בתשובה לאריק, 31/07/19 20:57
 |
|
 |
||
|
||||
 |
האם שאלתך נוגעת רק לתחומי מדע ומתמטיקה שהם החל ממרחב הילברט ומעלה, או שהיא מתאימה גם לתחומי פיזיקה בסיסיים כמכניקה, זרימה, ומעבר חום, שהם כלי עבודה בסיסיים שלי כמהנדס מכונות, שכל החוקים בהם מובעים באמצעות ביטויים מתמטיים? |  |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
לפי מה שהבנתי מקרול, בהנתן מרחב הילברט והמילטוניאן מוגדרים היטב ניתן לקבל באופן תוצאתי את כל חוקי המכניקה התרמודינמיקה וכו'. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ולו לא המציאו את קרול והיו רק החוקים הידועים, ללא איזה שהוא הסבר על מקורם, לא הייתה השאלה? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ודאי שהיתה. השאלה הכללית היא - מה גורם ליקום להתנהג לפי חוקים מתמטיים (או בניסוח אחר- לוגיקה). המתמטיקה אינה נמצאת ביקום הפיזי. היחס פי, לדוגמה, הוא אידאה. מדוע היחס הזה מתבטא במאורעות פיזיים? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ככל הזכור לי מרחב הילברט לא הופיע במסגרת הלימודים שלי. לעומת זה, ככל הזכור לי, ההמילטוניאן הופיע היכן שהוא וחלף מהר מבלי שהשאיר בי את רישומו, ובסופו של דבר ממש איני בקי במושגים האלה, אין לי שום אינטואיציה בהקשר אליהם, והם לא אומרים לי דבר. לכן בקשתי להנמיך את הדיון הזה לגבהים שבהם רכשתי יותר אינטואיציה, משום שגם בביצה הנמוכה שאני נמצא בה כל הפיזיקה מוצגת בעזרת ביטויים מתמטיים, וכפי שגם אתה הסכמת, כדי לשאול את השאלה הזאת לא צריך כל כך להגביה. הרי ידוע שאחד משני ממציאי החשבון הדיפרנציאלי היה ניוטון והוא כנראה המציא את הענף המתמטי הזה כדי להגדיר באופן מדויק דברים שהגיע אליהם מן הסתם על ידי אינטואיציה, ואחר כך גם בדק אותם על ידי תצפיות. ואכן, אם תבחן, למשל את החוק השני שבו מופיעה התאוצה שמוגדרת על ידי הנגזרת של המהירות לפי הזמן, והמהירות מוגדרת על ידי הנגזרת של המקום לפי הזמן, תראה שהנוסחה הזאת כמעט מתבקשת. כי זה כמעט מובן מאליו מתוך הרגשה שאם תניח לגוף לנוע במהירות קבועה ייחסית למערכת "עומדת"1, אין סיבה שמהירותו תשתנה. אבל אם תפעיל עליו כוח מהירותו תשתנה, וזה כמעט מתבקש שתשתנה ביחס ישר לכוח שאתה מפעיל. אילו אני הייתי בורא את העולם הייתי עושה את זה בדיוק כך, כי זה הכי פשוט. אני מניח שניוטון שחש שכך זה צריך להיות, וגם בדק ואישר על ידי תצפיות ואולי עלי ידי ניסויים את תחושתו, ואחר כך המציא את החשבון הדפרנציאלי כדי שיוכל לנסח בדיוק את מה שחש ואומת על ידי התצפיות. המורה לפיסיקה שלי בי"ב בתיכון נהג לומר שהפיזיקאי לא שואל "למה", ולכן לשאלה למה הטבע מציית לחוקם מתמטיים, לא תמצא תשובה מדויקת. אבל ניסיתי בכל זאת להסביר "על בערך". וכל מה שאמרתי על החוק השני נכון גם בשטחים אחרים כמעבר חום וזרימה. הנוסחאות המתמטיות הבסיסיות כמעט מתבקשות, ויש בהן התאמה לתחושה שכך הגיוני שזה יהיה. 1 השאלה מה זה "עומדת" היא גם שאלה שדנו בה כאן. זו המערכת ה"אינרציאלית". אז אם אתה מוצא מערכת שבה החוקים של ניוטון תקפים (כאשר הכוחות שמשתתפים הם כוחות תגובה שמגיעים מאיזה גוף אחר ושלושת כוחות הגוף הם גרביטציה חשמל ומגנטיות) על סמך תצפיות וניסויים, אתה מגדיר אותה כמערכת כזאת, וממשיך בדרכך. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא כל כך מבין את השאלה שלך. המתמטיקה לא נמצאת ב״יקום הפיזי״ משום שהיא שפה שהמציאו בני האדם על מנת להעביר מידע מאחד לשני. אם יש ליקום כללים עקביים שניתנים לתיאור, הרי שמעצם ההגדרה, אפשר יהיה לתאר אותם בעזרת מתמטיקה כלשהי. מן הסתם, המתמטיקה שימציאו יצורים אינטליגנטים שחיים ביקום בעל כללים ניתנים לתיאור תהיה מתמטיקה שתהיה מסוגלת לתאר את היקום בו הם חיים. או, במילים אחרות, מה אתה שואל: 1. ״למה/האם הכללים של ההתנהגות של היקום ניתנים לתיאור״? 2. ״למה/האם אנחנו מסוגלים לתאר את הכללים לפיהם מתנהל היקום״? 3. ״למה/האם היקום מתנהל לפי כללים ניתנים לתיאור״? 4. ״למה/האם יש ליקום כללים ניתנים לתיאור״? 5. ״למה/האם יש להתנהגות היקום כללים עקביים״? 6. משהו אחר? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אנסה להמשיך בכיוון של דב ולהגיע לתשובה (אופציונלית) לשאלת הפיי שלך. נניח וכבר הסכמנו שעבור עצם נע, אם תיתן לי את אוסף הנקודות שהוא עובר בכל רגע, ה'נגזרת' של המיקום שלו תיתן את המהירות שלו. אם המילה 'נגזרת' מפריעה לך כמתימטית מדי, אפשר לנסח אותה בצורה יותר פשוטה ונהירה, אבל בוא נשים את זה בצד. עכשיו, הבה ונשאל - נתחיל מאבן במנוחה, ונרצה למצוא איזה מסלול שלה יהיה כזה שהמהירות שלו בכל נקודה תהיה זהה למיקום שלו יחסית להתחלה. שאלה פיזיקלית לגיטימית, הישר מהעולם האמיתי והמוחשי. והפלא ופלא אחרי שנתאמץ ונמצא מסלול כזה, ולא חשוב באיזה דרך מצאנו אותו, אם על ידי משוואות או על ידי ניסוי וטעייה מתישים עד בלי די, נגלה שהמסלול הזה הוא מספר מסוים - קבוע - בחזקת קואורדינטת המקום. המספר הזה, הפלא ופלא, הוא e, מספר אי רציונלי ומופלא עד מאד, שהמתימטיקאים בעולם ה'דמיוני' שלהם יודעים לספר בשבחו רבות, אבל זה עתה הגענו אליו מתוך שאלה פיזיקלית לחלוטין על העולם האמיתי. והבה נמשיך - עכשיו, אחרי שגילינו את ה(תלות/קשר/פונקציה/משהו) שמתאר את המסלול המבוקש של האבן הנ"ל, בוא נמשיך ונשאל: מהו המחזור של הפונקציה הזו, ז"א אם יש לה ערך y מסוים בנקודה x, מהו הקבוע a שיגרום לפונקציה לקבל שוב את הערך y, אבל בנקודה x+a. כדי למצוא את הקבוע הזה באמת צריך מתימטיקה קצת יותר מורכבת (הה), אבל מה זה משנה? השאלה שאנו מנסים לענות עליה עדיין נובעת מהתנועה הפיזיקלית שתיארנו קודם. כל דרך לפתרון היא לגיטימית, כל עוד נוכל להציב את התשובה x+a בפונרציה ולבדוק אם אכן נקבל שוב את y. והנה - הפתעה הפתעה, אבל בטח כבר ניחשת - המספר המבוקש a הוא בדיוק שתיים כפול פיי כפול עוד משהו משונה שכרגע נתעלם ממנו לצורך הפשטות. טה-דא-ם! הנה הפיי שלך - לא אידיאה, לא מיסטיקה, לא קסם ולא פילוסופיה. תשובה ישירה לשאלה פשוטה. ואם שמת לב, אפילו לא הזכרנו כאן את המילה מעגל ולו פעם אחת. _____ גילוי נאות - לידידנו ומכרנו אלון עמית יש תיאור יפה הרבה יותר ומפורט של התהליך הנ"ל בquora, ואני כאן מהזכרון כותב בהשראתו. |
|
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |