינטגרציה נוספת (בדיוק כמו שאתה יודע שעל כל ברא יש קט). למשל, החישוב <p1|p2> הוא חסר משמעות אמיתית ללא אינטגרציה על p1 ועל p2 (בהנחה שp רציף, כמובן), תוסיף אינטגרציה לחישוב שקיבלת ותקבל את התוצאה הרצויה. 3. אם יש לך שני מצבים עצמיים שונים של אותו המילטוניאן שהמכפלה ביניהם לא מתאפסת, או שאלא לא מצבים עצמיים, או שההמילטוניאן לא הרמיטי (ולכן, לא לגיטימי). 4. אם יש לך המילטוניאן שהמצבים העצמיים שלו לא פורשים את אחד המרחבים עליהם מוגדרת המערכת, ההמילטוניאן לא complete ולכן, לא לגיטימי. 5. הגבול בחישוב אינטגרלים לא חייב להיות גבול בו המרחב שואף לאין סוף, יש הוכחות רבות לכך שהאינטגרל שרשמת מתאפס, אני משוכנע שאחת נמצאת אפילו בכהן טאנוג'י (אם לא, הספר פחות טוב משחשבתי עד כה), אם תרצה הוכחה נוספת, אוכל לשלוח לך בדוא"ל1, ובכל מה שנוגע להקשר של הצורך בהתאפסות (ראה סעיף 2) האינטגרל אכן מתאפס. ---------------------------------------------- 1 אני לא אפרסם את ההוכחה כאן משום ש: א. אין לי יכולת פיזית לכתוב את זה ללא משוואות. ב. אני מעוניין לצמצם את כמות המשוואות (הגדול כבר עכשיו) בדיון. ג. אני דואג למצבם הבריאותי של המתמטיקאים בקהל. אם אתה, או מישהו אחר, מעוניין בקבלת ההוכחה, הכתובת שלי נמצאת למעלה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1. תוכל להסביר מה פירוש "מצב", ומה ההבדל בינו לבין פונקצית גל? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
פונקצית גל היא *פונקציה* מעל המרחב המקום והזמן שפותרת את משוואת הגלים. מסיבות היסטוריות, פיתוחה של מכניקת הקוונטים החל ממשוואת הגלים (http://scienceworld.wolfram.com/physics/WaveEquation...), והמשיך למשוואת שרדינגר (http://scienceworld.wolfram.com/physics/Schroedinger...), ולכן הפיתרונות של משוואת שרדינגר, בהצגת שרדינגר, המוצגת לפי הזמן והמקום נקראים פונקציות גל. מצב, הוא וקטור במרחב המצבים (מסומן ע"י קט למשל <f|), שהוא מרחב הילברט כלשהו. ההיטל של המצב על המקום (ז"א, המכפלה <x|f>) נותן פונקציה מרוכבת של המקום. באתו אופן אפשר להטיל את המצב על התנע (או על כל משתנה אחר), ולקבל פונקציה מרוכבת של התנע. הפונקציות שהן ההיטלים של פיתרונות משוואת שרדינגר הכללית, על המרחב, הן למעשה פונקציות הגל מלמעלה. |
|
|
|
| חזרה לעמוד הראשי |  |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |