בתשובה לדובי קננגיסר, 18/01/08 21:55
 |
|
 |
||
|
||||
 |
אני דווקא כן אחראי על הטענה שהעליתי, ולכן תן לי להסביר: נתאר את המשחק בצורה קצת אחרת (שלדעתי אנחנו מסכימים שהיא שקולה(1), שכן הסכמנו שיש "נקודת אמצע" אמיתית), והוא יוצא מאד דומה (שלא לומר זהה) למשחק הארנק של שכ"ג: יש 2 שחקנים. כל שחקן רושם על פתק מספר ממשי אי-שלילי. פותחים את הפתקים, ומי שרשם את המספר הנמוך יותר מקבל את הסכום הנ"ל מהשחקן השני. אם שני הסכומים זהים - אף אחד לא מקבל כלום. 'אסטרטגיה' (מעורבת) במשחק היא התפלגות על המספרים הממשיים האי-שליליים, שלפיה השחקן בוחר מה ירשום. "נקודת שיווי משקל" במשחק היא זוג אסטרטגיות X ו- Y (לשחקנים א' ו-ב' בהתאמה), המקיימות את התנאים הבאים: 1) אין אסטרטגיה 'X לשחקן א' כך שהזוג X',Y יהיה טוב יותר לשחקן א' מהזוג X,Y 2) הטענה הסימטרית לגבי שחקן ב'. למשחק הנ"ל יש נקודת שיווי משקל אחת ויחידה(1), והיא כאשר שני השחקנים רושמים 0 בהסתברות 1. עד כאן לגבי תורת המשחקים, והסיבה מדוע המשחק הזה יגרום לשני השחקנים להגיש את ההצעה שאוביקטיבית היא האמיתית. עכשיו עוד הערה: נראה לי מקובל לחלוטין לכתוב בתגובה שלא הבנת מדוע תורת המשחקים מובילה לתוצאה הנ"ל, ובשמחה הייתי מסביר. סביר בהחלט גם להכריז שאינך מקבל את ההנחה ששחקנים אמיתיים יתנהגו כפי שתורת המשחקים מצפה מהם. הגיוני גם לטעון שהרדוקציה של המצב מרצים-אוצר למשחק הנ"ל היא בעייתית. אבל הדרך הפסקנית-ועם-זאת-אמורפית שבה ניתחת את המצב בתגובה 468375(2), בתוספת ההערה המזלזלת בסופה נראית לי לא לעניין, שלא לומר מעליבה. ----------------------- (1) אשמח להסביר במידת הצורך. (2) אני חושב שאפשר להגיד באופן כללי שתורת המשחקים מפרמלת בעיות בבחירת אסטרטגיה, ש"ניתוח לוגי" שלהן מוביל בדרך כלל למעגל קסמים, ובכך מאפשרת פתרון מתמטי שלהן. הניתוח שאתה עשית הוא כמובן לא ניתוח פורמלי של תות המשחקים. |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
אני כן מקבל את ההנחה ששחקנים אמיתיים ינהגו כפי שתורת המשחקים מצפה מהם (בתנאים מסויימים). אני לא מבין מדוע הניתוח שלך מוביל לתוצאה שאתה טוען לה (שני השחקנים יכתבו "0" על הפתק), אני גם לא מסכים שהרדוקציה של המצב למשחק הנ"ל היא מוצדקת. בקצרה, אני לא מתמטיקאי ולא כלכלן. תורת המשחקים עבורי היא עיסוק צדדי שרלוונטי רק לפעמים לתחום שלי. ובכל זאת, אני לא רואה איך הניתוח שלי את המצב שגוי. למיטב הבנתי, אני בדיוק הצגתי למה *כן* יש אסטרטגיה דומיננטית במשחק הנוכחי, למרות שאני באמת לא יודע לבנות הצגה "פורמלית" של הטענה שלי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
רגע, אחרי כל מה שעברנו אתה עדיין עומד מאחוריי תגובה 468375? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
צריך להגביל את ההגדרה של ''קיצונית'', אבל באופן עקרוני, כן. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני מסכים שהרדוקציה לא מדויקת: למשל, כי החלטת הבורר לא ידועה מראש אלא רק בהתפלגות, או כי לא באמת ניתן לצמצם כל הצעה למספר ממשי (מה שאומר שייתכן למשל שתהיה הצעה שטובה יותר מהצעה אחרת הן לאוצר והן למרצים, או שלא כל המרצים מסכימים בכלל על מהי ההצעה הטובה יותר מבין שתיים נתונות), או כי לאוצר\\למרצים יש חוש אחריות שכופה עליהם להתפשר לטובת הכלל. אבל אם מניחים את הרדוקציה, הניתוח שלך לא נכון. דרך אחת לראות מדוע הוא לא נכון הוא להסתכל על הניתוח הפורמלי ולראות שהוא מניב תוצאות שונות. מההשואה בין הניתוחים אפשר גם לראות היכן נקודת הכשל בניתוח (בגדול - הכשל הוא בדיוק בחוסר הפורמליות, כלומר בקירוב של רצף האסטרטגיות לשתיים - "ריאלית" ו"קיצונית"). ננסח את הטענות במונחים של המשחק שהצעתי בתגובה 468752: 1) צד ב' מגיש הצעה ריאלית (נניח 2), אני מגיש הצעה קיצונית (נניח 10) - ההצעה הריאלית התקבלה, ואני לא נפגעתי. לא נכון - מצבך היה ב- 3 טוב יותר לו היית מציע 1. 2) צד ב' מגיש הצעה קיצונית (10), אני מגיש הצעה ריאלית (2) - הרווחתי, אך הייתי יכול להרוויח יותר. נכון, אלא שצד ב' לא יציע 10 (הוא יעשה את הניתוח שעשינו בסעיף הקודם), לכן השאלה לא רלוונטית. 3) שנינו מגישים הצעה ריאלית (2) - אחת ההצעות מתקבלת (במשחק שאני הצעתי כל אחד מהצדדים מרוויח 0) - לא הייתי מפסיד לו הייתי מגיש הצעה קיצונית. שוב לא נכון - לו היית מציע 10 היית מפסיד 2. לעומת זאת, אם תציע 1 תרוויח 1. 4) שנינו מגישים הצעה קיצונית, ההצעה הפחות קיצונית מתקבלת. אין לי דרך לדעת אם ההצעה שלי היא הפחות קיצונית או לא, לכן זה 50/50 ואין סיבה להגיש הצעה שאינה קיצונית. שוב פעם - ככל שתקטין את הצעתך, כך תגדיל את סיכוייה להתקבל, ולכן עדיף לך להציע פחות כדי לקבל יותר. נקודה חשובה מאד - יש פה שתי הנחות במשחק: 1) שני הצדדים יודעים *בדיוק* מה הבורר הולך לפסוק. 2) שני הצדדים מנסים למקסם את הרווחים שלהם, *ושניהם משחקים באופן רציונלי*. שים לב ש(כמעט) בכל המקרים, הרווח שלך מלהציע 0 היה קטן יחסית, אך תמיד היה רווח. המקום היחיד שבו הרווחת מכך שהצעת יותר היה *כאשר הצד השני שיחק באופן לא רציונלי*(1), כלומר הציע הרבה בעצמו (וראינו כבר שזה לא התנהגות רציונלית), ולכן אסור לך להניח שזה יקרה. במונחים של תורת המשחקים - נקודת שיווי המשקל היחידה היא כאשר שני הצדדים מציעים 0. בכל נקודה אחרת, יהיה צד שתהיה לו אסטרטגיה טובה יותר (ולו במעט), ולכן הוא ינקוט בה. ----------------- (1) אגב, זה מרתק לחקור את המקרים שבהם "המטורף" הוא זה שגורף את הרווחים, בעוד "הרציונלי" נשאר מאחור. זה בא לידי ביטוי בין השאר ב"משחקים" בין מנהיגים של מדינות. לפעמים ההתנהגות הרציונלית היא להראות לכולם שאתה מטורף. אבל על כך בפתיל אחר. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא הבנתי את 3 שלך - הרי במשחק שאנחנו מדברים עליו, אין אפשרות שלישית - הבורר חייב לבחור אחת משתי התוכניות שהוצעו לו, ואם הוצעו לו שתי תוכניות שוות אך הפוכות, הוא חייב לבחור ביניהן, הוא לא יכול להחליט "אמצע" (כי להחליט ככה הוא יכול גם בלי שיגישו לו תוכניות בכלל). ההבדל בין התיאורים שלנו הוא שאני קיבלתי את ההנחה של האלמוני שההצעה ה"ריאלית" היא שווה לשני הצדדים (כלומר, שיש אמצע ששני הצדדים שמסכימים שהוא ה"הוגן באמת"). אם יש טווח של הצעות ריאליות, אני מסכים ששני הצדדים ישארו בתוך הטווח הזה, אבל בנקודות הקיצון שלו, לא באמצע שלו. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
במשחק שהגדרתי אמרתי שאם שתי ההצעות שוות ממש אז אף אחד לא מקבל כלום. למעשה, במשחק המקורי מגרילים אחת מהההצעות בהסתברות 50% לכל אחת. מבחינת התוחלת זה זהה (אם כי השונות גדלה), אז זה לא משנה לצורך בחירת האסטרטגיה. אתה יכול לשנות את זה ולהגיד שבמקרה כזה מגרילים, והתוצאה תישאר זהה. הסיבה שאמרתי שבמקרה כזה מקבלים 0 היא כדי שהמשחק יקיים שבהנתן שתי אסטרטגיות (טהורות) ידועה התוצאה, אבל זה באמת לא משנה את הניתוח. אני חושב שאני מתחיל להבין איפה הבעיה: אתה מצמצם את המשחק לשתי אסטרטגיות בלבד - "הצעה ריאלית" (להציע 0) ו"הצעה קיצונית" (להציע, נניח, 10). אם אלו אכן שתי האסטרטגיות היחידות, אז בכל 4 המשבצות של המשחק רשום 0, וכל אסטרטגיה היא אסט' שיווי משקל (בפרט האסט' של להציע הצעות קיצוניות) - אם כי יש לציין ש"שונא סיכונים" יימנע מהאסט' הקיצונית, כי היא מגדילה את השונות. מכאן גם נבע הבלבול שלי לגבי השימוש במילים "הצעה ריאלית" - אני הנחתי שבמונח "הצעה ריאלית" אתה מתכוון להצעה שקרובה להצעת האפס ולא זהה לה. בכל מקרה - אם חוזרים למקרה הכללי של בחירת מספר ממשי אי-שלילי כלשהו (או המקרה העוד יותר כללי של התפלגות), אז אסט' שיווי המשקל היחידה היא זו שבה שני הצדדים מציעים 0 בהסתברות 1. נ.ב. אני האייל האלמוני מההנחה המקורית. שיניתי את הכינוי בפתיל הזה כדי שלא תצטרך להתיחס לעננת אלמונים. נ.נ.ב. נקודה מעניינת: אם מגבילים אותנו למספרים שלמים בלבד (או לכל קב' דיסקרטית של הצעות) אז אסט' שיווי המשקל היא להציע 1 (או את המספר הבא אחרי 0) ולא 0. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
שמתי לב עכשיו שביקשת שאני אסביר למה להציע 0 היא נקודת שיווי משקל יחידה, ולא עשיתי זאת. אז הנה: לכל זוג אסטרטגיות X,Y (אסטרטגיה היא כאמור התפלגות על הממשיים האי-שליליים) ניתן להתאים מספר t שהוא תוחלת הסכום שאותו ישלם שחקן א' לשחקן ב' בהנתן אסט' אלו (יכול להיות חיובי, 0 או שלילי). שיווי משקל, כאמור, הוא זוג אסטרטגיות שבו אף שחקן לא יכול לשפר את מצבו (כלומר "להזיז את t לכיוון שלו"). עכשיו, אם t>0 אז שחקן א' יכול להציע את אסטרטגיה Z (שהיא לכתוב 0 בהסתברות 1) ולהבטיח t=0. באותו אופן אם t<0 אז שחקן ב' יכול לשפר את מצבו. לכן בהכרח t=0 באסט' שיווי משקל. כעת נותר להראות שנקודת שיווי המשקל היחידה היא זו שבה שני הצדדים נוקטים באסט' Z. נניח בשלילה ש- X הוא לא Z, ובפרט הסיכוי לקבל 0 תחת X הוא קטן מ- 1, ונניח שהוא שווה ל- 1 פחות p, ו- p>0. לכן קיים גם מספר e>0 כך שהסיכוי ש- x>e (כאשר x משתנה מקרי שמוגרל לפי התפלגות X) הוא גדול מ- p/2. שחקן ב' יכול לבחור את האסט' הבאה: בחר את e. כעת יש סיכוי של 1 פחות p ששחקן א' יבחר 0 (ואז הוא יקבל 0), הסתברות של פחות מ- p/2 שהוא יבחר מספר בין 0 ל- e (ואז הוא ירוויח לכל היותר e), והסתברות של יותר מ- p/2 שהוא יבחר מספר גדול יותר (ואז הוא יפסיד e). בסך הכל, בתוחלת שחקן א' מפסיד. מכיוון שהתחלנו ממצב שבו t=0, הרי שמצאנו אסט' שמשפרת את מצבו של שחקן ב' => התחלנו ממצב שאינו שיווי משקל. לכן, שיווי המשקל היחיד הוא כאשר שני השחקנים בוחרים 0 בהסתברות 1. ------------------- מצטער על שימוש היתר במילים במקום במשוואות. ניסיתי לכתוב משוואות והסימונים התחרבשו לי כל הזמן. אם זה לא ברור אני אכתוב את כל התגובה באנגלית. |
|
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |