בתשובה לדורון שדמי, 02/09/05 17:37
 |
|
 |
||
|
||||
 |
"לא טענתי ש- ZF נבנתה מדיאגרמות וון" לפי מה שהבנתי, זה הקשר שיצרת בין אי הבנת מושג ה"קו" להשלכות מרחיקות לכת על הלוגיקה. יכול להיות שלא הבנתי אותך נכון. אם כן, אני אשמח להבין איך דיאגרמת ון נכנסה לתמונה (ויותר מפעם אחת במהלך הדיון). "כיצד אתה מדגים שאין שום קשר בין הלוגיקה המבוטאת ע"י דיאגרמות וון לבין הלוגיקה שעליה מושתתת ZF" לא אמרתי שאין שום קשר. דיאגרמות ון הן כלי כדי להקל על האינטואיציה שלנו בנוגע לקבוצות. אמרתי רק, שלא ניתן להסיק מתכונות (או פגמים) של הדיאגרמה תכונות של הלוגיקה. הנה מספר סיבות שבגללן דיאגרמת ון לא נותנת תיאור שלם של הלוגיקה של הקבוצות: 1. דיאגרמות ון כוללות מספר סופי של קבוצות, ולכן יש יחסים של אינסוף קבוצות שלא ניתן לבטא בהן. 2. בדיאגרמות ון יש נקודות שמסמלות איברים (ולעיתים כל הנקודות הן איברים) אבל מאחר שהדיאגרמה היא במישור אין התייחסות לקבוצות שעוצמתן מעל c. 3. בדיאגרמה אין התייחסות לקבוצה כאיבר של קבוצה אחרת. 4. בתורת הקבוצות, כל קבוצה של איברים שניתן לבחור היא קבוצה, אך הדיאגרמה מתייחסת רק לחלק מהקבוצות שניתן ליצור מאיברים מסויימים. 5. לא מן הנמנע, שגם יחסים מסוימים בין מספר סופי של קבוצות לא ניתן להציג בדיאגרמה, משיקולים טופולוגיים. בכל אופן, אין משמעות לוגית להתייחסות אחרת ל"קו" בדיאגרמת ון. "'הישר-הממשי' הוא דוגמא לשימוש במושג הקו כדי לתאר אוסף" אז במקום לדבר על "הישר הממשי", נדבר על "השורה הממשית", כאשר "שורה" מוגדרת כ"קבוצת הנקודות שחלות בישר נתון". את המושג "שורה" לקחתי מגיאומטריה פרויקטיבית, שבה מוגדרת גם "אלומה", כ"קבוצת הישרים שחלים בנקודה נתונה". עכשיו העסק קצת יותר מסודר: "נקודה" ו"ישר" הם מושגי יסוד שאינם אוספים. עם זאת, כל ישר _מגדיר_ קבוצה של נקודות ("שורה") וכל נקודה _מגדירה_ קבוצה של ישרים ("אלומה"). ע"פ גישה זו, שעליה אנחנו יכולים להסכים בינינו, להגיד "ישר זו קבוצה" זה בדיוק כמו להגיד "נקודה זו קבוצה". על זה אנחנו מסכימים? ________ "גרוע מכך, הילברט משתמש במושגי היסוד החשובים האלה בלי להגדיר אותם כלל, והם אמורים לקבל את משמעותם בהתאם למערכת האקסיומות שאליה הם משתייכים. במילים אחרות, מערכות מתמטיות שונות נותנות שימושים שונים לאלמנטים שטיבם לא הוגדר." בדיוק! זאת הנקודה שאני מדגיש כבר כמה הודעות! רק שזה לא כל כך גרוע. להפך, זה הכרחי. אם אתה מגדיר כל מושג באמצעות מושגים אחרים, בסוף תגיע ל"לופ". לכן, חייב להיות מושג כלשהו לא מוגדר. איך נוכל לדבר על אותו מושג? רק אם נסכים על תכונות מסוימות שלו, ועל יחסים מסוימים בינו לבין מושגים אחרים. (כך המתמטיקה מתייחסת ל"נקודה", "ישר" ו"קבוצה".) על זה אנחנו מסכימים? "מערכות המושתתות על הנחות סמויות" אחד הדברים הנפלאים במתמטיקה בימינו הוא שאין בה הנחות סמויות. האם קראת את דיון 2396 (גם מאת אלון)? שם ZF מוגדרת כמערכת אקסיומות "אפקטיבית". מה זה אומר? שמחשב יכול לעסוק בה ולהוכיח בה משפטים. וכאשר הדברים מגיעים למחשב, כמובן שאין הנחות נסתרות. What you see is what you get. "כאשר ברור לגמרי..." בוודאי שמת לב שלכל משתתפי הדיון, למעט אתה ומשה קליין, זה רחוק מלהיות ברור לגמרי. "ולכן אוסף אינסופי אינו שלם בהכרח" גם אתה מתעסק במושגים בלי להגדיר אותם, ובלי להצביע על אף תכונה שלהם. אין לי מושג מה זה "שלם" בעולם המושגים שלך, או מה התכונות של אותה "שלמות". "הקרדינל המדוייק שלו לא קיים" לא הבנתי איך אתה מסיק את זה. אולי אם אני אדע מה זו "שלמות" אני אבין. "וכל העולם הטרנספיניטי הינו משחק שאין בבסיסו מאומה" על זה אנחנו מסכימים. אני רק חייב לציין שתי עובדות: א) זה לא דבר רע. זה משחק, אבל משחק מעניין. ב) זה גורלה של כל תורה מתמטית. הבסיס שלה יכול להיות לכל היותר אמפירי. "ובכן כיצד אתה מסביר את ההמנעות של אלון לפתוח בדיון פתוח ונוקב על תוכן מאמרו?" אלון ענה על זה: הוא מכיר אותך מתוך אתר האינטרנט שלך (אליו הוא קישר באחת התגובות שלו), והוא גם עוקב אחרי הדיון הזה. אלון משוכנע שאתה "טרחן כפייתי". כפי שהוא הסביר לא פעם, לדעתו אין טעם לנהל דיאלוג עם טרחנים כפייתיים. למעשה, זה לא שאלון לא רוצה לנהל איתך דיון פתוח. הוא פשוט לא מאמין שיכול להתנהל איתך דיון פתוח. בכל אופן, יש פה מספיק "נציגים" של הגישה שאותה אלון מציג. כל שאלה שתציג תזכה לתשובה (או לכמה תשובות מכמה אנשים). ובכל זאת, מייצגי הגישה של אלון עדיין נמצאים פה כ"שואלים", בעוד אתה ומשה הייתם ה"מרצים" לאורך כל הדיון. (לגבי דבריך לסמיילי שאליהם הפנית אותי: אני אשמח לראות את מושג הקבוצה באור שונה, נוסף. כמו שאני נהנה מקומר או קונווי שהציגו את המספרים באור שונה, או מלובצ'בסקי שהציג את הגיאומטריה באור שונה. זה לא יגרום לי *לשכוח* את ההסתכלויות האחרות שאני מכיר ש_גם הן מעניינות_, כי אני לא רואה מה *שגוי* בהן. ולא, זה לא ינתק אותי מהקהילה שלי, כמו שזה לא ניתק את אותם מתמטיקאים מהקהילה שלהם. אנשים כמו אלה שאיתם נפגשת כאן לא מתייחסים אליך ברצינות לא כי אתה שונה, אלא כי הם לא מבינים אותך.) |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
"יש פה מספיק "נציגים" של הגישה שאותה אלון מציג." אתה מתכוון שאלון "הצדיק" מלאכתו נעשית בידי עדר מרעיו. אייל צעיר, האם אתה לא מבין את הזילות שבדבריך? על איזה דיאלוג פתוח אתה מדבר? הרי אינך מעיד לעשות את הצעד הפשוט ביותר שהוא להכניס את הקבוצה המלאה לתורת-הקבוצות ולהסיק את המסקנות הנובעות מכך. במקום זה אתה מנסה החלפת שורה בישר, רק כדי לא להתמודד עם המטלה הפשוטה שהצעתי לך. "אחד הדברים הנפלאים במתמטיקה בימינו הוא שאין בה הנחות סמויות." מחשב לא יכול להוכיח את העיקביות של ZF , כי שום תוכנית מחשב לא יכולה לחקור אוסף אינסופי (כמו כן אתה מתעלם ממשפטי אי-השלימות של גדל). חלומו של הילברט היה להוכיח בצורה מכאנית (אז עוד לא היו מחשבים, אבל הקוונה ע"י תהליך מכאני ללא התערבות אדם) את העיקביות של כל מערכת אקסיומטית במסגרת השיטה האקסיומטית. אך גדל הראה שכל מערכת המסוגלת להגדיר קבוצה אינסופית (כמו N למשל) היא או עיקבית אך בלתי שלימה (יש בה משפטים בלתי-כריעים) או שלימה אך לא-עיקבית (ממערכת בלתי-עקבית אפשר להוכיח דבר והיפוכו) ובכך הוא קבר את החלום המכאני של הילברט. ואפילו אם ניתן להוכיח משפטים בעזרת מחשב, זה לא אומר דבר וחצי דבר על טיבם של מערכות אקסיומטיות, כי הן המערכת הנבחנת, והן המחשב, הן תוצר פרי תודעתנו, והמחשב אינו אלא סוכן או שלוחה שלנו עצמנו, כך שאין פה שום דבר עמוק, אלא עוד שיטה להתעלמות מקיומה של תודעת המתמטיקאי כגורם משמעותי המשפיע על התוצאות. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"אתה מתכוון שאלון 'הצדיק' מלאכתו נעשית בידי עדר מרעיו." אתה מגיב בצורה אמוציונלית מדי. סה"כ אמרתי שאתה לא צריך להשתמש בעובדה שאלון לא מנהל איתך דיאלוג, כדי להצדיק את זה שאתה לא מנהל איתי דיאלוג, מה שמתבטא בכך שאתה לא מעוניין לשמוע על גישה המודרנית במתמטיקה, ולא שואל שאלות. "להכניס את הקבוצה המלאה לתורת-הקבוצות" בשמחה. "ולהסיק את המסקנות הנובעות מכך" זהו, שאת זה אני לא מצליח. איכשהו אתה קופץ מהכנסת הקבוצה המלאה למושג של "שלמות" שלא הגדרת קודם, ומשם לכך שהעוצמה של קבוצה אינסופית אינה מוגדרת. אני לא מבין את ההיקש שלך. "מחשב לא יכול להוכיח את העיקביות של ZF" גם אני לא, וגם אתה לא. מה רצית להגיד בזה? "כי שום תוכנית מחשב לא יכולה לחקור אוסף אינסופי" תוכנות יכולות להסיק משפטים מאקסיומות פאנו, ובכך להוכיח טענות על המספרים הטבעיים, שזו קבוצה אינסופית. למה אתה מתכוון כשאתה אומר "תוכנית מחשב חוקרת"? "חלומו של הילברט היה להוכיח בצורה מכאנית את העיקביות של כל מערכת אקסיומטית במסגרת השיטה האקסיומטית" הילברט אפילו לא חשב שאפשר *לנסח* את טענת העקביות של ZF ב-ZF. עיין בהסבר על משפט אי השלמות השני של גדל בדיון 2396. "אך גדל הראה שכל מערכת המסוגלת להגדיר קבוצה אינסופית..." לא כל קבוצה אינסופית. N. או אם לדייק: N בהנחת PA. "ולחקור" פירושו להכריע את *כל* הטענות שניתן לנסח ב*שפה מסוימת* (PA). שוב אני ממליץ לך לקרוא את דיון 2396. לסיכום: כל מה שאמרת על מחשבים וגדל לא קשור. השתמשתי במילה "מחשב" רק מתוך השערה (סבירה) שאתה לא מכיר את המונחים "מערכת אקסיומות אפקטיבית" או "אלגוריתם במכונת טיורינג או במודל חישובי שקול לה". בעצם, המחשב הוא לא העניין פה. זו פשוט הדרך הפשוטה ביותר להסביר לאנשים שלא מכירים את תחום החישוביות מה זו "מערכת אקסיומות אפקטיבית". כל מה שרציתי להגיד הוא ש*אין*, *אין*, ועוד פעם *אין* הנחות סמויות במתמטיקה. נ.ב. הגדרת המושג "שורה" לא היה התחמקות מכלום. הגדרתי "שורה" כדי להסביר לך שגם במתמטיקה ה"רגילה" ישר הוא מושג יסוד ולא אוסף. להגיד "ישר זו קבוצה של נקודות" זה בדיוק כמו להגיד "נקודה היא קבוצה של ישרים". |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"כל מה שרציתי להגיד הוא ש*אין*, *אין*, ועוד פעם *אין* הנחות סמויות במתמטיקה." טעות בידך, אנא ראה הנחה סמוייה ברורה ביסוד האקסיומות המגדירות את המספרים הטבעיים: היות ושפת המתמטיקה תלויה אף תלויה במודעותנו, לעולם לא נוכל לדעת באיזה הנחות סמויות אנו משתמשים כאשר אנו מגדירים מערכות מתמטיות. אשמח אם תראה הוכחה חד-משמעית הסותרת טענה זו. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אולי זו בעיה שלי, אבל מתוך המסמך הארוך הזה לא הצלחתי לברור את ההנחה הסמויה. אנא פקח את עיני. בכל אופן, אם תהליך ההוכחה יכול להתבצע מכאנית ע"י אלגוריתמים שמוגדרים באופן סופי, אין בהוכחה הנחות סמויות. אם יש פונקציה ניתנת לחישוב ומוגדרת היטב, שמקבלת סדרה סופית של טענות ומחזירה "כן" אם זו אקסיומה / צעד היקש תקפים, ו"לא" אם זה לא - אז במערכת האקסיומות שמוגדרת ע"י הפונקציה אין הנחות סמויות. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"אולי זו בעיה שלי, אבל מתוך המסמך הארוך הזה לא הצלחתי לברור את ההנחה הסמויה. אנא פקח את עיני" כבר בתחילת המסמך אני מדגים כיצד אקסיומות פיאנו ו-ZF מבוססות על הנחות סמויות, הנובעות ישירות מהבנה חלקית של מושגי הכמת והסדר. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תוכל להדגים ולהציג הנחה סמויה כזאת? מה בעצם המשמעות של "האקסיומות מבוססות על הנחות סמויות"? אם היית אומר שהוכחה מסוימת מכילה הנחות סמויות, הייתי מבין. אבל אם האקסיומות מכילות הנחות סמויות - הן כבר לא "סמויות". |
|
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |