בתשובה לדורון שדמי, 28/09/05 12:04
 |
|
 |
||
|
||||
 |
בוא ונחדד עוד יותר את ההסבר: אלמנטרי (הגדרה): ישות יסודית, שאי-קיומה מונע את קיומם של אלמנטים המורכבים ממנה (תרתי משמע). ועכשיו דוגמאות והסברים: דוגמא 1: אם {} לא קיימת, אז {{}} בהכרח לא קיימת. הסבר לדוגמא 1: אם {} אינה קיימת ב-{{}} אז {{}} אינו אלא {}, אך {} לא קיימת לכן {{}} אינה יכולה להתקיים ללא {} כאלמנט יסוד שלה. דוגמא 2: אם {{}} לא קיימת , לא נובע בהכרח ש-{} לא קיימת. הסבר לדוגמא 2: אם אנו מסירים את הסוגריים החיצוניים של {{}}, {} קיימת, ולכן קיום {} אינו תלוי בקיום {{}}. מסקנה: {} הינה קבוצה אלמנטרית ואילו {{}} הינה קבוצה מורכבת. |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
כלומר A יותר אלמנטרית מ- B אם ורק אם A מוכלת ב- B (אפשר גם להגדיר עם שייכות במקום הכלה), למה להמציא מושג חדש? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה קצת יותר מסובך. הצעה לדורון (הגדרה מסודרת ל"אלמנטרי"). ראשית, נאמר שקבוצה x היא "מרכיב" של קבוצה y, אם קיימת סדרה **סופית** של קבוצות y1,y2,...,yn, כך ש- y1 איבר של y, ו- y2 איבר של y1, ו- y3 איבר של y2 וכו', עד ל- yn שהוא איבר של (y(n-1 ו- x שהוא איבר של yn. למשל, כל איבר של קבוצה הוא "מרכיב" שלה, וגם כל האיברים של האיברים, וכן הלאה. (לתהליך הזה שבו היחס "מרכיב" נולד מתוך היחס "שייך" קוראים "סגור טרנזיטיבי" (בחולם)). כעת, דורון מגדיר "קבוצה אלמנטרית" בתור "קבוצה שהיא מרכיב בכל קבוצה לא ריקה" (כדאי להרהר לרגע מה זה אומר). בתגובה 333100 הוא שואל (בעצם) שתי שאלות: 1. האם הקבוצה הריקה היא אלמנטרית? 2. האם יש עוד קבוצות אלמנטריות? לשאלה השניה, כמובן שלא: המרכיב היחיד של {{}} הוא הקבוצה הריקה. לגבי השאלה הראשונה, נדמה לי שהתשובה שלילית, אבל בשלב הזה קצת מוקדם לעלות עם חד-אופן על חבל מתוח. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מה דעתך על ההגדרה הזו למרכיב: x הוא מרכיב של y אם הוא איבר של y או איבר של מרכיב של y. בפרט, האם ההגדרה הזו "חזקה יותר" (כלומר, מאפשרת סדרה לא סופית) ואם כן, האם זה רע/לא תואם את מה שדורון מדבר עליו? בקשר ל-1, תוכל להסביר את כיוון המחשבה שלך? אם בונים בצורה פורמלית את כל הקבוצות בעזרת הקבוצה הריקה, נראה לי שהיא כן תהיה מרכיב בכל קבוצה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
(הדגמה לזה שמתמטיקאים מתחמקים מעיסוק בהגדרות עקרוניות) זו לא הגדרה מוצלחת, כי היא רקורסיבית (אתה מגדיר "מרכיב" במונחי אותו מושג). בהקשרים מסויימים זה רעיון מצוין1, אבל בתור כלל אצבע, הייתי אומר שאפשר להשתמש בהגדרות כאלה רק כשברור שאפשר להסתדר גם בלעדיהן; מצד שני, אם *אפשר* להסתדר בלעדיהן, אז הגדרות רקורסיביות הן כלי מאד מוצלח ואלגנטי. בעצם אתה לא מגדיר את המושג "מרכיב" (רקורסיביות, כאמור), אלא נותן קריטריון, אילו יחסים נחשבים ל"יחסי מרכיבות": "יחס מרכיבות הוא יחס שבו x מתייחס ל- y אם ורק אם הוא איבר של y, או מתייחס לאיבר של y" (כאן אין שום רקורסיביות, כי היחס עומד "מחוץ" להגדרה). כעת אפשר להוכיח שחיתוך של אוסף יחסי מרכיבות גם הוא יחס מרכיבות, ואז אפשר להתבונן ביחס המרכיבות הקטן ביותר. הפלא ופלא - זה היחס "מרכיב" שאני הגדרתי... 1 למשל: הדוגמא הראשונה שהתגלתה לחבורה (נוצרת סופית) עם גידול2 שאיננו פולינומיאלי וגם איננו אקספוננציאלי, נראית בערך כך: זוהי החבורה שנוצרת על-ידי האיברים a,b,c,d, כאשר a=(1,b), b=(c,1), c=(d,d), d=(1,a). 2 חבורה היא הרי אוסף של מכפלות (תמיד סופיות) של ה"יוצרים" שלה, אלא שבדרך כלל יש כפילויות, למשל abab=baba. ב"גידול" הכוונה היא לשאלה כמה מהר גדלה הפונקציה (f(n שסופרת כמה איברים שונים יש מאורך n.
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא הבנתי את כלל האצבע. יש כל מיני סדרות שמוגדרות רק ע"י הגדרה רקורסיבית. למשל: A(n) = 3A(n-1) + 1 .... for A(n-1) odd וכאן לא ידועה נוסחא לא רקורסיבית לאיבר ה n . ונניח שיצליחו להוכיח שבסדרה הזו (או סדרה דומה) לא קיימת נוסחא לא רקורסיבית לאיבר ה n. למה זה בעיה?
A(n) = 1/2 * A(n-1) .... for A(n-1) even |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה מגדיר את (A(n לפי (A(n-1 - עם זה אין שום בעיה. (דיברתי על הגדרה של מושג או של אובייקט). (דוגמא להגדרה רקורסיבית: "A הוא המספר השלם הקטן ביותר שגדול מ- A/2+3"). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
גם בדוגמא שלך, לא הבנתי למה הרקורסיביות היא בעייתית (אני מבין שזה רק כלל אצבע, אבל בכל זאת). נדמה לי שאפשר לנסח את ההגדרה הרקורסיבית הזו בתור שני אי שיוויונים - ואני לא רואה שום דבר בעייתי במערכת אי שיוויונים, אפילו אם אותו משתנה מופיע בשני האגפים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מצויין. למה שווה A? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
7, לא? אני לא כל כך מצליח לראות את הבעיה שבהגדרה הרקורסיבית שלי שהתחילה את הכל, רק בגלל שיש לה הפניה עצמית. הרי איך "משתמשים" בה? לא אומרים על דברים "זה מרכיב כי בא לי", אלא מסתכלים על הדברים שאנחנו בטוחים במאה אחוזים שהם מרכיב: כל האיברים של y. אחרי שיש לנו את המרכיבים ה"בטוחים" הללו אנחנו בודקים אילו עוד מרכיבים אנחנו מכירים - ועכשיו אנחנו יכולים לקחת את כל האיברים של המרכיבים ה"בטוחים", וכן הלאה וכן הלאה. להבדיל אלף אלפי הבדלות, אם אני זוכר נכון גם ההגדרה של קונווי למספר היא רקורסיבית, וגם הוא מתחיל את הבניה מהמקרה היחיד שבו הוא יודע שמשהו הוא מספר על בטוח - על ידי שימוש בשתי קבוצות ריקות של מספרים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אולי 8? (זה באמת המספר השלם הקטן ביותר שגדול מ- 8/2+3). השיפוץ שאתה מציע עכשיו הוא בעצם להגדיר סדרה של יחסים (שייך, שייך לאיבר, שייך לאיבר של איבר, ...) ולהגדיר את "מרכיב" בתור האיחוד שלהם. זה בסדר, ו*לכן* במקרה הזה מותר להשתמש ב"הגדרה" שהצעת. היא באמת יותר אלגנטית (ושוב, אלגנטיות זה קריטריון מצוין, בתנאי שעומדים על קרקע יציבה). גם אצל קונווי, ההגדרה של משחק בתור זוג סדור של קבוצות של משחקים היא בחצי-קריצה. הוא לא היה משתמש בה אלמלא הפיגום של הסודרים שמאפשר להגדיר את כל המשחקים באינדוקציה טרנספיניטית, כאשר משחק מדור i+1 מוגדר בתור זוג סדור של קבוצות מדור קודם (עם הגדרה מתאימה לסודרים שאינם עוקבים). גם כאן, המושג "משחק" אינו בא לעולם עד שהגדרנו "משחק מדור 0", "משחק מדור 1", וכן הלאה. "משחק" *מוגדר* בתור "משחק מאיזשהו דור". |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
7/2+3 זה לא שש וחצי, שקטן משבע? שאר הדברים שלך מקובלים עלי, אבל איפה יש הגדרה שהיא רקורסיבית "ממש", בלי בסיס? הרי כבר בכיתה א' מלמדים אותנו שרקורסיה חייבת לבוא עם בסיס. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בדיוק: 7 הוא המספר השלם הקטן ביותר שגדול מ7/2+3. שים לב גם שאתה שאלת את עוזי (בהקשר של ההגדרה הרקורסיבית של קונוויי) על מספרים והוא ענה לך על משחקים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה בסדר, כי אצל קונווי ההגדרה של ''מספר'' היא מקרה פרטי של ''משחק'', שמוגדר כמו מספר רק עם פחות מגבלות. לך תבין. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זהו, שאין. ''הגדרה רקורסיבית'' זה אוקסימורון, אלא אם היא בת-תיקון, שאז זה קיצור ל''תאור אלגנטי שבא במקום ההגדרה (אותה אפשר להבין מתוך ההקשר)''. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
רקורסיה, אם לא נקבע אחרת, מתחילה מפשטות מירבית ופשטות מירבית מוסברת בקצרה בתגובה 333996 |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא הבנתי למה זה רלוונטי מהו A. אם הייתי מגדיר את A בתור A=A+1 לא היה שום A שעונה על המשוואה - ועדיין אני לא רואה כאן מה הבעיה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הבעיה היא שהכביכול-הגדרה הזו משאירה אותנו בחוסר ודאות לגבי A שאותו היא מבקשת להגדיר במדוייק. עוזי הביא את זה כדוגמא לבעייתיות בהגדרות רקורסיביות כמו זו היפה שגדי הציע. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אוקי, הבנתי. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בשפה לא-פורמלית ניתן לומר כי מרכיב שאינו מורכב הינו בהכרח אלמנטרי. האם יש ספק בקשר לאי-המורכבות של ריקנות מוחלטת (= אי-תכולת הקבוצה-הריקה)? לעניות דעתי התשובה היא לא, אך לקבוצה-הריקה קיימת קבוצה הופכית שאני מכנה אותה הקבוצה-המלאה, ותוכן הקבוצה-המלאה הינו רצף מוחלט אשר אינו מאפשר קיום של מרכיב זולתו, ולכן הקבוצה-המלאה הינה קבוצה אלמנטרית. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מה הקבוצה ההופכית של הקבוצה {1}? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
{אף 1} | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לאיבר באוסף יש מרכיב משלים ל-0 אך השלמה זו אינה מצב קיום הופכי אלא תמונת ראי, ולפי מודל תמונת הראי, המצב המשלים ל-0 של {1} הינו {1-}. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מערכת המספרים המרוכבים C (ש-R היא ציר X שלה) מאפסת עצמה ע"י "תמונות ראי" שלה. ב"רקע" C מתקיימת הקבוצה-המלאה כ-oo וב"רקע" 0 מתקיימת הקבוצה-הריקה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
המילים שאתה כותב מרכאות סביבן? אי אפשר להבין למה כוונתך בהן. תחליט - זו באמת תמונת ראי, או שזו "תמונת ראי"? אם כן, איך היא מוגדרת? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה מאוד חופשי עם ההגדרות שלך. אני לא מבין את ההגיון שמנחה אותך ב"משלים". רגע אחד זה משלים סטייל תורת הקבוצות, ורגע אח"כ משלים סטייל איבר נגדי בחוג. מה המשלים של {{}, {{}}, {{{{}}},{}}}? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
גדי, אסביר שוב, את עולם המתמטיקה-המונדית: יש שניי מצבי-יסוד בלתי מורכבים המשמשים כאי-שונות הקיומית של המתמטיקה-המונדית. מצבי-יסוד אלה הם: א) ריקנות מוחלטת. ב) מלאות מוחלטת. המתמטיקה-המונדית היא *לא פחות* מהגישור בין (א) לבין (ב), כאשר (א) ו-(ב) הם עצמאיים-הדדית (לכן השתמשתי במילה "גישור" ולא במילה "חבירה", אשר אינה מחייבת בהכרח עצמאיות-הדדית), או במילים אחרות, הם האקסיומות המכוננות את המתמטיקה-המונדית. תמונת-ראי מתקיימת רק ואך ורק בין האלמנטים שהם תוצרי הגישור בין (א) ל-(ב), לדוגמא: 1_0 (השקול ל-1 במתמטיקה רגילה) הוא תמונת ראי של 0_1 (השקול ל- 1- במתמטיקה רגילה). בקיצור, יש תלות קיום הררכית של תמונות-הראי, בעצמאיות-ההדדית של (א) ושל (ב). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"1. האם הקבוצה הריקה היא אלמנטרית? 2. האם יש עוד קבוצות אלמנטריות? לשאלה השניה, כמובן שלא: המרכיב היחיד של {{}} הוא הקבוצה הריקה. לגבי השאלה הראשונה, נדמה לי שהתשובה שלילית, אבל בשלב הזה קצת מוקדם לעלות עם חד-אופן על חבל מתוח." עוזי, מדוע אתה חושב שיש מרכיב לקבוצה-הריקה (או במילים אחרות, שהקבוצה-הריקה *איננה* אלמנטרית)? ומדוע אתה חושב שאין עוד קבוצות-אלמנטריות (מכיוון שהטלת ספק באלמנטריות של הקבוצה הריקה, אינני מבין על איזה מרכיב אתה מדבר)? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אחזור על ההגדרה (שלי): קבוצה "אלמנטרית" זו קבוצה שהיא מרכיב בכל קבוצה לא ריקה. להגדרת המושג "מרכיב", ראה ההודעה הקודמת1. ההגדרה אינה אומרת שקבוצה אלמנטרית היא קבוצה שאין לה מרכיבים (זו הגדרה די משעממת: יש רק קבוצה אחת ללא מרכיבים - הקבוצה הריקה). האם אתה משוכנע שהקבוצה הריקה היא אלמנטרית *לפי ההגדרה שלי*? זה ידרוש להוכיח שהיא מרכיב בכל קבוצה לא ריקה; הייתי שמח לראות הוכחה כזו. 1 אני יכול להבין מה מוצאים בזה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לפי ההגדרה שלך, *אין* שום קבוצה אלמנטרית, לא? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא יודע (יש רק מועמד אחד: הקבוצה הריקה). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"ההגדרה אינה אומרת שקבוצה אלמנטרית היא קבוצה שאין לה מרכיבים (זו הגדרה די משעממת: יש רק קבוצה אחת ללא מרכיבים - הקבוצה הריקה)." א) אתה טועה, גם הקבוצה המלאה {__} איננה קבוצה מורכבת, בדיוק כמו הקבוצה-הריקה {}. ב) קבוצות אלה הם ההיפוך המדוייק של שיעמום, לדוגמא: עפ"י תורת-הקבוצות האקסיומטית, קבוצה לא-ריקה אינה קיימת ללא קיומה של הקבוצה הריקה, לכן הקבוצה-הריקה היא אמת המידה המוחלטת לקביעת היחסים בין קבוצות לא-ריקות. אני תוהה מדוע התעלמת כליל מהיררכיית-קיום זו, כפי שאני מגדיר ומסביר בקצרה בתגובה 333287 המתמטיקה-המונדית הינה מרחב-הגישור בין הקבוצה-הריקה לקבוצה -המלאה, כפי שאני מסביר בקצרה בתגובה 333661 בקיצור עוזי, אינני מבין כלל מדוע אתה בוחר להתעם כליל מהיררכית-הקיום של תלות קבוצות לא-ריקות הקבוצה-הריקה? ומדוע אתה בוחר להתעלם כליל מקיום הקבוצה-המלאה וממרחב-הגישור הקיים בינה ובין הקבוצה-הריקה? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"עפ"י תורת-הקבוצות האקסיומטית, קבוצה לא-ריקה אינה קיימת ללא קיומה של הקבוצה הריקה" למה החלטת ככה? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"למה החלטת ככה?" בטל נא את אקסיומת הקיום ב-ZF , ותבין. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ביטלתי. עדיין נשארה אקסיומה לפיה יש קבוצה אינסופית. עדיין יש לי תורת קבוצות (חלשה יותר, וקצת פחות מעניינת, אבל קיימת). נניח שביטלנו גם אותה - קיבלנו מערכת שבה השאלה האם קיימת קבוצה *אינה כריעה*, ובפרט, אין הליך סופי שבמהלכו אנחנו בונים קבוצה ספציפית. זה עדיין לא מוכיח שהקבוצות *לא* קיימות. עכשיו ניקח את אותה מערכת, ונוסיף לה את אקסיומת הקיום של הקבוצה {.}. מה קיבלנו? עוד מערכת חלשה יותר 1 מ-ZF, שניתן *להוכיח* שיש בה קבוצות. אאל"ט, ניתן להוסיף למערכת אקסיומה לפיה לכל קבוצה יש איבר, ועדיין להישאר עם מערכת עקבית. מסקנה: אנחנו בהחלט יכולים לעסוק במערכת שבה הקבוצה הריקה לא קיימת, וקבוצות אחרות קיימות. אז למה אנחנו מתעקשים להתבסס רק על שתי אקסיומות קיום? כי זה נוח, ו-Because we can. 1 אאל"ט, בכל משפט בתורה שלנו נוכל להחליף את הנקודה בקבוצה הריקה, ולקבל משפט ב-ZF. לעומת זאת, ההיפך אינו נכון. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"ביטלתי. עדיין נשארה אקסיומה לפיה יש קבוצה אינסופית." אם ביטלת את קיומה של הקבוצה הריקה, אינך יכול להשתמש בקבוצה לא-ריקה, כי {.} אינו קיים ללא {} כאשר {} הינו מושג הקיבוץ בכבודו ובעצמו, הקיים לעצמו ללא כל תוכן, ומצב זה הו מצב-היסוד של עצם מושג הקבוצה. ללא מצב-יסוד זה, אין בידך תורת-קבוצות, פשוטו כמשמעו. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"{.} אינו קיים ללא {}" - זו הנחת המבוקש. אתה הצגת טענה זו, אני כתבתי תגובה בניסיון להראות לך שהיא שגויה, ואתה טענת שהטיעון שלי אינו נכון, *כי הטענה המקורית נכונה*. "{} הינו מושג הקיבוץ בכבודו ובעצמו, הקיים לעצמו ללא כל תוכן" - לא נכון. אתה אולי חושב ככה כי הסימן של הקבוצה הריקה הוא "רק סוגריים". בכך אתה מסתמך על שיטת הסימון, ומתעלם מהמהות. כפי ש*אתה* אמרת, המהות של הקבוצה הריקה לא תשתנה אם נסמן אותה כ-"{}", כ"הקבוצה הריקה", או כ-"Ø". הקבוצה הריקה היא מה שהיא, ותו לא. היא *לא* "הקיבוץ בכבודו ובעצמו". |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"{.} אינו קיים ללא {}" - זו הנחת המבוקש." לא זוהי היררכיית תלות-קיום פשוטה בתכלית. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
העובדה שהקיום של {.} תלויה בקיום של {} *היא בדיוק* הטענה המבוקשת שהנחת. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"העובדה שהקיום של {.} תלויה בקיום של {} *היא בדיוק* הטענה המבוקשת שהנחת." לא ביקשתי דבר, אלא טענתי ישירות ובגלוי כי לא ניתן לדון במושג ללא קיומו האלמנטרי המינימלי של אותו מושג. לדוגמא: זירת-משחק קיימת גם ללא משחק (לדוגמא: במה ריקה) אך משחק אינו קיים ללא זירת-משחק (לדוגמא: אי-קיום במה). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
טענת ישירות ובגלוי, אבל לא הצגת שום ראיה לכך שהקבוצה הריקה היא הקיום האלמנטרי של קבוצה. לדעתי, היה ניתן ליצור גם תורת קבוצות בלעדיה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
עיין נא בתגובה 333809 | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כבר עניתי לה. בכל אופן, אני לא מקבל את זה כמובן מאליו שהקבוצה הריקה היא המצב הבסיסי של קבוצה. אתה יודע מה? לצורך הדיון, אני כופר גם בקיומה של הקבוצה הריקה! 1 1 אחרי הכל, היא "קיימת" רק במובן אחד: כשאני מניח שהיא קיימת, נוצרת מתמטיקה מעניינת. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"בכל אופן, אני לא מקבל את זה כמובן מאליו שהקבוצה הריקה היא המצב הבסיסי של קבוצה. אתה יודע מה? לצורך הדיון, אני כופר גם בקיומה של הקבוצה הריקה! 1 1 אחרי הכל, היא "קיימת" רק במובן אחד: כשאני מניח שהיא קיימת, נוצרת מתמטיקה מעניינת." הקבוצה-הריקה היא האטום של תורת-הקבוצות האקסיומטית, ולכן אם היא לא קיימת, ZF לא קיימת. שוב, טענתך כי ZF שורדת בצורה כלשהיא ללא הקבוצה-הריקה, שקולה לטענה שגופך קיים ללא אבני-היסוד שלו. המתמטיקאים אינם עקביים בהתיחסותם לאבני-יסוד, כי מצד אחד הם מסכימים להשתמש במושג התלות בין אקסיומה למשפט הנגזר ממנה, אך ללא שום סיבה רציונלית, הם מתעלמים מהיררכיית-תלות של אלמנטים פשוטים באלמנטים מורכבים, ונותנים מעמד קיום זהה לאלמנט מורכב ולאלמנט מרכיב. במקרה של ZF, הקבוצה-הריקה היא האלמנט המרכיב (אבן-היסוד) של כל קבוצה מורכבת, וקבוצה מורכבת היא בהכרח קבוצה לא-ריקה, התלויה לחלוטין בקיומה של אבן-היסוד שלה (קרי, הקבוצה-הריקה). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"הקבוצה-הריקה היא האטום של תורת-הקבוצות האקסיומטית" - לא מדויק. יש עוד אקסיומת קיום של קבוצה, שלא עוסקת כלל בקבוצה הריקה. "לכן אם היא לא קיימת..." - לא נכון. גם אם נחליף את אקסיומת הקיום של הקבוצה הריקה באקסיומת האי-קיום של הקבוצה הריקה, נקבל ככל הנראה מערכת אקסיומות עקבית, שיש בה קבוצות (אקסיומת הקבוצה האינסופית, זוכר?). "גופך קיים ללא אבני-היסוד שלו" - המושג "הגוף שלי" יכול להיות קיים בעולם היפותטי ללא אבני היסוד שלו. ממש כך. "הם מתעלמים מהיררכיית-תלות של אלמנטים פשוטים באלמנטים מורכבים, ונותנים מעמד קיום זהה לאלמנט מורכב ולאלמנט מרכיב" - למה אתה חושב ככה? מתמטיקאים יודעים להבדיל היטב בין אקסיומה למשפט, למשל. יש גם דוגמה יותר מוצלחת: רדוקציה חישובית. זה בדיוק הדבר שאתה קורא לו "היררכיית-תלות" עבור הקיום של אלגוריתמים שמחשבים פונקציות שונות. המושג הזה אינו "תבוני" כלל - הוא ממש פורמלי. בכל אופן, מתמטיקאים אכן חוקרים אותו. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"לא מדויק. יש עוד אקסיומת קיום של קבוצה, שלא עוסקת כלל בקבוצה הריקה." אם הקבוצה-הריקה לא קיימת, אקסיומות אלה "טוחנות ריק" - פשוטו כמשמעו. "(אקסיומת הקבוצה האינסופית, זוכר?)." כדי לזכור את אקסיומת האינסוף צריך שיהיה לה איזה תוצרת, אך ללא קיום הקבוצה הזו, אין תוצרת, אז אני לא זוכר אותה. "המושג "הגוף שלי" יכול להיות קיים בעולם היפותטי ללא אבני היסוד שלו. ממש כך." אם כך הוא ישות אלמנטרית השקולה לקבוצה-הריקה בתורת קבוצות. "למה אתה חושב ככה?" כי {{}} קיים ללא תלות ב-{} עפ"י המתמטיקה הסטנדרטית. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מי אמר ש-{{}} קיימת בכלל? נ.ב. "אם הקבוצה-הריקה לא קיימת, אקסיומות אלה 'טוחנות ריק"' - שוב אתה מניח את המבוקש, בלי להציג שום טיעון שיצדיק אותו. יותר מזה: אתה מתעקש להתעלם מאקסיומה שאומרת ש*קיימת* קבוצה אינסופית. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
'' הקבוצה הריקה היא מה שהיא'' הקבוצה הריקה היא מצב הקיום הכרחי של עצם המושג ''קבוצה'', ובלעדיו אינך יכול לדון כלל במושג זה, ללא כל קשר לסימון זה או אחר. מה שאתה עושה כאן הוא דוגמא מאלפת להתעלמות מתובנה פשוטה של מושג, ובחירה בדרך מפותלת ומסובכת של הגדרות נעדרי תובנה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
איזו הגדרה הגדרתי כאן, אם יורשה לי לשאול? חוץ מזה, לגבי הטענה לפיה "הקבוצה הריקה היא מצב הקיום ההכרחי של עצם המושג 'קבוצה"', אני אכתוב שוב את מה שכתבתי בתגובה 333783: בעיני אנשים רבים, "קבוצה" היא משהו שיש בו איברים. לדעתם "מצב הקיום ההכרחי" של קבוצה הוא קבוצה בת איבר אחד. הם אפילו לא מסוגלים לראות איזו מהות יש לקבוצה שאין בה איברים. מה תגיד להם על זה? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
שוב, עייו נא בתגובה 333809 | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תגובה 333813. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"ביטלתי. עדיין נשארה אקסיומה לפיה יש קבוצה אינסופית. עדיין יש לי תורת קבוצות (חלשה יותר, וקצת פחות מעניינת, אבל קיימת)." אייל צעיר, בו ונבחן את ההגדרה: "קיימת קבוצה". מותר לנו להשתמש רק ואך ורק במידע העומד לרשותנו, ואסור לנו בשום צורה ואופן לשער השערות או להניח הנחות שאינן נובעות ישירות מהמידע העומד לרשותנו. בתנאים של מינימום אפשרי זה, ברור לחלוטין כי ההגדרה "קיימת קבוצה" מתייחסת רק לקיום מושג הקבוצה בלבד, ומינימום זה מאפשר אך ורק את קיומה של קבוצה ללא תוכן. אנלוגיה: הגדרה: "קיים תיק". לפי מידע זה אני יודע כי קיים תיק, וקיומו של התיק אינו תלוי בתכולתו. תיק שאינו תלוי בתכולתו הינו התיק לעצמו ללא תכולתו, ותיק זה הוא ללא שפק תיק ריק. כשם שתיק-ריק הוא מצב הקיום האלמנטרי של תיק, כך הקבוצה-הריקה היא מצב הקיום האלמנטרי של קבוצה, ואי-קיומה של הקבוצה-הריקה, מונע את קיומה של קבוצה, ומונע את קיומה של תורת-קבוצות. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אצלי בבית קיים תיק, ואין לי בבית אף תיק ריק 1. למה אתה מתכוון כשאתה אומר "אסור לשער השערות"? אם לא היינו יודעים שיש קבוצה ריקה, ולא היינו יודעים שיש קבוצה אינסופית האם לא היו כלל קבוצות? תשובה: שאלה זו לא הייתה ניתנת להכרעה. כלומר, אין זה נכון בהכרח ש*לא היו קבוצות* 2, אלא ש*אולי* היו קבוצות. הנה למדנו בשיעור על מודלים חישוביים את המושגים "מילה" ו"שפה" בחישוביות, וכמה תלמידים לא הסכימו לקבל את קיומן של "המילה הריקה" ושל "השפה הריקה". אם היינו שואלים את אותם תלמידים מהי קבוצה, הם היו עונים משהו בסגנון "דבר שיש בו איברים". אם היית אומר להם ש"קיימת קבוצה" הם *לא* היו חושבים שברור מאליו שקיימת קבוצה ריקה. להפך. לדעתם ל"ריק" לא יכולה להיות מהות כקבוצה. המצב ה"בסיסי" של קבוצה לדעתם היה צריך להיות מצב בו לקבוצה יש איבר אחד. 1 לצורך כתיבת תגובה זו, אספתי את כל התיקים בבית שלי, והכנסתי זוג גרביים לכל תיק. 2 בהנחה ש-ZF עקבית וכל זה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
היה לי פעם ויכוח מרתק עם מישהו שסירב לקבל את הקיום של הקבוצה הריקה כי הוא לא היה מוכן לקבל את זה שקבוצה היא לא סך כל האיברים שלה. הוא גם לא ראה שום הבדל בין קבוצה בעלת איבר אחד ובין האיבר שהיא מכילה. זו הייתה הנקודה שבה הבנתי שלפעמים ''תובנות'' זה לא מספיק, וחייבים להשתמש בהגדרות פורמליות אם רוצים להגיד משהו שבן השיח שלך יוכל להבין. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
''...כי הוא לא היה מוכן לקבל את זה שקבוצה היא לא סך כל האיברים שלה'' קיומה של קבוצה אינו תלוי כהוא זה בשיוך או אי-שיוך של אלמנטים אליה, אך ברור לחלוטין שמצב הקיום המינימלי שלה שקול לקבוצה-הריקה. ''הוא גם לא ראה שום הבדל בין קבוצה בעלת איבר אחד ובין האיבר שהיא מכילה.'' כי הוא התייחס לאי-השפעת השיוך על הקיום האלמנטרי של קבוצה, כאשר קיום אלמנטרי זה שקול לקיומה של הקבוצה הריקה. ''זו הייתה הנקודה שבה הבנתי שלפעמים ''תובנות'' זה לא מספיק, וחייבים להשתמש בהגדרות פורמליות אם רוצים להגיד משהו שבן השיח שלך יוכל להבין.'' זאת הנקודה שבמקום להשתמש בתובנה הפשוטה של היררכית תלות-קיום, בחרת בדרך של משחקי שפה פורמלית נעדרי תובנה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה שם לב שאתה לא אומר שום דבר חדש בהודעות החדשות שלך, נכון? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"נכון?" לא נכון! |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"לצורך כתיבת תגובה זו, אספתי את כל התיקים בבית שלי, והכנסתי זוג גרביים לכל תיק." האם הוצאת והכנסת חפצים לתיק, שינתה משהו בקיומו העצמי של התיק? בוודאי שלא, אך אם התיק אינו קיים כלל לא היית יכול להכניס גרביים לתוכו, ותיק במצב קיום אלמנטרי הוא תיק ריק, ובזכות קיומו האלמנטרי, ניתן להכניס או לא להכניס לתוכו חפצים. זוהי המשמעות הפשוטה והישירה של תלות-קיום, שיוך לתיק מחייב לפחות את קיומו של תיק ריק, וזהו בדיוק מעמדה של הקבוצה-הריקה ביחס למושג השיוך בתורת-קבוצות. לכן ללא קיום הקבוצה-הריקה אין שיוך, וללא שיוך אין תורת-קבוצות. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
וכל זה לא משנה את העובדה שיש לי בבית תיק כלשהו, ואין לי בבית תיק ריק. כלומר, יכול להתקיים עולם שיש בו תיק ואין בו תיק ריק. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
''יכול להתקיים עולם שיש בו תיק ואין בו תיק ריק.'' זה שקול לטענה כי גופך יכול להתקיים ללא האטומים המרכיבים אותו, אך האטומים אינם יכולים להתקיים ללא גופך. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בדיוק כך. אני יכול לתאר תמונת עולם פיזיקלית שבה יש לי גוף, אבל הוא לא בנוי מאטומים. מצד שני, אם האטומים שלי קיימים, ויש להם את הצורה של הגוף שלי, והם מתפקדים בידיוק כמו הגוף שלי, אז הם בהכרח מהווים את הגוף שלי. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"בדיוק כך. אני יכול לתאר תמונת עולם פיזיקלית שבה יש לי גוף, אבל הוא לא בנוי מאטומים." אם גופך קיים אך אינו מורכב (וזה לא משנה ממה) אז גופך שקול לישות אלמנטרית, וישות אלמנטרית ב-ZF היא בדיוק הקבוצה-הריקה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא הבנתי במה התגובות שלך קשורות לנושא המאמר | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
התגובות שלו *הן* נושא מאמר. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"תגובות שלו *הן* נושא מאמר." מה פתאום, הרי לפי המתמטיקאים, המאמר על טרחנים-כפייתיים מתקיים גם ללא הקיום (להלכה או למעה) של טררחן כפייתי, ולכן אי-הבנתו של האייל האלמוני יש לה בסיס איתן. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לפי המתמטיקה המונדית, לא יכול להתקיים מאמר על טרחנים כפייתיים, בלי שמתקיים מאמר כזה בצורתו הבסיסית - כלומר, אם יש מאמר על טרחנים כפייתיים, קיים מאמר על טרחנים כפייתיים בלי שקיימים טרחנים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
''קיים מאמר על טרחנים כפייתיים בלי שקיימים טרחנים.'' שקול הדבר לקיומה של קבוצה-ריקה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה רוצה להגיד שהקבוצה הריקה קיימת אם ורק אם יש מאמר שנכתב על טרחנים כפייתיים *לפני* שהיו טרחנים כפייתיים? נו, טוב. אני הרי כופר בקיומה של הקבוצה הריקה 1. 1 לצורך הדיון. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"אתה רוצה להגיד שהקבוצה הריקה קיימת אם ורק אם יש מאמר שנכתב על טרחנים כפייתיים *לפני* שהיו טרחנים כפייתיים?" חלילה, הקבוצה הריקה קיימת אם ורק אם מושג הקבוצה קיים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כמו שציינתי, אין הכרח בקיום הקבוצה הריקה, כדי שתתקיים קבוצה. וכדי שהדיון הזה לא ימשיך להתנהל כמו שהוא מתנהל עכשיו ("כן!", "לא!", "כן!", "לא!") אני אציין שחובת ההוכחה מוטלת עליך. הוכח בבקשה שאם קיימת קבוצה, קיימת הקבוצה הריקה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
''כמו שציינתי, אין הכרח בקיום הקבוצה הריקה, כדי שתתקיים קבוצה.'' זה היופי פה, אין פה שום הכרח. אם יש קבוצה, אז היא לא פחות מהקבוצה-הריקה. כמה פשוט, ככה יפה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה שקבוצה היא "לא פחות מהקבוצה הריקה" (מתי קבוצה היא יותר מקבוצה אחרת? אם היא מכילה אותה?) לא אומר שהיא "מורכבת" מהקבוצה הריקה, ולכן זה לא אומר שהקבוצה הריקה קיימת. כמה פשוט, ככה יפה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"זה שקבוצה היא "לא פחות מהקבוצה הריקה" " משמעותו של משפט זה היא: אם יש קבוצה, אז זאת לפחות הקבוצה-הריקה. הוכחת תלות-הקיום של קבוצה מורכבת בקבוצה לא-מורכבת: אלמנטרי (הגדרה): ישות יסודית, שאי-קיומה מונע את קיומם של אלמנטים המורכבים ממנה (תרתי משמע). ועכשיו דוגמאות והסברים: טענה 1: אם {} לא קיימת, אז {{}} בהכרח לא קיימת. הוכחה לטענה 1: אם {} אינה קיימת ב-{{}} אז {{}} אינו אלא {}, אך {} לא קיימת לכן {{}} אינה יכולה להתקיים ללא {} כאלמנט יסוד שלה. טענה 2: אם {{}} לא קיימת , לא נובע בהכרח ש-{} לא קיימת. הוכחה לטענה 2: אם אנו מסירים את הסוגריים החיצוניים של {{}}, {} קיימת, ולכן קיום {} אינו תלוי בקיום {{}}. מסקנה: {} הינה קבוצה אלמנטרית ואילו {{}} הינה קבוצה מורכבת. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תגובה 333871. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כדי להבין את מושג ההיררכיה אנא עיין בתגובה 334032 תודה, ושנה-טובה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מתמטיקאים אמתיים מסוגלים להבחין בד''כ בין המתמטיקה למציאות. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
''מתמטיקאים אמתיים מסוגלים להבחין בד''כ בין המתמטיקה למציאות.'' הגדר נא ''מציאות''. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מה שחומק מהגדרות. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"מה שחומק מהגדרות" חמוד! ספר זאת למתמטיקאים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
שוב אתה משתמש במילה האמורפית "מורכב", ובכך לא מפריד בין שיוך, הכלה, פירוק לגורמים ועוד שלל סוגים שונים של "הרכבה". חוץ מזה, מי אמר שאני קבוצה? ואם אני קבוצה, למה היא צריכה להיות קבוצת אטומים? אולי היא קבוצת איברים? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
'' אז הם בהכרח מהווים את הגוף שלי.'' קיום אבני-יסוד אינו תלוי בישות המורכבת מהם, אך הישות המורכבת מהם יכולה להתפרק למרכיביה ובכך קיומה בטל אך אבני-היסוד קיימים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה כותב כל כך יפה ושירי שזה כואב | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אנא בלי כאבים | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה היה רמז נמוסי שקול ליאללה צגרו ת'בסטה | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
(שים לב לשימוש הבעייתי שלך במילה "הרכבה".) האם יכול להיות שיהיו איברים a,b,c ולא תהיה קבוצה {a,b,c}? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"האם יכול להיות שיהיו איברים a,b,c ולא תהיה קבוצה {a,b,c}?" קיום a,b,c פשוט יותר מ-{a,b,c} בלי שום קשר לשימוש במילים כמו "איברים" או "קבוצה", ולכן {a,b,c} תלוי לקיומו ב-a,b,c . שוב, אתה משחק במילים ובסימנים במקום לעסוק בתובנות. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הבנתי אותך: אם קיימת קבוצה אז קיימים כל האיברים שלה. ומדוע אנחנו לא יכולים להגדיר תורת קבוצות, שהנקודה תהיה בה אובייקט אלמנטרי? למה אנחנו חייבים לעסוק דווקא בתורה שבה הקבוצה הריקה היא אובייקט אלמנטרי? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"ומדוע אנחנו לא יכולים להגדיר תורת קבוצות, שהנקודה תהיה בה אובייקט אלמנטרי?" איילי הצעיר, האם שמעת פעם על מתמטיקה-מונדית? אם לא, אז כדאי שתציץ ב: תודה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לכן, כמובן, בחרתי דווקא בנקודה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"הבנתי אותך: אם קיימת קבוצה אז קיימים כל האיברים שלה." לא הבנת אותי כהוא זה. אם קיימת קבוצה ואנו מגדירים בבירור את מצבי היסוד הבלתי מורכבים של מושג זה, אז קיימת הקבוצה-הריקה וקיימת הקבוצה-המלאה, כאשר אי-תוכן הקבוצה-הריקה "חלש" מידי בכדי לשמש כקלט בכל שפה שהיא, פורמלית או לא פורמלית, ותוכן הקבוצה-המלאה "חזק" מידי בכדי לשמש כקלט בכל שפה שהיא, פורמלית או לא פורמלית. אינני מסוגל להתחיל להבין מה מונע ממך להבין מיידית את הנ"ל. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
שוב אתה חושב לעומק. אם היית מפסיק לחשוב לעומק וחושב קצת לרוחב, היית מיד מבין מה מונע ממנו להבין מיידית את הנ''ל. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בתגובה 333287 אתה "מגדיר ומסביר בקצרה" ש"קבוצה אלמנטרית" היא "ישות יסודית, שאי-קיומה מונע את קיומם של אלמנטים המורכבים ממנה (תרתי משמע)". יש כאן שתי בעיות, אחת מהותית ואחת טכנית. כשמתמטיקאי משתמש במלה "קיים" בהתייחס לאובייקט מתמטי, הוא מתכוון (במשתמע או במפורש) לקיום של אובייקט כזה בתוך מערכת מתמטית נתונה. למשל, בין האקסיומות של תורת הקבוצות ישנה אקסיומה שמאפשרת לבנות את קבוצת החזקה: היא אומרת שלכל קבוצה x, *קיימת* קבוצה y שאיבריה הם בדיוק הקבוצות שמוכלות ב- x. לא מדובר כאן על כוכב רחוק שמקיים את התכונות האלה, או גלים אלקטרומגנטיים עם איברים מוגדרים, אלא על קיום *במערכת*. הגישה הזו לא נולדה במוחו של איזה איש מערות. לקח לה המון זמן להתפתח, והיא התגבשה רק מתוך מאות שנים של נסיון, ותובנה מצטברת אחת: אי אפשר להגיד משהו משמעותי על מושגי היסוד בשום דרך אחרת. אנחנו בונים מערכות מתמטיות ודנים בתכונות של אובייקטים *בתוכן*; ומשאירים לפילוסופים לדבר על "קיום" מופשט, מחוץ למערכת מתמטית. אתה חושב שזה מקרה, שבמשך אלפיים שנה הפילוסופים לא הוכיחו אפילו משפט אחד? (קצת חבל לי שהתגובה תלך לאיבוד בדיון הזה). העניין השני: אין לי או לך מושג אילו דברים מונעים את קיומם של דברים אחרים. לך תדע מתי *אי-קיום* של משהו מונע את קיומו של משהו אחר. והתכונה האמורפית הזו היא בעיניך הגדרה? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"אתה חושב שזה מקרה, שבמשך אלפיים שנה הפילוסופים לא הוכיחו אפילו משפט אחד?" עם מתמטיקאים מתעלמים במשך אלפי שנים מהיררכיית קיום, שבה הפשוט הוא אבן-היסוד של המורכב, והמורכב איננו אבן-היסוד של הפשוט, והם חושבים כי התעלמות מאי-הפיכות זו מאפשרת מרחב-קיום משמעותי, אז אין כל פלא שלא-מתמטיקאים לא הוכיחו אפילו משפט אחד במרחב-קיום לא משמעותי זה. יותר מכך, הגט בין מה שאתה קורא לו פילוסופיה לבין מה שאתה קורא לו מתמטיקה, ניתן ע"י מתמטיקאים אחרי משפטי אי-הכריעות של גדל. לפני כן לא היתה הפרדה חדה, כפי שהיא נהוגה כיום, בין שאלות קיום מכונני תובנות במתמטיקה, לעיסוק פורמלי מכונן הגדרות בלבד במתמטיקה, כפי שהוא נהוג היום, והמונע כל ביקורת על אופן עבודתם של מתמטיקאים, כאשר התירוץ הפילוסופי (כן, הפילוסופי!) השגור בפי מתמטיקאים הוא: "כל מה שאינו במסגרת חוקי ההגדרות הפורמליות שקבענו, אינו מתמטיקה!". בקיצור מתקיימת לה קהילת אנשים, אשר קובעת כי משמעות המילה "מעניין" נקבעת עפ"י חוקי-משחק של מועדון חברים סגור ומסוגר, הקובע קטגורית את גבולות הסקרנות והחקירה האנושית לסד של דקדוקי ניסוח טכניים לחלוטין, אשר כל חריגה מהם לא ניתנת להבנה (פשוטו כמשמעו) ע"י חברי אותו מועדון. "כשמתמטיקאי משתמש במלה "קיים" בהתייחס לאובייקט מתמטי, הוא מתכוון (במשתמע או במפורש) לקיום של אובייקט כזה בתוך מערכת מתמטית נתונה." אף בר-דעת, כולל מתמטיקאי, אינו יכול להתעלם מיחסי-תלות/אי-תלות במתמטיקה, לדוגמא: הראה נא לי מערכת מתמטית עיקבית, שבה לא קיימת היררכיית תלות בין אקסיומות למשפטים הנגזרים מהן. "למשל, בין האקסיומות של תורת הקבוצות ישנה אקסיומה שמאפשרת לבנות את קבוצת החזקה: היא אומרת שלכל קבוצה x, *קיימת* קבוצה y שאיבריה הם בדיוק הקבוצות שמוכלות ב- x. לא מדובר כאן על כוכב רחוק שמקיים את התכונות האלה, או גלים אלקטרומגנטיים עם איברים מוגדרים, אלא על קיום *במערכת*." לפי אקסיומה זו ברור כשמש כי יש תלות של היררכיית קיום של קבוצה y בקבוצה x , ואני משתמש בתלות קיום זו כדי להוכיח כי קנטור לא הוכיח כי "הגישה הזו לא נולדה במוחו של איזה איש מערות. לקח לה המון זמן להתפתח, והיא התגבשה רק מתוך מאות שנים של נסיון, ותובנה מצטברת אחת: אי אפשר להגיד משהו משמעותי על מושגי היסוד בשום דרך אחרת." הריי אתה סותר את עצמך בעצם השימוש במילים "מושגי-יסוד", כי לשיטתך, אין כל היררכיית תלות קיום במתמטיקה כי לפי דבריך "*קיימת* קבוצה y שאיבריה הם בדיוק הקבוצות שמוכלות ב- x.", כאשר לשיטתך (שהיא גם שיטתו של קנטור) לא קיימת שום היררכיית תלות-קיום של y ב-x . הסתירה של שימוש בהיררכית-קיום כהנחה-סמויה, הופכת את המתמטיקה המודרנית למערכת לא-עיקבית, פשוטו כמשמעו, והתעלמותך מתלות-קיום ברורה לחלוטין של {{}} ב- {}, כפי שמוכח חד-משמעית בתגובה 333287 , חושפת את חולשתה של השיטה הפורמלית מכוננת ההגדרות ונעדרת התובנות. עוזי, אני מכוון בדברי רק ואך ורק לשיטת החשיבה שהעלת כאן, ואין להבין את תגובתי כמשהו המכוון לגופו של אדם. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"הגט בין מה שאתה קורא לו פילוסופיה לבין מה שאתה קורא לו מתמטיקה, ניתן ע"י מתמטיקאים אחרי משפטי אי-הכריעות של גדל." תוכל לפרט? אגב, מישהו יודע מה קרה ל"אינציקלופדיה המקוונת של סדרות מספרים שלמים" של NJA Sloane? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
''''הגט בין מה שאתה קורא לו פילוסופיה לבין מה שאתה קורא לו מתמטיקה, ניתן ע''י מתמטיקאים אחרי משפטי אי-הכריעות של גדל.'' עד לגדל, ניתן היה לעסוק בשאלת מהות המתמטיקה מבלי ''לחטוא'' בפילוסופיה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
א. *לפני* גדל, מי דן במהות המתמטיקה במונחים מתמטיים? ב. איך גדל שינה את המצב? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"א. *לפני* גדל, מי דן במהות המתמטיקה במונחים מתמטיים? לפני גדל הייתה למתמטיקאים, ובראשם הילברט, תקווה כי יוכלו להוכיח את העיקביות של השיטה האקסיומטית במסגרת השיטה האקסיומטית, אך אז הראה גדל כי מערכת אקסיומטית לא-טריוויאלית (שיש לה לפחות את היכולת של אריתמטיקה עם מספרים-טבעיים) מכילה במיסגרתה משפטים בלתי-כריעים, אשר כדי לנסות להכריע אותם, יש להוסיף אקסיומות נוספות למערכת, וחוזר חלילה לאינסוף. מצבי אי-כריעות כחלק בלתי-נפרד של מערכת השואפת לכריעות כל משפט במסגרתה, משנה מן היסוד את עצם מושג המערכת האקסיומטית, ממערכת סגורה למערכת פתוחה, כאשר אי-הכריעות שקולה לחץ הרומז לנו, כי לא ניתן לחסום לחלוטין (להגדיר, משורש ג.ד.ר) מערכות אקסיומטיות מעניינות. למעשה יש השלכה ישירה על הבנת מושג האוסף אינסופי עצמו, אשר לא ניתן להגדיר לו קרדינל מדוייק, בדיוק כמו שלא ניתן להגדיר סופית, מערכת אקסיומתית שיש בכוחה להגדיר אריתמטיקה השקולה לאריתמטיקה של מספרים טבעיים. על אף התובנות הנ"ל, משקיעה קהילת המתמטיקאים המקצועיים רבות בשיטות התעלמות פסיבית או אקטיבית, כדי להמנע משינוי-הפרדיגמה הנובע ישירות מעבודתו של גדל, הן על מושג המערכת האקסיומתית, והן על מושג האוסף האינסופי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בוא ואנסה להסיח את דעתך עם סיפור שאולי מוסר-השכל בצידו: דווקא היעדרותה הזמנית של האמס"ש הסבה לי קורת-רוח שכנראה היתה נמנעת ממני אחרת. עלה בדעתי להביט בסדרה 1, 2, 4, 5, 10, 11, 13, 14, ... שאינה כוללת אף סדרה חשבונית באורך שלוש, ובה מוסיפים בכל שלב את המספר הטבעי הקטן ביותר שאינו מקלקל תכונה זו. עם קצת מזל וקצת סבלנות אפשר למצוא לסדרה הזו פרשנות אחרת לגמרי, נחמדה מאוד. האמס"ש, כמובן, מאכילה אותך בכפית, וזה הרבה פחות כיף. זה קצת קשור לדיון (אליו הפנית בתגובה 327219) על התקדמות המתמטיקה. זה נחמד שדברים נהיים יותר קלים, אבל כשהם נעשים קלים מדי אנחנו עלולים לאבד את המוטיווציה לחקור אותם "באצבעות", לפתח אינטואיציה לגביהם ואולי לגלות דברים שהיום, בדור הכפית, לא נגלה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
''אינציקלופדיה המקוונת של סדרות מספרים שלמים'' | |
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |