בתשובה לשוטה הכפר הגלובלי, 04/02/09 8:22
סתם תהיה 503413
אלון עמית • בתשובה לשוטה הכפר הגלובלי יום ד', 4/2/2009, 20:14
הדיון יהיה מאוד משעמם אם לא מבינים על מה מדובר - והשאלהבאמת נוסחה באופן לא ברור, באשמתי. אז מהתחלה: אם יש 4 נקודות שונות במישור ABCD, הן יוצרות מרובע קמור או קעור כאשר מחברים אותן זו לזו *בסדר הזה* (A ל-B, B ל-C, C ל-D, D ל-A). לפעמים הן יוצרות מרובע מנוון (משולש, או סתם קו), ומזה נתעלם.

אם נתונה העתקה f מהמישור לעצמו - לא בהכרח רציפה, סתם העתקה שלוקחת כל נקודה במישור לאיזו נקודה אחרת (או לא אחרת) - אפשר להתבונן במה היא עושה למרובעים הקמורים: ABCD מרובע קמור, f מעתיקה את A ל-a, את B ל-b וכו'. מה מצבו של המרובע abcd?

עכשיו, סוף-סוף, השאלה היא: האם אפשר למצוא העתקה f כך שלכל מרובע קמור ABCD, תמונתו abcd היא מרובע קעור.
סתם תהיה 503416
מ. השור • בתשובה לאלון עמית יום ד', 4/2/2009, 21:28
(-1,1), (1,1), (-1,-1), (1, -1)
נחשב מרובע? קעור?
סתם תהיה 503417
אלון עמית • בתשובה למ. השור יום ד', 4/2/2009, 21:45
לפי ההגדרה שלי, עם הסדר - לא. אבל השאלה נהיית ברורה יותר (אני חושב) אם מתעלמים מהסדר: רביעייה של נקודות תיקרא "קמורה" אם יש מרובע קמור שקדקודיו הן הנקודות ברביעייה. על-פי ההגדרה ה*זו*, הנקודות בדוגמה שלך מהוות מרובע קמור. אני חוזר בי מהניסוח הקודם, וסליחה על הבלגן.
סתם תהיה 503419
האייל האלמוני • בתשובה לאלון עמית יום ד', 4/2/2009, 22:31
אני מקווה שאני לא שובר את שיא הבורות בפתיל, אבל האם העתקה d=B (כלומר - המרובע abcd יהיה ABCB) היא חוקית?
לחילופין, אם רוצים להימנע ממרובע מנוון, האם d יכולה להיות B פלוס חצי הדרך ל A פלוס חצי הדרך ל C ?
סתם תהיה 503428
מ. השור • בתשובה להאייל האלמוני יום ה', 5/2/2009, 8:13
תשובה לא מוסמכת: קודם כל, רוצים העתקה אחת שתעבוד לכל המרובעים בעולם (טוב, במישור), כך שהעתקה שעובדת רק למרובע ספציפי לא מספיקה. שנית, ABCB הוא לא מרובע אלא "צורה מנוונת" כפי שהגדיר אלון והוא רוצה להעביר רק קמורים לקעורים.

אגב, אלון - צריך שההעתקה תהיה חד חד ערכית ועל? הופכית לעצמה?
סתם תהיה 503463
האייל האלמוני • בתשובה למ. השור יום ה', 5/2/2009, 17:34
Probably I'm missing something, but wouldn’t the transformation abcd = ABC[B + (C-B)/x + (A-B)/y] work for every ABCD and x,y bigger then 1?
סתם תהיה 503466
ראובן • בתשובה להאייל האלמוני יום ה', 5/2/2009, 18:44
זאת לא העתקה של ה*מישור*.
סתם תהיה 503429
שלגון • בתשובה לאלון עמית יום ה', 5/2/2009, 8:23
רק כדי להבהיר, כי אני הבנתי משהו אחר בפעם הקודמת: אתה מעתיק את קבוצת הנקודות המהווה את היקף המרובע (כולל הקטע בין A ל- B ושאר הקטעים) או רק את הקודקודים? אני חשבתי שכל ההיקף מועתק.
סתם תהיה 503538
מ. השור • בתשובה לשלגון יום ו', 6/2/2009, 14:50
נראה לי שאם כל ההיקף מועתק אין מה לעשות. אם ההעתקה חייבת להעביר קווים ישרים לקווים ישרים, נדמה לי (כלומר, התעצלתי להוכיח) שהיא חייבת להיות ליניארית. העתקה ליניארית מעתיקה מקבילית למקבילית ולכן בפרט לא הופכת מרובעים קמורים לקעורים.
סתם תהיה 503539
מ. השור • בתשובה למ. השור יום ו', 6/2/2009, 14:56
בעצם זה מזכיר לי משהו שחשבתי עליו (ולא כתבתי למיטב זכרוני) בפעם הקודמת שהחידה הזו עלתה פה: נראה לי שאף העתקה אנליטית לא יכולה לעבוד כי כל העתקה כזו אפשר לקרב לוקאלית על ידי העתקה ליניארית ולכן אם ניקח מקבילית מספיק קטנה, היא תישאר מקבילית.
סתם תהיה 503543
מ. השור • בתשובה למ. השור יום ו', 6/2/2009, 15:20
אוקי, נראה לי שיש לי הוכחה למקרה הכללי. מי שלא רוצה לראות, שלא יסתכל (אבל אני מקוה שמישהו כן יסתכל כדי להגיד לי אם אני צודק). אגב, יש סיכוי למערכת לכתיבת תגובות עם תוכן מתמטי (כמו שלהם http://wordpress.com אולי?).

>
>
>
>
>
>
>
>
>
>

נניח בדרך השלילה שקיימת העתקה כזו ונסמנה (*). נתבונן בנקודות א, ב, ג במצב כללי (משולש), ההעתקה מעבירה אותן לנקודות א*, ב*, ג* שגם הן במצב כללי. כעת, נתבונן בנקודה ד במצב כללי מחוץ למשולש מ=אבג, אזי קיים מרובע קמור שקודקודיו אבגד. לכן בהכרח ד* נמצאת בתוך המשולש מ*=א*ב*ג* (כי מעתיקים מרובעים קמורים לקעורים). מכאן שההעתקה (*) מעתיקה את כל הנקודות במצב כללי מחוץ ל- מ אל תוך מ*. כעת נתבונן במשולש נ שקודקודיו נמצאים כולם במצב כללי ביחס ל- מ וכן קודקודי מ נמצאים במצב כללי ביחס ל- נ. אזי בהכרח נ* מוכל ממש ב- מ* אבל גם מ* מוכל ממש ב- נ* ומכאן סתירה.
סליחה טעות 503559
מ. השור • בתשובה למ. השור יום ו', 6/2/2009, 18:23
אופס, טעות בהוכחה. מקוה שלא בזבזתי את זמנו של אף אחד.
סתם תהיה 503541
שלגון • בתשובה למ. השור יום ו', 6/2/2009, 15:08
תיאורטית ההעתקה יכולה להעתיק קטע לזוג קטעים עם קודקוד ביניהם, או אפילו לתת קבוצה של נקודות במרובע בתמונה, אשר תושלם ע''י שאר הקטעים במרובע המקור להיות כל מרובע התמונה. אני מסכים שיש המון אילוצים על העתקה כזאת, אבל אין לי נימוק למה היא בלתי אפשרית.
סתם תהיה 503577
אלון עמית • בתשובה לשלגון יום ו', 6/2/2009, 19:39
לא, מדובר רק על הקדקודים.

כושר הניסוח שלי התדרדר מאוד מאז שאני ממעט לכתוב כאן.
סתם תהיה 503588
האייל האלמוני • בתשובה לאלון עמית יום ו', 6/2/2009, 21:19
זה בדיוק מראה לך מה עליך לתקן!
חזרה לעמוד הראשי המאמר המלא
מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים
האייל הקורא RSS מאמרים | כתבו למערכת | אודות האתר | טרם התעדכנת | ארכיון | חיפוש | עזרה | תנאי שימוש © כל הזכויות שמורות