בתשובה ליהונתן אורן, 20/08/07 21:20
 |
|
 |
||
|
||||
 |
איני בטוח שאפלטון היה מאשר אותי כנציג משנתו. הסיבה הראשונה לכך היא שאפלטון טען ליכולת להשיג את האמת ע"י התבוננות פנימית בלבד. כל עוד יכולת זו מיוחסת לבני אנוש (להבדיל מכל האחרים...), אנו חלוקים (לכן כתבתי: "...כזה שלא הניבו ...והתבוננות פנימית"). השגת האמת על העולם דרשה ועודנה - אינטראקציה הדוקה עימו. הסיבה הראשית לכך היא שצמיחת היכולות הלוגיות אצל בני אדם, מתוך אלו הפשטניות, השגויות, המולדות, דורשת התבוננות, ניסוי וטעייה – כדי להגיע למסגרות חשיבה הדרושות להבנת האמת החיצונית לנו - יש צורך בלמידה. אך גם למוטנט בעל יכולות לוגיות מושלמות מבטן אימו, נדרשת תצפית כדי לברר איזה מן היקומים האפשריים הוא זה שלו – כפי שעשה למשל האבל וגילה שהיקום בו הוא חי מתפשט. סיבה שניה לאי-אפלטוניות המאמר היא הטענה שמאחר והיקום הוא כבר מבנה מתמטי (ולא מהויות עשויות ממשהו שאינו מתמטי שרק מתקיימים בינהן יחסים מתמטיים), אין כאן את ההפרדה האפלטונית בין עולם האידאות לבין זה המוחשי, אם תרצה, עולמנו הינו אידאלי כפי שהוא (: בסיבה שלישית איני בטוח, אך נדמה לי שאפלטוניסט אדוק יטען שהמספרים הטבעיים הינם ישויות המתקיימות כשלעצמן, בעוד שלמיטב ידיעתי אין הם אלא חלק ממארג המשפטים הנובע ממערכת אקסיומות מתאימה, ואין להם משמעות מחוצה למבנים כאלו. בעניין אחד דווקא כן מתיישבת העמדה במאמר עם זו של אפלטון: "טענה מתימטית נכונה היא 'דבר' אמיתי, אפילו יותר מאשר כיסא או שולחן" ("זמן ותודעה" של אבשלום אליצור, ע"מ 10). |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
"המספרים הטבעיים... הם ... חלק ממארג המשפטים הנובע ממערכת אקסיומות מתאימה, ואין להם משמעות מחוצה למבנים כאלו." האם האקסיומות עצמן קיימות? אם כן, באיזה מובן? האם קיומן של כל מערכות האקסיומות האפשריות מובטח באותו אופן שכל מערכת מתמטית עקיבה קיימת, לפי התאור שלך? הטענה שלמספרים הטבעיים אין משמעות מחוץ למערכת האקסיומות נראית לי, איך לומר, תמוהה קצת. אנשים ספרו שלושה תפוחים ועשרה ראשי בקר אלפי שנים לפני שמישהו העלה בדעתו לבנות את המערכת האסיומטית שאתה מדבר עליה. פיתגורס לא הכיר את מערכת האקסיומות שלך, אבל קשה לומר שלטבעיים לא היתה משמעות לגביו. למעשה התרחש כאן תהליך אחר. לבני אדם היה מושג של מספרים טבעיים, ואז בא מישהו - פאנו, נניח - ובנה מערכת אקסיומטית שאיבריה מתנהגים באופן כזה שניתן ליצור התאמה בין כל התכונות של הטבעיים לבינו. מבחינתך זה מוחק את המושג הקודם, אבל אני איני רואה כיצד המושג נעלם רק משום שהראית דרך אחרת לתאר את מערכת החוקים שבעזרתה הוא פועל (והדברים נכונים, כמובן, גם לכך שמידול מתמטי מושלם של חלקיק אין משמעו שהחלקיק הוא מתמטיקה אלא רק שניתן למדל את התנהגותו באמצעים מתמטיים). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא חושב שהניסוח של האקסיומות משנה משהו, כי המבנה המתמטי כרעיון מופשט (''מושג'' בלשונך) בלתי תלוי בהן. המספרים של פיתגורס התנהגו כמו המספרים של פרמה, וההתנהגות הזו מתמצה במערכת האקסיומות שפיאנו ניסח (נגיד...). אפשר לנסח מערכות אחרות של אקסיומות שגם הן תתארנה את אותו מבנה מתמטי. שים לב גם שמערכת אקסיומות לא צריכה לתאר את כל התכונות של המבנה-המתמטי אותו היא מתארת (לזה קוראים ''תורה'') - צריך רק שכל תכונה שלו (''משפט'') תהיה בת-הסקה מתוך המערכת. העובדה שניסחו מערכת אקסיומות למושגים המתמטיים לא מבטלת את ה-''מושג'', אבל כן מגלה לגביו דברים מסויימים (שהתורה של המבנה אקסיומטית). עד כמה שאני מבין את המאמר, הוא מוסיף לרשימת הדברים שזה אומר עליהן עוד משהו (תכונה של ''קיום'' כנראה). יש גם מושגים (מבנים מתמטיים) שאי אפשר לנסח עבורם מערכת אקסיומות לא-טריוויאלית. כי הם לא עקביים, או כי התורה אינה אקסיומטית, למשל. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
השאלה היא מהו היחס בין המספרים הטבעיים עצמם לבין אותם יצורים המוגדרים בעזרת האקסיומות של פאנו. האקסיומות מגדירות מערכת כלשהי של יצורים מתמטיים ושל היחסים ביניהם. לעומת זאת, המושג המסורתי של מספרים טבעיים עוסק בספירת כמויות של עצמים ממשיים. כאשר אני מדבר על שלושה תפוחים אני לא מדבר על עוקב של עוקב של איזשהו איבר-יחידה. האקסיומות של פאנו בונות מערכת שבאמצעותה ניתן לתאר את היחסים בין כמויות שונות, כלומר ניתן ליצור התאמה חד-חד ערכית בין היצורים שהוא יוצר בעזרת המערכת שלו והיחסים האפשריים ביניהם לבין כלל המספרים היכולים לייצג כמויות של עצמים ממשיים והיחסים האפשריים ביניהם. השאלה היא האם האפשרות ליצור התאמה כזו הופכת את המספרים עצמם ללא יותר מאשר אוסף היצורים של פאנו? לדעתי לא. לדעתי הקביעה שהמספרים הם "חלק ממארג המשפטים הנובע ממערכת אקסיומות מתאימה, ואין להם משמעות מחוצה למבנים כאלו" פשוט לא נכונה. רוב רובם של מיליארדי בני האדם בעולם לא שמעו מימיהם על מארג המשפטים הנ"ל, והדבר אינו מונע מהם לדעת היטב את המשמעות של להיות בעל יתרה של מיליון דולר בבנק, למשל. התאור דרך מערכת האקסיומות הוא סוג של רדוקציה למודל; המערכת מתארת יפה את היחסים האפשריים מתמטית בין מספרים, אבל בינה לבין המספרים עצמם יש התאמה ולא זהות. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אפלטון מת, כך שאני לא רואה סיבה מיוחדת שתזדקק לאישור שלו. "פלטוניזם" היא עמדה כללית (למשל: http://plato.stanford.edu/entries/platonism/#4.1), כמו שקאנטיאניים היום אינם מאמינים שהפיזיקה זהה לתורת ניוטון. מעבר לזה, אני מוצא את הסיבה השנייה שציינת לאי-אפלטוניות המאמר כמעניינת מאוד ומקורית מאוד (וחוץ מזה אין לי מה להגיד עליה, אבל זה באמת כיוון מסקרן). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אינני בטוח שאני מבין את הדקויות של הדיון כולו. אני בעוונותי מטריאליסט, לאמור בסופו של דבר מה שקובע זה אם העובדה נכונה, כלומר אם יש משהו ממשי שעומד מנגד לטענה (האנושית). נדמה לי שיש כאן גם אידאליזציה של החשיבה המתמטית. אין טענות מתמטית קוהרנטיות וסדורות שהן בסופו של דבר טענות סרק, או שפשוט המציאות הוכיחה שהן אינן נכונות? אני למדתי כל השנים שמה שעמד ביסוד תורת היחסות הפרטית זה דווקא כן הניסיון החד משמעי של מיקלסון-מורלי. אינשטיין ראה זאת אחרת? יתכן. הוא בטח מבין בזה הרבה יותר טוב ממני. |
|
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |