בתשובה להאייל הצעיר, 03/09/05 16:53
 |
|
 |
||
|
||||
 |
"זה מה שמאפשר לתהליכים מכאנים להגיע למסקנות לגביהם. *זאת* הגדרה ריגורזית." אין דבר כזה תהליכים מכאניים, כי בסוף או בתחילת הדרך יש תודעה שיוצרת/מפרשת אותם. אתה אינך יכול להתבונן על סוכן מכאני שהוא שלוחה שלך ולהגיד שאין לך שום קשר או השפעה על תוצריו. זה בדיוק כמו לא לזהות את בבועתך שלך בראי שאתה יצרת. ואני מניח שאתה מודע לכך שאחד מהמבחנים של תבונה הוא יכולתה לזהות את בבועתה בראי כשייכת לה. יצורים לא תבוניים מזהים את בבועתם כיישות שאינה קשורה אליהם, ואתה נוקט בדיוק בגישה לא-תבונית זו ע"י הסברך המכאניים להגדרה ריגורוזית. זוהי עוד הדגמה לכשל הבסיסי הטמון בשיטת החשיבה הדדוקטיבית, המנסה להעניק מעמד אובייקטיבי (מה שאתה מכנה מכאני או "ללא מגע יד אדם") לתוצריה של התודעה האנושית. אתה כראה אינך קולט עדיין שהגדרה איננה אלא אמצעי כדי להגיע לתובנה, כאשר התובנה היא הדבר המעניק את המשמעות והערך לשיטת חשיבה נתונה. בעניין הישר והנקודה, אני לא רואה שאתה מבדיל ביניהם ברמה היסודית ביותר, שהיא הרמה הלוגית, ואם אינך מבדיל ביניהם ברמה הלוגית, אתה משתמש בהם ללא-תבונה, כאשר "ללא-תבונה" שקול ל"שימוש מכאני" במושגים, ואתה עוד מגדיל לעשות ומשבח את המכאניות הזו. |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
דורון היקר, מאז שאני מכיר אותך ( יותר מ 3 שנים) לא הצלחת לעורר אפילו אדם אחד באמת לנושא שלך/שלנו באמצעות שיחות באינטרנט. ושוחחת על מתמטיקה עם מאות ואולי אלפי אנשים מכל רחבי העולם. רציתי רק לשאול אותך, מדוע אתה בכל זאת ממשיך לנסות ? שלך משה |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני יוצא נשכר מהקשר עם תודעות אחרות. למעשה אין, לדעתי, דרך אחרת לפתח נושא זה באופן משמעותי ועמוק ללא מפגש עם החיים באשר הם. לצערי, חוץ ממך, אין כרגע אף אדם שמבין לאשורו את הרעיונות הפשוטים שאני מעלה בקשר לשפת-המתמטיקה והשפעתה על התודעה האנושית. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
גם אני מרגיש שאני מרוויח מהשיחות עם שניכם. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אייל: גם אני מרגיש שאני מרוויח מהשיחות עם שניכם. תודה לך אייל ! אנחנו בטח מרויחים מהנוכחות שלך איתנו משה |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אייל צעיר, ברגע זה עשית אותי מאושר. תודה לך. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
על לא דבר. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תודה לך דורון על תשובתך הכנה לשמחתי אתה האדם היחיד ( וזה לצערי כמובן ) שאני מכיר שאפשר לדבר איתו באמת על הדברים |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זו גישה מעניינת. אני מודה: אני לא יכול ממש לדחות אותה. אני יכול רק לציין שיש לי *הרגשה* שאלגוריתם הוא מושג "מספיק" חיצוני לי, ושזו מעין הנחת עבודה שלי בעולם. בכל אופן, זו לדעתי התגובה הכי מעניינת בשיחות איתך עד עכשיו. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אייל צעיר, המתמטיקה-המונדית חוקרת למעשה את הקשר שביו התודעה של המתמטיקאי למושאי תודעתו כאשר מושאים אלה מכונים בשמות כמו, אקסיומה, מספר, אריתמטיקה, פונקציה, נקודה, קו, אינסוף, מלאות, ריקנות, אוסף, קבוצה, גבול, פרופורציה, יתירות, אי-וודאות, סדר, אי-סדר, אקראיות, היזון-חוזר, מורכבות, דינמיקה, פשטות, סימטריה עוד ועוד. שיטת מחקר זו משתמשת בסימטריה ככלי יסודי ומנסה בעזרתה לזהות תשתית-אורגנית המאפשרת שילובן של המושאים הנ''ל בדרך שתעצים את יכולתה של התודעה העוסקת בהם, תוך שימת דגש על תובנה מונחית אבולוציה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
למה דווקא סימטריה היא כלי כל כך יסודי? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לדעתי זהו הכלי המתאים ביותר לחקור את הקשרים העמוקים שבין פשטות למורכבות, לפחות מתוך ניסיון אישי שלי ב-25 שנים שאני עוסק בפיתוח רעיונותיי. ב-4 השנים האחרונות התחלתי לשתף אחרים ברעיונותיי דרך ה-Internet , דבר שנתן תנופה משמעותית ביותר לתהליך הפיתוח. לפני כ-3 שנים הכרתי את משה (שגם הוא עוסק במקביל בפיתוח בפיתוח רעיונות בעלי השקפה דומה) דרך תווך של צבי ינאי, ומאז אנו משתפים פעולה זה עם זה, וזה פשוט נהדר לעבוד ביחד. בעניין הסימטריה: מלאות מוחלטת או ריקנות מוחלטת הם מצבי הסימטריה האולטימטיביים שאינם נגישים לשום שפה. ביניהם קיים מושג האוסף, שהוא תוצר החבירה בין מצבי קיצון אלה. האוסף ניתן למיון עפ"י דרגות הסימטריה הפנימיות, המתקיימות בין אוסף לרצף, כאשר דרגת הסימטריה הגבוהה ביותר של חבירה זו מתוארת כסופר-פוזיציה של כל מצבי החבירה האפשריים (בהינתן כמות סופית ידועה) העוברת ממצב מקבילי מלא לסימטריה שבורה סידרתית. המספר הטבעי הרגיל מתואר רק שמונחים של סימטריה שבורה סידרתית. מצב הסופר-פוזיציה מתואר במונחים של יתירות ואי-וודאות, כאשר אני משתמש במודל שבירת הסימטריה, כדי לתאר את התפתחות תכונת ההפנייה-העצמית של מערכת נתונה לעצמה, כבסיס לתיאור התפתחותה של תודעה. ראה נא את השימוש שאני עושה ברעיונותיי כדי להסביר את תופעת האנטרופיה, והקשר שלה להתפתחות מערכות מורכבות המודעות לעצמן: |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
למה ריקנות מוחלטת לא נגישה לשום שפה? נראה שרצף הסימנים "{}" מתאר אותה היטב. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"למה ריקנות מוחלטת לא נגישה לשום שפה? נראה שרצף הסימנים "{}" מתאר אותה היטב." תיאורו של דבר אינו הדבר עצמו, או במקרה זה, תוכנה של הקבוצה הריקה (הריקנות) אינו שקול לקבוצה-הריקה, והמתמטיקה משתמשת בקבוצה-הריקה ואיננה יכולה להשתמש בריקנות עצמה, כי הריקנות עצמה אינה יכולה לשמש כקלט בשום שפה (פורמלית או לא-פורמלית). מצב דומה נגזר גם על מושג המלאות המוחלטת, שהיא המושג ההופכי לריקנות המוחלטת. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תיקון טעות: רצף הסימנים "" מתאר אותה היטב. אגב, בתחום החישוביות קלט ריק הוא לגיטימי לחלוטין, ואפילו משמש בהגדרות שונות. למרות שבהקשר הזה ניתן לומר, שהקלט הוא מחרוזת ריקה, ולא ריקנות. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מה אתה אומר, אפס תפוחים זהה לאפס תפוזים? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לדעתי כן. (חסר לך שהשאלה הבאה תשווה בין 0 מעלות צלזיוס ל-0 מעלות פרנהייט.) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
השאלה הזו כבר נדונה ב- http://www.createforum.com/phpbb/viewtopic.php?t=19&... | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מתוך הדיון: I am currently trying to find the CIP for C ( Life and Not Life) unit x . אכן תמונות קשות. את האתר של זים הגשתי ל crack.net ונראה מה יוליד יום.
As kind of an exercise in my own theory. See my poem on this subject: http://www.zimmathematics.com/htm/LifeDeath.htm Do you have a solution for this expression ???? ---- |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
חוץ מזה, חלפו מעל ל 3 שבועות מאז שזים הוגש לעיון crank.net ועדיין אין תשובה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ב 7 לאוקטובר, אתר "המתמטיקה של זים" דורג ברשימת האתרים ה crank-ים באתר crank.net . בכך הוא מצטרף לעבודתו של דורון שדמי. הדירוג של האתר של זים הוא bizarre : נמוך יחסית בסקאלת ה crank-יות בהשוואה לעבודה של דורון שדמי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אכן, מקש ה-BLANK הוא תו לכל דבר וענין, אך אני מדבר על הריקנות לכשעצמה, שאין בה בתוכה דבר היכול לשמש כקלט. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא מדובר על מקש ה-BLANK כקלט. להפך - בהגדרה של מכונת טיורינג מקש ה-BLANK מסמן "פה זה כבר לא הקלט". הסיפור מאוד פשוט: מ"ט משתמשת, כידוע, בסרט עם אינסוף מקומות לתווים. בתחילת הפעולה של המ"ט, המשבצות הראשונות בסרט מכילות את הקלט, ושאר המשבצות מכילות BLANKS. הקלט מוגדר בתור מה שלפני ה-BLANKS. מ"ט רצה על קלט ריק, כאשר אין שום דבר לפני ה-BLANKS. כלומר, כאשר כל הסרט מכיל רק BLANKS. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
במצב ריקנות אין לא אתה ולא אני ולא מכונת-טיורינג ולא סרט ולא מידע או אי-מידע על סרט וכו'. אני מקווה שאתה מבין למה אני מתכוון (תיאור זה מתאים גם למצב מלאות מוחלטת). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני מבין למה אתה מתכוון. אגב, אני צודק שבמצב כזה כל טענה נכונה, וגם שלילתה נכונה? בכל אופן, ככה תמיד תיארתי לעצמי את ה"תוהו ובוהו" התנ"כי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
במצבים עצמיים (מלאות מוחלטת או ריקנות מוחלטת) אלה לא קיימת שום דואליות ולכן שום דבר לא יכול להבחן מול היפוכו. התודעה שלנו מתקיימת במימד עמוק יותר, המסוגל ליצור הלכה למעשה, חבירה בין מלאות מוחלטת לריקנות מוחלטת ולהגדיר ולסדר את תוצרי החבירה בהתאם לדרגות הסימטריה הפנימיות שלהם, המתקיימות בין מצב סימטרי-מקבילי בעל יתיריות ואי-וודאות מכסימלית (הסגורה תחת קרדינל סופי) למצב לא-סימטרי-סדרתי הנעדר כליל יתירות ואי-וודאות. המספרים הטבעיים של המתמטיקה הרגילה מוגבלים רק ואך ורק למצב לא-סימטרי-סדרתי הנעדר כליל יתירות ואי-וודאות, וזאת כתוצאה ישירה של הגדרת תוכן קבוצה כאשר יתירות ואי-וודאות אינן תכונות שלה (לדוגמא:{a,a,b}={a,b}), ומצב לא-סימטרי-סדרתי זה למעשה הוא המאפיין היסודי של R . R היא למעשה ה"צל" של מערכת המספרים של המתמטיקה-המונדית (המבוססת על כל תבניות המידע הסדורות שבין אי-מובחנות מכסימלית למובחנות מכסימלית) , ולוגיקת האמת/שקר אינה אלא מקרה פרטי של הלוגיקה-המשלימה שבין אמת___שקר (כאשר אמת XOR שקר הוא מקרה פרטי וקיצון שלה). ברגע שמתחילים להבין את היקפה, עושרה ועומקה של הלוגיקה-המשלימה ומשבצים את לוגיקת האמת/שקר במקומה הפרטי המתאים, נחשפת לראשונה הטריוויאליות של המתמטיקה הרגילה, אשר מערכת האקסיומות שלה מוגבלת רק ואך ורק ללוגיקת האמת/שקר. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"תיאורו של דבר אינו הדבר עצמו, או במקרה זה, תוכנה של הקבוצה הריקה (הריקנות) אינו שקול לקבוצה-הריקה, והמתמטיקה משתמשת בקבוצה-הריקה ואיננה יכולה להשתמש בריקנות עצמה, כי הריקנות עצמה אינה יכולה לשמש כקלט בשום שפה (פורמלית או לא-פורמלית)." אם "תיאורו של דבר אינו הדבר עצמו", אז כל "דבר" אינו נגיש לאף שפה, ואי-הנגישות איננה נחלתן הבלעדית של הריקנות-המוחלטת והמלאות-המוחלטת, לא? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"אם "תיאורו של דבר אינו הדבר עצמו", אז כל "דבר" אינו נגיש לאף שפה, ואי-הנגישות איננה נחלתן הבלעדית של הריקנות-המוחלטת והמלאות-המוחלטת, לא?" יש פסוק יפה בתנ"ך האומר: "וידע אדם את חווה". במילים אחרות הידע המתואר לעיל לא היה תאורטי אלא מעשי לעילא ולעילא (אחרת, לפי התנ"ך, לא היינו כאן כדי לדון ביננו באייל-הקורא). אי-ההבחנה שבין מודל-תאירוטי של דבר, לדבר עצמו יוצרת בלבול רב בעיקר בתחום מופשט כמו מתמטיקה "טהורה", שבה ניתן להחליף בטעות בין יצוגו של מושג למושג עצמו. הקבוצה-הריקה הינה ייצוגו של מושג הריקנות, ולא הריקנות עצמה. במצב הריקנות עצמה איננו קיימים כלל כדי לדון במושג הריקנות, וגם מושג הקבוצה עצמו אינו קיים כלל. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם זו הגישה שלך, אזי הענף שאתה עוסק בו נקרא ''מיסטיקה'' וודאי שלא ''מתמטיקה''. אולי זו הסיבה שקשה לך להסביר את הגישה שלך למתמטיקאים, הם הרי מצפים ל... מתמטיקה. אולי בקהלים אחרים תהיה לך הצלחה רבה יותר. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אולי. גם עם מתמטיקאים הייתי מנהל את השיחה באופן שונה. מתמטיקאים הרבה פעמים מתעניינים בפילוסופיה של המתמטיקה (ומעל דפי ה''אייל'' היו כבר דיונים מרתקים בנושא הזה). לך יש הרבה מה לומר בנושא הזה. אולי כדאי להתחיל מהפילוסופיה ולא מהמתמטיקה שאתה גוזר ממנה. לי אישית היה הרבה יותר קל (וכיף) לדבר כשעברנו מהנושא המתמטי לנושא הפילוסופי (שעסק גם בפילוסופיה של המתמטיקה). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם זו הגישה שלך, אזי הענף שאתה עוסק בו נקרא "מיסטיקה" וודאי שלא "מתמטיקה". מתמטיקה היא לא פחות ולא יותר ממה שרוב קהילת המתמטיקאים בוחרת להגדיר כמתמטיקה, או במילים אחרות, המתמטיקה היא לא פחות ולא יותר מאשר אוסף שיטות חשיבה מוסכמות בין קהילת אנשים העוסקת לפרנסתה בשיטות חשיבה אלה. בחרתי לחקור את מושגי-היסוד של שיטות חשיבה אלה ללא ההמנעות המלאכותית שבה נוקטת קהילת המתמטיקאים העכשווית, מתכונות יסוד הכרחיות הקיימות בתודעתנו ומאפשרות לנו לעסוק במתמטיקה. אין כאך שום איזוטריקה או מיסטיקה, אלא נהפוכו, יש כאן שימוש בכילים מתמטיים כדי לחקור את הקשר שבין תכונותיה ההכרחיות (והלא אישיות) של תודעה לגלות/ליצור מתמטיקה, לבין מושאיה ותוצריה של שפה זו והשפעתם על התודעה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ראשית כל, ההגדרה שלך למתמטיקה ממש מקוממת. שנית, ''שימוש בכילים ... והשפעתם על התודעה'' זו ממש מיסטיקה. אם תתעקש אפשר אולי לקטלג זאת תחת פסיכולוגיה, אבל מתמטיקה זה לא. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"ראשית כל, ההגדרה שלך למתמטיקה ממש מקוממת. שנית, "שימוש בכילים ... והשפעתם על התודעה" זו ממש מיסטיקה. אם תתעקש אפשר אולי לקטלג זאת תחת פסיכולוגיה, אבל מתמטיקה זה לא." לא דיברתי על יופיה וחשיבותה של המתמטיקה בחיינו. כן דיברתי על נסיונותיה של קהילת אנשים לכפות את הגדרתם לשפת המתמטיקה. אני בהחלט מדבר הפרדיגמה המלאכותית שנהוגה בין קהילת המתמטיקאים בעולם, המתעלמת מתכונות קוגניטיביות של תודעתם, כמו זיכרון מקבילי/סידרתי, קשר זכרון/אלמנטים וכו', קיברנטיקה ושפה, מורכבות וכו' אשר ללא קיומם לא תתכן כלל מתמטיקה. אין פה שום מיסטיקה ואף לא פסיכולוגיה, אלא חקר התנאים ההכרחיים לקיומה של מתמטיקה ביצורים כמונו. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מ. השור שלום, השפה שאנו מפתחים היום אינה מערבית אך גם לא מזרחית כי הרי מדובר על שפת המתמטיקה. אגב, ספר היסודות של אוקלידס אינו מביא את האופן האמיתי תוך התבוננות במחומש משוכלל, בו התגלה מושג האירציונליות על ידי היפסוס תלמידו של פיתגורס. משה |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
האייל הצעיר : לגבי המאמר בקישור: אתה עושה בו קפיצה מוזרה. בתחילת המאמר אתה מספר על ביטולה של הגישה הפילוסופית האפלטונית, שהמתמטיקה באמת זנחה, ודורון שדמי לא (המתמטיקה אמורה לייצג את האמת, ובאמת קו הוא לא קבוצה, לכן המתמטיקה שגויה). בסוף המאמר אתה עוסק פתאום בתנועה לשינוי הפרדיגמה המתמטית. משה : ב 12 לאוגוסט בשנת 2000 שמעתי את אלן קונס ( מדלית פילדס) ומפתח הגאומטריה הלא חילופית בכינוס מאה מהילברט אומר כי אנו זקוקים היום להבנה חדשה במתמטיקה שהמקור שלה הוא בגאומטריה ולא בלוגיקה הרגילה. לפני מספר חודשים דורון בטיול משפחתי בפריס מסר באופן אישי למזכירה של אלן קונס את קובץ המאמרים שלו. הדרך הרגילה ללמד ולהדגים את מושג האירציונליות הוא באמצעות משולש ישר זווית שהצלעות שלו הם 1 וכך מראים ששורש 2 הוא לא רציונלי. ( נניח כי a/b זה שורש 2 והם מספרים זרים וכו',... כידוע לך לגבי מספרים שלמים גדולים יותר מ 2 זקוקים למשפט היסודי של האריתמטיקה שניסח אותו לראשונה בצורה מסודרת גאוס. אבל הגילוי המקורי של אירציונליות היה של היפסוס באמצעות סתירה במחומש משוכלל, אבל זה לא נכתב בספר היסודות של אוקלידס. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
איך משתמשים במשפט היסודי של האריתמטיקה עבור מספרים גדולים מ-2? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
המשפט היסודי של האריתמטיקה אומר כי כל מספר טבעי הוא מכפלה יחידה של ראשונים. אם יש לך מחומש משוכלל ואתה משרטט משולש עם אחד הבסיסים ושני האלכסונים שיוצאים ממנו הזויות של המשלש הזה הם: 36,72,72 מעלות . ניתן להראות בפשטות יחסית כי אורכי הצלעות במשולש לא מתיחסיים זה לזה בצורה שלמה. מאחר מופיע שם יחס הזהב הרי ההוכחה הראשונה ( כנראה של היפסוס תלמידו של פיתגורס) לאירציונליות היתה של שורש 5 ולא של שורש 2 . אם יש לך מספר טבעי n שהוא אינו ריבוע שלם איך אתה מוכיח שהשורש שלו לא רציונלי. אתה מניח בשלילה שהוא כן רציונלי כלומר יש שני מספרים זרים a,b שהמנה שלהם היא השורש של n. האם ניתן להמשיך להוכיח את האירציונליות של שורש n ללא המשפט שניסח אותו לראשונה גאוס ? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא יודע בקשר לשורש n, כי לא חשבתי על ההוכחה; חשבתי שתביא אותה בהודעה הזו. בכל הנוגע למשולש של המחומש, גם זו הוכחה שאשמח לשמוע. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הוכחה בדרך השלילה: אם הצלעות של משולש ששזויותיו הן 36,72,72 הם a,a,b תעביר חוצה זוית של אחת מזויות הבסיס ותקבל משולש דומה עם צלעות b.b.a-b לא יכול להיות אם כך ש a,b שניהם טבעיים כי אתה יכול להמשיך בתהליך עד אין קץ ותקבל בדרך זו סידרה אינסופית של מספרים טבעיים יורדים וזה כמובן לא אפשרי. מ.ש.ל. אם הבנת את זה, אשמח לכתוב לך את ההוכחה הקלאסית לאי- רציונליות של שורש n . בהמשך אראה תוצאה מקורית שלי האומרת כי כי ניתן היה להרחיב את ההוכחה המקורית של היפסוס לכל n ללא כל צורך במשפט היסודי של האריתמטיקה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הדמיון נראה נחמד, אבל נתקעתי עם הצלעות. ברור ששתי השוקיים הן b, אבל למה הבסיס הוא a-b? הרי אם המשולש החדש דומה למשולש המקורי והבסיס במשולש החדש הוא x צריך להתקיים x/b=b/a לא? הרי הבסיס במשולש המקורי הוא b, השוק במשולש החדש הוא b והשוק במשולש המקורי הוא a.מזה אני מקבל x=b^2/a ולא ברור לי למה הוא צריך להיות a-b, או אפילו טבעי.איפה הטעות שלי? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
המשולש השני הוא שווה שוקיים (עם זוויות 36,36 ו108) עם צלעותa b b | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כמובן. תודה רבה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
המשולש השני הוא שווה שוקיים (עם זוויות 36,36 ו108) עם צלעותa b b | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
טוב, זה מה שיצא שניסיתי לשמור את הציור של המשולש.. אני מצטער ומניח שקשה להבין מזה את ההוכחה של היפסוס. * * * * * b
a * * * * * b * * * * * a-b * * * ***************** b |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אין צורך. הצלחתי כבר להבין, ואם אני הצלחתי כנראה שכל אחד אחר גם הצליח. עכשיו אני סקרן לשמוע על ההוכחה הכללית לאי רציונליות של n. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
יופי שהבנת, זה די פשוט ונחמד, עכשיו נוכל להתקדם. בדיאלוג הנפלא "תיאטטוס" של אפלטון מסביר המתמטיקאי הצעיר לסוקרטס על קיומם של מספרים אי-רציונלים שהם שורשי המספרים הבאים : 3,5,6,7,8,10,11,12,13,14,15,17 האם שמת לב גדי, לעובדה מוזרה שמופיע בדיאלוג זה? משה |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא (אלא אם אתה מתכוון לכך ש-2 לא נכלל ברשימה). אני לא בטוח שאני מבין למה אתה מאמץ את סגנון הדיון הזה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נניח כי n הוא מספר טבעי אשר אינו ריבוע נרצה להוכיח כי השורש שלו הוא מספר לא רציונלי. נניח בשלילה כי קיימים שני מספרים טבעיים a,b כך ש a/b הוא השורש של n כלומר a^2=b^2 n מבלי הגבלת הכלליות נוכל להניח כי a,b הם מספרים זרים ( כלומר ללא גורם משותף) כי אם הם לא זרים אז נוכל לצמצם את הגורם המשותף. למה : אם p ראשוני והוא מחלק את c^2 אז הוא כבר מחלק את c זה נובע בפשטות מהמשפט היסודי של האריתמטיקה. אנו נראה כי בהכרח ל a ול b יש גורם משותף בסתירה להנחה. האם תרצה לחשוב על סיום ההוכחה בעצמך ? אבל ליוונים לא היה עדיין את המשפט היסודי של האריתמטיקה וההוכחה היחידה שהיתה להם היא ההוכחה הקלאסית לאירציונליות של שורש 2 , שלא הופיע בדיאלוג תיאטטוס. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אה, אז זו פשוט הכללה של ההוכחה עבור 2. נחמד. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"אם p ראשוני והוא מחלק את c^2 אז הוא כבר מחלק את c זה נובע בפשטות מהמשפט היסודי של האריתמטיקה." אנחנו מניחים את הלמה הזאת גם במקרה של n=2. על מה אנחנו מתבססים אז אם לא על המשפט היסודי של האריתמטיקה? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
p=2, כמובן. לא n. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כן זוהי הרחבה אורגנית של ההוכחה לגבי 2 אם a^2 הוא מספר זוגי אז נובע ש a זוגי האם אנו צריכים בשביל זה את המשפט היסודי של האריתמטיקה אני לא ממש בטוח. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אין בעיה להוכיח אותה גם בלעדיו: פשוט שים לב לכך שמספר זוגי כפול מספר זוגי הוא תמיד מספר זוגי (זה מיידי) ומספר אי זוגי כפול מספר אי זוגי הוא מספר אי זוגי (זה כמעט מיידי). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
החלק המיידי תקף, כמובן, לכל מחלק ראשוני. תוכל להראות את החלק הכמעט-מיידי? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם הכוונה היא לייצוג כל מספר איזוגי כ-(2n+1), אז ניתן להכין "רשימת שאריות אפשריות" עבור כל מחלק ראשוני p. נכון שלא נוכל להוכיח כך את הטענה "לכל p ראשוני, שורש p אירציונלי", אבל עבור כל p יחיד, נוכל להוכיח בקלות את הטענה "שורש p אירציונלי". | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם אתה מסכים איתי שכל מספר אי זוגי הוא מהצורה 2n+1 כש-n שלם אז אין בעיה. קח שני מספרים כאלו: 2n+1,2m+1. נכפול אותם ונראה מה נקבל: (2n+1)(2m+1)=4mn+2m+2n+1=2(2mn+m+n)+1 קיבלנו עוד מספר שמתאים לתבנית שלנו של מספר אי זוגי.באופן כללי הכפלה של שני מספרים ששניהם הם n מודולו p (כש-p ראשוני) תיתן מספר שהוא n^2 מודולו p. לכן שאריות של 1 ו-0 (במקרה של p=2 - בדיוק זוגי ואי זוגי) יישארו. שאריות אחרות - לא. נסה p=3 ו-n=2. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הקדמתי (בדיוק ב-30 דקות) תרופה למכה. תגובה 327559. העניין הוא שגם עבור כל ערך ראשוני אחר של p, אני יכול להוכיח את הטענה באמצעות רשימת כל השאריות והריבועים שלהם. לכן אני לא רואה שום דבר שמבדיל בין 2 לראשוניים האחרים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא טענתי אחרת שיש, בכל הנוגע לנכונות הטענה, אם כי ההוכחה קצת פחות מיידית: צריך להראות שכל שארית חלוקה ב-p, כשהיא מועלית בריבוע, לא מתחלקת ב-p. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה לא טענת אחרת. משה כן 1. הטיעון הזה מופנה כלפיו. משה טען שבלי המשפט היסודי של האריתמטיקה אפשר להוכיח את הטענה הזאת רק עבור 2. 1 בפתיל שמתחיל בתגובה 327530. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הטענה יותר בעייתית: היא אומרת שלכל n שאינו ריבוע (לא בהכרח ראשוני) מתקיים שאם n מחלק את a^2 אז n מחלק את a. אם יש לך הוכחה של זה שאינה מערבת את המשפט היסודי, אני אשמח לשמוע. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הדגשתי את זה בתגובה 327559: לא ניתן (כנראה) להוכיח בלי המשפט היסודי של האריתמטיקה, את הטענה "לכל p ראשוני, שורש p אירציונלי". לעומת זאת, עבור כל p ראשוני, ניתן להוכיח את הטענה "שורש p אירציונלי". | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זוהי הבחנה דקה ויפה | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
האמת, כשאני קורא שוב את ההודעה אני לא ממש מבין אותה. נניח שעבור כל p ראשוני, ניתן להוכיח את הטענה "שורש p אירציונלי". הנה הוכחה שלכל p ראשוני, שורש p אירציונלי: יהי p ראשוני כלשהו. יש להראות שהשורש שלו אי רציונלי. ידוע כי קיימת הוכחה שהשורש שלו אי רציונלי, ולכן השורש שלו אי רציונלי. מ.ש.ל? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא, כי אנחנו (כלומר, הצעיר) יודעים שעבור כל p ראשוני נצליח להוכיח את הטענה "שורש p אירציונלי" רק בזכות המשפט היסודי של האריתמטיקה, והצעיר החליט לא להשתמש בו. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה רק הופך את ההודעה ההיא של הצעיר למובנת עוד פחות לי. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
למה? את המשפט "לכל p ראשוני שורש p אי-רציונלי" אפשר להוכיח רק אם מניחים משהו על פריקות - המשפט היסודי של האריתמטיקה. אם אנחנו מחליטים שאנחנו לא יודעים את המשפט הזה, הוא לא הופך באחת ללא-נכון, רק שאסור לנו להשתמש בו. לכן, אנחנו יכולים לעבור p אחרי p וכל פעם להוכיח "בכח" שהשורש שלו אי-רציונלי. אולי יום אחד נתקל ב-p ששורשו רציונלי? כאן בא אחד שיודע את המשפט היסודי ואומר לנו, כמיטב המסורת הישראלית - "יהיה בסדר. סמוך". |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מה זאת אומרת "בכוח"? תוכל להראות את ההוכחה? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מישהו כבר הקדים אותי: תגובה 327564 מראה איך לעשות את זה עבור 2, ו-תגובה 327579 נותנת את המתכון לכל מספר ראשוני (ולכך התכוונתי ב-"בכוח"): לכל p מכינים רשימת שאריות (1 עד p-1) ומראים שכל העלאה בריבוע של מספר המתחלק ב-p עם כל אחת מהשאריות לא מתחלקת ב-p. כך נוכל להראות שאם a^2=b^2*p אז גם a וגם b מחלקים את p, ומגיעים לסתירה. יכול להיות שאני לא מבין משהו עמוק כאן, ואולי עדיף לחכות לצעיר. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
יפה. מכיוון שההוכחה הזו כללית לכל p, אין שום מניעה להוכיח את המשפט "לכל p שורש p אי רציונלי" בלי להשתמש במשפט היסודי של האריתמטיקה: יהא p כלשהו אז נשתמש בהוכחה הכללית כדי להראות שריבוע מתחלק על ידי p אם ורק אם השורש שלו מתחלק על ידי p ובא לציון גואל. השימוש היחיד שצריך לעשות במשפט היסודי של האריתמטקה הוא כדי שהטענה תהיה נכונה לשורש של כל n שאיננו ריבוע, גם אם n לא ראשוני. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני אולי לא מבין מספיק מתמטיקה, אבל איך אתה מוכיח עבור שארית a כללית ש-a^2 לא מתחלק ב-p בלי המשפט היסודי? (מעניין אותנו a^2 כי את הריבוע אפשר לפתוח לשני גורמים שבוודאות מתחלקים ב-p ועוד a^2). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
עוזי הראה בתגובה 327627. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אכן לא הבנתי את התגובה ההיא ואיך ההוכחה שם הולכת. כנראה שאני מפספס משהו מאוד בסיסי פה, אז אני אפסיק להטריד. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה לא מטריד. עוזי מתבסס על מה שמכונה "האלגוריתם האוקלידי". בעזרת האלגוריתם ניתן להראות שאם x זר ל-n אז קיימים מספרים שלמים a,b כך ש-an+bx=1. האלגוריתם הזה מתקיים באוסף מיוחד של חוגים שנקראים "חוגים אוקלידיים" ושיש בהם מושג כלשהו של חילוק עם שארית (אם תרצה אני ארחיב) - המספרים השלמים הם חוג כזה, ולא צריך את המשפט היסודי של האריתמטיקה בשביל להראות את זה. גם ההפך נכון אם an+bx=1 עם a,b שלמים אז x,n זרים (כי המחלק המשותף המקסימלי של x,n מחלק כל אחד משני האיברים בסכום אז הוא מחלק גם את מה שבצד ימין, ולכן הוא חייב להיות 1). עכשיו עוזי לוקח את המספרים שלנו וכותב ax+bn=1 ו- cy+dn=1. הוא כופל ומקבל את הדבר הבא: (ac)xy+(da+cb+db)n=1 תכפול ותעשה כינוס איברים אם אתה לא מאמין לי. אבל מה קיבלנו? מה שבסוגריים הם מספרים שלמים, ולכן אפשר להפעיל את הכיוון ההפוך ולקבל ש-xy זר ל-n.
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כינוס האברים לא יצא לי ממש מה שכיוונת (בתוך הסוגריים לפני n יצא לי dax+bcy+dbn, זה לא משנה כי זה בכל מקרה שלם), אבל הבנתי את ההוכחה. עוזי לא רשם שהמספרים a עד d שלמים ולא הכרתי את "האלגוריתם האוקלידי". תודה רבה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בכינוס האיברים כמובן שזו טעות שלי ואתה צודק (גם בתשובה וגם בכך שזה ממילא מספר שלם). אם אתה לא מכיר את האלגוריתם האוקלידי זה קצת יותר בעייתי, כי קשה להסביר על רגל אחת. אני אנסה כאן ואפשר גם לקשר אותך לויקיפדיה: הרעיון הבסיסי הוא זה: אם יש לך יכולת לחלק דברים עם שארית (כלומר, אם יש לך איברים x,y אז קיימים איברים q,r כך ש-x=qy+r כאשר r קטן מ-y במובן מסויים שלא ניכנס אליו כאן אבל כשמדובר במספרים שלמים הוא פשוט הערך המוחלט שלהם) אז יש אלגוריתם למציאת מחלק משותף מקסימלי של שני איברים. מחלק משותף מקסימלי d של x,y הוא פשוט מספר שמחלק את x,y וכל מספר שמחלק גם את x וגם את y מחלק בהכרח גם את d. כבר אתה רואה ש-d לא יחיד - מחלק משותף מקסימלי של 6,15 הוא גם 3 וגם מינוס 3. מתברר שזה ההבדל היחיד שיכול להיות בין מחלקים מקסימליים במספרים שלמים - הסימן. איך עובד האלגוריתם האוקלידי? נניח שהמספרים שלנו הם x>y ולצורך פשטות הם טבעיים. תחלק את x ב-y ותקבל, כאמור, x=qy+r. עכשיו שים לב למשהו מעניין: מחלק משותף מקסימלי של y ו-r הוא גם מחלק משותף מקסימלי של x,y (שאנחנו מסמנים d). למה? ברור ש-d מחלק את r כי הוא מחלק את x,y והרי r=x-qy (אז d מחלק כל גורם באגף ימין ולכן מחלק את אגף שמאל). בנוסף, אם e הוא איבר שמחלק את r,y (סליחה על עודף האותיות) אז הוא מחלק גם את x, כי הרי x=qy+r. לכן e מחלק את d, כי הרי אמרנו שכל מי שמחלק את x ואת y מחלק את d. מה יצא לנו מכל זה? שעכשיו כדי למצוא את מחלק משותף מקסימלי של x,y מספיק למצוא מחלק משותף מקסימלי של y,r, והרי y>r ולכן הממדים של הבעיה שלנו מצטמצמים, ואנחנו יכולים להמשיך באותה השיטה בדיוק עד שנקבל בשלב מסויים שני מספרים a>b שאנחנו מחפשים להם מחלק משותף מקסימלי ומתקיים ש-b מחלק את a ללא שארית, ואז b הוא מן הסתם המחלק המשותף המקסימלי. כל זה ארוך ומסובך אבל לא השתמשנו בכלל במשפט היסודי של האריתמטיקה. עכשיו נשאר הטוויסט האחרון, שאני לא אוכיח לך כאן: אם d הוא מחלק משותף מקסימלי של x,y אז קיימים מספרים שלמים a,b כך ש-ax+by=d - ואפשר למצוא אותם באמצעות הרחבה קלה של האלגוריתם האוקלידי. אם כל זה ברור לך ועדיין ההוכחה של עוזי לא ברורה לך תגיד ואני אמשיך (כבר כמעט גמרנו). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
יפה מאוד ותודה רבה. אין צורך להמשיך. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא חיוני לשיחה, אבל הגרסה שלהלן כל כך חמודה: כדי למצוא את הממג"ב של a ו־b, חסר מן הגדול את הקטן. המשך עד שתקבל אפס באחד מהם. השני הוא הפתרון. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מה שמעניין הוא אם האלגוריתם הזה יעיל באותה מידה כמו האלגוריתם המקורי. למישהו יש דוגמה שעליה האלגוריתם הזה "ייתקע" להרבה זמן? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם אתה מחפש את הממג"ב של 1,000,000 ו-7, האלגוריתם המחסר יבלה זמן רב בניסיון להיפטר מה-7. זו חידה נחמדה למצוא את צמדי המספרים הכי גרועים לאלגוריתם האוקלידי (רמז: בצמדים האלה, האלגוריתם המחלק מתנהג דומה מאוד לאלגוריתם המחסר). (עוד רמז: שפנים). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
פיבונאצ'י? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כן. (למה?) | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נניח ש-x,y הם שני מספרי פיבונאצ'י רצופים, אז x=y+z כש-z הוא זה שלפני שניהם, ו-y>z כי y עצמו הוא סכום של שני מספרים טבעיים שאחד מהם הוא z. לכן x=y+z זו גם החלוקה עם שארית של x ב-y. נחמד. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בינתיים רק הסברת למה בהפעלת אוקלידס על פיבונצ'י, המנה בכל סיבוב היא תמיד 1 (והשארית היא מספר פיבונצ'י קודם). אינטואיטיבית זה נראה "הכי גרוע", אבל זה תרגיל מעניין וחינוכי לנסח בדיוק את הטענה שזה באמת "הכי גרוע", ואז להוכיח אותה בזהירות. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מה זה כבר מקדם פולינומי ביני ובינך... | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מחלק משותף גדול ביותר. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תודה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
עיקר שכחתי - אשמח אם תרחיב על האלגוריתם האוקלידי. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מי שיודע מה זה כופל משותף מקסימלי? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
למשחק "הוכח ש... בלי להשתמש ב..." יש לפעמים ערך פדגוגי, לא מתמטי. במקרה שלנו, אגב, באמת לא צריך את המשפט היסודי של האריתמטיקה - ראה תגובה 327627. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הוכח שהגבול של sinx/x כש-x שואף לאפס הוא 1 מבלי להשתמש בכך שידוע ששטחו של מעגל היחידה הוא פאי. בכל הספרים שראיתי ההוכחה הגיאומטרית מתבססת על הנתון הזה או על דברים ש"קל לראות" מהשרטוט, אבל לא ברור לי איך מוכיחים שהשטח של מעגל היחידה הוא פאי בלי להשתמש איכשהו בגבול הזה קודם. (אם אפשר, גם בלי להגיד "sinx מוגדר להיות הטור x-x^3/6+..." - השאלה היא האם אפשר בלי זה). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הנגזרות של סינוס נחשבות למידע שהושג בעזרת כך שידוע ששטחו של מעגל היחידה הוא פאי? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כדי לגזור את סינוס (כפי שהוא מוגדר בעזרת מעגל היחידה) אתה צריך את הגבול sinx/x (ככל הידוע לי). בשביל לגזור את סינוס אם הוא מוגדר כטור אתה רק צריך להראות שהטור מתנהג נחמד. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לפרשייה הזו יש הפי אנד: (ואפשר גם לעיין ב-Calculus של Moise שגם מוכיח את הגבול בצורה משכנעת בלי להשתמש בשטח המעגל וגם מחשב את שטח המעגל בצורה משכנעת בלי להשתמש בגבול). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אלא אם ה... (האחרונות) הן אקסיומה בלתי תלויה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
במקרה הזה זו פשוט הייתה תגובה למשה, שטען טענה היסטורית: לפני שידעו את המשפט היסודי של האריתמטיקה, ניתן היה להשתמש בשיטת ההוכחה האלגברית שמשה הציג כדי להוכיח את אי הרציונליות *רק* של שורש 2. אני טענתי שגם בלעדיו יכלו בקלות להרחיב את ההוכחה לשורשים של ראשוניים אחרים. זה הכל. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
האמת היא שהפתיל הזה, כמו שאמר עוזי, מיותר. הוא התחיל מטענה היסטורית שטען משה: לפני שהכירו בני האדם את משפט היסוד של האריתמטיקה, הם יכלו להוכיח באמצעות ההוכחה האלגברית עליה אנחנו מדברים *רק* ששורש 2 אירציונלי. אני הראיתי שיש הרחבה פשוטה שלו גם לראשוניים אחרים. אח"כ עברנו לדיון מתמטי-סמנטי על מיקום הכמת "לכל" לפני ואחרי המרכאות. דיון כזה הוא כמובן מתמטי ולא היסטורי, ולכן אין טעם להמשיך להתעלם מקיומו של המשפט היסודי של האריתמטיקה. ובכל זאת אני אענה לך: קודם חשבתי שכדי להוכיח את ה"ידוע" שלך חייבים להשתמש ב"משפט האסור". עוזי הראה שטעיתי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
(הטענה הזו לא נכונה: קח n=8 ו- a=4). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
עוזי: (הטענה הזו לא נכונה: קח n=8 ו- a=4). אביב: אבל זו בסה"כ הפרכה ע"י דוגמא נגדית וזה לא מחזיק מים. הבעיה היא שאתה מניח את הפרכת הטענה ע"י דוגמתך משום שאתה שבוי בתפישה בה הטענה יכולה להיות רק נכונה או לא נכונה ואתה מתעלם לחלוטין הן ממצבי רוויה והן מן המצבים המעורבלים הנדירים (אך מהותיים למערכת) שאליהם ניתן להגיע. אם היית מוסיף לתורת הקבוצות את ההנחה לגבי קיום הקבוצה המעורבלת (המסומנת כך {..۞..} בניגוד למצב ההופכי של הקבוצה המנותקת לסירוגין {__ __ __}) היית מגיע למסקנה שהמצב המעורבל כולל את רשמי החושים בצורה המתאזנת עם ההנחות הלא מודעות, בקרב יצורים תבוניים, כפי שמתואר בפירוט באסטרולוגיה הגושמנית. כמובן, שלפני שתוכל להבין תגובה זו, אני ממליץ על קריאת הפירוט על אותה תורה שחושפת את האמת לגבי מושג הזמן ועוקרת את הקוסנפציה שלנו לגבי יחסי סיבה-תוצאה. תורה זו, המערערת את אושיות החשיבה המערבית, כפי שאנו מכירים אותה היום, אף מפריכה את הלוגיקה הטמפולרית ואת עצם האפשרות לקיומו של פתית השלג של Koch. ראה את המאמר אודות האסטרולוגיה הגושמנית שהעלתי לרשת http://humor.co.il/astrology.php?PHPSESSID=8281ac011...). תודה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אופס. איך מוכיחים ששורש 8 אי רציונלי? מתבססים על אי הרציונליות של שורש 2? האם הטענה כן נכונה עבור מספרים שאינם מתחלקים על ידי ריבוע? אחרת קצת קשה לי לראות איך אפשר, מנכונות הטענה עבור p ראשוני, להגיע לכך שהיא נכונה לכל n שאינו ריבוע. |
|
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |