 |
|
 |
||
|
||||
 |
ומתוך הראיון: "אי אפשר ללמוד מתמטיקה כמו שלומדים דברים אחרים, רק על ידי הקשבה, שינון וחיקוי של משהו שאחרים עושים. כלומר, צריך לעשות את כל זה, אבל אחר כך אתה חייב לשבת בעצמך, לבד, ולהבין את הדברים עד הסוף. רק אחרי זה אתה יכול להתחיל לחשוב על רעיונות מקוריים משלך. יש פחד בכל העולם ממתמטיקה. אני חושב שזה קשור לתוכנית הלימוד...הייתי מתחיל ללמד מתמטיקה מההיסטוריה שלה: למה מישהו חשב בכלל על דבר כמו המשוואה הריבועית, ואיזה תפקיד יש לה בעולם...זה יעיל יותר מלפתור 500 תרגילים עם הנוסחה הזאת. יש כל הזמן איינשטיינים קטנים עם רעיונות מקוריים - אגב, רבים מהם, בשיעור חסר פרופורציה לחלוטין, הם ישראלים או ישראלים לשעבר... ייקח שנים רבות עד שנדע מי מהם באמת השפיע. רגעי ההשראה הגדולים ביותר עדיין באים במקלחת ובהליכות שאני עושה בגבעת רם. בכל מצב אחר המוח לא עובד באותה קיבולת...אימייל זה דבר מצוין, אבל הוא מסוג הדברים שלא מאפשרים לך לחשוב. אתה מאבד משהו עם הגיל, אבל מקבל בתמורה אינטואיציות חזקות, את היכולת הכמעט מיסטית להבין מיד אם משהו נכון או לא, ואת היכולת למצוא קשרים בין דברים." |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
אאל"ט, כבר הביאו את הקישור להרצאה של פרופ' מאזור. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
וואו. מזמן כבר לא יצא לי להסכים עם כל מילה (מהציטוטים, לפחות). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא תאמין אבל משום מה, כשבחרתי אותם, חשבתי עליך! | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הרעיון לשלב לימודי מתמטיקה עם קצת היסטוריה של המתמטיקה הוא רעיון מצויין בעיני אבל זאת לא חוכמה, גם אני חשבתי עליו כשקראתי קצת על מלחמות המתמטיקאים האיטלקיים בימים של קרדנו, טרטילייה, פרו ושאר החבר'ה הטובים. בין השאר מתברר שם למה "מספר דמיוני"1 נקרא כך ואיך זכו המספרים המרוכבים להכנס למתמטיקה. כתיכוניסט אני זוכר שזה היה מעורפל, כל הקטע הזה של התעקשות על הרחבת המספרים כדי שגם למספרים שליליים יהיה שורש. בשביל מה זה טוב? ____________ 1- בדרך לפתרון פולינום ממעלה שלישית, בחלק מהמקרים נתקלים בשורש של מספר שלילי שאם ממשיכים לעבוד איתו ולהפעיל עליו את הפרוצדורה מתקבלים שורשים ממשיים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני דווקא חושב שמדובר ברעיון עקום. מנסיוני הדל, מי שיש לו נטיה טבעית למתמטיקה ומקצועות ראליים עשוי להתקשות בנושאים יותר ורבאליים (פרסנט קומפאני אקסקלודד). לקחת את אחד הנושאים היחידים בהם הוא מרגיש שהוא מבין ולערפל אתו עם תאריכים, מניעים ושמות איטלקיים, אולי יצליח לחבב את המקצוע על חלק מהתיכוניסטים, אבל על החלק הלא נכון. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אבל נושאים ורבאליים הם חלק בלתי נפרד מהמתמטיקה. בין אם אלו אותם שני פועלים החופרים בפרדס בורות המתמלאים מארבעה ברזים ובמימיהם משייטת סירה במהירות 3 מטר לשניה מנקודה א' לנקודה ב' (והשאלה כמובן היא בן כמה הסקיפר), ובין אם זה משפט מכונן כמו "יהי אפסילון גודל כלשהו גדול מאפס" (את ההמשך מעולם לא הבנתי). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אולי היכולת הוורבלית שלי פגומה קצת. התכוונתי ליכולות הדרושות לעקוב אחרי שעור הסטוריה לא ליכולת הדרושה כדי לעקוב אחרי משפט מתמטי (אגב, כל ה-תהי F פונקציה וכולי בדרך כלל לא מלמדים בתיכון). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא מציע להפוך את המתמטיקה לשעור היסטוריה, אלא לשלב גם הקשרים היסטוריים/חברתיים כדי להפחית קצת מהסטריליזציה של החומר הנלמד. אתה צודק שיש חלק מסויים מהתלמידים עבורם זה מיותר ואולי אפילו גרוע, אלה שנמשכים ליופי הפנימי של הנושא, אבל אלה דוקא מיעוט ולהם אני פחות דואג - רובם יצליחו בלי קשר לסגנון ההוראה (אם כי מורה גרוע במיוחד עלול להרוס כל עניין). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
שאלת מפתח בשילוב היסטוריה בלימודי מתמטיקה היא הבחינה. ביסודי ובחטה"ב המערכת מכוונת קשות לבחינות הבינלאומיות, ובתיכון מכוונת עוד יותר קשות לבגרות. תשאיר את לימוד ההיסטוריה כהעשרה שלא מופיעה בבחינות, הרוחות והמים יכרסמו בו. תשנה את המערכת כך שלא תהיה כל כך מכוונת בחינות, אני בהחלט אתך, אבל זו כבר מהפכה גדולה וקשה (ומועילה) בהרבה. תרצה כן לבחון על זה, אילו שאלות תשאל (וכמה שאלות אפשריות תהיינה)? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא הייתי בוחן על החלק הזה בכלל. הרעיון הוא לא להפוך את שעורי המתמטיקה לשיעורי היסטוריה אלא להוסיף להם קצת אנקדוטות והקשרים היסטוריים כדי שהחלק החשוב ייראה קצת פחות מנותק מהחוויה האנושית וממה שרלוונטי לחיי התלמיד. לא עולה על דעתי שבחינה במתמטיקה תכלול שאלה בנוסח ''האם עונשו של היפאסוס היה מוצדק'', אבל בהחלט הייתי מספר את סיפור הפיתגוריים ומעלה את עניין ''המידה המשותפת'' (באותה הזדמנות הייתי מזכיר גם את הקשר להמכנה המשותף שהתלמידים מכירים מבי''ס יסודי בתור איזה טריק או חוק שרירותי). לא הייתי שואל על ''אורות וצללים בחיי גאוס'' אבל הייתי מספר את האנקדוטה עליו ומשתמש בה כדי להוליך את התלמידים למצוא ''בעצמם'' את הנוסחה של סכום סדרה חשבונית וכד'. החלק ההיסטורי אמור רק להיות התבלין שמוסיף קצת טעם למנה העיקרית כך שפחות תלמידים יגידו ''אני לא מסוגל לעכל את זה''. הבחינות תישארנה כפי שהן היום, התקווה היא שרק הציונים ישתנו לטובה. המתמטיקה היא יצירה אנושית (אני מקוה שהאפלטוניסטים יסלחו לי כאן), וללמד אותה ככזאת נראה לי הרבה יותר מגניב מאשר להתייחס רק לתוצר הסופי (בשלבים האלה. באוניברסיטה זה כבר סיפור אחר). אבל הדבר הכי חשוב, כמובן, הוא להוציא את הערך המשולש מחוץ לחוק. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בקיצור, אתה מציע ללמד מתמטיקה בצורה מעניינת. אני בעד. השאלה היא אם גם המורים בעד. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כלומר, זו המלצה שלך למורים (ואני מסכים איתה) יותר מאשר "למערכת" (כפי שחשבתי קודם שהתכוונת), שאני לא חושב שמפריעה למורים כבר היום לספר גם סיפורים כאלה1. מקורותי מספרים שבכתב העת שמופץ למורים למתמטיקה מטעם משרד החינוך מופיעים בקביעות סיפורי היסטוריה. בכל זאת מהבחינה המערכתית, אפשר גם להמליץ על שילובם בספרי לימוד. 1 כלומר, כן מפריעה - ע"ע לחצי הבחינות - אבל רק באותה מידה שהיא מפריעה לכל לימוד מועיל ומומלץ אחר. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הדיון כאן מושך לכיוון של: יש למתמטיקה גם צד מעניין - אז למה לא לשלב אותו. (באופן אישי אני חושב שלא רק הצד ההיסטורי מעניין) אולי מה שאני כותב יותר רלוונטי ללימודים באוניברסיטה, ופחות לכיתה ד', אבל הצד "ההסטורי" משמש תפקיד חשוב מאין כמוהו בניית התורות המתמטיות השונות. מאחר ומדובר במדע שלא מקבל אינפורמציה משום מכשיר או תצפית, האינדיקטורים לתיעדוף הנושאים, וכיווני החשיבה מגיעים מהחוקרים עצמם וראייה היסטורית היא קריטית להמשך התפתחות. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
למעשה, לא ממש. אפשר להבין מתמטיקה מודרנית מצויין ולהינות ממנה גם בלי להיות בקיא באופן שבו הגיעו אליה. הידע ההיסטורי בעיקר תורם ערך מוסף (הוא מעניין בזכות עצמו, כמובן). אתה לא באמת צריך לדעת איך נראו הפיגומים כדי לטפס בגורד שחקים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני מסכים שבכדי לטפס לא צריך להכיר את הפיגומים. אבל בכדי לבנות קומות חדשות - זה מאוד עוזר. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בשביל קומות חדשות צריך פיגומים חדשים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא מדבר על הסטוריה במובן ה"פעם היה ילד שקראו לו גאוס", אלא נתינת הקשר. אני מסכים שהרקע להתפתחות האלגברה הלינארית או תורת החבורות היסודית לא תורם במיוחד לסטודנט שנה א'. במקרה זה המשמעות של אנקדוטות היסטוריות הן אכן פולקלור. כוונתי לתחומים שנבנים היום שמחפשים כיווני מחקר. דווקא התורה הארגוית הוא תחום שצמח בעקבות שאלות פיזיקליות, שגם התוו כיוון מסויים למחקר. עוד מעניין שחלקים בתורה זו ובוודאי שבעבודה של אילון גם שאלות מתורת המספרים שלכאורה לא קשורות (או לא היו קשורות לתחום לפני 50 שנה) משפיעות על שאלות המחקר. כך שאפילו לא ברור תמיד א-פריורית מה קשור ומה לא קשור (ואז הוא רק עוד אחד מסיפורי העמים המתמטיים). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כמובן, אבל חשבתי שאתה מדבר על הכרת ההיסטוריה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ציטוטים מן הראיון עמו במוסף "שבעה ימים" האחרון: "אני בטוח שכל אדם בעל אינטיליגנציה ממוצעת יכול לסיים בהצלחה לימודים של חמש יחידות במתמטיקה בתיכון וגם תואר ראשון - בלי מאמץ מיוחד. אני מדבר על אדם ממוצע שתיקח ברחוב: תלמד אותו מתמטיקה, ואני חושב שהוא יצליח לסיים תואר ראשון במקצוע." תואר ראשון אולי, אבל כתה ד' זה כבר סיפור אחר: "נדמה לי שכמתמטיקאי אני אמור להבין מה נדרש מספר לימוד בחשבון לכיתות ד', אבל עיינתי בספר לכיתה ד' של הבת שלי ולא הצלחתי להבין מה רוצים ממני. ספר לימוד במתמטיקה חייב להיות בהיר כבדולח ולא להשאיר עמימויות...היו כמה שאלות שניסיתי להבין למה התכוון המשורר, ולא תמיד הצלחתי. גם העזרים שהספר הציע לא עזרו לי להבין. לפעמים הם אפילו בילבלו אותי." |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לגביי המשפט הראשון, "וגם תואר ראשון - בלי מאמץ מיוחד" אני חושש שלינדנשטראוס מנותק מהעם, האדם הממוצע מסוגל לסיים תואר ראשון אם יילמד אותו בקצב איטי בהרבה מהמקובל. מה שיעור הנשירה בפקולטה למתמטיקה? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
איפה? בזמני סף הקבלה לפקולטה במתמטיקה בטכניון היה נמוך יחסית עקב חוסר ביקוש. בשל כך התרכזו שם שני סוגי סטודנטים: מי שלא הצליחו להתקבל לפקולטות אחרות (לדוגמה: קיוו לעבור לאחר השנה הראשונה, או קיוו להמשיך בסופו של דבר להוראה), שהיו פחות מוצלחים. לעומתם היו שם גם אותם גאונים שבאמת אוהבים מתמטיקה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לדעתי ניתן להעריך בעדינות, שהאדם הלפני אחרון שנרשם לפקולטה למתמטיקה1 הוא בעל כישורים אינטלקטואלים גבוהים משל האדם הממוצע. אני מניח זאת משום שלמרות סף הקבלה הנמוך בפקולטה למתמטיקה, המתקבל הוא עדיין בעל תעודת בגרות שהציון בה (אני משער) הוא מעל החציון של תעודות הבגרות. 1 אפשר לקחת גם את הפקולטה למדעי המחשב בשנתה הראשונה, ולהסיר מאחוז הנשירה את אלו שפרשו בגלל ציונים נמוכים בקורסי ה"מחשבים". |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כבוגר מתמטיקה תואר ראשון, גם לי אין ספק שהאדם הממוצע יתקשה במאוד מאוד לסיים תואר ראשון במתמטיקה. לפחות אני יכול להעיד שגם אביו של אילון, מתמטיקאי דגול בפני עצמו, התקשה להבין מדוע הסטודנטים שלו זקוקים לעיתים להסבר נוסף... אז גם הנטייה הזאת תורשתית :) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
טוב, עכשיו אני כבר לא מסכים. אני ממש לא חושב שכל אדם יכול להשלים תואר במתמטיקה, אם כי אני נוטה להאמין שזה פחות בגלל חוסר כישרון, ויותר בגלל חוסר עניין שימנע מהאדם להתרכז בלימודים. זה גם מאוד תלוי בשיטת הלימוד, וזה כנראה מה שהוא מכוון אליו בתלונות על ספרי כיתה ד'. אין סיבה שמתמטיקה של כיתה ד' תהיה קשה, וספרי הלימוד עושים את זה וגורמים נזק אדיר. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מסכים בעניין היכולת - למרכיב הרגשי, כולל מידת העניין בנושא, תפקיד מרכזי בתהליך ההבנה. אבל לא רק. ראיתי אנשים שמאוד אהבו והתעניינו בתחומים מסויימים ועדיין לא הצליחו לעבור את השנה השניה בתואר הראשון (בפיסיקה וגם בתחומים אחרים). אגב, אצל אביו של אילון, יורם, למדתי את הקורס באינפי מתקדם. זה היה קורס שדרש הרבה יותר מהבנה טובה ומוטיבציה כדי לפתור חלק גדול מן התרגילים לבית ובמבחן. זה אגב גם היה היה הקורס היחיד בו הייתי טוב באותה השנה, ואפילו הצלחתי כמה וכמה פעמים להפריך את הטענות אותן התבקשנו להוכיח. הסיבה לכך היתה שלמדנו מגירסת בטא של ספרו של לינדנשטראוס. בשאר הקורסים היתה לי בעייה רצינית של הבנת ההסברים והממוצע הכולל היה בהתאם. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מזמן כבר לא הייתי בכיתה ד'. תוכל להדגים, כנציגו של לינדנשטראוס לעניין זה, מה מבלבל וסתום בתוכנית הלימודים? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בשביל זה אצטרך ספר לימוד לכיתה ד'. בינתיים אפשר לקרוא כאן על הזנבגופים: |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כאן יש עוד קצת... |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה היה לפני שבע שנים. מה השתנה מאז? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
טוב, היום נזדמן לי ספר חשבון לכיתה ד' - ''פשוט חשבון''. הצצתי. הוא דווקא עשה עלי רושם די טוב, לא היה שם משהו בלתי מובן, ודיברו שם בצורה יחסית ברורה ופשוטה על מספרים פריקים וראשוניים ואפילו הזכירו את השערת גולדבך. אני משער שלא על זה לינדנשטראוס מדבר, אבל אני לא יודע על מה הוא כן. | |
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |