בתשובה לדורון שדמי, 20/10/05 17:03
 |
|
 |
||
|
||||
 |
ב. P היא תכונה של *איברים מסוימים* של A, שהם גם האיברים של S. ג. המילה "כל" לא מופיעה בתכונה P, אלא בניסוח של *אקסיומת ההפרדה*: "ל*כל* קבוצה A ותכונה P (ש...), קיימת קבוצת *כל* איברי A שמקיימים את תכונה P. מכאן מוכחת טענתו של אח של סמיילי: אתה לא מקבל את אקסיומת ההפרדה. |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
P היא תכונה המבוססת על יחס מסויים בין איבר A לתכולה של איבר PA איתו הוא ממופה. יחס זה הינו הימצאותו או אי-הימצאותו של העתק של איבר A באיבר של PA איתו הוא ממופה. S הינה איבר של PA, המכיל את *כל* אברי A שלא נמצא להם העתק באיבר של PA איתו הם ממופים. אם התנאי *כל* מושמט מההגדרה הנ"ל, הריי שאנו יכולים לדלג באין מפריע על בדיקת המיפוי של S עם איבר כלשהו של A, אך אז אין בידינו להשיג את הסתירה המאפשרת לקנטור להוכיח כי PA>A . מצד שני אם אנו משאירים את התנאי *כל* אין S יכולה להכיל העתק של איבר A הממופה איתה מעצם הגדרתה, ולכן התנאי *כל* (שהוא חלק בלתי נפרד מהגדרת-הקיום של S) אינו מתקיים ולכן S אינה ברת קיום, וקנטור אינו יכול להוכיח כי כי PA>A. " מכאן מוכחת טענתו של אח של סמיילי: אתה לא מקבל את אקסיומת ההפרדה ." בוא ונשווה בין אקסיומת ההפרדה, לשימוש שעושה בה קנטור. "אקסיומת ההפרדה אומרת שלכל תכונה P, וקבוצה A, קיימת קבוצה כל האיברים ב-A המקיימים את P." השימוש של קנטור בנ"ל: לכל תכונה P, וקבוצה A, קיימת קבוצה *לא כל* האיברים ב-A המקיימים את P." מצא את ההבדלים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
טוב, בדיון הזה אתה משתמש באותו טיעון שבו השתמשת בפתיל שמתחיל בתגובה 328412. דווקא טיעון מעניין. כדאי שנתרכז בטיעון עצמו, ולא בהשלכות ספציפיות שלו (שגיאה בהגדרת הקבוצה הריקה, שגיאה בהוכחת משפט קנטור...). ובכן, הטענה שלך היא שאין משמעות לטענה מהצורה "קיים x כך שלכל y (כולל x עצמו) יש קשר <כזה וכזה> עם x." ברשותך, הייתי רוצה להעביר את הדיון מהתחום המופשט אל העולם הממשי. שמתי לב שאתה מדבר על כך שבקבוצה יש "עותק" של איבר כלשהו 1. לכן חשבתי שיהיה נוח יותר לדבר על מושג ששנינו מבינים הרבה יותר בקלות מאשר את מושג הקבוצה: קבצי ZIP (מעכשיו נקרא להם "כיווצים"). אני אציג לך עכשיו טענה, ואתה תגיד לי האם יש לה משמעות: "אצלי במחשב קיים כיווץ x כך שלכל כיווץ y אצלי במחשב, x לא כולל עותק של y." 1 אגב, בתחום הקבוצות זה לא נכון לומר ככה. בקבוצה אין "עותק" של איבר, אלא את האיבר עצמו. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מה שלא הולך בבבושקות, הולך בכיווצים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה באופן כללי המוטו של הדיון הזה: "נו, ניתן לו עוד צ'אנס". | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לשמחתי, זה גם היה המוטו של אישתי. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
היה? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
היא עדיין נותנת לי את אותו צ'אנס. המוטו פעיל רק בין הצ'אנסים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"1 אגב, בתחום הקבוצות זה לא נכון לומר ככה. בקבוצה אין "עותק" של איבר, אלא את האיבר עצמו." אייל צעיר אנחנו עוסקים בדיון זה *רק ואך ורק* בהוכחתו של קנטור הטוענת כי PA>A. לדיון נפרד, פתח פתיל משלך ואשמח להשתתף בו. כקשר ל-1, אתה טועה, לדוגמא: P היא תכונה המבוססת על יחס מסויים בין איבר A לתכולה של איבר PA איתו הוא ממופה. יחס זה הינו הימצאותו או אי-הימצאותו של העתק של איבר A באיבר של PA איתו הוא ממופה. S הינה איבר של PA, המכיל את *כל* אברי A שלא נמצא להם העתק באיבר של PA איתו הם ממופים, לדוגמא: 0 <--> {0,1} , 1 <--> {10,11,12} , 2 <--> {5,6} , 3 <--> {3,4,5} , 4 <--> {8,9}, … היות והגדרת S (כאשר S הינה איבר של PA) מונעת את האפשרות של הכלת ההעתק של איבר A הממופה איתה , הריי שהיא לא מקיימת את התכונה (תנאי) *כל* שלה עצמה, ולכן S לא קיימת מעצם הגדרתה.
In this example S ={1,2,4,…}. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם הטענה שלך על הבעיה בכמת "כל" נכונה, אז ההוכחה של קנטור שגויה. אם הטענה שלך שגויה - ההוכחה של קנטור נכונה. לכן זה אותו דיון. "אצלי במחשב קיים כיווץ x כך שלכל כיווץ y אצלי במחשב, x לא כולל עותק של y." האם יש משמעות לטענה הנ"ל? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
שים לב כי y יכול להיות קיים במצב לא מכווץ (מחוץ ל-x) ובמצב מכווץ (בתוך x). אם { } הינו תחום הכיווץ x, הריי ש-{y} הינו *ההעתק* המכווץ של y הלא-מכווץ. הבדל זה קיים בין איבר A, להעתק שלו הקיים בתוך איבר PA , לדוגמא: איבר 1 של N אינו איבר {1} של PN, וכו'. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני מבקש ממך לענות לתגובה שלי לגופו של עניין, במקום על הערת שוליים טרמינולוגית מתגובה קודמת: "אצלי במחשב קיים כיווץ x כך שלכל כיווץ y אצלי במחשב, x לא כולל עותק של y." האם יש משמעות לטענה הנ"ל? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"אני מבקש ממך לענות לתגובה שלי לגופו של עניין" עניתי לך בדיוק נמרץ! |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הגדרתך: "אצלי במחשב קיים כיווץ x כך שלכל כיווץ y אצלי במחשב, x לא כולל עותק של y." האם יש משמעות לטענה הנ"ל? היות ו"כיווץ y" הינו "עותק של y" , אז ענה נא על שאלתך בעצמך. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כבר כתבתי לך בתגובה 339656, שלאורך הדיון, אני אקרא מסיבות טכניות לקבצי ה-ZIP "כיווצים" (אחרת השילוב של העברית והאנגלית משבש את סדר מילים במשפט). כדי להימנע מאי-הבנות כאלה, אני אפסיק להשתמש במושג הזה. הנה ניסוח מחדש של השאלה: "אצלי במחשב קיים קובץ זיפ x כך שלכל קובץ זיפ y אצלי במחשב, x לא כולל עותק של y." האם יש משמעות לטענה הנ"ל? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"אצלי במחשב קיים קובץ זיפ x כך שלכל קובץ זיפ y אצלי במחשב, x לא כולל עותק של y." לפי הנ"ל y אינו ב-x. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אייל צעיר, בתגובה 327731 אתה טוען כי: "במתמטיקה לא ניתקל בחוסר היכולת לדעת." אי-ידיעה הינה, בין השאר, התעלמות מפרטים שאינם עולים בקנה אחד עם שאיפותנו, והיות ומתמטיקה מנוסחת על ידינו, הריי שבהחלט יכולה להתנסח מתמטיקה תלויית-שאיפות "מעגלי-פינות". בקיצור לא מדובר פה בחוסר היכולת לדעת, אלא באי-ידיעה הנובעת מהנחת המבוקש. בפתיל זה אני מוכיח בבירור כשל זה בהוכחתו של קנטור בעניין PA>A . הדרך היחידה להגיב לטענתי, הינה לגופה של טענה ולא לגופו של אדם. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תיקון לתגובה קודמת: במקום: "בקיצור לא מדובר פה בחוסר היכולת לדעת, אלא באי-ידיעה הנובעת מהנחת המבוקש." צריך להיות: בקיצור לא מדובר פה בחוסר היכולת לדעת, אלא באי-ידיעה הנובעת משאיפה להשגת מטרה ידועה מראש, הגורמת להנחת המבוקש. למעשה טענתך כי: "במתמטיקה לא ניתקל בחוסר היכולת לדעת." הינה שאיפה אידאלית (אתה מביע במשפט זה את הרצוי ולא את המצוי) אשר אינה ניתנת להשגה ללא תנאי ע"י יצורים כמונו, שמטרותיהם ידועות להם מראש. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
קטע מתגובה שלי לאלון עמית, הקשור לשתיי תגובותי הקודמות: "אני מדבר גלויות על הקשר ההדוק שבין תודעת המתמטיקאי לשיטות והמושגים שהוא מפתח. יותר מכך, איני משאיר את הקשר הזה להכרעה עפ"י אמונה כפי שאתה עושה, אלא חוקר את תכונות התודעה המינימליות ההכרחיות המאשפרות לנו להמציא/לגלות את שפת המתמטיקה ולפתח אותה על בסיס תכונות מינימליות והכרחיות אלה (כאשר תכונות אלא אינן קשורות לנטיות הפסיכולוגיות/מיסטיות/אמונתיות שלנו אלא לאפשרותה המובנית של התודעה להשתמש בכישורים כמו חשיבה מקבילית/סידרתית ויכולתה להפעיל בגלויי ובמודע את מושג הסימטריה, ככלי מכונן המאפשר לחקור בגלוי את כישוריה לגשר בינה לבין מושאיה המופשטים/פיזיים באופן הפתוח לביקורת תמידית). מושג הפונקציה לפי גישה ריגורוזית זו הינו בדיוק פעולתה של התודעה על מושאיה, ואין אני משחק במשחק "ההרחקה המדומה" המתייחסת אל מושג הפונקציה כסוכן מכאני שאינו קשור כלל ועיקר לתודעתנו. משחק "ההרחקה המדומה" דומה לאדם המזהה את בבואתו בראי כמושג הנפרד ממנו, וזה בדיוק מה שעושה קהילת המתמטיקאים עם מושג הפונקציה, בהעניקם לה קיום עצמאי שאינו קשור כלל לתכונות המינימליות ההכרחיות של תודעתם." |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא טענתי ש"במתמטיקה לא ניתקל בחוסר היכולת לדעת". זה היה ציטוט של הילברט שעסק בשלמות המתמטיקה. כולנו יודעים שהוא טעה. הלאה. "מתמטיקה תלויית-שאיפות 'מעגלי-פינות"' - האם למתמטיקאי שעובד היום במסגרת תורת הקבוצות יש הנחות סמויות? אם הייתי נותן לך תיאור מפורט, מדויק ו*מלא* של כל הנחות היסוד ודרכי ההיקש שלו, זו הייתה הוכחה לכך שהתשובה היא "לא". כל ההנחות גלויות. למזלנו, אנחנו יודעים שיש תיאור כזה. מאחר שתורת הקבוצות היא תורה אפקטיבית, ניתן לכתוב תוכנת מחשב מסוימת, ולהגדיר את הנחות היסוד וצעדי ההיקש המותרים כ"כל הנחת יסוד / צעד היקש שהתוכנה מחזירה עבורו 'כן'." היותו של המחשב "סוכן" / "בבואה" של האדם לא קשורה לעניין. העניין הוא שכל ההנחות שלנו גלויות. איפה הגבתי לטענתך לגופו של אדם? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"היותו של המחשב "סוכן" / "בבואה" של האדם לא קשורה לעניין" אייל צעיר, הסבר נא *בפירוט* כיצד "היותו של המחשב "סוכן" / "בבואה" של האדם לא קשורה לעניין"? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נראה לי שכובד ההוכחה מונח על מי שטוען שיש קשר. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
''נראה לי שכובד ההוכחה מונח על מי שטוען שיש קשר.'' טעות בידך, כל טענה (כולל טענה לאי-קשר) דורשת הוכחה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אנא הוכח שאין קשר בין האלכסון של קנטור לבין אבירי השולחן העגול. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מה זאת אומרת אין קשר? למה אתה חושב שהשולחן היה עגול? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
השולחן *לא* היה עגול. "אבירי-השולחן-העגול" הוא ביטוי יחיד, המגשר בין תודעת המלכות לבין מושגי הגיאומטרייה. לא ניתן לחתוך אותו לחתיכות, בדיוק כפי שלא ניתן לומר ש"פרפר" הוא שני פרים, או ש"גרזן" הוא מישהו שגר במקדש זן. הגיע הזמןו שתלמד קצת לשון (וגם פליאונטולוגיה ונגרות). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם ניתן לתאר את כל ההנחות שלנו ולכתוב את התיאור על דף נייר (תיאור כזה: קוד של התוכנה הרלוונטית) אז אף אחת מההנחות שלנו איננה סמויה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"אם ניתן לתאר את כל ההנחות שלנו ולכתוב את התיאור על דף נייר " *אם* זאת מילת מפתח, והנחת המבוקש מתקיימת תמיד ב"כתם העיוור" של הנושא הנחקר, ואין שום דרך לבטל בביטחון מוחלט קיומה של הנחת המבוקש כי איננו יודעי כל. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
או.קיי. אותו משפט, בלי המילה "אם": א. ניתן לתאר את כל ההנחות שלנו ולכתוב את התיאור על דף נייר. ב. אין לנו הנחות סמויות 1. 1 אם הן מופיעות על אותו דף נייר, הן לא סמויות יותר. נכון? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
". ניתן לתאר את כל ההנחות שלנו ולכתוב את התיאור על דף נייר." הוכח את הטענה *כל*. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"כל" היא לא טענה. אבל, מאחר ששנינו יודעים למה אתה מתכוון, אני בכל זאת אתן לך קישור מצוין: http://us.metamath.org/mpegif/mmset.html#axioms | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
""כל" היא לא טענה." חביבי, הסר או הוסף את *כל* למשפט מתמטי כלשהו, ואתה מקבל משפט שונה בתכלית. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"כל 1+1=2"? "כל אין מספר זוגי גדול מ-2 שאיננו סכום של שני ראשוניים"? "כל עבור כל חבורה G, הסדר של כל תת-חבורה של G מחלק את הסדר של G"? (אנחנו נטפלים לקטנות) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"(אנחנו נטפלים לקטנות)" אוקיי בוא נדייק. הסר או הוסף *כל* ממשפט מתמטי המופנה בעקיפין או במישרין לעצמו, (כמו במקרה של S) , וקיבלת מצבים שונים בתכלית. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"לכל x, המשפט הזה הוא שקר"? "לכל x, יש במשפט הזה שבע מילים"? "לכל x, המשפט הזה ניתן להוכחה"? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
משפט מתמטי אינו נגמר בסימן שאלה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
סימן השאלה נמצא אחרי הגרשיים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"לכל x, המשפט הזה הוא שקר"? עיין נא ב-http://www.geocities.com/complementarytheory/Russell... |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
עיינתי כבר בעבר. בכל אופן, למרות שהזכרתי את פרדוקס השקרן, אין לי רצון לדון בפתיל הזה בפרדוקס של ראסל. מה שרציתי להגיד הוא שבהינתן פסוק, ולא חשוב האם הוא מתייחס לעצמו או לא, אם נוסיף בתחילתו את המילים "לכל x", נקבל אחד מן השניים: א. נוסחה חסרת פשר, למשל: "לכל x קיים x, כך של-x אין עוקב." ב. פסוק שקול לפסוק המקורי. זאת בניגוד למה שטענת בתגובה 341054. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מה גורם לך לחשוב שהנוסחה ב-א. חסרת פשר? מקובל לראות משתנה ככבול לכמת האחרון בו הוא מופיע. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אה, באמת? לא ידעתי. בכל אופן, דורון עדיין טעה: אם נוסיף בתחילת פסוק את הביטוי "לכל x", נקבל פסוק שקול. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הגדרה הפונה לעצמה (כתוצאה מהתנאי כל) ואינה מקיימת את תנאי עצמה, אינה קיימת מלכתחילה, וזהו בדיוק גורל "קיומו" של S . | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
(כל הכבוד. התעלמות אלגנטית מהעובדה שהפתיל הוא לא על הפרדוקס.) אם S היא הקבוצה S={x|x not in x} אז אתה צודק, והקבוצה הזאת לא קיימת. הצרה היא שע"פ האקסיומות של פרגה ניתן להוכיח גם שהיא כן קיימת. מכאן, שהאקסיומות של פרגה לא עקביות. לכן, היה צריך להחליף אותן. זה כל הסיפור.
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"(כל הכבוד. התעלמות אלגנטית מהעובדה שהפתיל הוא לא על הפרדוקס.)" אי-קיומה של S מעצם הגדרתה שלה, מונע קיומו של פרדוקס. מה שהדגמתי בסיפורה האומלל של S , הוא את ההתנהלות הלא-תבונית של תודעה, אשר לא טורחת לבחון את היתכנות קיומם של הגדרותיה וחושבת שכל היוצא מפיה הינו תנאי מספיק לקיומו. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
שוב, זו בדיוק הבעיה באקסיומות של פרגה. הפרדוקס נובע מההנחה שכל תנאי אכן מגדיר קבוצה, והעובדה שהתייחסו אליו כפרדוקס פירושה שה"תודעה" התנהלה בצורה כן תבונית וטרחה לבדוק את היתכנות קיומם של הגדרותיה. האם אתה טורח לבדוק את פשר הדברים שאתה אומר? שמת לב כבר כמה פעמים בדיון הזה התייחסת לכל המתמטיקאים עד אלייך כאילו היו אידיוטים גמורים? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
גדי, דבריי פשוטים ביותר. אני טוען שפיתוח שפת המתמטיקה תוך התייחסות לתכונות מנימליות ולא-אישיות של התודעה, כבסיס לפיתוח שפה זו, מעשיר ומעמיק לאין ערוך את אפשרויות המחקר המתמטי ובאותה עת טורם להעשרתה ולעידונה של התודעה העוסקת בו. הדגמתי בפשטות כיצד מתקיים המספר הטבעי, אם הוא נובע מחקר התודעה כבסיס מכונן שלו (http://www.geocities.com/complementarytheory/gishoor... עמודים 2-5). הסברתי בקצרה כמיטב יכולתי את תהליך התפתחות רעיונותי ב-http://forum.bgu.co.il/index.php?showtopic=46751 . תקיפה לגופו של אדם לא משנה את הצורך להבין את הרעיונות *לפני* שמביעים את דעתם עליהם, ואני טוען כי היות ואף מתמטיקאי ב-500 שנה האחרונות לא מבסס את מחקרו על התודעה כגורם מכונן *גלוי* של המחקר המתמטי, יוצאות הן התודעה (או יותר נכון, חקר התודעה) והן חקר המתמטיקה נפסדות. בעניין פרגה, אני מוכיח ב-http://www.geocities.com/complementarytheory/Russell... כי הפרדוקסים של ראסל לא היו ולא נבראו. עוד בעניין פרגה אני מראה ב-http://www.geocities.com/complementarytheory/ONN3.pd... (עמ' 21-23) כי קהילת המתמטיקאים לא חקרה עמוקות (עד כה) את פועלו של פרגה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נניח שמערכת אקסיומות מסוימת מוכיחה שיש תפוח כחול, אבל גם מוכיחה שאין תפוח כחול 1. מה תגיד על מערכת האקסיומות? א. לא יכול להיות תפוח כחול (ניתן להוכיח במערכת האקסיומות שלנו, שההגדרה הזאת מובילה לסתירה, ולכן התפוח לא יכול להתקיים). זה מונע את הפרדוקס. ב. מערכת האקסיומות אינה עקבית, ויש להחליף אותה. ג. אין שום בעיה עם קיומה של סתירה כי <הכנס כאן הסבר כרצונך עם XOR ו-AND (אין צורך לפרט)>. ד. אחר (פרט). 1 ונוסיף עוד הנחה קטנה: ניתן להוכיח במערכת, שאם ניתן להוכיח בה טענה כלשהי וגם את שלילתה, ניתן להוכיח בה כל טענה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מרחב הקיום המבוסס על סינתיזה בין הפכים, אינו מגיע לידי סתירת האלמנטים הקיימים בו, כי הסינתיזה הינה *תמיד* תוצר של פתרון קונסטרוקטיבי בין הפכים. בקיצור אייל צעיר, עדיין לא הזזת את עצמך מעולם המושגים הנובע מלוגיקת הסתירה בין הפכים, ואין שום סיכוי שתבין את מושג הסינתיזה ע"י בחינתה מדקונסטרוקציה (סתירה) בין הפכים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה חושב שיש שתי טענות שלא ניתן או שלא צריך ליצור סינתזה ביניהן? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"אתה חושב שיש שתי טענות שלא ניתן או שלא צריך ליצור סינתזה ביניהן?" מצטער לא הבנתי אותך. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני אנסה לשאול זאת אחרת: *למה* צריך בכלל ליצור סינתזה בין הטענה "קיימת קבוצת ראסל" לטענה "לא קיימת קבוצת ראסל"? איך זה מסתדר עם העובדה שאתה (כמוני, וכמו כל אחד אחר) לא מקבל את הטענה הראשונה? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם לא-קיים הוא ריקנות מוחלטת וקיים הוא מלאות מוחלטת, אז הסינתיזה שבין מצבי קיצון אלה הינה אלנמטים המשלבים מלאות (רצף) וריקנות (בדידים). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
א. "לא קיימת קבוצת ראסל" זו טענה שאומרת שאולי קיימות המון-המון קבוצות אחרות, אבל לא חשוב כמה תחפש, לא תמצא ביניהם את קבוצת ראסל. אין קשר לריקנות מוחלטת. כנ"ל לגבי הטענה הנגדית. ב. זה לא עונה על השאלה *למה* צריך סינתזה בין ריקנות למלאות. קל וחומר שזה לא עונה על השאלה למה צריך סינתזה בין הטענות "יש קבוצת ראסל" ו"אין קבוצת ראסל". ג. מה הקישור שיצרת בין ריקנות ובדידיות? חשבתי שאלה שני דברים נפרדים לחלוטין. {} ו-{.} הם שני אטומים נפרדים לחלוטין, לא?! ד. האם יש עוד אלמנטים מלבד התודעה, שמשלבים רציפות ובדידיות? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אייל צעיר, הנה ציטוט מתגובה 327731 שלך: "בעולם המתמטי של היום, לא זו בלבד שהכל מבוסס על אקסיומות יציבות, אלא שגם דרך ההיקש שלנו פורמלית לחלוטין." איזה אקסיומות יציבות ואיזה נעליים? אקסיומת-הקיום של הקבוצה-הריקה מניחה כי הקבוצה הריקה קיימת ללא תלות באקסיומת-הקיום (הכמת "לכל" פועל על הקבוצה-הריקה במנותק מאקסיומת-הקיום שלה) או במילים אחרות, הנחת המבוקש היא הבסיס המכונן של אקסיומה זו, כפי שהראיתי בבירור בדיון זה. בו ונבחן "הנחת המבוקש" נוספת הקיימת בבסיס אקסיומת ZF נוספת: The axiom of extensionality: מכיוון שאקסיומה זו קובעת את הייחודיות של קבוצה ע"י איבריה, ניתן לנסח אותה גם בדרך הבאה:Given any set A and any set B, A is equal to B if and only if, given any set C, C is a member of A if and only if C is a member of B. what the axiom is really saying is that two sets are equal iff they have precisely the same members. The essence of this is: A set is determined uniquely by its members. A ו- B הן קבוצות שונות אם ורק אם קיימת קבוצה C ב-A ולא ב-B , או ב-B ולא ב-A . אך כדי לזהות את C בתוך A או את C בתוך B , אנחנו מניחים כי שאר אברי B או A (אם B או A קבוצות לא ריקות) שונים זה מזה ושונים מ-C . אך הריי ייחודיות זו אמורה להיות מוגדרת ע"י The axiom of extensionality , ועתה אנו מגלים כי אקסיומה זו מבוססת על "הנחת המבוקש" של הגדרת יחודיות של קבוצה ע"י קיום מראש של יחודיות בין איבריה, כאשר איבריה הן קבוצות. במילים אחרות יש לנו כאן הגדרת יחודיות ע"י שימוש ביחודיות, או בקיצור: הנחת המבוקש. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"אך כדי לזהות את C בתוך A או את C בתוך B , אנחנו מניחים כי שאר אברי B או A (אם B או A קבוצות לא ריקות) שונים זה מזה ושונים מ-C." לא נכון. וחובת ההוכחה מוטלת עליך. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"לא נכון. " נכון ועוד איך ! |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
האייל האלמוני מתגובה קודמת הוא אני. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא יודע למה צריך "לזהות את C בתוך A". אני לא מכיר פעולה כזאת, "לזהות" איבר בקבוצה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
איך תדע עם C איננה ב-A אם אינך מסוגל להבדיל בינה לבין איברים נוספים הכלולים בה? The axiom of extensionality אמורה לאפשר הבחנה זו, אך היא משתמשת ביכולת הבחנה כדי להגדיר יכולת הבחנה, וזוהי כמובן טענה מעגלית והנחת המבוקש. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם תרשה לי להתערב, אני מאמין שדורון חושב שהאקסיומה הנ"ל מגדירה את יחס השוויון. מה שהוא לא מבין הוא שהשוויון תמיד מוגדר כזהות (כלומר A=B אםם A ו B הם אותו איבר). האקסיומה הזו רק אומרת משהו על היחס בין שוויון לבין שייכות. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"אני מאמין שדורון חושב שהאקסיומה הנ"ל מגדירה את יחס השוויון" אמונתך לא תעזור לך במקרה זה, כי אני טוען להגדרה מעגלית באקסיומה המגדירה הבחנה, ע"י השימוש בהבחנה. אני מציע שתקרא בזהירות את תגובה 340066 ואז תבין כי איני מדבר על מושג השיוויון, אלא על הנחת המבוקש הנובעת מהגדרת הבחנה ע"י שימוש ביכולת ההבחנה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כן, אבל אתה טועה. אם אני מבין אותך נכון, כשאתה אומר "להבחין", אתה מתכוון: לדעת אם X שונה מ Y. ולכן אתה כן מדבר על מושג השוויון (כי "שונה" = "לא שווה"). לכן האקסיומה הזו לא מגדירה את ההבחנה, שכן היא כבר מוגדרת. היא פשוט אומרת משהו על אותה הבחנה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"כן, אבל אתה טועה. אם אני מבין אותך נכון," אינך מבין כי אקסיומה זו אינה עוסקת בשיוויון או באי-שיוויון בין קבוצות, אלא ביחודיות של איברי קבוצות, כפי שנאמר בבירור ב-http://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_extensionality : A set is determined uniquely by its members ולכן אומר זאת שוב:מכיוון שאקסיומה זו קובעת את *הייחודיות* של קבוצה ע"י איבריה (ואיננה מוגבלת לשיוויון או לאי-שיוויון בין קבוצות) ניתן לנסח אותה גם בדרך הבאה: A ו- B הן קבוצות *שונות* אם ורק אם קיימת קבוצה C ב-A ולא ב-B , או ב-B ולא ב-A . אך כדי לזהות את C בתוך A או את C בתוך B , אנחנו מניחים כי שאר אברי B או A (אם B או A קבוצות לא ריקות) שונים זה מזה ושונים מ-C . אך הריי ייחודיות זו אמורה להיות מוגדרת ע"י The axiom of extensionality , ועתה אנו מגלים כי אקסיומה זו מבוססת על "הנחת המבוקש" של הגדרת ייחודיות של קבוצה ע"י קיום מראש של ייחודיות בין איבריה, כאשר איבריה הן *קבוצות*. במילים אחרות יש לנו כאן הגדרת יחודיות ע"י שימוש ביחודיות, או בקיצור: *הנחת המבוקש*. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הנח או אל תנח? אתנחתה קומית | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
דורון: A ו- B הן קבוצות *שונות* אם ורק אם קיימת קבוצה C ב-A ולא ב-B , או ב-B ולא ב-A . אני: נכון, ולכן זו אקסיומה שעוסקת בשוויון בין קבוצות. הנה, אתה השתמשת במפורש במילה "שונות", ואפילו הדגשת אותה. דורון: אקסיומה זו אינה עוסקת בשיוויון או באי-שיוויון בין קבוצות, אלא ביחודיות של איברי קבוצות. אני: מה זה יחודיות של אברי קבוצות? דורון: אך כדי לזהות את C בתוך A או את C בתוך B , אנחנו מניחים כי שאר אברי B או A (אם B או A קבוצות לא ריקות) שונים זה מזה ושונים מ-C. אני: אבל זה לא קשור לאקסיומה, כבר כשאמרת את המילה "שאר" ברור שהאיברים הנ"ל שונים מ C (למשל במשפט "יוסי ילד נחמד, שאר הילדים לא כל כך" הכוונה במילה שאר היא הילדים השונים מיוסי). וכשאתה אומר איברים, ברור שאתה מתכוון שהם שונים זה מזה, אלא אם הם שווים. (למשל, במשפט הקודם, ברור שהילדים שונים זה מזה). דורון: אך הריי ייחודיות זו אמורה להיות מוגדרת ע"י The axiom of extensionality , ועתה אנו מגלים כי אקסיומה זו מבוססת על "הנחת המבוקש" של הגדרת ייחודיות של קבוצה ע"י קיום מראש של ייחודיות בין איבריה, כאשר איבריה הן *קבוצות*. אני: לא נכון, שוויון ושוני מוגדרים בכל המודלים בדיוק באותו אופן - כזהות וחוסר זהות בהתאמה. דורון: ? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא הבנת את תגובתי הקודמת, שבה נאמר בפירוש כי ה-axiom of extensionality מגדירה את הייחודיות של קבוצות עפ"י איבריהן, כאשר ייחודיות היא שילוב של זהות ושונות, אך אנו מבחינים בין איברי הקבוצות ללא כל קשר לקיומה או אי-קיומה של האקסיומה הנ"ל, ולכן אקסיומה זו מבוססת על הנחת המבוקש, כאשר ההנחה היא קיום ייחודיות בין איברי קבוצות על ידי שילוב בין זהות לשונות. "שילוב בין זהות לשונות" הינו למעשה "ייחודיות", ולכן הנחת קיום הייחודיות של אבריי קבוצה מבוססת על המושג המבוקש, ולכן ה-axiom of extensionality מבוססת על *הנחת המבוקש*. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ועוד אוסיף ואומר כי "שווה" ו-"זהה" אינם אותו הדבר, לדוגמא: a =|{1,2,3}| אך a אינו זהה ל-b
b =|{4,5,6}| |a|=|b| |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תיקון לתגובה קודמת: a ={1,2,3} אך a אינו זהה ל-b .
b ={4,5,6} |a|=|b| |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אין ספק שבתגובה הזו הוכחת מבחינתי סופית שאו שאין לך שום הבנה במתמטיקה או שיש לך ואתה דמגוג סוג ד'. כתוצאה מכך אני מפסיק להכנס לדיון הזה. (מה שכתוב שם זה שהגודל של a זהה לגודל של b. זה כמו שתכתוב מקום=place אבל ק לא שווה ל-l). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"זה כמו שתכתוב מקום=place אבל ק לא שווה ל-l)." בשום אופן לא. הסימון לשיוויון הוא: ___ ___ הסימן לזהות הוא: ___ ___ ___ האח של סמיילי כתב: "שוויון ושוני מוגדרים בכל המודלים בדיוק באותו אופן - כזהות וחוסר זהות בהתאמה." מתוך דבריו אלה נובע כי אין הוא מבחין בין *זהות* *לשיווין*, ולכן הדגמתי את ההבדל על הקבוצות a ו-b , כאשר הקרדינל של a והקרדינל של b *שווים*, אך a ו-b *אינם זהים*, כך שלדבר על זהות ושיוויון כאילו זה אותו מושג הינו חוסר הבנה בסיסי במתמטיקה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תהיה רציני. אם הקרדינל של a והקרדינל של b שווים, וזהות ושיוויון הם מושגים זהים, אז המסקנה היא שהקרדינל של a והקרדינל של b זהים, לא שa וb זהים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
a אינו זהה ל-b, כי a אינו שווה ל-b. |a| זהה ל-|b|, כי |a| שווה ל-|b|. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"a אינו זהה ל-b, כי a אינו שווה ל-b. |a| זהה ל-|b|, כי |a| שווה ל-|b|." בקיצור, אתה אומר כי לזהה ושווה יש אותו מובן בשפת המתמטיקה המודרנית. היות ושפתי עשירה יותר, אני אומר שזהות קיימת רק בין אלמנט לעצמו, בעוד ששיוויון מבוסס על תכונה משותפת (כמו קרדינל למשל) בין אלמנטים שונים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אין שיוויון בין אלמנטים שונים. |a| ו-|b| הם אותו אלמנט, שהוא המספר 3. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
|a|, |b| ו-3 הם לא אותו האלמנט, אלא שלושה אלמנטים שונים בעלי תכונה (כמותית) משותפת. באופן דומה לכך ש-1+1 לא זהה ל-2, אבל כן שווה ל-2. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
קיוויתי שאף אחד לא יזכיר את 1+1. אז קיוויתי. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מוהאהאהאהאהא. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זהות היא חפיפה מוחלטת בין מספר אלמנטים המובילה אותנו *בהכרח* למסקנה כי אנו עוסקים באלמנט אחד ויחיד. שיוויון הוא חפיפה חלקית בין אלמנטים *שונים* המקיימים תכונה או מספר תכונות משותפות. אביב נתן דוגמאות מצוינות לכך, ואני אוסיף משלי. פיז'ו אדומה ומיץ פטל חולקים תכונה משותפת שניתן לכנותה "אדומיות", אך אין להסיק מכך כי יש זהות בין פיז'ו למיץ פטל. במצב זה אנו אומרים כי יש שיוויון בין פיז'ו למיץ פטל אך אין זהות ביניהם. התעלמות מהשייכות של ה"אדומיות" לפיז'ו ולמיץ פטל שקולה לאמירה "אדומיות" זהה ל-"אדומיות", אך אז אין אנו עוסקים בתכונה משותפת בין אלמנטים שונים (מה שאני מכנה כ-"שיוויון") אלא בזהות של "אדומיות" לעצמה, במנותק מכל שייכות לאלמנט כלשהו. לסיכום, זהות היא התייחסות של אלמנט לעצמו ולעצמו בלבד, ושיוויון הינה חפיפה חלקית בין אלמנטים *שונים*. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא, אין בשום אופן שיוויון בין פיז'ו למיץ פטל. יש שיוויון בין ה*צבע* של פיז'ו ל*תבע* של מיץ הפטל. הצבע של הפיז'ו *זהה* לצבע של מיץ הפטל. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ברגע שאתה מתייחס לצבע ואך ורק לצבע, אז ורק אז אתה יכול להגיד ש-"אדומיות זהה ל-"אדומיות" ולכן אין כל משמעות למשפט "הצבע של ...". ברגע שהאדומיות מובנת כ"צבע של ..." הרי שהיא תכונה משותפת *חלקית* של שני אלמנטים *שונים* ולכן ניתן לומר אליה כי היא תכונה שווה לשניי אלנמטים *שונים*. האם ההבדל בין זהות לשיוויון מובן על-ידך? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
האייל האלמוני בתגובה קודמת הוא אני. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם שני אלמנטים לא זהים, הם גם לא שווים. יכולים להיות שני אלמנטים שונים, שתכונה מסוימת שלהם זהה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
''אם שני אלמנטים לא זהים, הם גם לא שווים'' ''תודה'' שאתה מתעלם ממה שאני כותב. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני "מודה", אבל לא מודה. (גם) בתגובה 342181 אתה מראה שאתה חושב שאם לשני אובייקטים יש תכונה משותפת כלשהי, אז הם שווים. הם לא. עד עכשיו לא הראית שום דוגמה למצב שבו שני אובייקטים 1 זהים אבל לא שווים או להיפך. 1 האובייקטים *עצמם*, לא תכונות חלקיות שלהם. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"אתה מראה שאתה חושב שאם לשני אובייקטים יש תכונה משותפת כלשהי, אז הם שווים." אם כך אתה כותב, אז עדיין לא הבנת את שאני כותב בנדון, ומה שאני כותב הוא זה: שים לב שאינני מדבר על שניי האלמנטים אלא על תכונת "האדומיות" ומתי אנו משתמשים ביחס אליה במושגים זהה ושווה, הנה דברי והפעם קרא נא אותם לפני שאתה מגיב: ברגע שאתה מתייחס לצבע ואך ורק לצבע, אז ורק אז אתה יכול להגיד ש-"אדומיות זהה ל-"אדומיות" ולכן אין כל משמעות למשפט "הצבע של ...". ברגע שהאדומיות מובנת כ"צבע של ..." הרי שהיא תכונה משותפת *חלקית* של שני אלמנטים *שונים* ולכן ניתן לומר אליה כי היא תכונה שווה לשניי אלנמטים *שונים*. בדיוק באותה מידה אם a={1,2,3} ו-b={4,5,6} (ונסלח לממשק המשתמש שח האייל-הקורא) , אז הקרדינל השייך להם הוא תכונה חלקית של שתיי קבוצות שונות ולכן הקרדינל של a *שווה* לקרדינל של b , ואילו 3 *זהה* ל-3 ללא כל קשר להיותו משמש כקרדינל לשתיי קבוצות שונות. האם ההבדל בין זהות לשיוויון מובן לך? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
>אם כך אתה כותב, אז עדיין לא הבנת את שאני כותב בנדון או שאתה לא יודע להסביר ואז כל מה שאתה צריך לעשות זה לשכור שרותי יחצנות טובים או שאין מה להסביר ואז אתה צריך אמרגן טוב למופע סטנד-אפ |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אוי טעית. בקשר לטרחנים כפייתיים כמוני יש רק מסקנות אינסופיות. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לשאלתך האחרונה: לא. כל שני אובייקטים שווים הם זהים, וכל שני אובייקטים זהים הם שווים. אם כך, שני המושגים זהים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
דורון: לא הבנת את תגובתי הקודמת אני: כן הבנתי. דורון: ייחודיות היא שילוב של זהות ושונות. אני: מה? דורון: אקסיומה זו מבוססת על הנחת המבוקש, כאשר ההנחה היא קיום ייחודיות בין איברי קבוצות על ידי שילוב בין זהות לשונות. אני: לא נכון, אין כזאת הנחה. מה שאתה קורא "הבחנה בין איברי קבוצות" הוא פשוט התנאי X שונה מ Y. שונה משמעותו לא זהה. דורון: ועוד אוסיף ואומר כי "שווה" ו-"זהה" אינם אותו הדבר, לדוגמא: a ={1,2,3} אך a אינו זהה ל-bb ={4,5,6} |a|=|b| אני: אתה רציני? כל מה שהראית זה שהגודל אינו קובע את התוכן של קבוצה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"אתה רציני? כל מה שהראית זה שהגודל אינו קובע את התוכן של קבוצה." קרא נא את תגובה 340989 . מה שהראתי הוא ששיוויון וזהות הם שני מושגים שונים במתמטיקה, והדגמתי זאת על ידי אי-הנרדפות של מושגים אלה, כאשר הם מיוחסים לשתיי קבוצות. בקיצור, שיוויון אינו מחייב זהות אך זהות מחייבת שיוויון, ולכן שיוויון הינו תנאי חלקי לזהות. ה-axiom of extensionality אינה עוסקת בזהות או שונות כמושגים נפרדים, כי רק שילובם מאפשר קביעת ייחודה של קבוצה עפ"י אבריה. נסה נא *לזהות שונות* (לקבוע ייחודיות) ללא שילוב המושגים *זהה* ו-*שונה*. שילוב זה הינו *הכרחי* לקביעת תוכנה היחודי של קבוצה, והוא אינו תלויי כלל ועיקר באקסיומה שכביכול "מגדירה" אותו. אי-תלות זו הופכת את ה-axiom of extensionality למיותרת בתכלית (האקסיומה הזו "מגלה את אמריקה"). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
דורון: מה שהראתי הוא ששיוויון וזהות הם שני מושגים שונים במתמטיקה, והדגמתי זאת על ידי אי-הנרדפות של מושגים אלה, כאשר הם מיוחסים לשתיי קבוצות. אני: אולי הראית את זה, אבל מה לעשות שזה פשוט לא נכון. דורון: קרא נא את תגובה 340989 . אני: קראתי. ועכשיו למה שהמתמתיקה המודרנית חושבת: הסימן "=" מסמל זהות. תמיד. הסימן של שלושה קוים מסמל יחס שקילות כלשהו, בהתאם להקשר. למשל 3 שווה 5 מודולו 2. כאן השוויון יסומן בשלושה קווים, אבל זה לא באמת שוויון, כי הם לא זהים. לעומת זאת, בשדה Z מודולו 2Z אפשר לכתוב 3=5, כי הם אותו איבר - 1. דורון: אי-תלות זו הופכת את ה-axiom of extensionality למיותרת בתכלית (האקסיומה הזו "מגלה את אמריקה"). אני: אבל בלי האקסיומה הזו קשה להבין את הקשר בין יחס השוויון לבין יחס השייכות. חוץ מזה, קל למצוא קבוצות שלא חושבות שאקסיומה זו מתקיימת בהן. למשל A={{1},{2}} ברור ש {1} שונה מ {2} אבל אין איבר ב A שמבדיל ביניהם.
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"אני: אבל בלי האקסיומה הזו קשה להבין את הקשר בין יחס השוויון לבין יחס השייכות. חוץ מזה, קל למצוא קבוצות שלא חושבות שאקסיומה זו מתקיימת בהן. למשל A={{1},{2}} ברור ש {1} שונה מ {2} אבל אין איבר ב A שמבדיל ביניהם."ב-http://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_extensionality נאמר בפירוש כי האקסיומה הנ"ל משמשת לקביעת ייחודה של קבוצה עפ"י איבריה, אך מכיוון שה-axiom of extensionality מבוססת על יכולתנו המובנית להבחין בייחודיות של קבוצה עפ"י איבריה תוך שילוב *הכרחי* של זהות ושונות, אין שום צורך להגדיר יכולת זו ע"י אקסיומה, כי אם עושים זאת הריי שאנו מסתמכים על התכונה המובנית הקיימת בנו, כדי להגדיר אקסיומה המשתמשת בתכונה זו כבסיס להגדרה שלה, ולמצב זה קוראים *הנחת המבוקש*. כמו כן לא צריך איבר שלישי כדי להבחין בין שניי אברי A ,ומצב זה נכון לכל תכולה (או אי-תכולה, במקרה של הקבוצה-הריקה) של קבוצה כלשהי. לגבי זהות ושיוויון, זהו ויכוח משני שאינו מעלה ואינו מוריד מאי-נחיצותה של ה-axiom of extensionality ואם שיוויון וזהות הם מילים נרדפות למושג אחד במתמטיקה-המודרנית, אז ניתן להבין מיד עת כמה שפה זו אינה מדוייקת, כי ברור לחלוטין שזהות חלה גם על ההרכב וגם על הקרדינל של קבוצה, בעוד ששיווין חל רק ואך ורק על הקרדינל. הבחנה זו היא קריטית לקיומה של שפה מדוייקת. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
דורון: לגבי זהות ושיוויון, זהו ויכוח משני שאינו מעלה ואינו מוריד מאי-נחיצותה של ה-axiom of extensionality ואם שיוויון וזהות הם מילים נרדפות למושג אחד במתמטיקה-המודרנית, אז ניתן להבין מיד עת כמה שפה זו אינה מדוייקת, כי ברור לחלוטין שזהות חלה גם על ההרכב וגם על הקרדינל של קבוצה, בעוד ששיווין חל רק ואך ורק על הקרדינל. אני: חושב אני שהבנתי סוף סוף את מה שאתה לא מבין. במתמתיקה מותר לשים סימן שוויון גם בין אוביקטים שאינם מספרים, כגון קבוצות (למעשה כל האובייקטים הם קבוצות). דורון: .... ולמצב זה קוראים *הנחת המבוקש*. אני: נכון שהאקסיומה הזו מאוד טבעית, וברור שבאופן טבעי אתה חושב שקבוצה אמורה להקבע על ידי התכולה שלה. עם זאת זה לא אומר שלא צריך להוסיף אותה לאקסיומות, או שהיא "מניחה את המבוקש" (את זה אני פשוט לא מבין - זו אקסיומה, לא טענה, היא לא "מבקשת" דבר). עכשיו כשאתה מבין מה זה שוויון תוכל להבין שבדוגמא שנתתי אקסיומה זו אינה מתקיימת. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"חושב אני שהבנתי סוף סוף את מה שאתה לא מבין. במתמתיקה מותר לשים סימן שוויון גם בין אוביקטים שאינם מספרים, כגון קבוצות (למעשה כל האובייקטים הם קבוצות)." כפי שאני טוען, יש להבחין קטגורית בין זהות שבה אנו עוסקים באותו אלמנט עצמו, לבין שיוויון, שבו אנו עוסקים בשניי אלמנטים שונים. אם a הוא {1,2,3} ו-b הוא {4,5,6} אז אין ביניהם זהות אך יש ביניהם שיוויון בערכו של הקרדינל שלהם, שזוהי תכונה חלקית של a ו-b . שתיי קבוצות הן זהות (הן למעשה אותו אלמנט) אם ורק אם יש התאמה מוחלטת בין תכונותיהן. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
האייל הלמוני מתגובה קודמת הוא אני. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
דורון: שתיי קבוצות הן זהות (הן למעשה אותו אלמנט) אם ורק אם יש התאמה מוחלטת בין תכונותיהן. אני: שתי קבוצות הן שוות (הן למעשה אותו אלמנט) אם ורק אם יש התאמה מוחלטת בין תכונותיהן. דורון: אם a הוא {1,2,3} ו-b הוא {4,5,6} אז אין ביניהם זהות אך יש ביניהם שיוויון בערכו של הקרדינל שלהם, שזוהי תכונה חלקית של a ו-b . אני: ולכן הם לא שווים! |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"ולכן הם לא שווים!" הבדל בין זהות לשיוויון באריתמטיקה: 2 זהה ל-2 2 שווה (אך אינו זהה) ל- 1+1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"עכשיו כשאתה מבין מה זה שוויון תוכל להבין שבדוגמא שנתתי אקסיומה זו אינה מתקיימת." שוב: The axiom of extensionality: בשורה תחתונה, האקסיומה הנ"ל קובעת שייחודה של קבוצה נקבעת עפ"י איבריה, אבל איבריה של קבוצה (לפי ZF) תמיד מובחנים זה מזה ללא תלות בקיומה של האקסיומה, ולכן יכולת ההבחנה המוגדרת ע"י האקסיומה, נובעת מיחודיות איבריה ולא מקיומה של האקסיומה, ולכן אקסיומה זו מגדירה ייחודיות על ידי שימוש בייחודיות.
Given any set A and any set B, A is equal to B if and only if, given any set C, C is a member of A if and only if C is a member of B. what the axiom is really saying is that two sets are equal iff they have precisely the same members. The essence of this is: A set is determined uniquely by its members. |
|
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |