בתשובה לג. שמעון, 02/06/00 0:25
 |
|
 |
||
|
||||
 |
נדמה לי שפרדוקס חלוקת הקטע של זנון הוא פשוט חץ דו-כיווני. את הניסוח להלן שמעתי בקורס "פילוסופיה ומתמטיקה" בטכניון, מפי ד"ר פידלמן, ונדמה לי שהוא עונה לפחות לחלק התמיהות כאן. ובכן, מחלקים את הקטע לאינסוף קטעים שווים, ואז יש שתי אפשרויות: אם אורך כל קטע הוא אפס, אז יש סכום של אינסוף אפסים, ואורך הקטע המקורי הוא אפס. אם, לחילופין, כל קטע הוא גדול מאפס, ונסמן את אורכו ב- X, אז אורך הקטע המקורי הוא אינסוף כפול X, כלומר אינסופי. בשני הכיוונים מקבלים סתירה. באשר לפתרון - ראו תגובתו של דובי. |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
אם מישהו יוכל להפנות אותי למקור (ספר או מאמר במתמטיקה) שטוען שאין סוף כפול אפס הוא תמיד אפס, אשמח לראות. אני חושב שאין הגדרה בסיסית כזאת בשום שטח של המתמטיקה. נכון שאם תכפיל אפס בכל מספר סופי אפילו גדול מאד תקבל אפס. אבל ההגדרות של המושג אין סוף לא דומות למספר סופי גדול מאד. זה בכל זאת משהו אחר. ההנחה הזאת שמדברים עליה כאן כמובנת מעליה , ובלעדיה לא קיים הפרדוקס של זנון, אם איני טועה, פשוט אינה אפשרית, כי תוביל מיד לסתירה פנימית, וזה אסור במתמטיקה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בחשבון אינפיניטסימלי לומדים שלפעמים אינסוף כפול אפס אכן יכול להיות מספר כלשהו, אולם החישוב הזה יכול להטעות. כשמדברים על אורך אפס בקורס הזה מדברים על משהו ששואף לאפס (כלומר מאד מאד קרוב לאפס, נתעלם כרגע מההגדרה המדויקת), ואז כאשר כופלים אותו במספר גדול מאד (אינסוף), אזי התוצאה באמת יכולה להיות רחוקה מאפס. אולם, כאשר לוקחים קטע שהאורך שלו הוא באמת אפס, כמו שהסביר ד''ר פילדמן מהטכניון, אז לא משנה במה כופלים אותו, האורך שלו עדיין יהיה אפס. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
איך ייתכן שזה קטע שהוא באמת אפס ? הרי הוא התקבל ע"י חלוקת קטע סופי באינסוף. לא זו הטענה של זנון ? אם כך יש להניח שאם תכפיל את אותו אפס באותו אינסוף שהוא חלק מהגדרת האפס הזה, תקבל בדיוק את אותו קטע סופי שממנו התחלת. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה בדיוק העניין שזינון ניסה להראות. הרי למדת גאומטריה כמו כולנו (ואף יותר, אם אני זכור נכון אתה מהנדס) - ואתה יודע טוב מאוד שתאורטית, כל קו מורכב מרצף של אינסוף נקודות. זינון ניסה להוכיח שהמושג הזה של אינסוף הינו נוגד את ההגיון ואת המציאות. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
איני זוכר (זה היה לפני המון שנים) שהמורה שלי הגדיר קו כרצף של אין סוף נקודות, אבל לו עשה זאת, והייתי אז פחות ביישן, בודאי הייתי שואל אותו למה כוונתו. בכלל, דווקא ההגדרות הבסיסיות והאקסיומטיקה הן הכי בעייתיות במתמטיקה. הן בנויות על תפישה בסיסית ועל שפת דיבור רגילה ולא על שפה מתמטית (בבסיס אין ברירה), ושפת דיבור רגילה מביאה הרבה פעמים לדבר והיפוכו ולסתירות. הגיאומטריה האוקלידית בנויה בהגדרותיה הבסיסיות על הבנה בסיסית וטבעית של הסובב אותנו. הגדרת קו כרצף של אין סוף נקודות אינה דרושה לבניית המשפטים שמהן בנויה התורה הזאת. די בכך שאומרים קו. אין צורך להגדיר מה הוא בעזרת מושגים כאין סוף שהם עוד יותר מסובכים ובעייתיים מהמושג הפשוט והבסיסי "קו". בעניין זה, אני נזכר בהגדרה משעשעת שנתן המורה למתמטיקה שלימד אותי בתיכון, למושג אקסיומה. הוא אמר שאקסיומה היא סטירת לחי. מדוע ? ילדים קטנים נוהגים לשאול הרבה פעמים את אביהם את השאלה "למה". כל פעם שהאב מסביר להם משהו הם שואלים "למה" וכשהוא מסביר להם מושג בסיסי יותר, הם שואלים שוב "אבל למה". בשלב מסוים העניין הזה נמאס לאב, הוא מתעצבן ובמקום לענות מפליק לבן השואל סתירת לחי. זו אקסיומה . . . אז בסופו של דבר אני מגיע למסקנה שבעצם זינון היה בסדר גמור. אם בזמנו השתמשו במושג "אין סוף" ובעזרתו הגדירו קו, ומטרת הפרדוקס שלו הייתה להראות שיש בעיה בהגדרה כזאת, אין לי שום וויכוח אתו. ההפך הוא הנכון. לצערי, לא כך הבנתי את הכוונה בקריאת הדברים במאמר המקורי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הרשה לי לחלוק עליך. בחשבון האינפיניטסימלי שאני למדתי (הטכניון, חדו"א 1 מ') לא דיברנו בכלל על אינסוף כפול אפס. לצערי הרבה מרצים בקורס מחמיצים את אחת הנקודות היפות ביותר בו, ובעקבותיהם הרבה סטודנטים. זה כולל את המרצה שלי, ועל הנקודה הזו עמדתי רק אחר כך (כך שזה על אחריותי). הניסוח שלמדנו של החשבון האינפי' (ככל שהבנתי, פורמליזציה שפותחה רק במאה ה-19, כלומר הרבה אחרי הפיתוח הראשוני של האינפי') בכלל לא מתייחס למושג האינסוף. הכיצד, תאמר, הרי כל הזמן רשמנו שם את השמונה השוכב? זהו, שזה רק *סימון*. שים לב שבהגדרות הגבול (במובן הרחב, זה שמתייחס לכאורה לאינסוף) בכלל לא מופיע האינסוף. במקומו מופיע כימות - "לכל X שגדול מ 0M...". וזו בדיוק הגדולה. המתמטיקאים הבינו (למיטב הבנתי) שהפרדוקסים של זנון מראים שיש בעיה בהבנה שלנו את מושג האינסוף, ואם המתמטיקה יכולה להסתדר בלעדיו, עדיף כך. (זהירות: הפסקה הבאה טכנית במיוחד, ואינה מומלצת לילדים) כשדיברת על "אינסוף כפול אפס", אולי התכוונת ל"פונקציה השואפת לאינסוף כפול פונקצית האפס", וזה אכן אפס (בגבול), כפי שאפשר להוכיח מתוך הגדרת "שאיפה לאינסוף". שוב, ניתן להתייחס ל"שאיפה לאינסוף" כאל סימון בלבד, ועדיף להזהר מביטויים חלקלקים כמו "אינסוף כפול אפס". |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם נחלק קטע באורך X לאינסוף חלקים, נקבל חלקים בעלי אורך X חלקי אינסוף. נשאלת השאלה האם X חלקי אינסוף שווה אפס. התשובה הינה לא. ישנה שאיפה לאפס. (כפי שהוזכר כבר) כמו שאוסרים לחלק באפס, יש לאסור חלוקה באינסוף. דרך אגב, עושה רושם שזנון (על משקל חנון ?!) הינו מאבות העתודאים. (לפחות לפי דבריו) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם X סופי, X חלקי אינסוף הוא בפשטות אפס, הוא לא שואף לכלום1. ______________.________________.____________ 1- ככה לפחות המורה שלי היה טוען: "אפס שכמוך, אין לך שום שאיפות" |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הבה ניקח קטע סופי באורך X ונחלקו לאינסוף חלקים שווים, את אורך כל קטע שכזה נסמן ב Y. אתה טוען שאם נבצע סיגמה של אינסוף חלקים באורך Y נקבל את אותה התוצאה שנקבל בסיכום אינסוף פעמים אפס ? במקרה של אינסוף פעמים Y נקבל את האורך המקורי X. במקרה של סיכום אינסוף אפסים נקבל אפס. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
למה "סיגמה" אם אפשר פשוט "סכום"? אבל בלי קשר - האם אתה אומר שיש מספר חיובי Y שאם נכפיל אותו באינסוף יתקבל מספר שאינו אינסוף? אבל זהו הרי הפרדוקס כולו, ומטרתו היא להראות שלא יכול להתקיים המספר אינסוף. אין לו משמעות, והוא לא יכול לתפקד במערכת אלגברית סבירה - לא יחד עם מספרים אחרים, בכל מקרה. אם פתרו את הפרדוקס הזה או לא, אינני יודע. אני לא מתמטיקאי. אבל על פניו הפרדוקס נראה לי ברור, והמשמעות היחידה שניתן להפיק היא שלא יכול להיות שקו מורכב מאינסוף נקודות. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא קיים מספר חיובי יחיד שכזה, אבל קיימות סדרות של מספרים שכולם חיוביים - והן מסתכמות לאינסוף. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
למה אני טיפש? היה צריך להיות "מסתכמות לאפס באינסוף". |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בנוסף למה שכבר נאמר ב: תגובה 5474 ניתן ל"פתור" את כל הפרדוקסים של זנון (אני מכיר שלושה אבל יודע שיש יותר) ע"י הפסקאות הבאות: - הבעיה: החץ, בכדי להגיע למרחק חצי המסלול, חייב לעבור ברבע המסלול, בכדי להגיע לנקודה זו הוא חייב לעבור בנקודת שמינית המסלול, וכו' - הפרדוקס: החץ לא יזוז כלל מכיוון שעליו לעבור באינסוף נקודות - הפתרון: בצע סיגמה... סתם, סתם. - הפתרון: יש לתקוף את ההנחה הסמויה כי סיכום אינסוף מרחקים, לא חשוב כמה קצרים, יתן מרחק אינסופי. הנחה זו נכונה כל עוד המרחקים שווים בגודלם, אולם, בדוגמת הפרדוקס המופיעה כאן, מדובר במרחקים ההולכים וקטנים. החלוקה אינה על כל המרחק לאינסוף קטעים שווים. המרחק שעל החץ (הצב, הגוייבה, שאול יהלום) לעבור בתחילה הינו חצי, לאחר מכן מדובר בנקודת הרבע, שמינית, וכו'. המרחקים הולכים וקטנים. ולכן ההנחה כי איסוף/סיכום/סיגמה אינסוף המרחקים, קטנים ככל שיהיו, יתן מרחק אינסופי אינה נכונה. תוצאת הסיכום נותנת מספר/מרחק סופי. זנון לא הכיר את קושי (צרפתי גאה שהתעסק עם סדרות מתכנסות אינסופיות בתחילת המאה ה 19 (אני משוכנע שהיה עתודאי)). קושי התבסס על היסודות שהניחו ניוטון ולייבניץ (עוד עתודאי ?) במאה ה 17. ולפיתוח המתמטי: נניח ש S יהיה הסכום של המרחקים שעל החץ לעבור ונניח ש A1 יהווה את המרחק הגדול (חצי במקרה שלנו), A2 את המרחק השני (= רבע מהמרחק הכולל) וכו'. נרשום: S = a1 + a2 + a3 + ... + an כאשר An מהווה את המרחק האחרון. כאשר נשאיף (לא לריאות) את N לאינסוף, S ישאף למספר לתוצאה המבוקשת.סדרה שכזו קרויה מתכנסת כאשר יש לה גבול ומתבדרת כאשר אין לה גבול. ועכשיו לשורת הפאנץ'. במקרה שלנו הסדרה נראית כך: S = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16... (אני מקווה שההמרה תראה את שלוש הנקודות אחרי השש-עשרית)ניתן לראות, נסו זאת במחשב פשוט, כי סכום סדרה זו אינו אינסופי, כפי שסברו החברים הנכבדים, אלא מתכנסת לאחד. המספר אחד מהווה למעשה את אורך המסלול (זוכרים? הנקודה הראשונה היתה חצי המסלול. ניתן היה לסמן את אורך המסלול ב M ולהראשות כי הסדרה, בתוספת כל ה M-ים מתכנסת ל M) מקווה שאלו שלא נרדמו מבינים כי הפרדוקס (ים) של זנון הופרך/נפתר. בקיצור: החץ לא יקפא באוויר, הוא יגיע למטרה, אכילס (או שהיה זה אטלס) כן יעברו את הצב ואולי אף יכינו ממנו מרק. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
<נד בראשו מצד לצד> אנשים לא מקשיבים. ראשית, לא סיפרת לי שום דבר שלא ידעתי כבר. שנית, לא זה הפרדוקס עליו מדובר. אתה מדבר על פרדוקס אכילס והצב, בעוד שאני מדבר על פרדוקס החץ, שהוא שונה לגמרי. פרדוקס החץ, שים לב, הולך ככה: יורים חץ מנקודה A לנקודה B. עכשיו אנחנו בוחנים את הדרך שעושה החץ - המדובר בקו (נניח לצורך השאלה) ישר. קו, כידוע, אינו אלא רצף של אינסוף נקודות - פר הגדרה, נכון? יפה, אז נחלק את דרכו של החץ לאינסוף נקודות. אם חילקנו את הדרך לאינסוף, אז צריך לחלק גם את הזמן שלקח לו להגיע לשם לאינסוף, נכון? אז בואו נעשה את זה יחדיו. חילקנו את הזמן לאינסוף נקודות זמן. אחלה. אז מה קורה עכשיו? יש לנו אינסוף נקודות שונות בהן נמצא החץ, ויש לנו אינסוף נקודות זמן שבכל אחת מהן - אויה! - החץ נמצא *במנוחה* (שהרי בנקודת הזמן נ' הוא נמצא בנקודת מרחק נ', ולא בשום נקודה אחרת, פר הגדרה). אז מתי החץ זז?! אין זמן בין נקודה נ' לנקודה נ+1 - כי כבר חילקנו את הזמן לאינסוף נקודות. אם נמצא את נקודת הזמן שבין נ ל-נ+1, אז פשוט נמצא עוד נקודה שבה החץ נמצא במצב נייח. מכאן - אין תנועה. עכשיו לך תפתור לי את הפרדוקס הזה עם סדרות מתכנסות. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
<מצקצק ומנתר מרגל לרגל> לך אולי לא חידשתי, אך מה עם אולי הקוראים האחרים ? אתה מדלג בקלות על עניין חלוקת הקטע לאינסוף. כיצד אתה מציע לחלק את הקטע לאיסוף קטעים שווים ? בכל רגע נתון בחלוקה שתציע, ניתן לעצור את הזמן ולראות מה יש לנו ביד: שתי נקודות, שני זמנים שונים ושני מקומות שונים בהם שרוי החץ יש שתי אופציות: 1) להמשיך לחלק את הקטע והזמן ולשוב למצב הקודם 2) לעצור מכיוון שאתה מעוניין להמשיך עד אין סוף (זהו סוף בר-מניה) ניתן בכל רגע נתון לבדוק את המצב ושוב נקבל שתי נקודות, שני זמנים שונים ושני מקומות שונים של החץ (בתנאי שאנו מניחים שאין חלקיקים שלא ניתן לחלק וכן כי הזמן רציף) כאשר אתה לוקח כל שתי נקודות (לאחר החלוקה שביצעת) ובודק אותן. יהיו שוב שני מקרים: 1) המרחק בין שתי הנקודות = 0 2) המרחק אינו אפס במקרה הראשון, סתירה להנחה שלקחנו שתי נקודות שונות. במקרה השני, נחזור למצב שתואר למעלה, שתי נקודות שונות (לכן המרחק אינו אפס, שני זמנים שונים ושני מקומות של החץ. לכן, בכל בדיקה שכזו, ישנה תנועה ברורה של החץ. ולגבי עניין חלוקת הקט לאינסוף. שוב, הצע שיטה והפעל את סיכום הסדרות המתכנסות שרשמתי קודם. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אבל הרי זו בדיוק טענתו של זינון - שאין משמעות למושג האינסוף. אי אפשר לחלק קטע לאינסוף חלקים, ולפיכך לא ניתן לטעון שקטע אכן מורכב מאינסוף חלקים (או אינסוף נקודות). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
המשפט "לא ניתן לחלק קטע לאינסוף חלקים (בזמן סופי)" אינו מוביל למסקנה כי "לא ניתן לטעון כי קטע מורכב מאינסוף חלקים/נקודות" כל קטע מורכב מאינסוף חלקים/נקודות אך לא ניתן לעבור על כולם/ן ולהציג את החץ על כל נקודה ונקודה. זנון הציג פרדוקס נחמד, די מזמן, אשר נפתר, די מזמן ומהווה תרגיל מחשבתי משעשע ותו לא. מכן ועד הוכחה כי התנועה היא אשליה ו/או למושג אינסוף אין משמעות המרחק גדול. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
להרחיב קצת בעניין הפונדמנטליסטי ("יסודות המתמטיקה", קוראים לתחום): נראה שכמה מכותבי התגובות כאן נפלו למלכודת (בחברה טובה עם רבים מגדולי המתמטיקה, מזנון ועד ניוטון ולייבניץ), של נסיון הפעלת כללי הגיון פשוט על מושגים כמו אינסוף. מה שאפשר לראות כאן הוא שצריך להיות זהירים, כי האינסוף קצת מותח את ההגיון הפשוט שלנו. מה שקושי וויירשטראס עשו, בסוף המאה ה-19, היה להוציא את האינסוף מהמתמטיקה. סטודנטים לחדו"א אמנם רושמים ללא הרף שמונה שוכב, אבל חשוב לשים לב שזה *סימון* בלבד. אותו דבר עם שאיפה לאינסוף ושאיפה לאפס (וכל שאיפה): סימונים. למיטב ידיעתי, מתמטיקאי היום צריך לסרב לענות על שאלות מסוג "מה סכום אורכם של אינסוף קטעים קטנים מאוד". אין ארוחות חינם: את האינסוף החליפו קושי ושות' בכמת כולל (כך שהסימון "שואף לאינסוף" מוגדר במשפט שעיקרו "כל המספרים ש..."). יכול להיות שגם זה בעייתי, אם מגרדים מספיק, אבל במאה ומשהו שנים מאז נראה שההכללה בכל זאת עושה עבודה יותר טובה מהאינסוף, בתחום יכולת השכנוע הקונסנסואלי. לקריאה נוספת (כבר המלצתי על הספר באייל, אבל לא אלאה מכך): "משפטי גדל ובעיית היסודות של המתמטיקה", ארנון אברון. למרות שמו (הלא מוצלח) הוא קטן, ידידותי גם למפחדי מתמטיקה (יצא באוניברסיטה המשודרת), ואולי הספר המחכים ביותר פר מילה שקראתי (ואחד המחכימים ביותר אבסולוטית). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בשנות ה-60 נולדה האנליזה הלא-סטנדרטית, שמשיבה לאינפיניטיסימלים את כבודם האבוד כאובייקטים מתמטיים ולא סימנים גרידא. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
קושי-וירטראס היתה אשתו של קושי. מהפמינסטיות הראשונות. חברתה הטובה היתה גברת בולצאנו-שוורץ | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא מדבר מהיכרות טובה של החומר, אבל ישנה דרך לשלב מושגים כמו "אינסוף" ו"קטן עד כדי אפס אבל לא ממש אפס" במערכת אלגברית, הכוללת מקבילים למספרים הממשיים - המספרים הסוריאליסטיים (אכן כך). יקשה עלי לתת הסבר פורמלי להם, אבל הם מאפשרים מספר כמו אינסוף, אינסוף ועוד אחד, וכן הלאה, והם עצמם גם מפרמלים את תורת המשחקים הקומבינטוריים, כאשר כל מספר מייצג מהלך במשחק, וכן הלאה. עוד מידע יתן לכם דוד גוגל: חפשו surreal numbers. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ולמי שיש גישה לספריה ראויה לשמה (של מחלקה למתמטיקה), אין כמו המקור: On Numbers and Games, של J.Conway, מ- 1976. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
חוששני שלא קל לחלק קטע סופי לאינסוף חלקים שוים. הסיבה היא בדיוק מה שכתבת אח"כ: אם אורכו של כל קטע כזה גדול מאפס סכומם יהיה אינסופי, ואם גודלו של כל קטע כזה הוא אפס בדיוק סכומם יהיה אפס, ובכל מקרה הסכום הזה לא יהיה Y. עוד כמעט קט יתעורר מר ו. משנת השבת שלו ויבוא להעמידני על טעותי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא בטוח שמר ו. מגיע למאמר הזה. הוא היה לפני זמנו. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1. אפשר לחלק קטע סופי (למשל, המספרים בין 0 ל- 1) לאינסוף חלקים שווים באורכם: כל מספר ממשי בקטע ישב בחלק משל עצמו. האורך של כל קטע כזה הוא 0. 2. את האורכים של הקטעים האלה אי-אפשר לסכם, משום שהם רבים מדי. אפשר לסכם מספר סופי של מחוברים. אפשר, במאמץ מסויים, לסכם סדרות של מחוברים (לפעמים). אי-אפשר1 לסכם קבוצת ערכים שאינה בת מניה. 3. אי-אפשר לחלק קטע סופי למספר *בן-מניה* של קבוצות (מדידות) באורכים שווים. 1 "אי-אפשר": אף אחד לא הציע פירוש שיתן משמעות לביטוי "סכום" בהקשר הזה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תגיד, אפשר לסכם סדרת מספרים אינסופית מתבדרת? (-: | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כתבתי ''לפעמים'', והתכוונתי לכל מלה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
|
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |