בתשובה לגיל דרור, 16/02/02 0:10
 |
|
 |
||
|
||||
 |
באלגברה ההבחנה הזו אולי לא ברורה (או לא קיימת) אך כאשר מדובר על מערכות לוגיות פורמליות מדובר בהבחנה חזקה מאוד. כאשר עומדים להוכיח תכונות של תורה לוגית פורמלית יש צורך להשתמש ב''מטא לוגיקה'' עבור ההוכחה (כיוון שאחרת ההוכחה מושתתת על התייחסות מעגלית). כלומר על מנת להוכיח שתורה לוגית פורמלית היא קונסיסטנטית (למשל) עליך להשתמש בטענות כגון ''כיוון שטיעון א נכון וטיעון ב נכון אז טיעון א וגם ב הוא גם נכון'', שימוש בטענה כזו מניח א-פריורית שאם א נכון ו- ב נכון אז ''א וגם ב'' נכון. המטא לוגיקה שמשתמשים בה היא הלוגיקה הסטנדרטית שכולנו ''מבינים''. עצם העובדה שתוך שימוש בלוגיקה כזו אנחנו יכולים לבנות מערכות לוגיות אחרות אשר גם הן תקפות באיזשהו מובן אינו גורע ממעמד ה''בכורה'' של המטא-לוגיקה שאנחנו משתמשים בה. כמובן שאת כל העסק הזה אפשר לקחת שלב אחד יותר גבוה. ננסח באופן פורמלי את חוקי הלוגיקה הסטנדרטית ובאמצעות החוקים הללו (אשר מנוסחים באופן פורמלי ולכן אינם בעלי מעמד מיוחד) נוכיח את שאר המערכות הפורמליות. באותה מידה היינו יכולים כאן להשתמש בלוגיקה לא סטנדרטית וכך להעביר את המטא לוגיקה למרחק של ''שני שלבים'' מהפורמליזם האלגברי (למשל, בהנחה שאנחנו רוצים לוגיקה על מנת להוכיח טענות אלגבריות) אבל בכל מקרה היא עדיין תהיה שם. מכאן שהנחת מטא-לוגיקה מסוימת (כאשר רוב האנשים יבחרו בלוגיקה הסטנדרטית) מגדירה את אותה מטא-לוגיקה כ''נכונה'' בעוד שאר הלוגיקות יהיו ''פורמליות'' בלבד. |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
הידע שלי בלוגיקה מתמטית עלוב למדי. אם אכתוב שטויות, אז...טוב, נו. אין לי את מי להאשים. אם הבנתי נכון את התיחסותך ל"מטא-לוגיקה", אז כוונתך הייתה לסט בסיסי של משפטים אשר ההתיחסות אליהם היא בגדר אכסיומות, והם אלו המשמשים ככלים בהוכחות פורמליות. עיסוקה של "הלוגיקה המתמטית" הוא, אם כך, הפעלה רקורסיבית של אותם כללים על עצמם על מנת ליצור מערכת לוגית פורמלית ולהוכיח משפטים לא-טריוויאלים (ולכן לא אכסיומתיים). בטענתך כי ה"מטא-לוגיקה" תמיד תסתתר אי שם מאחורה התכוונת לכך שגם אם נחליף את הסט הבסיסי של האכסיומות המשמש כבסיס ללוגיקה, בכל זאת בפיתוח הפורמלי של הלוגיקה החדשה יהי צורך בשימוש בסט הכללים המקורי (למשל: חוק הסתירה המפורסם) על מנת לבנות טיעון מתמטי. אם עד כאן עקבתי אחריך בהצלחה, אני אעז לחלוק על דעתך. מדוע בלתי אפשרי להפעיל, רקורסיבית, את הסט החדש של האכסיומות הלוגיות על עצמו בדומה למה שנעשה בסט המקורי? לדוגמא, אם מנוסחת אקסיומה לוגית "אם A גורר את B ו-B גורר את C, אז C גורר את A" - אז יעשה בה שימוש גם במסגרת ההוכחות הפורמליות של אותה לוגיקה במקום הכלל המקורי האומר ש "A גורר את C". אני לא רואה צורך לשימוש ב"מטא לוגיקה" המקורית בשום שלב של התהליך. אם אני צודק, אז שוב איבדה הלוגיקה המקובלת את מעמדה ה"נכון אפריורית" והיא אינה אלא "קונבנציה אינטואטיבית". |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
התיאור שלך אינו אפשרי כיוון שאכסיומות פורמליות הן חסרות משמעות מחוץ למסגרת הפורמלית שנוסחו בה. אתה מציע להשתמש בכללים לוגיים מסוימים על מנת להוכיח את אותם כללים אבל הכללים שאנחנו מוכיחים אותם הם בעלי משמעות פורמלית בלבד. "(אם a אז b) וגם (אם b אז c) אז (אם a אז c)" הוא כלל פורמלי שיש לו משמעות במסגרת פורמלית הכוללת את המילים "אם", "אז", "וגם". עצם השימוש במילים הללו אינו מחייב את המשמעות שלהן ב"הבנה" שלנו את הדברים. הייתי יכול להגדיר באופן פורמלי את הכלל הבא "(למה a אוכל b) פינוקיו (למה b אוכל c) אוכל (למה a אוכל c)" ולהוכיח אותו בדיוק כמו הכלל הקודם. אבל אז אתה "נתקע", למה להניח דווקא למה=אם, אוכל=אז, פינוקיו=וגם? הרי המילים הללו הן חסרות משמעות והשימוש שלהן הוא כסימנים בלבד. הקישור שלך למה=אם, אוכל=אז, פינוקיו=וגם הוא השימוש במטא-שפה. כללי הלוגיקה שהם בעלי משמעות סמנטית מנותקים לחלוטין מהכללים הסינטקטים-פורמליים שאנחנו מוכיחים. נסיון להפעלה "רקורסיבית" (כהגדרתך) של הכללים יחייב שיוך משמעות סמנטית לסימולים פורמליים ומכאן - מטא-לוגיקה. |
|
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |