בתשובה לירדן ניר, 02/06/00 18:05
 |
|
 |
||
|
||||
 |
אם מישהו יוכל להפנות אותי למקור (ספר או מאמר במתמטיקה) שטוען שאין סוף כפול אפס הוא תמיד אפס, אשמח לראות. אני חושב שאין הגדרה בסיסית כזאת בשום שטח של המתמטיקה. נכון שאם תכפיל אפס בכל מספר סופי אפילו גדול מאד תקבל אפס. אבל ההגדרות של המושג אין סוף לא דומות למספר סופי גדול מאד. זה בכל זאת משהו אחר. ההנחה הזאת שמדברים עליה כאן כמובנת מעליה , ובלעדיה לא קיים הפרדוקס של זנון, אם איני טועה, פשוט אינה אפשרית, כי תוביל מיד לסתירה פנימית, וזה אסור במתמטיקה. |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
בחשבון אינפיניטסימלי לומדים שלפעמים אינסוף כפול אפס אכן יכול להיות מספר כלשהו, אולם החישוב הזה יכול להטעות. כשמדברים על אורך אפס בקורס הזה מדברים על משהו ששואף לאפס (כלומר מאד מאד קרוב לאפס, נתעלם כרגע מההגדרה המדויקת), ואז כאשר כופלים אותו במספר גדול מאד (אינסוף), אזי התוצאה באמת יכולה להיות רחוקה מאפס. אולם, כאשר לוקחים קטע שהאורך שלו הוא באמת אפס, כמו שהסביר ד''ר פילדמן מהטכניון, אז לא משנה במה כופלים אותו, האורך שלו עדיין יהיה אפס. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
איך ייתכן שזה קטע שהוא באמת אפס ? הרי הוא התקבל ע"י חלוקת קטע סופי באינסוף. לא זו הטענה של זנון ? אם כך יש להניח שאם תכפיל את אותו אפס באותו אינסוף שהוא חלק מהגדרת האפס הזה, תקבל בדיוק את אותו קטע סופי שממנו התחלת. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה בדיוק העניין שזינון ניסה להראות. הרי למדת גאומטריה כמו כולנו (ואף יותר, אם אני זכור נכון אתה מהנדס) - ואתה יודע טוב מאוד שתאורטית, כל קו מורכב מרצף של אינסוף נקודות. זינון ניסה להוכיח שהמושג הזה של אינסוף הינו נוגד את ההגיון ואת המציאות. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
איני זוכר (זה היה לפני המון שנים) שהמורה שלי הגדיר קו כרצף של אין סוף נקודות, אבל לו עשה זאת, והייתי אז פחות ביישן, בודאי הייתי שואל אותו למה כוונתו. בכלל, דווקא ההגדרות הבסיסיות והאקסיומטיקה הן הכי בעייתיות במתמטיקה. הן בנויות על תפישה בסיסית ועל שפת דיבור רגילה ולא על שפה מתמטית (בבסיס אין ברירה), ושפת דיבור רגילה מביאה הרבה פעמים לדבר והיפוכו ולסתירות. הגיאומטריה האוקלידית בנויה בהגדרותיה הבסיסיות על הבנה בסיסית וטבעית של הסובב אותנו. הגדרת קו כרצף של אין סוף נקודות אינה דרושה לבניית המשפטים שמהן בנויה התורה הזאת. די בכך שאומרים קו. אין צורך להגדיר מה הוא בעזרת מושגים כאין סוף שהם עוד יותר מסובכים ובעייתיים מהמושג הפשוט והבסיסי "קו". בעניין זה, אני נזכר בהגדרה משעשעת שנתן המורה למתמטיקה שלימד אותי בתיכון, למושג אקסיומה. הוא אמר שאקסיומה היא סטירת לחי. מדוע ? ילדים קטנים נוהגים לשאול הרבה פעמים את אביהם את השאלה "למה". כל פעם שהאב מסביר להם משהו הם שואלים "למה" וכשהוא מסביר להם מושג בסיסי יותר, הם שואלים שוב "אבל למה". בשלב מסוים העניין הזה נמאס לאב, הוא מתעצבן ובמקום לענות מפליק לבן השואל סתירת לחי. זו אקסיומה . . . אז בסופו של דבר אני מגיע למסקנה שבעצם זינון היה בסדר גמור. אם בזמנו השתמשו במושג "אין סוף" ובעזרתו הגדירו קו, ומטרת הפרדוקס שלו הייתה להראות שיש בעיה בהגדרה כזאת, אין לי שום וויכוח אתו. ההפך הוא הנכון. לצערי, לא כך הבנתי את הכוונה בקריאת הדברים במאמר המקורי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הרשה לי לחלוק עליך. בחשבון האינפיניטסימלי שאני למדתי (הטכניון, חדו"א 1 מ') לא דיברנו בכלל על אינסוף כפול אפס. לצערי הרבה מרצים בקורס מחמיצים את אחת הנקודות היפות ביותר בו, ובעקבותיהם הרבה סטודנטים. זה כולל את המרצה שלי, ועל הנקודה הזו עמדתי רק אחר כך (כך שזה על אחריותי). הניסוח שלמדנו של החשבון האינפי' (ככל שהבנתי, פורמליזציה שפותחה רק במאה ה-19, כלומר הרבה אחרי הפיתוח הראשוני של האינפי') בכלל לא מתייחס למושג האינסוף. הכיצד, תאמר, הרי כל הזמן רשמנו שם את השמונה השוכב? זהו, שזה רק *סימון*. שים לב שבהגדרות הגבול (במובן הרחב, זה שמתייחס לכאורה לאינסוף) בכלל לא מופיע האינסוף. במקומו מופיע כימות - "לכל X שגדול מ 0M...". וזו בדיוק הגדולה. המתמטיקאים הבינו (למיטב הבנתי) שהפרדוקסים של זנון מראים שיש בעיה בהבנה שלנו את מושג האינסוף, ואם המתמטיקה יכולה להסתדר בלעדיו, עדיף כך. (זהירות: הפסקה הבאה טכנית במיוחד, ואינה מומלצת לילדים) כשדיברת על "אינסוף כפול אפס", אולי התכוונת ל"פונקציה השואפת לאינסוף כפול פונקצית האפס", וזה אכן אפס (בגבול), כפי שאפשר להוכיח מתוך הגדרת "שאיפה לאינסוף". שוב, ניתן להתייחס ל"שאיפה לאינסוף" כאל סימון בלבד, ועדיף להזהר מביטויים חלקלקים כמו "אינסוף כפול אפס". |
|
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |