בתשובה לסמילי, 14/11/02 11:35
 |
|
 |
||
|
||||
 |
ואני לתומי חשבתי שרנורמליזציה זה התהליך בתורת השדות שבו נפטרים מההתבדרויות בגדלים כמו מטען האלקטרון שמתקבלות כשמכניסים תיקונים הפרעתיים כתוצאה מתהליכי ביניים "וירטואליים" כמו יצירת זוגות וכיו"ב (או לחילופין: תהליך האינטגרציה שנפטר מדרגות חופש ונשאר עם תורה אפקטיבית (ע"ע חבורת הרנורמליזציה), השימושי גם במכניקה הסטטיסטית ונחשב כשקול לתהליך ההפרעתי מבחינת התוצאות). כל עוד מכניקת הקוונטים מניחה שפונקציית הגל חייבת להיות ב-L2 (והיא אכן מניחה זאת!), פונקציות שאינן סטריקטלי ב-L2 אינן יכולות לשמש כפונקציות גל פרופר (אלא רק כקרוב). חוששתני שלא הבנתי את ההבדל שתארת בין תיאוריה למודל, אבל מעבר לדיונים פילוסופיים (ולגיטימיים כשלעצמם) על תחומי תקפות, מכניקת הקוונטים היא תורה פיסיקלית המנסה להסביר את ההתנהגויות הנצפות. בתור שכזו, היא מוצלחת מאד בתחום התקפות שלה, בעוד שברור שהיא בסך הכל תורה אפקטיבית (כלומר: התקפה ושימושית מאד בתחום מוגדר) הנגזרת מתורת השדות, שאף היא בתורה (מלשון תור) נגזרת מתורה שלמה יותר שבקיומה אנו מאמינים. ועוד דוגמא: אחת מהשאלות שמעסיקות את הפיסיקאים בימינו היא תחום התקפות של תורת הגרביטציה. נדמה לי שהתוצאות הניסוייות נכון להיום מאשרות שהמשיכה הגרביטציונית מתאימה לתאוריה גם בסקאלות של מילימטרים, ואולי אף פחות. האם תורת היחסות הכללית תקפה בניסוחה המוכר בסקאלה זו? קשה לודא, בעיקר בשל "חולשת" האינטראקציה הגרביטציונית. האם היא תקפה גם בתחום של פרמים בודדים? לא ברור, ואין זה מובן מאליו שהאקסטרפולציה מוצדקת1. מצד שני, למרות שלענין יש אולי השפעה על חורים שחורים, מרכזי גלקסיות, סופרנובאה, באנגים בגודל זה או אחר, אין זה משנה הרבה כשמדובר בתנועת פלנטות במערכת השמש. 1 השנה פורסמו מאמרים הטוענים כי נצפו אפקטים של קוונטיזציית השדה הגרביטציוני: מן הסתם, יש לכך השלכות על תחומי התקפות של הגרביטציה הקלאסית. |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
המשמעות היא אותה משמעות, כל זמן שהאינסופים לא מפריעים לנו בחישוב הערכים המדידים, אין לנו בעיה להרשות להם להתקיים כגבולות. לא מכיר את המאפיינים של L2, אבל אם זה אומר מספר ערכים עצמיים בן מניה אז מכניקת הקוונטים פשוט לא מניחה את זה, שים לב שגם המרחב עצמו הוא אופרטור מדיד, ואני מקווה שתסכים איתי שהוא רציף (ואם הוא מוגבל, והוא לא, תמיד אפשר להציג אופרטור מדיד נוסף שאינו מוגבל ועדיין רציף)! על ההבדל בין תיאוריה למודל ראה (רשימה חלקית) תגובה 18179 תגובה 42295 תגובה 47470 ו תגובה 47857 לתיאוריה *אין* תחום תקפות, והיא ניתנת להפרכה בכל סדר גודל, למודל יש, ולכן אפשר להפריך את המודל הניטוני, ועדיין להשתמש בו כאמצעי חישוב, להבדיל, תיאוריה שהופרכה, אין לה יותר חשיבות *כתיאוריה*, ולכן אף אחד לא מנסה להפריך אותה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אבל ממש, לא. רנורמליזציה (אפופידס כבר מסתלבטת עלי (מה זה לעזאזל אפופידס?)) היא מילה השמורה בפיסיקה לטיפול מסוג מאד מסוים (להבדיל מנורמליזציה ומרגולריזציות למיניהן). לא מאמין? נסה להריץ חיפוש כאן: L2 הוא מרחב הילברט של פונקציות מרוכבות שהן square integrable . ההתנצחות בענין כשירותן של הפונקציות העצמיות של המרחב מיגעת אותי, ולכן אסתפק בציטוט מעמוד 104 בספרו הכה-מושמץ של חתן פרס נובל כהן-טאנודז'י (אני באופן אישי מאד מחזיק מהספר, חרף מגרעותיו): "IMPORTANT COMMENT: קביעה פסקנית של דעות אינה בהכרח מדד לאיכותן.The usefulness of the contiuous bases which we have just introduced is revealed more clearly in what follows. However, we must not lose sight of the following point: a physical state MUST ALWAYS correspond to a square-integrable wave function. In no case can |p> or |x> 1 represent the state of a particle." 1 בשל מגבלות האדיטור, השתמשתי בקטס במקום הפונקציות השקולות שנרשמו במקור. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
והביצים בסדר. תודה שהתעניינת. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1. מבחינת העיקרון שהצגתי (כאן תגובה 106791 קרא שוב), רנורמליזציה ורגולריזציה זה אותו הדבר, אני תמיד מתבלבל בשמות, אבל זה באמת לא חשוב. 2. square integrable זה בן מניה? כי אם כן (ולמה נראה לי שלא?), ואם כל הכבוד, אני חולק באופן חד משמעי על כהן טאנוג'י, ואביא ציטוט נגדי בהמשך (ז"א, לאחר שתסביר לי למה כן). בכלל, מכניקת הקוונטים (כפי שהיא מנוסחת היום) לא מיוצגת על ידי מרחב הפונקציות המרוכבות, לראיה, דוגמאת הספין שהובאה במאמר עצמו (כאן למעלה), ושלא ניתנת ליצוג במרחב הפונקציות המרוכבות, אבל עדיין, הצליחו למצוא המילטוניאן שיפריד ביניהם (כן, מצאו כזה). לכן, אולי הפונקציות לא מייצגות מצבים של חלקיק, אבל הקטים מייצגים מצבים של המערכת, ומספיק שתהיה מכפלה פנימית ביניהם (ולמה יש לי הרגשה שזה המשמעות של square integrable?). בקיצור, אני מחזיר אותך לתגובתך הראשונה (והכלל לא פסקנית, כמובן), תגובה 106790 ומבקש שאם יש לך סימוכין לאין אופרטור ברצף, הבא אותו לכאן, אם לא, אז כדאי שתנסה לבדוק את איכות תגובותיך, *לפני* שאתה מעיר לאחרים על איכות תגובותיהם. לצורך העניין, ורק להפריך את טענתך, ניקח את הנחות היסוד שלך ("צריך תמיד לתחום אותו באיזה שהוא אופן") ונתחום את המרחב (לצורך העניין, החד מימדי) בין 0 לL כלשהוא, קטן כרצונך, האם הערכים העצמיים של אופרטור המקום (שהם השטח שבין 0 ל L) הם ברי מניה, ז"א, האם אתה יכול להציג כאן שני ערכים שכאלה שאין ביניהם ערך נוסף? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני מתנצל על נימת התוקפנות שהשתמעה מהערתי . כשהמכפלה הפנימית היא אינטגרציה על מכפלת הפונקציה האחת בצמוד המרוכב של השניה, הנורמה של פונקציה היא האינטגרל של הערך המוחלט בריבוע. מרחב הפונקציות בעלות נורמה *סופית* הוא מרחב הילברט L2 והפונקציות נקראות בהתאמה square-integrable. אני לא זוכר בדיוק מה קורה כשגבולות האינטגרציה אינסופיים, אך כשהם סופיים, בהכרח קיים בסיס בן מניה הפורש אותו. אם אתה "חולק באופן חד משמעי על כהן טאנודז'י", אולי כדאי שתתוכח איתו. אני יכול אמנם לצטט אותו, אולם (לצערי הבהחלט רב) קטונתי מלשמש לו תחליף. את הציטוט המובטח (מצידך), אגב, לא מצאתי. דוגמת הספין היא מדידה חלקית. זה בערך כמו למדוד אם החלקיק נע ימינה או שמאלה. אתה אמנם מקבל מידע על התנע, אולם נשאר עם ניוון אינסופי של תת המרחב העצמי. כידוע לך, היצוג של חלקיק עם ספין הוא ספינור, כלומר: מספר פונקציות שכל אחת מהן היא ב-L2 (במקרה הלא יחסותי, המספר הוא 2 לחלקיק עם ספין חצי). מאחר וזה מרחיב ללא צורך את הדיון, העמוס ממילא, לא רציתי להכנס לזה. בנוגע לדוגמא הסופית שנתת: כידוע לך, קבוצת המספרים הרציונליים בקטע היא בת מניה. אתה יכול לחשוב על ניסוי מחשבתי שיפריד באופן נחרץ בין תוצאה אי-רציונלית כלשהי לבין כל הערכים הרציונליים שבקירבתה?(בין כל שני מספרים ממשיים יהיו תמיד אינסוף מספרים רציונליים). עבור אותו חלקיק הכלוא בין 0 ל- L , ערכי התנע האפשריים בדידים (בשל תנאי השפה, כמו עבור גוף שחור). נניח שיש שם בפנים גם פוטנציאל לא טריוויאלי, כך שהמצבים העצמיים של האנרגיה אינם מצבים עצמיים של התנע. כעת נבצע מדידה של האנרגיה ונקבל קריסה למצב עצמי עמיד בזמן. אם מעונינים להעריך את ההסתברות למדוד כעת ערך מסוים של תנע, במידה והפונקציות מנורמלות התוצאה היא פשוט: |<p|E>|^2 נניח שמחליטים למדוד מיקום במקום למדוד תנע. במקרה זה, גם אם הפונקציות מנורמלות, יתכן ונקבל:|<x|E>|^2 >1 וזה כמובן לא הגיוני בתור הסתברות. אם לא היתה פה שום בעיה (כמו במקרה מדידת התנע שתוארה קודם) לא היינו צריכים לספק הסברים נוספים. אבל יש פה בעיה, ויש צורך להסביר, וזה מה שמעיד שמשהו כאן אינו עומד באותו סטטוס של הדוגמא הקודמת. הסיבה, כמובן, כפי שגם אני וגם אחרים (ואולי אפילו אתה) כתבנו כאן כבר קודם, שניתן לקבל משמעות הסתברותית רק אם מתיחסים לאינטרול סופי dx של תוצאות (שאת גבולותיו אנו יכולים לשנות כרצוננו, אולם הוא חייב לכלול סביבה כלשהי של הנקודה). במובן זה, לערכי התצפית של המיקום אין את אותו סטטוס כמו לערכי התנע. כשהתחום אינסופי, גם מצבי התנע מפתחים תחלואה דומה.
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
יש צורך להבהיר: הסיבה שקט כגון <r| אינו מהווה מצב של מערכת פיסיקלית היא, שלו כך היה, הרי שהיה מדובר בפונקציה שהיא אפס פרט לנקודה יחידה, אך האינטגרל שלה בכל תחום בעל מידה שונה מאפס הכולל את הנקודה הזו הוא אחד. אין פונקציה כזו, קומפלקסית או לא קומפלקסית. לעומת זאת, שימוש בקט הזה מאד שימושי בחישובים, כל עוד זוכרים את העובדה, שקטים כאלה הם רק לצורך סימון, והם חסרי משמעות ללא מכפלה פנימית. (במרחב הקואורדינטות זו למעשה פונקצית דלתא, בעלת תכונות אלה - שוב, יש לזכור שאין לה משמעות אלא באינטגרל, דהיינו, בהשפעתה על אות/פונקציה פיסיקלית.) | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בגדול, זה מה שאני מנסה להגיד לסמילי. די התעייפתי. אז תביא ת'כאפה של ה- WWF , ותמשיך במקומי מכאן :) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אל תשאיר אותי לבד עם סמילי! הוא יאכל אותי לארוחת בוקר! | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הוא כבר טוחן אותי שעות. לפי חשבוני הוא אמור להיות די שבע (אבל צריך עוד לנרמל...) | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני יודע קצת, ומנסה לבאר. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני חושב שבדרך כלל משתמשים במונח ''באר'' בשביל לדבר על ''באר כבידה,'' ביחסות כללית. (או, יותר נכון, פופולריזציות של היחסות הכללית.) | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
יענו: טוב בכוח. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה היה נכון לו potential היה פועל, שכן well הוא תואר-פועל. למעשה, potential בקונטקסט הזה הוא בכלל תואר, ואז צריך לחבר לו שם עצם, כגון good. (שהוא למעשה התואר המתאים לתואר הפועל well, אך משמש במשמעות זו גם כשם עצם, אם גם כזה מטופש מה.) | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתם מוציאים שם רע לפיזיקה. מילא, אם הייתם מתווכחים על אינטרפרטציות, הייתי עוד יכול להבין על מה יש חילוקי דעות, אבל כשאתם מתווכחים על עובדות והגדרות אתם נשמעים מבולבלים כמו תלמידי תואר שני בפילוסופיה מזרחית. אם ככה נראה המדע המדויק ביותר, זה שאמור להיות אובייקטיבי ומודל לחיקוי לכל שאר המדעים, לא פלא שמוצאים כוכבים שגילם גדול מגיל היקום. אני מתחיל לפחוד שבאחד הניסויים שלכם עוד תצליחו להפוך את כל מערכת השמש לחור שחור זערורי בגלל שמישהו הפעיל איזה אופרטור הרמיטי ושכח לעשות רנורמליזציה לפני שהוא נוסע לסופשבוע. חייבים לשים עליכם רגולציה הרבה יותר מצומדת. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
יש עכשיו בזול, בשוק הכרמל. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מדובר בוקטורים שהפונקציות הם ההטלים שלהם (של הוקטורים) על וקטור המצב של המשתנה/ים. המשתנה היחיד שאינו וקטור מצב, ולכן הוקטורים הם בהכרח פונקציות שלו הוא הזמן. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1. קיבלתי, ואני מתנצל בחזרה, הייתה לי הרגשה לא טובה (שהוכיחה את עצמה, לצערי http://www.ynet.co.il/articles/1,7340,L-2247914,00.h...). 2. כאמור, מכניקת הקוונטים לא מוגדרת מעל L2. 3. כאמור, מכניקת הקוונטים לא מחייבת הגבלת המרחב (פתח את כהן טנוג'י בפרק שעוסק באוסצילטור הרמוני, או בפוטנציאל קולומבי, יכול להיות שהאחרון נקרא אטום מימן). 4. אמרתי ש"אם כן", אביא את הציטוט הנכון, מסעיף 3. אתה יכול לראות שלא, ושאין לי צורך להביא את הציטוט הנכון. 5. כל מדידה היא מה שהגדרת "מדידה חלקית". 6. מספר פונקציות שכל אחת בL2, זה לא L2, למעשה, מדובר במכפלה טנזורית של L2, ואני מקווה שידוע לך שכשמדובר על וקטור, עוברים למספר גדול יותר, שלא נדבר על קווונטיזציה שניה, וטנזרים מורכבים. בכלל, הצגת מכניקת הקוונטים כאילו היא מוגדרת מעל L2, היא לא רק מגבילה אותה, אלא פשוט לא נכונה. 7. טוב, אבל כאן אני יכול למצוא פונקציה חד חד ערכית ועל (או איך שאתם לא קוראים לזה) ממספר הערכים בין 0 לL, למספר הנקודות בין 0 ל1 (זה אפילו קל), ולכן לא מדובר על מספר בן מניה. 8. הצגתי קודם איך מחשבים את הערך שמקבלים (כאן תגובה 106791), שים לב שהוא *תמיד* יוצא קטן מ1. (בגלל שמחלקים בנורמה *בזמן החישוב*). מה שיוצא הגיוני לחלוטין (צריך רק להיות עקבי). ז"א הסיכוי למדוד אם החלקיק נמצא בין x1 ל x2 הוא (בערך, אולי התבלבלתי, העיקר זה שיש גם מכנה, בגלל שאין הנחת נרמול מראש, עקרון שנראה לי מאד חשוב לחלק הרביעי במאמר): p(x in [x1,x2]) = (int(x1,x2)(<E|x><x|E>dx))/(int(x1,x2)(|x><x|dx)) וזה, כמובן, הגיוני לגמרי בתור הסתברות. אין כאן שום בעיה.9. מובן שבכל מה שנוגע לרצף, שאכן קיים (אחרת אין על מה לעשות אינטגרל, נכון), אי אפשר לעשות ניסויים על נקודה יחידה, ולכן כל ניסוי יהיה ניסוי על חלק מהמרחב. אין כאן "תחלואה" מדובר במצב בריא לחלוטין. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הנחת העבודה שלי היא שכל מי שעדין עוקב אחרי "גלישה" זו מהדיון, מן הסתם למד מאותם ספרים, ואולי אפילו אצל אותם מרצים, ולפיכך שולט בנוסחאות, בטכניקות ובדוגמאות הבסיסיות לא פחות טוב ממני. מסיבה זו איני רואה טעם "ללמד" את הנוסחאות שכולם מכירים ממילא. המחלוקת, מבחינתי, נותרת ברמה העקרונית של ההתיחסות והתפיסה. לגבי כהן-טאנודז'י: איני מאמין שיש משהו שאני יודע בנושאים אלו ושהוא איננו מכיר. אם ידיעותיך מאפשרות לך לחלוק עליו, לא נותר לי אלא להתקנא (ורק משום שאופיי חרא, עוד מפולניה, אני מעדיף להיות סקפטי :) ). פרקים 2 ו- 3 בספרו עוסקים בפורמליזם ובפוסטולטים. מסביב לציטוט שהבאתי, מתקיים דיון שלם בדיוק בענין זה שאנו חלוקים בו. איני רואה טעם לצטט אותו במלואו. אם אתה מעונין בכך, תוכל תמיד לרענן את זכרונך בטיעוניו. לי, כאמור, אין שום תרומה שעשויה לחדש בנושא. אם אנו מעונינים בכל זאת להתדיין, רצוי שניישר קו בענין השימוש במינוחים (ע"ע רנורמליזציה). מבחינה זו, מכניקת הקוונטים (להבדיל מתורת הקוונטים, או מתורת השדות), היא (באופן גס) התורה שמתארת חלקיקים באמצעות פונקציות גל (וזה בערך מה שמבדיל בין שמות שני הכרכים של ביורקן ודרל). קוונטיזציה שניה, למשל, אינה נכללת במסגרת זו. כפי שציינתי כבר קודם, הדיון נהיה טכני מדי ובעל ענין מועט לקהל הרחב. לכן אענה על הנקודות שהעלית בקצרה: פונקציית הגל שייכת ל-L2 או להרחבות טריוויאליות של L2 (לדוגמא: הספין). לדוגמא: במעבר ממימד אחד לשלושה, המכפלה הפנימית נותרת בעינה, ורק האינטגרציה מבוצעת על 3 מימדים. אם מוסיפים חלקיק, האינטגרציה עוברת ל- 6 משתנים, אבל הכל נשאר במשפחה (L2). למרות הכלליות שבה פיסיקאים אוהבים לדבר על "מצבים" אבסטרקטיים וכל מיני בסיסים אקזוטיים, ב"מודל הסטנדרטי" למשל, אין שום מצב שאינו ניתן לפרישה באמצעות מצבי התנע, דרגות הספין, והדרגות ביחס לחבורות הכיול של השדות השונים. מספר כל הדרגות האמורות לגבי "חלקיק יחיד" הוא סופי וידוע מראש. כלומר: דרישת L2 אינה מגבילה מעבר לנדרש. אם תיקח את אטום המימן לדוגמא, במרחק מילימטר ממרכז המסה, פונקציית הגל של מצב קשור כבר נמצאת עמוק בתוך התחום האסימפטוטי (בדוק, אם אינך מאמין). לכן, אין הרבה הבדל לגבי תוצאות הניסוי בין פונקציית גל אינסופית לכזו שתחומה כגודל היקום, לכזו שמתאפסת קיצרת נשימה למרגלות פסל החרות (אבל במים), לכזו שנקטעת בברוטאליות בקצה שולחן המעבדה. ידידנו קלוד יודע זאת כמובן, אבל מטעמי נוחות הוא מעדיף להתיחס לפונקציה כאין סופית. את הסתיגויותיו הוא כבר פרט מראש בפרק 2, אבל לא כולנו מוכנים לחזור ולקרוא אותן. איני מבין למה התכוונת בסעיף 7. מה שאני ניסיתי לומר, הוא שאין שום אפשרות במדידת מיקום להבדיל בין ערך ראציונלי לאי-ראציונלי. מספר הראשונים, כידוע, הוא בן מנייה. אם תבצע התאמה חח"ע בינם בין הקטע מאפס עד אחד, תישאר עם אינסוף מספרים בקטע זה שלא הותאם להם בן זוג. בדוגמא של חלקיק חפשי בקופסא (פוטנציאל אינסופי על הדפנות), ערכי התנע מקוונטטים ומתאימים לערכי האנרגיה. ניתן לחשב את המירווחים בין רמות האנרגיה, ואז לבצע מדידה במשך מספיק זמן (מעקרון אי הודאות) כך שאי הודאות באנרגיה (וכפועל יוצא גם בתנע) קטנה כרצוננו ביחס למרווח בין הרמות, ולכן אנו "יכולים" עקרונית לדאוג שהחלקיק לאחר המדידה יהי במצב תנע ידוע מראש, ושישאר שם (חילופיות עם ההאמילטוניאן). עקרונית, ניתן להגדיל כעת את הקופסא כרצוננו (עד פסל החרות ואפילו מעבר לו) וכל האמור לעיל עדין יתפוס. אם נעלים את הקופסא לחלוטין, זה כבר לא יהיה נכון (זו התחלואה שהתכוונתי אליה), אולם כפי שזכור לך מדוגמת אטום המימן, מכניקת הקוונטים גולשת מעבר לתחום התקפות שלה הרבה לפני שנוכל אי פעם להבחין בין פונקצית גל בגודל היקום (שאם הוא סופי, הוא יכול לשמש כקופסא) לבין פונקציה אינסופית (וחוששתני שאנו מצפים למצוא בהסתברות 1 את החלקיק בתוך היקום, כך שלא עשינו דבר שאינו מתקבל על הדעת). למרות שהדוגמא של הקופסא אינה פיסיקלית, ניתן לפחות לחשוב עליה במונחים של ניסוי מחשבתי. אתה מכיר ניסוי שישכנע אותנו באותה מידה של ודאות שהחלקיק נמצא בנקודה מסוימת במרחב? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1. לדעתי, הנחת עבודה זו מרחיקה את מי שלא שייך לקבוצה הזאת, וחבל. 2. כאמור, אנחנו חלוקים, אני וכהן טנוג'י, לא, לפחות לא לפי הציטוט שהבאת. 3. מכניקת הקוונטים היא התיאור המכני (להבדיל מהדינמי) של תורת הקוונטים. 4. ראה תגובה 107197 5. דרישת L2 מגבילה משום שהיא לא מאפשרת, למשל, קיום של סיפנורים, וקטורים, טנזורים ושאר ירקות. 6. ההבדל בין אטום מימן בגודל מסויים (גדול ככל שתרצה) לבין אטום מימן אין סופי הוא שבראשון מצבי האנרגיה המוכרים מהווים *מצבים עצמיים* של ההמילטוניאן שכולל את מפוטנציאל המוכר לכולנו. 7. אין לי ידידים בשם קלוד. כהן-טנוג'י הוא בסך הכל ספר, לא דברי אלוהים חיים. 8. בסעיף 7 התכוונתי לומר (ואכן אמרתי) שמספר הערכים בין 0 ל L הוא לא בר מניה, פרטים נוספים שאל את המתמטיקאים. 9. אין למכניקת הקוונטים תחום תקפות, מעצם היותה תיאוריה, היא תקפה בכל התחומים (לא עברנו את זה). 10. מה שהיה נכון עם הקופסא, ישאר נכון גם בלעדיה. הקופסא היא עזר מתמטי, וציורי, אפשר לוותר עליה. 11. מלבד שתי ההערות שלמעלה (9 ו 10) לא הבנתי מה אתה רוצה לומר בפיסקא האחרונה, אשמח אם תנסח מחדש (למשל, "ושישאר שם", אם הוא נמצא במצב תנע ידוע, הוא לא נמצא במקום קבוע, אז איפה זה שם, ואיך הוא ישאר שם, אם יש לו תנע שונה מאפס?) 12. חלקיק לא יכול להיות בנקודה מסויימת, הוא יכול להיות בתחום מסויים (במקרה החד ממדי, בין שתי נקודות). אתה מכיר מכשיר שיכול לבדוק מיקום מדוייק (ברצף)? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה יכול להרחיב על 3? מהו תיאור מכני ומהו תיאור דינמי? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני מקוה שאוכל להגיב בסוף השבוע. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1. אני מסכים. 5. המכפלה הטנזורית של שני מרחבי L2 היא שוב מרחב L2 (והמכפלה הטנזורית של שני וקטורים מנורמה 1 היא וקטור מנורמה 1). מכיוון שהאינטגרל של הריבוע של כל פונקצית גל הוא סופי (לפני הנירמול, ו-1 אחריו), הן שייכות למרחב L2 המתאים (כלומר, המרחב של הפונקציות המרוכבות המוגדרות על קבוצת הערכים האפשריים, שהאינטגרל של הערך המוחלט ריבוע שלהן, סופי). 8. בינתיים הבנתי שכל אופרטור מדידה הוא קומפקטי והרמיטי. אם כך, יש לו בסיס בן מניה של וקטורים עצמיים, והמדידה חייבת להחזיר ערך עצמי המתאים לאחד מהם. מכיוון שקבוצת המספרים הרציונליים צפופה בכל קטע (וגם במרחב התלת ממדי), העובדה הזו בפני עצמה אינה סותרת את ההרגשה שאפשר לקבל "כל ערך" במרחב (כי בניסוי אפשר להתקרב אליהם כמה שרוצים). בכלל, אם היקום סופי ואי-אפשר להבדיל בין מקומות שהמרחק ביניהם קטן מרדיוס פלנק, אז כל מרחבי המדידה הם סופיים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1. ובאמת יעזור אם מי שלא שייך לקבוצה הזאת יגיב בשאלות הבהרה, או בהזהרה. 5. נכון. ולכן, L2 יכול לייצג בהצלחה מערכת עם מספר חלקיקים קבוע (פשוט ע"י, מכפלת הפונקציות המרוכבות, וחזרה לL2). הבעיה מתחילה כאשר מנסים לייצג מספר חלקיקים משתנה. הבעיה מתרחבת כאשר מנסים לייצג ספינורים, וקטורים וטנזורים. לצורך העניין, "טנזור" הוא טנזור במרחב (התלת או הארבע ממדי), ז"א |t> נקרא טנזור ממעלה n אם הוא חוזר לעצמו לאחר סיבוב של 360/n כאשר, n יכול להיות חצי שלם, סקאלר הוא טנזור ממעלה 0 (כן, אני יודע שאי אפשר לחלק באפס, בטח יש לזה הגדרה מתמטית יותר מדוייקת איפשהו, בקיצור, סקאלר לא משתנה עבור כל סיבוב), ספינור הוא טנזור ממעלה 1/2, וקטור הוא טנזור ממעלה 1 וטנזור הוא טנזור ממעלה 2 (נכון, מגוחך, לא אני המצאתי את זה). L2 לבד לא יכול לספק את זה. 8. האופרטור צריך להיות *לינארי* והרמיטי, לאו דווקא קומפקטי. אין "הרגשה" שאפשר לקבל כל ערך, התיאוריה מובילה לכך שאפשר לקבל כל ערך. בכלל אם היקום סופי, הסימטריה עבור טרנסלציות נשברת, ושימור התנע, יחד אם לא מעט חוקים נוספים נעלם. ולהבדיל אפשר בין כל המקומות (כל זמן שנשארים בתורת הקוונטים), בהינתן כלי מדידה רגישים מספיק, הבעיה היא ההשפעה על שאר המערכת. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
5. יש בעיה באופן כללי בתורת הקוונטים הלא-יחסותית, עליה אנחנו מדיינים, להתייחס להרס ויצירה של חלקיקים - תורת הקוונטים היחסותית מתייחסת למצבים אלה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
5. קוונטיזציה שניה לא מחייבת יחסות. נכון שהכל מסתדר הרבה יותר יפה עם יחסות פרטית, אבל עדיין, לא מחייב, מספיק להגדיר אופרטור יצירה ואופרטור השמדה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1. אשמח להתבדות. 3. מחכה בקוצר רוח. 4. אם רוצים גם לנבא באופן כמותי תוצאות של ניסויים, יש צורך בשלב כלשהו ליחס לכל "מצב" אבסטרקטי איזו פונקציה ארצית. 5. L2 הוא אבן הלגו ממנה בונים את יתר המכפלות הפנימיות (לכך התכוונתי כשאמרתי "הרחבות טריוויאליות"). אם רוצים לחשב את הנורמה של ספינור לא יחסותי עם ספין חצי, התוצאה היא סכום הנורמות ב- L2 של שני הרכיבים בנפרד. מאחר והנורמות אינן שליליות, הנורמה הכללית סופית אם ורק אם נורמות הרכיבים סופיות. הטיפול בוקטורים וטנזורים אנלוגי. כשרוצים לטפל במצבים בהם מספר החלקיקים אינו קבוע, מתיחסים לכל רכיב עם מספר חלקיקים מוגדר כמו לרכיב של ספין, וחוזרים לחשב עם, סורפרייז סורפרייז, L2 . 5. א. הטנזורים באופן גס מאד הם סוג של הרחבת המושג שדות טנזוריים של הגאומטריה הדיפרנציאלית (ולא במקרה). תחת טרנספורמציית סיבוב אינפיניטסימלית מתקבלות במקרה הכללי שתי תרומות: האחת נובעת מההפרש בין ערכי הארגומנט (הנומינליים) של הנקודה לפני ואחרי הטרנס' (תנע זויתי אורביטלי, קיים אצל כל סוגי השדות), והשניה נובעת מ"סיבוב" הטנזור בתוך המרחב המשיק (מקרה פרטי: סיבוב של וקטור במישור X-Y סביב ציר Z משנה את רכיבי ה- X,Y שלו). התרומה השניה מכונה ספין. ביחסות הפרטית ניתן לזהות את כל המרחבים המשיקים ולכן העסק לובש אופן גלובלי. יוצאים מהכלל הם השדות עם הספין שאינו שלם (כדוגמת האלקטרונים). עבורם, נדרשת הרחבה מסוימת של הרעיון. שדות סקלריים הם טנזורים מדרגה אפס, ולכן אין להם את התרומה מהסיבוב במרחב המשיק (ספין אפס). 6. לכל בעיה בה הפוטנציאל סופי, קיים תחום אסימפטוטי סופי שבו השפעת ה- cut off זניחה כרצוננו. 8. מה, כן? 8. א. כבר הסברתי לעיל שהאופרטורים לא בהכרח קומפקטיים, ושלעיתים קרובות סדרת הע"ע מתבדרת לאינסוף. 8. ב. שימור התנע תלוי בהגדרת הבעיה. אם אדם נופל ממטוס באמצע הלילה, איני יודע מה אלהים יעשה בנידון (מוכן להמר), אבל התנע שלו אינו נשמר (ובשל התנגדות האויר, אפילו לא במינוחים של היחסות הכללית). כנ"ל לגבי בעית אטום המימן כפי שהיא מודגמת בספרי הלימוד הבסיסיים. הסיבה: המערכות אינן סגורות. אם רוצים לדבר על שימור תנע גלובלי (המערכת היחידה שאנו מכירים שהיא אולי סגורה לחלוטין), צריך כבר להכליל אפקטים של גרביטציה, וזה רק מסתבך. אף על פי כן, סופיות המרחב אינה בהכרח גוררת הפרה של חוקי השימור. מרחב מינקובסקיאני סופי עם תנאי שפה מחזוריים, לדוגמא, סימטרי תחת טרנסלציות. 10. עובד גם בכיוון ההפוך: לכל מטרה מעשית, מה שהיה נכון בלי הקופסא ישאר נכון גם איתה. מכביד לפעמים על החישוב, אך מספק את הביסוס המתמטי. 11. "ישאר שם": אם התנע הוא "מספר קוונטי טוב", כלומר: אופרטור התנע חילופי עם ההאמילטוניאן, אז לאחר שביצענו מדידה של התנע, ופונקציית הגל קרסה למצב עצמי של הערך הנמדד, אם נשוב ונמדוד את התנע כעבור יומיים, יתקבל שוב אותו ערך. כלומר: החלקיק "נשאר" באותו מצב תנע. 12. אני שאלתי קודם. 13. הפועל שוב הפסידה, ואיזה מסכנים האוהדים ששוכבים עכשיו בבוץ. סמילי לסמילי :) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1. זה תלוי בנו. 4. נכון. קח, כניסוי מחשבתי, רולטה בעלת 36 תאים שוים. גלגל ברולטה כדור, לצורך העניין, ניח שהסיכוי שהכדור יעצר בכל תא הוא שוה, לכן הסיכוי שהכדור יפול בתא החמישי הוא 1/36. עכשיו, נגדיל, לאט לאט, את מספר התאים, נגיד, פי עשר (יש לנו עכשיו תא לכל זוית). הסיכוי עכשיו שהכדור יעצר בתא החמישים הוא 1/360. עכשיו, נחליק לגמרי את הרולטה, כך שהכדור יכול להעצר בכל זוית אפשרית (הוא יעצר בגלל החיכוך אם האויר). הסיכוי שהכדור יעצר בדיוק בזוית של 50 מעלות (זה ניסוי מחשבתי, להבהרת נקודה מתמטית, אין בעיה של מכשירי מדידה) הוא 0. ואותו סיכוי קיים לכל זוית אחרת. אבל, הכדור כן יעצר איפשהו, נכון? מכאן אפשר להגיע למספר מסקנות שונות, אפשר להסיק ש"יש אלוהים" ("איך יכול להיות שקרה משהו בעל סיכוי כל כך נמוך ללא יד מכוונת", ראה, למשל, את דיון 425), אפשר להגיע למסקנה שמספר המקומות האפשריים שהכדור יכול להעצר בהם הוא סופי (וזה הטיעון שלך), ואפשר להבהיר שאי אפשר לחשב הסתברות למקום כזה, אבל אפשר לחשב את צפיפות ההסתברות שלו, ולהגדיר את ההסתברות כקיימת רק על תחומים (ואז עושים אינטגרל על התחום), וזה, בקצרה, הטיעון שלי. 5. א. זו לא הרחבה טריויאלית כלל. כמו שאמרתי, L2 הוא ההיטל של וקטור המצב על המרחב, ולכן ברור שהוא תמיד יהיה קיים, אבל, לפעמים, הרבה יותר פשוט לעבוד ישר עם וקטור המצב מאשר עם ההיטל שלו (שיכול לא להכיל מידע מסויים, ואז צריך לעשות היטל על משהוא אחר, וכך הלאה). 5.ב. כן, אז? 6. כן, אבל אז אתה מגדיל את התחום לפי מכשירי המדידה שלך, מה שאומר שהתחום לא מוגבל למעשה. 8. אז זה סותר את הצהרת הפתיחה שלך. 8.א. אה? 8.ב. התנע של המערכת (=היקום) נשמר תמיד. לא רק שאין צורך להכניס גרביטציה, אסור להכניס אותה, משום שאי אפשר להציג אותה באופן שתואם את התיאוריה. 10. שמעת פעם על אוקהם? 11. טוב, עדיין לא הבנתי את הפיסקה. 12. יכול להיות, כאמור לא הבנתי את השאלה שלך. 13. ההבדל הוא שהפעם לא הפסדנו בגלל שהיינו פחות טובים, אלא בגלל שהשופט ... |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
4+8. לא טענתי לרגע שמספר המצבים סופי. טענתי רק שיש לו בסיס בן מניה. סדרת המספרים הטבעיים שואפת לאינסוף. היא עדין בת מניה. את טכניקת האינטגרציה על הצפיפות אני מכיר, וגם משתמש בה כשצריך (וגם בפונקציות הדלתא של המיקום, עד כמה שזה אולי יפתיע אותך). זה עדין לא פוטר מהדיון העקרוני בהן. כדי שכדור הרולטה יעצור בדיוק על ערך ספציפי, הוא צריך להיות נקודתי לחלוטין. ואפילו במקרה זה, נוכל לבחור סדרה של מספרים ראציונליים שתתקרב אליו כרצוננו (עצמת הראציונליים, כזכור, בת מניה. לא. לא סופית). באיזה מצב ניתן לומר בודאות מוחלטת שהוא חונה דוקא על אותה נקודה ולא על אף אחת מנקודות הסידרה השואפת אליה? 14. כדי לאפשר לי להבין יותר טוב על מה בעצם דעותינו חלוקות, אבקש את שיתוף פעולתך בבדיקה קטנה. אנסה לתת כאן דוגמא ספציפית, ולאחריה שרשרת טענות. כל שאני מבקש ממך הוא לומר לי מה היא הטענה הראשונה שאינה מקובלת עליך. נימוקים יתקבלו בברכה. הדוגמא: חלקיק חפשי יחיד חד מימדי וחסר ספין בקופסא (פוטנציאל אינסופי מעבר לדפנות) בין 0 לפיי (לצורך הנוחות): הטענות: א. פונקציית הגל של החלקיק בהכרח מתאפסת מחוץ לקטע המדובר. ב. בתור מצבים עצמיים של האנרגיה ניתן לבחור את המצבים |En> כך ש: <x|En> = a*sin(nx) ( n טבעי)ג. מקדם הנירמול a אחיד לכל המצבים ולכן ניתן להתעלם ממנו לצרכי נוחות בכל המקרים בהם השפעתו על התוצאה הסופית היא עד כדי כפל בקבוע. ד. בסיס לקבוצת המצבים העצמיים של האנרגיה הוא בסיס למרחב המצבים האפשריים של החלקיק. ה. הערכים העצמיים של האנרגיה פרופורציונליים ל- n בריבוע. ו. אין ניוון בתת המרחבים העצמיים של האנרגיה. ז. מתוך טענות ד-ו, קבוצת המצבים שנבחרה בטענה ב' מהווה בסיס למרחב המצבים האפשריים. ח. כל מצב |b> ניתן להצגה ע"י: |b> = Sum(n=1,infinity)[|En><En|b>] ט. בפרט, אם |x> מצב אפשרי עבור החלקיק לכל x בקטע בין 0 לפיי, ואם x1 שונה מ- x2, צריך להתקיים:0 = <x1|x2> = <x1|Sum(n=1,infinity)[|En><En|x2>] = י. בפרט זה צריך להיות נכון כאשר x1 היא רבע פיי ו- x2 היא שלושה רבעי פיי.= a^-2 *Sum(n=1,infinity)[sin(n*x1)sin(n*x2)] יא. בדיקה מזורזת של איברי הטור הרשום בהצבת הנקודות האמורות (נבחרו משיקולי נוחות), מגלה שהטור החלקי (כלומר: כאשר מבצעים את הסיכום רק עד מספר סופי כלשהו) מבצע אוסילציות מודולו 4, ולכן הטור האינסופי אינו מתכנס (למרות שלפי טענה ט, הטור צריך להתאפס חד משמעית ). יב. תודה שטסתם אל-על. (הרעיון שעומד מאחורי הדוגמא: בשל אפשרות המעבר בין בסיסים, לא יתכן שלאותו מרחב יהיו בסיס בן מניה ובסיס אחר מעצמת הרצף, שכן במקרה זה המעבר ביניהם אינו יכול להיות חח"ע ועל, ולפיכך אינו הפיך במקרה הכללי). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
4+8. טענת שהמרחב תחום ובר מניה (תגובה 106790). וזה (בין השאר) מה שהפרכתי. כדי שכדור הרולטה יעצר על בדיוק על ערך ספציפי הוא צריך להיות כדור מדוייק (ז"א, החיכוך שלו עם המישור הוא נקודתי), וגם עבור כדור לא מדוייק, אפשר להסתכל על נקודת מרכז המאסה, או נקודת המינימום, או כל קונבנציה אחרת שתבחר. תוכל לבחור מספר רציונלי שיתקרב אליו כרצונך, אבל לא להגיע למיקום המדוייק. הודאות לא רלונטית לדוגמא (הסברתי את זה בדוגמא עצמה). 14. שים לב שהטיעון שלך הוא מעגלי, ושונה מזה שב תגובה 106790 אפילו סותר את החלק של "תחום". |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
14. עזוב מעגליות. נסה להתמודד ענינית. אם הדוגמא בפני עצמה אינה מקובלת עליך, אמור זאת (ואם אין זה קשה, נסה לפחות לומר מה פגום בה לטעמך). אם הדוגמא סבירה בעיניך, נסה לומר באיזה שלב שרשרת הטענות "נשברת" לדעתך. כפי שודאי הבחנת, אימוץ כל הטענות מוביל לסתירה. לאחר שנבין היכן בדוגמא הספציפית מתפצלות השקפותינו, אולי נוכל ללבן את הבעיה בצורה יותר ממוקדת וקונסטרוקטיבית (פחות סמנטיקה עורך-דינית של "אני התכוונתי ככה ואתה אמרת ככה", ויותר מהות), ומהמסקנה שתתקבל (אם וכאשר) אולי ניתן יהיה להכליל אל המקרה הכללי, ובניסוח שיהיה מקובל על שנינו. מה דעתך? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
14. נתחיל בזה שהסכום כן מתאפס. להזכירך, הסכום הוא לא מ1 עד N כשN גדול כרצוננו, אלא מ1 עד אין סוף. עכשיו, המספרים בסדרה הם: a_{1,5,9,13,17,21,...} = 1/2 עכשיו, נעשה תרגיל פשוט אך חביב,a_{2,6,10,14,18,22,...}= -1 a_{3,7,11,15,19,23,...} = 1/2 a_{4,8,12,16,20,24,...} = 0 sum(n=1,infinity)[a_n] = sum(m=0,infinity/4)[sum(q=1,4)[a_{m*4+q}]] = sum(m=0,infinity)[sum(q=1,4)[a_{m*4+q}]] = sum(m=0,infinity)[1/2-1+1/2+0] = sum(m=0,infinity)0=0 ולעניין, קודם כל, ה"תחום" ("צריך תמיד לתחום אותו באיזה שהוא אופן" תגובה 106790), באיזה אופן תחמת את אופרטור האנרגיה מסעיף ה (תגובה 107580)?עכשיו, תאר לעצמך שהייתי טוען טענה דומה (מבחינה מבנית) לזאת שטענת על מכניקת הקוונטים, באשר למכניקה הניוטונית, משהו כמו "פורמלית, כדי שחלקיק יתנהג יפה, צריך תמיד לתחום אותו באיזה שהוא אופן, ופעולה זו הופכת את התאוצה למאונכת למהירות." ולאחר שהיית מנסה לטעון שזה לא נכון, הייתי מביא כדוגמא את התנועה המעגלית (ובלי קשר לסוג התנועה, גם הטיעון מעגלי). באותו אופן, אתה מנסה להוכיח שמספר התוצאות הוא תמיד בן מניה, ע"י לקיחת מערכת שמספר התוצאות בה הוא בן מניה, פורש ולא מנוון. נסה לקחת מערכת אחרת, פיזיקלית יותר, כמו בור פוטנציאל סופי. גם עם הבור עמוק כרצונך, כך שהתנהגות החלקיק בבור תהיה זהה עד כדי דיוק קטן כרצונך להתנהגות בבור האין סופי, כאשר תנסה לעשות את התרגיל מלמעלה, מצפה לך הפתעה קטנה. אותה "הפתעה" צפויה לך כאשר תעבור למערכת הפיזיקלית ביותר שניתנת לפיתרון בעזרת הפורמליזם של שרדינגר, הפוטנציאל הקולומבי. לצורך העניין, הטענה שלך היא טענת הכללה ("צריך תמיד ..."), ולכן מספיקה לי דוגמא אחת על מנת להפריך, בעוד שאתה צריך למצוא הוכחה, ודוגמא בודדת לא מספיקה להוכיח. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לכל הפחות, בשביל שטור יתכנס, איבריו חייבים לשאוף לאפס, וזה לא המצב - הם מקפצים ממקום למקום. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא רק שלא אמרתי ''מתכנס'', אלא הבהרתי שהוא לא מתכנס. ראה פירוט למטה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אז זה מה שפיזיקאים עושים כשאף-אחד לא מסתכל? לא רק שהטור אינו מתכנס בהחלט1, הוא אפילו אינו מתכנס בתנאי (כי, כפי שציין כליל, האיבר הכללי שלו אינו שואף לאפס). בטור הזה אפשר לסדר את האיברים מחדש ולקבל כל תוצאה (שהיא חצי שלם), ולכן הוא מתכנס לאפס בדיוק באותה מידה2 שהוא מתכנס ל-19.5. 1 מתכנס בהחלט = טור הערכים המוחלטים מתכנס 2 טוב, לא ממש באותה מידה. הוא מתכנס לאפס במובן של צ'זרו, אבל זה כלי שלא הייתי מפקיד בידים של פיזיקאי... |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ואכן, זה בהחלט שייך למערכת הטיעונים שלי. אם התחלנו ממערכת שמתנהגת יפה, ומאד ברורה ופשוטה מבחינה מתמטית, אז איך זה שפתאום אנו צריכים "לרמות" ולהתנות סדרי סכימה רק כדי לאנוס את התוצאה הרצויה לנו? התשובה, לטענתי, היא שהכנסנו לעסק משהו שאינו כשר לחלוטין (במובן המתמטי "האורתודוקסי"), והוא המקור לצורך בהסברים התמוהים. את הרעיון שמאחורי בניית הדוגמא, הסברתי מתחת לתאור שלה. להשקפתי, הטענה הבעייתית (זו שפותחת את הפתח להתנהגויות המוזרות) היא החלק של טענה ט' שאומר: "...אם |x> מצב אפשרי עבור החלקיק לכל x בקטע...". ניתן תאורטית לקבל כל ערך בקטע כתוצאה של מדידת המיקום (אף פעם לא *ממש* התכוונתי לטעון אחרת), אבל פונקציית הגל אינה יכולה לקרוס לפונקציית דלתא בדוגמא הנתונה, מבלי שיהיו לה "היטלים בעייתיים" על המצבים העצמיים של נקודות אחרות בקטע (הטור שאינו מתכנס בדוגמא). לעומת זאת, במדידת אופרטור "כשר" (כמו האנרגיה, בדוגמא לעיל), פונקציית הגל קורסת למצב עצמי "אמיתי" שהוא אורתוגונלי לחלוטין (וללא צורך באקרובטיקה) לכל מצב עצמי השייך לערך עצמי אחר. למרות שהדוגמא ספציפית ביותר, ודי מוגבלת, הבעיה היא כללית, ומתגנבת בצורה זו או אחרת בכל פעם שמאפשרים את השימוש בפונקציות שאינן ב-L2. זה לא אומר שאסור לעשות כן, אבל זה בהחלט אומר שאנו צריכים לזכור שהענין כרוך ב"תשלום" שאנו נדרשים לתת עליו את הדעת ואת הדין (כלומר: לסדר את הקצוות בתום התהליך כך שהכל יחזור "להתנהג יפה"). וזה כל מה שניסיתי לטעון מלכתחילה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
למה בסעיף ט' "צריך להתקיים" מה שכתוב שם (שהוא לא נכון בעליל)? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
איני בטוח שהבנתי את השאלה. אנסה לענות לפי מה שאני חושב שהבנתי. אם {|k>} בסיס אורתונורמלי של המרחב, אז האופרטור: Sum({k})[|k><k|] צריך להיות שווה לאופרטור היחידה (זו בסך הכל הצגה של הוקטור לפי הבסיס {k} ). איני זוכר אם הפיסיקאים קוראים לזה "שלמות" או "סגירות" או ווטאבר, אבל משתמשים בזה כאילו אין מחר.בדוגמא שנתתי, זה אכן שווה לאופרטור היחידה ביחס ל-L2, אך לא ביחס לפונקציות החורגות מ-L2 כדוגמת פונקציות הדלתא (בכוונה נמנעתי שם מלהזכיר פונקציות דלתא במפורש, אבל זה נכנס בדלת האחורית בטענה ב'). ההשוואה לאפס היתה מתחייבת אם אופרטור המיקום היה "כשר" כי אז מדובר במכפלה פנימית של פונקציות עצמיות השייכות לע"ע שונים. אם החלק הראשון של טענה ט' היה נכון, בהחלט הייתי מצפה שגם החלק השני יחזיק. עניתי? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בדוגמא, אתה מסביר שכל פונקציה (אינטגרבילית) אפשר לכתוב כטור פורייה בעזרת הבסיס (sin(nx. ההתכנסות תהיה בנורמה המתאימה (ולא בהכרח התכנסות נקודתית בכל הקטע). בסעיף ט', לא הבנתי האם x1,x2 הם מספרים או הפונקציות הקבועות המתאימות, ולמה סתם שתי פונקציות צריכות להיות אורתוגונליות זו לזו. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
האבחנה בין ההתכנסות בנורמה להתכנסות נקודתית אכן חשובה כאן. אם לא מתעקשים להתיחס לאופרטורים כמו מדידת המיקום כאל שווי סטטוס לאופרטורים כמו מדידת האנרגיה, ההתכנסות בנורמה מספיקה בהחלט. ההתעקשות, לעומת זאת, מובילה לשעטנז, ומספקת את תרועת הפתיחה לקירקס. הדרישה מאופרטור של מדידה "אמיתית" היא שהשפעת המדידה תהיה קריסה של פונקציית הגל אל תת המרחב העצמי השייך לערך העצמי שהתקבל במדידה (הרחבות ועידונים ניתן לקרוא במאמרים של ירדן ניר, וזו הזדמנות נאותה לומר לו מילה טובה על הפרוייקט), ושההיטלים על תתי המרחב העצמיים של ע"ע אחרים יתאפסו. ניתן גם לנסח את הדרישה בצורות אחרות, אבל כדי לקבל עקביות של התורה עם הניסוי, היא צריכה להכנס בצורה זו או אחרת. לטענת סמילי, מדידת המיקום היא מדידה אמיתית במובן הנ"ל לא פחות ממדידת האנרגיה (לדוגמא). מאחר והע"ע של מדידת המיקום מצופים באופן טבעי להיות ערכי x בקטע, אזי x1,x2 בדוגמא שנתתי הם ערכים עצמיים (מספרים בין אפס לפיי) היכולים להתקבל כתוצאה במדידת המיקום, ומתוך הדרישה עבור אופרטורי מדידה שתוארה בפיסקה הקודמת, צריכים להיות להם מצבים עצמיים מתאימים |x1> , |x2> (אורתוגונליים, כשהע"ע, כלומר הנקודות, שונים). מאחר ומדובר בקבוצת ע"ע מעצמת הרצף, תנאי האורתוגונליזציה הבא בחשבון הוא: <x1|x2> = Delta(x1-x2) כעת, כדי שנוכל להשתמש בתוצאות מההצבה למשוואת שרודינגר לצורך ניבויים פיסיקליים, יש צורך לייחס פונקציית גל לכל מצב שהוא. מהמצב |x0> אנו מצפים ללוקאליזציה מלאה של פונקציית הגל בנקודה x0 (כלומר: הסתברות 1 למצוא את החלקיק שם והסתברות אפס למצוא אותו בכל נקודה אחרת). לכן פונקציית הגל המתאימה למצב זה תהיהDelta(x-x0) ודאי הבחנת שיש פה בעיה, כי אם מעונינים בריבוע הערך המוחלט של פונקציית הגל, ניתן ברגולריזציות מסוימות "להחליק" את הענין, בעוד שגישות אחרות מובילות להתבדרות, וזה אנלוגי, ולא במקרה, לאותו טור מתנדנד שקיבלנו בדוגמא. בכל מקרה, אנו נדרשים בשלב זה להפליג מנמל הבית הבטוח של המתמטיקה "המסודרת" לים הפרוע של ההסברים התמוהים (והלינק של easy בהחלט לענין).עבור מצב כלשהו |a> , שפונקציית הגל המיוחסת אליו היא a(x) , ניתן לבצע (ובאופן עקבי!) את ההתאמה: a(x) <=> <x|a> כלומר: הערך של פונקציית הגל בנקודה שווה להיטל המצב על הנקודה.זה אמור להסביר את הרישום בטענה ב' (בדוגמא ההיא), אלא ששם הולכים בכיוון ההפוך: קודם מוצאים את פונקציות הגל מתוך משוואת שרודינגר (הסינוסים הרשומים), ואז מתאימים אותן למצבים העצמיים של האנרגיה. ומכיון שהגעתי עד הנה, אוסיף כמה מילים לגבי "הדוגמא": הטענה המרכזית, שממנה נגזר כל ההמשך, ושעליה ציפיתי מסמילי לחלוק, היא טענה ד' (הניסוח קצת דפוק, אבל הרעיון שלה מובן). היא גם קשורה לשאלתך הקודמת כי נכונותה קובעת אם האופרטור שתארתי: Sum({k})[|k><k|] שווה לאופרטור היחידה, או רק להיטל על תת מרחב.אם סמילי היה חולק על טענה זו, הטיעון היה ממשיך כך: א'. קיים מצב |f1> שאינו נפרש ע"י קבוצת המצבים העצמיים של האנרגיה. ב'. ניתן לייצר ממנו מצב |f> אורתוגונלי ל"תת המרחב העצמי של האנרגיה" ע"י חיסור ההיטל על תת מרחב זה. ג'. מטענה א' מתחייב כי |f> אינו אפס. ד'. אופרטור האנרגיה ניתן לרישום באופן כללי כך: E~ = Sum({a})[Ea|Ea><Ea|] כאשר הע"ע Ea ממשיים (אם משתמשים בזה כהגדרה, "עוקפים" את שאלות ההרמיטיות והקומפקטיות והליכסון).ה'. מתקיים1: E~|f> = 0 ולכן |f> מצב עצמי של E~ השייך לע"ע 0.ו'. משוואת שרודינגר (המתאימה ל"דוגמא" הספציפית) עבור מצבים עצמיים של האנרגיה היא: const*f"(x) = Ea*f(x) ו'. מכאן מתחייב שב"דוגמא" הספציפית שלנו:f(x) (= <x|f>) =0 (בשל תנאי השפה באפס ופיי).ז'. טענה ו' סותרת את טענה ג'. 1 ניתן לטעון שהטענה בעייתית ושאופרטור האנרגיה בהגדרתו בטענה ג' הוא רק צימצום ל"תת המרחב של האנרגיה" ואינו תופס מחוץ לו. למעשה גם אפשר כאן לטעון למעגליות, ושכפירה בטענה ד' שקולה לכפירה בטענה ד "המקורית". משמעות הכפירה היא שיש מצבים שלא ניתן לבצע עליהם מדידת אנרגיה. אחד מחברי הטובים טוען שיש שלושה סוגי פיסיקאים שיסכימו לחיות עם זה: אהבלים גמורים, שאקלים יצירתיים סטייל הוקינג,2 אהבלים גמורים שמחזיקים מעצמם שאקלים יצירתיים סטייל הוקינג. 2 אלה גם יביאו נימוקים כבדי משקל שיתמכו בטענותיהם. (וציטוט חפשי מתוך "שלמה המלך ושלמי הסנדלר": "אם בין דברי חכם ובין דברי טיפש כאילו אין הבדל, הבדל בכל זאת יש..."). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1. כמו שהסברתי, במעבר לרצף עוברים מהסתברות לצפיפות הסתברות (מה שאמור לחסוך לך את ה"בעיה"). 2. אופרטור מדידה אמור להיות Complete. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
2. אז אם אני מבין אותך נכון, אתה מסכים עם טענות ד ו- ד' (המקורית, והמחודשת). מכאן אני מסיק שהמחלוקת בינינו (בדוגמא הנתונה) היא לגבי התאפסות הטור. אני בכיוון? 1. עדין, גם כשמאמצים את הגישה שלך בתור הנחת עבודה, אם המדידה נתנה את הערך x8 ואם יש לו מצב עצמי מתאים, ואם החלקיק נמצא באותו המצב (ברגע הקריסה, נניח), נצפה שכמה שלא נקטין את "החלון" סביב x8, עדין ההסתברות שהוא ימצא (ברגע הקריסה) בתחומי החלון תהיה 1. זה לא מה שאתה טוען כל הזמן? מהי אם כך פונקציית הגל שהיית מיחס למצב העצמי של x8 ? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1. לא, המחלוקת ביננו היא על הצורך לתחום את המצבים העצמיים, ועל התוצאה ברת מניה שצורך זה גורר *תמיד*. 3. "פונקציית גל" היא ההיטל של המצב על המצבים העצמיים של אופרטור המרחב, במקרה שהמצב הוא |x8> אז פונקציית הגל תהיה <x|x8> שהיא פרופורציונאלית לדלתא של דיראק (בהנחה שהמרחב רציף). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני מנסה (שוב) לפענח את מה שאתה טוען. אנא הכחש אם יש צורך. פונקצית הגל היא פונקציה במרחב L2 על אוסף המצבים האפשריים. מדידה "אידיאלית" מחזירה ערך-עצמי של אופרטור המדידה, ובאותו זמן מקריסה את פונקצית הגל למרחב העצמי של הערך הזה. זה קורה, למשל, כשמודדים אנרגיה (או ספין), כי יש להם ערכים דיסקרטיים (שניתן להבחין ביניהם). לעומת זאת, כשמודדים מקום, לכל ניסוי יש מגבלות של דיוק (כי אוסף הערכים האפשריים הוא רציף), ולכן לא קיימת מדידה "אמיתית" של מקום. כתחליף, אפשר להניח שמודדים שאלות כן/לא על קופסאות קטנות, ומדידה כזו מקריסה את פונקצית הגל למרחב מתאים (מן הסתם, סכום המרחבים העצמיים המתאימים לערכים שבקופסא, מה ששקול לצמצום הפונקציה לקופסא הזו). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
להוציא אי אלו פוטנוטס, נראה לי שהבנת את טענותי. מרחב פונקציות הגל הוא L2, כל בסיס אמיתי בו חייב להיות בן מניה, וכל האופרטורים חייבים להיות ניתנים להצגה בבסיסים אלו. הבעיה במדידת המיקום אינה רק ענין של מגבלות הניסוי1, אלא בילט אין לתוך התורה (ומהסיבה שאתה ציינת): הכנסת פונקציות ואופרטורים שאינם ב-L2 בהכרח פותחת פתח לכל מיני תוצאות מפוקפקות (ואני מקוה שמספר הדוגמאות שטיפלתי בהן מעבירות לפחות את "ההרגשה" של הרעיון). לכן יש למצוא שיטות רגולריזציה להחזרת העסק למוטב. חלוקה לקופסאות קטנות היא אחת משיטות אלה, אם כי אין חובה להגדיר מראש את גודל הקופסאות ואת מספרן (וכדאי לזכור שמותר לנו מספר בן מניה של קופסאות גם על קטע סופי).אין גם חובה להגדיר מראש מה הן "נקודות המרכז" של הקופסאות, כך שא-פריורי אנו מאפשרים רצף של תוצאות אפשריות (הסבר: ניתן, למשל, לבנות סביבה קטנה כרצוננו סביב הערך שהתקבל בפועל, ואח"כ לחלק את יתרת המרחב בצורה שרירותית, ביודענו שלאחר הקריסה פונקציית הגל תחומה לאותה סביבה קטנה, אך שייכת ל-L2). ראה גם את תשובתי לשאלתך בתגובה 108261 1 פיסיקה היא מדע ניסויי. לא ניתן להכריע בין שתי תאוריות, כל עוד ההבדלים בפרדיקציות שלהן נמצאים מעבר ליכולות הניסוי (הסמנטיקה של סמילי לגבי ההבדל בין "מודל" ל"תאוריה" ממש לא מדברת אלי). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
על בסיס "פיסיקה היא מדע ניסויי. לא ניתן להכריע בין שתי תאוריות, כל עוד ההבדלים בפרדיקציות שלהן נמצאים מעבר ליכולות הניסוי", לא ברור לי איך הבנת שההבדלים בין מודל לתיאוריה הם סמנטיים, משום שהם לא. מעבר לכך, בהחלט ניתן (ואף חיוני) להכריע בין שתי תיאוריות שנותנות תחזיות שונות, גם ללא יכולת אמפירית, הרי על כל תיאוריה אפשר להוסיף אין סוף (בשבילך, בר מניה) תיאוריות נוספות שנותנות בדיוק את אותה תחזית. ואני שוב שואל אם שמעת פעם על התער של אוקהם? אבל, זה *בהחלט* לא קשור להבדל בין מודל לתיאוריה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כמו שאיזי ציין, ובצדק, זה עוד כלום. הטור, לא מתכנס, והסכום, מה לעשות, עדיין אפס. אי "אפשר לסדר את האיברים מחדש ולקבל כל תוצאה", משום שהסכום הוא, כמו שהבהרתי, לא עד N גדול כרצונך, אלא עד *אין סוף* בכבודו ובעצמו, ולכן, כל סידור מחדש של האיברים יתן לך אפס, משום שלכל איבר שנמצא בסכום גם שכניו לרבעיה נמצאים בסכום, משום שכל המספרים הטבעיים נמצאים בסכום. את צ'זרו אני לא מכיר, אבל ההיסטוריה לימדה אותנו שכלים מתמטים שלא ניתנו בידי פיזיקאים, הומצאו על ידם (בצורה שגרמה למתמטיקאים לתסכולים רבים). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ושלא יבלבלו לנו ת'מוח שיש מספרים אי זוגיים שאינם ראשוניים... | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם הטור1 לא מתכנס (והוא לא!), אז אין לו בכלל "סכום". אפשר לסדר את האברים מחדש באופן הבא. ראשית, נסכם 37 אברים השווים ל- 1. אחר-כך, נסדר את הנותרים ברביעיות: 0, 2-, ושני האברים השווים ל-1, שהם הבאים בתור. הסכום של כל רביעיה הוא 0, ולכן סכום הטור הוא 37. זה נכון בדיוק כמו הטענה שהסכום הוא אפס. דוגמא נוספת (ומוכרת): את הטור 1-1+1-1+1-1+1-1+1... אפשר לסכם (בלי לשנות סדר) כ- (1-1)+(1-1)+(1-1)+... ולקבל 0, ואפשר גם לסכם אחרת, 1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+... ולקבל 1. האמת היא שהטור לא מתכנס. כדאי להבהיר מה הפירוש של "טור מתכנס". נתונה סדרה של מספרים. הסדרה הזו מאפשרת להגדיר סדרה אחרת, של הסכומים החלקיים (מהאיבר הראשון עד ה-n-י). אומרים שהטור מתכנס, אם סדרת הסכומים החלקיים מתכנסת. העניין הוא ששינוי של סדר האיברים *משנה* את סדרת הסכומים החלקיים - וכעת זה בכלל לא ברור שהסדרה החדשה חייבת להתכנס לאותו גבול כמו הישנה. לעומת זאת, יש משפט שמבטיח שאם טור הערכים המוחלטים מתכנס, אז דווקא מותר לשנות את סדר האיברים (ותמיד מתקבלת אותה תוצאה). 1 נזכיר שמדובר בטור שאיבריו הם 0, 1, 2-, 1, 0, 1, 2-, 1, ... (מחזור ארבע). אני מכפיל בשתיים כדי לחסוך בסימנים מתמטיים סבוכים כגון 1/2. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
האם הטור 0,0,0,0,... מתכנס? התרגיל של שינוי הסדר לא תקף משום שאתה שובר סימטריה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ולמה שלא יתכנס? סדרת הסכומים החלקיים היא 0,0,0,0,... ולכן מתכנסת ל 0. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ומה ההבדל בין הסדרה: S1={0,0,0,0,0,...} לסידרה:S2={1/2-1+1/2+0,1/2-1+1/2+0,1/2-1+1/2+0,1/2-1+1/2+0,1/2-1+1/2+0,1/2-1+1/2+0,...}
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אין הבדל, רק אל תמשיך עכשיו בכיוון של להזיז את הפסיקים או לשנות את סדר החיבור, או שאדון אותך לחדו''א א' אצל עוזי. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מה ההבדל בין הסדרה: S2={1/2-1+1/2+0,1/2-1+1/2+0,1/2-1+1/2+0,1/2-1+1/2+0,1/2-1+1/2+0,1/2-1+1/2+0,...} לסדרה:S3={sum(q=1,4)[a_q],sum(q=1,4)[a_q],sum(q=1,4)[a_q],sum(q=1,4)[a_q],sum(q=1,4)[a_q],sum(q=1,4)[a_q],sum(q=1,4)[a_q],...} כאשר a_q מוגדר בתגובה 107956?
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מה ההבדל בין הסדרה: {1-1, 1-1, 1-1, 1-1, 1-1, 1-1, ...} לסדרה: {1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0,...} ? הן בכלל לא אותה הסדרה. במקרה, אם נציג את האחרונה כטור: {1, 1-1, 1-1+1, 1-1+1-1, 1-1+1-1+1, ...} היא תראה כאילו הראשונה היא "סידור מחדש" של האחרונה. יופי. לא תמיד סידור מחדש עובד, וההגדרה של סכום של טור היא הגדרה מאד מדוייקת - היא לא מכסה סידור מחדש, אבל ניתן להוכיח איתה שתחת תנאים מסויימים (כגון כאשר הטור מורכב מאיברים אי-שליליים ומתכנס, אם אינני טועה), מקבלים אותו הדבר גם אם "מסדרים מחדש," לכל סידור מחדש. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
האם שתי הסדרות שהצגתי למעלה זהות? שים לב שאני לא עוסק ב"סידור מחדש". |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה עוסק בסכימה חלקית, שגם היא לא רעיון טוב במיוחד, שוב, אלא אם מדובר בטור מתכנס עם איברים אי-שליליים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
למה חלקית? ומה התשובה לשאלה ששאלתי? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כן, ולשתיהן יש קשר מקרי בלבד לסדרה המקורית. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
האם מכאן אפשר להסיק ש: sum(m=0,infinity)[sum(q=1,4)[a_{m*4+q}]]=0 כאשר a_n מוגדר בתגובה 107956
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה לא מסובך, זה מתמטיקה. יש הגדרה ל"טור מתכנס", ורק אם "זה" עונה להגדרה - אז "זה" הוא "טור מתכנס". הסכום שלך לא מקיים את התנאים - ולכן הסכום שלך אינו טור מתכנס. ולשאלתך: לא, מכאן כמובן שאי אפשר להסיק שהוא מתכנס. "הוכחת" שהטור ...+(0.5+1-1-0.5)+(0.5+1-1-0.5) מתכנס. זה לא משנה את העובדה ש- ...5+1-1-0.5+0.5+1-1-0.5+ לא מתכנס. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
שים לב, אתה טוען ש: m(m=0,infinity)[sum(q=1,4)[a_{m*4+q}]]!=0 (בכל אופן, זה מה שאני מבין מ"ולשאלתך: לא,...")האם אתה טוען ש: 1. sum(m=0,infinity)[sum(q=1,4)[a_{m*4+q}]]!=sum(m=0,infinity)[1/2-1+1/2+0] 4. תשובה אחרת.
2. sum(m=0,infinity)[1/2-1+1/2+0]!=sum(m=0,infinity)0 3. sum(m=0,infinity)0!=0 |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הטור (1) sum(m=0,infinity)[sum(q=1,4)[a_{m*4+q}]] מתכנס, וסכומו אפס. גם הטורים בסעיפים 1,2,3 שלך מתכנסים לאפס.העניין הוא שהטור הראשון אינו שווה לטור (2) sum_{i=0}^{\infty}a_i שאינו מתכנס. סדרת הסכומים החלקיים של (2) היא מחזורית, ואינה מתכנסת (לכן אומרים שהטור אינו מתכנס); סדרת הסכומים החלקיים של (1), בגלל שהיא כוללת רק סכומים של רביעיות אברים בטור המקורי, היא תת-סדרה של סדרת הסכומים החלקיים של (2). למעשה, זוהי הסדרה הקבועה 0 (שלכן מתכנסת לאפס).
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ז"א, שהתגובה של גיל (תגובה 109226) לא נכונה, והמסקנה שלי (תגובה 109200) נכונה? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בתגובה של גיל (תגובה 109226), קשה לפענח למה מתייחסות המלים "הסכום שלך" בפסקה הראשונה. בכל מקרה, שני המשפטים האחרונים שלו מדוייקים: הטור ...+(0.5+1-1-0.5)+(0.5+1-1-0.5) מתכנס, והטור ...5+1-1-0.5+0.5+1-1-0.5+ (ללא הסוגריים) אינו מתכנס. הסיבה היא, כאמור, שסדרת הסכומים החלקיים מדלגת בין כמה ערכים, ואין לה גבול. המסקנה בתגובה 109200 נכונה, אלא שהיא לא קשורה לשאלה המקורית; השוויון הראשון משמאל ב"תרגיל" של תגובה 107956 אינו נכון (כי בצד ימין שלו יש מספר (0), ובצד שמאל משהו שאינו מוגדר). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מצד אחד: "בכל מקרה, שני המשפטים האחרונים שלו מדוייקים,..." ומצד שני: "המסקנה בתגובה 109200 נכונה,..." עכשיו, אם שני המשפטים האחרונים נכונים, אז גם המשפט הראשון נכון, כולל, כמובן את "ולשאלתך: לא,...". אבל, השאלה (שהתשובה אליה, כזכור, שלילית) היא האם ניתן להסיק את המסקנה שבתגובה 109200, ואם לא ניתן להסיק, הרי שהמסקנה לא נכונה... אז מה התשובה לשאלה בתגובה 109741? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
שני המשפטים האחרונים של גיל (<בתגובה 109226>) מדוייקים: (1) הטור ...+(0.5+1-1-0.5)+(0.5+1-1-0.5) מתכנס. (2) הטור ....5+1-1-0.5+0.5+1-1-0.5.+ (אותו דבר רק ללא סוגריים) לא מתכנס. המסקנה בתגובה 109200 נכונה (שכן היא חוזרת על הטענה (1) לעיל). היא לא מוכיחה את מה שכתבת בתגובה 107956, שבה אתה בעצם אומר שטענות (1) ו-(2) שקולות (והן לא). אני לא יודע מה אמר גיל על התגובה שבה הסברת שקודם כשהוא שאל אם הטור מתכנס התכוונת בכלל לטור אחר ולכן התשובה שלילית אבל אחר כך כשהוא אמר על טור אחר שאינו מתכנס דיברתם בעצם על הטור הראשון, ולהיפך. קצת קשה לי למצוא את תחילת חוט המחשבה הזה, שיכול לגרום לקערת ספגטי להרגיש כמו מסרק. התשובה לשאלה בתגובה 109741 נשארת תגובה 109743. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
שאלתי שאלה פשוטה (כאן תגובה 109200), השלב בו אנחנו נמצאים הוא בדיוק בתשובה לשאלה הזו. האם אפשר לעבור לשלב הבא מתוך הנחה שהתשובה לשאלה הזו היא חיובית (ושתשובתו של גיל לא נכונה), או שצריך להמשיך להתעמק בנקודה? להזכירך, השאלה היא: "האם מכאן אפשר להסיק ש: sum(m=0,infinity)[sum(q=1,4)[a_{m*4+q}]]=0 כאשר a_n מוגדר בתגובה 107956?"(אפילו הוספתי סימן שאלה), בבקשה, אין צורך בפירוט אם התשובה חיובית, רק במידה והיא שלילית. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הטענה שהטור ההוא (שבתגובה 109753) מתכנס לאפס - נכונה. הטור (sum(a_n (כאשר a_n מוגדרים באותו אופן), לעומת זאת, אינו מתכנס. בהקדמה ("האם מכאן אפשר להסיק") לא ברור לי מהו אותו "כאן". |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ה"כאן" הוא, כמובן, התוצאה האחרונה שאושרה כנכונה ע"י המגיבים (ואם תעקוב אחרי הדיון, אחורה, תגלה שמדובר בתגובה 109137). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כדי שלא להטעות את הציבור, נסכם: 0. הסדרה a_q מוגדרת בתגובה 107956, והאיבר הכללי שלה מתנדנד (עם מחזור ארבע). מכיוון שסכום הערכים בכל מחזור הוא אפס, סדרת הסכומים החלקיים שלה גם היא מתנדנדת, עם אותו מחזור. 1. הטור ...+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9 אינו מתכנס. 2. הטור (a1+a2+a3+a4)+(a5+a6+a7+a8)+(a9+...)+... מתכנס (לאפס).3. הטור a1+(a2+a3+a4+a5)+(a6+a7+a8+a9)+(a10+...)+... מתכנס (לחצי).4. הטור a1+a2+(a3+a4+a5+a6)+(a7+a8+a9+a10)+(a11+...)+... מתכנס (למינוס חצי).5. הטור a1+a2+a3+(a4+a5+a6+a7)+(a8+a9+a10+a11)+(a12+...)+... מתכנס (לאפס).
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
שים לב לתגובה המקורית שלי (תגובה 107956 ובעיקר לתגובתי לכליל תגובה 108029). הייתי יכול להמשיך עוד כמה שלבים, אבל האמת היא שאני חושב שהנקודה הרטורית שרציתי להבהיר הובהרה בצורה האופטימלית (זאת אמרת, הנקודה הרטורית שרציתי להבהיר לא תובהר טוב יותר ע"י המשך הדיון בכיוון אליו גררתי אותו), ולכן, אני לא אמשיך לשאול את השאלות. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אבל בתגובה 107956 כתבת : sum(n=1,infinity)[a_n] = sum(m=0,infinity/4)[sum(q=1,4)[a_{m*4+q}]] וזה יכול להיות נכון רק אם יש לך איזו הגדרה לא סטנדרטית ל (sum(n=1,infinity.
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נו, אז לא היית יכול להצהיר על זה מפורשות לאורך כל הדיון על התכנסות טורים, להסביר את ההגדרה שלך ולסיים את העניין? עם כל הכבוד לרטוריקה שלך, נראה לי 1 שלפעמים אתה פשוט נהנה להיות בלתי מובן. ____________________ 1- כן, בכדור הבדולח ההוא... |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1. חשבתי שהצהרתי על זה בתגובה לכליל. ואת ההגדרה נתתי ישר בהתחלה. 2. אתה צודק, לפעמים אני באמת נהנה "להיות בלתי מובן". הפעם זה לא היה מקרה כזה, אבל, עדיין, נהנתי לראות קבוצה גדולה של בוגרי חדו"א/אינפי/קלקולוס שמנסים לצטט את החומר בלי לקרוא את השאלה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
*בוגרי* חדו"א? אתה מדבר, בין השאר, על מר ו. - האיש ש*המציא* את החדו"א. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ואני, לתומי, חשבתי שקראו לו מר נ. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
למרות שמר נ. פרסם את "המצאתו" רק ב-1687 בעוד שמר ל. פרסם כבר ב-1684. הרי שמר נ. המציא אותה כבר ב-1666 ומר ל. רק ב-1676. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
טוב, אבל זה רק מפני שמר נ. עמד על כתפי ענקים ומר ל. היה גמד. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
שניהם לא היו יכולים להמציא את החדו''א בלי עזרתו של מר קו. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני מנסה להבין איך קרה שהויכוח התמשך כל-כך כשאני טוען שהטור לא מתכנס, ואתה (כך מתברר לאור הפרשנות החדשה) גם טוען שהוא לא מתכנס. אני, לפחות, הייתי חד-משמעי. א. בתגובה 107956 כתבת "נתחיל בזה שהסכום כן מתאפס. להזכירך, הסכום הוא לא מ1 עד N כשN גדול כרצוננו, אלא מ1 עד אין סוף." ב. בתגובה 108030 אתה טוען ש"הטור, לא מתכנס, והסכום, מה לעשות, עדיין אפס". ובכן, 1. מה היתה הנקודה הרטורית שרצית להבהיר? 2. מהי ההגדרה הלא-סטנדרטית שלך לסכום של טור (תגובה 109995)? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
0. אבל, זאת כל הנקודה, לא מדובר ב"פרשנות חדשה", ולא מדובר בחוסר עקביות. את התגובות לכליל (תגובה 108029) ואליך (תגובה 108030) כתבתי ב*תחילת הדיון* (שים לב לתאריכים, או, אפילו להסחה. אני לא עורך באייל, אני לא יכול לשנות תגובות בדיעבד1), ובהמשך הדיון הנחתי (ז"א, רציתי להניח, עד שהתברר לי שאי אפשר להמשיך תחת ההנחה הזו לאורך זמן) שאתם מגיבים לאחר ש*קראתם* את מה שאני כותב, ולא את מה שהמורה שלכם לחדו"א/אינפי לפני שלוש/עשר שנים חזה שאכתוב. אילו הייתם מגיבים באופן ישיר (שים לב כמה תגובות צריך לעבור בשביל לקבל תשובה לשאלה פשוטה, למשל תגובה 109137), זה היה הרבה יותר פשוט. 1. הנקודה הרטורית שרציתי להבהיר היא הסכנה שבטהרנות מתמטית, מהסוג לה מטיף ד. פר. צריך לזכור שבכול הנוגע לשיח מדעי, המתמטיקה היא השפה והכלי שמשמשים את המדען להעברת התיאוריות/מודלים בצורה מופשטת, קריאה, לוגית ועיקבית. אם חוקר צפרדעים נוסע לאמזונס ומוצא צפרדע לא מוכרת לאנושות, הוא נותן לה שם, ואף טהרן לשונאי, אפילו לא הקיצוניים שבהם, לא יעז לבוא לחוקר ולומר לו "השם שנתת לו מופיע במילון, משמע הצפרדע לא קיימת" (מקסימום, אפשר לומר שהשם לו תואם את כללי השפה, אבל זה בהחלט לא אותו הדבר). אבל, כשפיזיקאי מגלה תיאוריה לא מוכרת לאנושות (נגיד, מכניקת קוונטים מעל משתנה רציף), ומוצא שהכלים המתמטיים העומדים לרשותו (נגיד L2) לא מצליחים לתאר את התופעה, אסור (לפי הטהרנים) לאותו מדען להמציא כלים חדשים, אלא שהמדען צריך להודות שהתופעה לא קיימת (צריך לשים לב, האמירה המקבילה לכך שהשם לא תואם את כללי השפה, היא משהו כמו התיאוריה שלך לא לוגית או עיקבית). אני מקווה שברור כמה הגישה הזאת מעוררת סלידה מבחינתי. 2. את ההגדרה נתתי במקום, אין לי כח להיכנס להגדרות מדוייקות, אבל אולי דוגמא תעזור להבין למה הכלי של "התכנסות" לא תמיד מוצלח. נגיד שקבוצה של כימאים מנסה לחשב את המטען של היקום, ונגיד שהיקום בנוי מאטומי מימן פשוטים בלבד (ז"א אלקטרון ופרוטון), ושהיקום הוא אין סופי. כימאי א' רושם את המטעם כסכום של האטומים, ז"א Q_1=0+0+0+0+0+... הטור השה מתכנס, והכל יפה ו"נכון".השני, שם לב בהראשון התעלם מהמבנה הפנימי של האטומים, מה שיקשה לעשות חישובים אח"כ, ולכן, הוא רושם: Q_2=(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+... גם זה, כמובן, מתכנס.השלישי, פשוט פותח את הסוגריים, ומקבל: Q_3=1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1-... אופס, בעיה, מה עושים? האם יכול להיות שלאותו יקום שתואר ע"י שני הכימאים הראשונים יש מטען שונה מזה שתואר ע"י השלישי? כמובן שלא. שים לב שהמחזוריות היא לר מקרית, היא מחוייבת ע"י תנאי השאלה, ולכן, אפשר להשתמש בה לפיתרון, כמה שזה יכול להרגיז.במילים אחרות, כשמדען פותר בעיה בעזרת המתמטיקה, הוא משתמש במתמטיקה, ולא ההיפך. כמו שאפשר לא לנרמל וקטורים, כמו שאפשר לסבול נרמול לדלתא של דיראק, כמו שאפשר להשתמש בלוגריתם2 כחלק מחישובים, כך אפשר לסכם טורים שאינם מתכנסים, בזהירות, ע"י מניפולציות שמוצדקות ע"י תנאי הבעיה. ---------------------------- 1 אני מאמין שהעורכים באייל הגונים מכדי לעשות דבר שכזה, רציתי לומר שגם לו לא הייתי הגון, לא הייתי יכול לעשות את זה. 2 הבעיה היא, כמובן, שלוגריתם אפשר לעשות רק למספר טבעי, אבל לוגריתם של מכפלה הוא סכום של הלוגריתם של הכופלים, מה שיכול לגרור לא מעט בעיות. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
המדען השלישי - פושע. תנאי הבעיה שלך מחייבים את המחזוריות? סמן את המחזוריות בסוגריים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
גם תנאי הבעיה שלנו מחיבים מחזוריות, אפשר להכניס את הסוגריים בכל שלב, בדיוק כמו שעשיתי, וכמו שהמדען השלישי עשה. נסה לחשוב על זה כך, עבור אותה מערכת, אם נרצה לבדוק משתנה אחר (למשל, מיקום מרכז המאסה), האם הסוגריים עדיין יעזרו לנו? בכל מקרה? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נראה שאתה לא מבין את מהות המתמטיקה. היא לא אוסף אקראי של כלים מהם ניתן לבחור חלק ולהתעלם מחלק, והיא גם לא סתם שפה נוחה יותר מעברית או אנגלית - אלא היא מסגרת לתיאור, עקבי ופורמלי, של כל המבנים הדדוקטיביים. אם עד היום לא נבנה מבנה כזה שמתאר את המודל הפיזיקלי שלך - מצא לך מתמטיקאי אקראי, ושכנע אותו לבנות אותו - לאט ובזהירות, כדי שלא תגיע למסקנות שהן פשוט לא נכונות (סותרות את עצמן או את הנחות המוצא שלך). המדען השלישי שהחליט שהסכום הוא 0, בלי להגדיר למה הוא מתכוון כשהוא אומר "סכום" עשה שטות, מכיוון שבמקרה הטוב רק לא יהיה ברור (לא לו, ולא לאחרים) למה הוא מתכוון - ובמקרה הרע אי הבהירות הזו תוביל למסקנות שגויות, בלי שניתן יהיה לבאר את מקורן. פירוש "מניפולציות שמוצדקות ע"י תנאי הבעיה" הוא *בדיוק* מה שהמדען השני עשה - הוסיף סוגריים במקומות המתאימים. זו לא "טהרנות מתמטית". זה תנאי הכרחי לשיח מדעי פרודקטיבי ובר ביקורת. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כמו שאמרתי, העקביות אכן מחייבת, אני שמרתי על עקביות, ולכן לא סתרתי את עצמי או את הנחות המוצא בשום שלב, ולכן אין כאן שום בעיה. המדען השלישי לא החליט שהסכום הוא אפס, ולא עשה שטות, קרא שוב את הבעיה. ה"מניפולציות שמוצדקות ע"י תנאי הבעיה" הוא גם מה שעשה המדען השלישי בבואו לפתור את הבעיה (הוא עבר להצגה של המדען השני, שים לב, זה *בדיוק* מה שעשיתי). ואם כך הבנת את הטהרנות מתמטית, כנראה שכל התגובה למעלה בוזבזה עליך, חבל. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בתגובה 108030 כתבת ש"הטור, לא מתכנס, והסכום, מה לעשות, עדיין אפס", וזו כל הבעיה. לטור שאינו מתכנס אין בכלל סכום. לא בגלל שאיזו גילדה סודית של מתמטיקאים התכנסה בספריה חשוכה והחליטה כך, אולי כדאי להאריך דיונים באייל שלא לצורך. סכום של שני מספרים, מוגדר היטב. אפשר להשתמש בהגדרה הזו כדי להגדיר סכום של כל מספר סופי של אברים, אבל אם מותחים את ההגדרה גם לטורים אינסופיים (בלי לדרוש שהטור יתכנס) מאבדים תכונות חשובות של ה"סכום" (למשל, אסוציאטיביות). אפשר כמובן לחשוב על דרכים אחרות לשייך מספרים ממשיים לסדרות אינסופיות (ויש תחום מתמטי, Summability, העוסק בזה), אבל אם עושים את הדברים האלה בחוסר זהירות אפשר בקלות "להוכיח" דברים לא נכונים. הפיזיקאי שלך, שרוצה לעבוד במכניקת הקוונטים ולא מעל מרחבי L2, יכול כמובן לעשות זאת. אבל הוא לא ירויח כלום מכך שיטען שהפונקציות שלו שייכות למרחב כזה, כשהן לא. זה יכול להיות יעיל כמדריך אינטואיטיבי, ותחומים רבים במתמטיקה צומחים בדיוק כך, מנסיון לבדוק עד כמה אפשר למתוח את תחום הנכונות של משפטים חשובים; אבל בלי הבדיקה הזהירה שהשיטות המתמטיות תקפות, אפשר -שוב- להגיע למסקנות לא נכונות בקלות רבה מדי. אם יתברר שחלק משמעותי מהתאוריה ישים גם לפונקציות ההן, היה סמוך ובטוח שמתמטיקאים ינסו לבנות מסגרת עקבית גם עבורן. 2. לגבי סיכום של טורים לא מתכנסים: Q_1 ו- Q_2 הם בדיוק אותו טור. Q_3 הוא טור חדש, שאינו מתכנס. מי שכתב את הטור הזה טועה בכך שהוא רושם דבר אחד (שאין עליו מגבלות), ומתכוון לאחר (Q_2, מן הסתם). התוצאה היחידה שיכולה לצמוח מזה היא בלבול, כי מהטור הזה אפשר להסיק (למשל) שהיקום כולל פרוטון חופשי אחד, ועוד מספר בן מניה של אטומים - מה שיעמוד בניגוד לתצפיות. 3. אם נחזור (לרגע) לסיפור המקורי, ד. פר הראה שמשפט מתמטי מסויים (שמבטיח טור מתכנס כפתרון לבעיה) נותן טור שאינו מתכנס אם מפעילים אותו על "קלט" לא מתאים. במקרה כזה אי-אפשר לומר שהתוצאה דווקא כן מסתדרת בגלל שאפשר לעשות מניפולציה "שמוצדקת על-ידי תנאי הבעיה". אם יש מניפולציות כאלה, הן צריכות להוות חלק מהמשפט (אחרת, האסטרטגיה הטובה ביותר היא להניח שקיים משפט כללי יותר, ואם אין, כנראה שיש לזה סיבה טובה. אסטרטגיה אחרת, כמובן, היא לנסות לפתח את המשפט הכללי). 4. את ההערה על לוגריתמים ("אפשר לעשות רק למספר טבעי"?)לא הבנתי. גם אם התכוונת "למספר ממשי", אין שום בעיה להגדיר לוגריתם למספרים מרוכבים (אלא שהכלל הרגיל, שלוגריתם המכפלה יהיה שווה לסכום הלוגריתמים, יהיה נכון רק בתנאים מסויימים). 5. בעניין המורה שלי לאינפי, אינך יודע כמה הייתי צריך להתאפק כדי לא להשתמש בטיעון "Argumentum ad verecundiam". אבל נדמה לי שבמתמטיקה זה דווקא סביר (וכך אעשה להבא). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
א. נכון שהוא "לא ירויח כלום מכך שיטען שהפונקציות שלו שייכות למרחב כזה, כשהן לא", בגלל זה הוא פשוט לא יטען טענה כזו. ב. "אם יתברר שחלק משמעותי מהתאוריה ישים גם לפונקציות ההן, היה סמוך ובטוח שמתמטיקאים ינסו לבנות מסגרת עקבית גם עבורן.", לא רק שאני סמוך ובטוח, זה כבר נעשה. 2. Q_3 הוא טור חדש, אבל תנאי הבעיה מאפשרים מעבר בטוח מQ_3 לQ_2, ולכן הם זהים. ז"א, את Q_3 אי אפשר לפתור ללא תנאי הבעיה, אבל בהינתן תנאי הבעיה, גם Q_3 פתיר. 3. א. הסברתי באותו מקום שפתרתי למה המניפולציה מוצדקת ע"י תנאי הבעיה. ב. מה שד. פר הראה הוא שמערכת שלא מקיימת את הנחות היסוד של המכניקה הקוונטית (המילטוניאן לא Complete), לא מקיימת את המסקנות מאותן הנחות. 4. לא, בכלל לא לזה התכוונתי, כידוע, בפיזיקה מודדים דברים אמתיים, ז"א, גדלים בעלי מימד (מטר, קילומטר, פיט, מייל, שניה, שעה, גרם, קילוגרם, אונקיה ...), ובמספר טיבעי התכוונתי למספר חסר ממדים. 5. את ההערה על המורה שלך לאינפי, לא הבנת. המורה שלך היה, מן הסתם, חכם, והסביר לך היטב מתי טורים מתכנסים ומתי לא, אבל, כשנתקלת בטיעון שלי, במקום לקרוא אותו עד הסוף, חזרת מהר מאד למה שלמדת, בגלל שזה הרבה יותר קל (ראה http://techst02.technion.ac.il/~sgiladb2/logic.htm#S...) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
א. מצוין. חבל שאתה נוהג אחרת (לטורים שלך יש "סכום-סמילי" גם כשלמעשה אין להם סכום). ב. מצויין. זה נכון, אגב, גם לטורים שאינם מתכנסים. 2. הטור Q_2 מתכנס, בעוד ש- Q_3 אינו מתכנס. לכן הם אינם זהים. אני לא יודע מה זה "מעבר בטוח". כשאתה כותב ...+Q_3=1-1+1-1+1-1 וחושב על Q_3 כמספר, אתה מטעה את עצמך. אם האנרגיה הקינטית של גוף שמשקלו 2 ק"ג היא 9, אפשר להסיק שמהירותו 3 מ"ש. לעומת זאת, למשוואה הריבועית v^2=9 יש שני פתרונות, אחד מהם שלילי. כל הלוליינות שבעולם לא תפסול את הפתרון הזה כפתרון לגיטימי למשוואה. רוצה דווקא את הפתרון החיובי? צרף את התנאי v>0 למערכת המשוואות שלך. בלי זה, הפתרון השלילי נשאר שם. 3. שיהיה. 4. אדרבה. אז באמת אין בעיה. 5. קראתי את כל מה שכתבת. הטיעונים שלך קלים מאד להבנה, וגם מאד לא נכונים. אתה טועה בהבנת החומר הזה, ומבלבל את עצמך. אם יהיו שאלות נוספות, אשמח לעזור. רק תיקון קטן: זה לא מה שלמדתי, אלא מה שלימדתי (מאה ועשרה סטודנטים). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
א.+ב. נו, שנחזור שוב על תגובה 110396 ? 2. אבל, אני לא חושב על Q_3 כעל מספר, אני לא מנתק אותו ממה שהוא מייצג, לא כל עוד לא ניתן לחשב אותו. את התנאי צירפתי במקום בו רשמתי את הסכום (ואתה הרי קראת את זה, וזה הרי קל להבנה, וגם לא נכון...). 4. טוב, אין לי כח להיכנס לזה, וזה לא המקום, אם תרצה, אוכל לנסח הסבר יותר מדוייק באי-מייל, אבל בקצרה, מדובר בפונקציה בעייתית, שכל שימוש בה לצרכי חישובים בפיזיקה צריך להיעשות בזהירות. 5. אם קראת את מה שכתבתי, והבנת את זה, איך יכולת לשאול את מה ששאלת (ב תגובה 110109)? אני מניח, שלפני שלימדת, למדת, וכשלימדת, לימדת על סמך מה שלמדת, לכן עצם הלימוד לא ממש משנה, (אלא אם כן, פיתחת את זה לבד, בלי קשר לעובדה שזה פותח לפניך, ואם כן, כל הכבוד, וזה עדיין לא באמת משנה). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
א+ב. תחזור. ואני אחזור על תגובה 110428. יכול להיות כיף. 2. טוב מאד - באמת לא רצוי לחשוב על טור שאינו מתכנס כאילו יש לו סכום. 5. בתגובה 110109 שאלתי שלוש שאלות. את כולן - שווה בנפשך - אפשר לשאול גם אחרי שקראתי ואפילו *הבנתי* את כל מה שכתבת. הגדרה לא סטנדרטית לסכום של טור (שצריכה להיות איפשהו, כי הרי לכמה טורים לא מתכנסים יש סכום) לא קיבלתי; אלא אם הכוונה היא שסכום של טור הוא המספר היחיד מבין הגבולות החלקיים של סדרת הסכומים החלקיים, שאליו סמילי מתכוון. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
א+ב. ולהבדיל, אפשר לנסות ולהבין את מה שאמרתי, או, אם כל מה שאני אומר הוא באמת כל כך מטופש, אתה יכול לסיים את הדיון. 2. תודה, ראה סעיף למעלה, וסעיף למטה. 5. בתגובה 110109 כתבת: "אני מנסה להבין איך קרה שהויכוח התמשך כל-כך כשאני טוען שהטור לא מתכנס, ואתה (כך מתברר לאור הפרשנות החדשה) גם טוען שהוא לא מתכנס." אם הבנת את כל מה שכתבתי, למה "כך מתברר לאור הפרשנות החדשה" (הרי, אם באמת *הבנת*, אז היית מבין שאין "פרשנות חדשה"), ולמה "אני מנסה להבין" (הרי אם באמת *הבנת*, למה אתה מנסה להבין)? "אני, לפחות, הייתי חד-משמעי.", אם *הבנת*, אז למה ה"אני, לפחות"? ושאלת "מהי ההגדרה הלא-סטנדרטית שלך לסכום של טור ..." אם *הבנת*, למה אתה שואל (הרי, את ההגדרה הסברתי בתגובה המקורית). הכוונה היא כלל *לא* "סכום של טור הוא המספר היחיד מבין הגבולות החלקיים של סדרת הסכומים החלקיים, שאליו סמילי מתכוון", הכוונה היא אחרת, הייתי מפרט, או שולח אותך בחזרה לתגובותי (כאן, למעלה) אבל חבל על הזמן, אתה הרי *הבנת*, והטענה שלי *פשוטה*, ו*לא נכונה*, וכל מה שאכתוב יתפרש (משום מה) כפיקפוק בסמכותך כמורה למתמטיקה (למרות, שהטענות שלי הן *לא* במתמטיקה, אלא בפיזיקה). |
|
|
|
| חזרה לעמוד הראשי |  |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |