בתשובה לעוזי ו., 18/07/05 3:26
 |
|
 |
||
|
||||
 |
1. ודאי שיש כאלה; משפט גדל מבטיח לך זאת. מה שמעניין אותי היא השאלה הבאה: אם תשתכנע, או שיוכיחו, ש- Twin Primes היא לא כריעה ב-ZFC, האם זו תהיה סיבה מספיק טובה עבורך לזנוח את האמונה שהסדרה 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 29, 31, ... היא או סופית או אינסופית? "אם יש צדק בעולם", הייתי אומר, היא או זה או זה. 2. אין (לי) (כמובן) כל בעייה עם זה. אבל דווקא העמדה הזו, נראה לי שיותר קשה להגן עליה: ההכרעה הפרטנית נולדת משיקולים שהם, כנראה, קצת מעורפלים. 3. שום דבר לא הולך לאיבוד. טעמי האישי הוא שחד-משמעיות משפטים מסדר ראשון על N היא עובדה מוצדקת אף יותר מאקסיומת הבחירה. מכפלות קרטזיות שלא נעלמות נותנות לי שני תפוזים לבנות מהם שמש, זה צדק זה? מצד שני, כאמור, סדרות פשוטות שלא יודעות להחליט אם הן סופיות או לא, זה כבר נראה לי ממש נבזי. |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
נדמה לי שהגישה הזו נוגדת את משפט גדל עצמו. אם יש מספרים טבעיים 'אמיתיים', אז אפשר להתייעץ איתם בכל פסוק אריתמטי. אפשר לערוך רשימה של כל המשפטים הנכונים (מסודרים לפי אורך), ולצרף את כולם לאקסיומות פאנו. המערכת הזו חזקה מספיק (כוללת את אקסיומות פאנו), עקבית (כי היא מדברת על ''העולם האמיתי''), ושלמה (כי אספנו את כל המשפטים). זה משאיר רק את סדק האפקטיביות. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נכון מאוד. קוראים לזה True Arithmetic, וכפי שציינת זה לא נוגד את משפט גדל - סדק זה סדק. בגרסה הראשונה של המאמר אפילו הזכרתי את התורה הזו כדוגמה לתורה לא אפקטיבית, אבל נבונים ממני יעצו לי ש-Here be dragons. עוד שאלה פילוסופית: למה היכולת שלנו להכריע בשאלה מסויימת מכתיבה את דעתנו על קיום תשובה חד-משמעית לשאלה? אני אגנוב דוגמה מדיוויד גייל: "לקליאופטרה היה סוג דם A" הוא משפט שלא נוכל לדעת לעולם אם הוא אמת או שקר (אלא אם תתחולל איזו סנסציה), אבל לא נראה שזה משנה את דעתנו שאו שהיה לה סוג דם A, או שלא. היחס שלי למשפטים שאינם כריעים ב-ZFC הוא דומה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם כך, למשפט גדל יש מסקנה פילוסופית: אם מניחים שקיים מודל "טבעי" למספרים הטבעיים (וכך לכל פסוק מסדר ראשון בשפה האריתמטית יש ערך אמת טבעי - והוא או אמת או שקר), אז לפי המשפט אין דרך אפקטיבית לגלות את ערך האמת הזה. זה לא מבטל את ההבדל בין העמדה הזו לבין האלטרנטיבה (יש משפטים בלי ערך אמת), אבל בעיני זה הופך אותו להרבה יותר קטן. מלבד זה, האם לדעתך יש ערך אמת טבעי לכל פסוק שאפשר לנסח בשפה של תורת הקבוצות, כאשר הוא מתייחס למספרים (וקבוצות של מספרים, וקבוצות של קבוצות של מספרים, ואתה רואה לאן אני חותר)? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"אין דרך אפקטיבית לגלות את ערך האמת הזה": וודאי - זה לרוב מכונה בשם "משפט טרסקי". זו לא (רק) מסקנה פילוסופית, אלא משפט מתמטי מדוייק, בתנאי שאתה מסכים שיש דרך לנסח אותו בכלל - זה, אם אני לא מחמיץ משהו, מחייב אותך להסכים שיש דבר כזה "אמת". ניסוחים מסוג זה הם מקובלים למדי, עד כמה שראיתי; אפשר למצוא כאלה בספרים שהזכרתי (Boolos, Jeffreys, Burgess או Franzen, למשל). אני לא בטוח שהבנתי את השאלה בסוף - אילו פסוקים בשפה של תורת הקבוצות מתייחסים למספרים? אני מניח שיש ערך אמת טבעי לכל פסוק שיש בו +, *, >, =, 0, ', A ו-E ותו-לא, אם כי אני בוודאי מקבל *הוכחות* המבוססות על אקסיומות מתוחכמות יותר מ-PA. כפי שאמרתי (וזו בוודאי לא המצאה מקורית שלי), המושג "קבוצה שרירותית של מספרים" הוא בפירוש יותר מעורפל. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נשמע שאתה בהחלט מצדד בגודסטיין, לא? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא בטוח שהבנתי. השאלה היא האם אני מאמין שסדרות-גודסטין תמיד שואפות ל-0? בוודאי. אי-אפשר להראות זאת ב-PA, אבל נראה שיש הסכמה כללית ש*זה* לא אומר הרבה על "האמת". | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
התבלבלתי, כמובן. אני מתכוונת לגולדשטיין.:) | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אה. אז שוב לא הבנתי - באיזו אמירה שלה אני מצדד? אם הכוונה לקטע בו הסבירה שמשפט גדל מחזק את הגישה הפלטוניסטית, אז דווקא לא (את הגישה הפלטוניסטית לאריתמטיקה מסדר ראשון אני מקבל, אבל לא *בגלל* גדל). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
חשבתי שזה כן מתקשר לטענתך שמשפט גדל מוכיח שיש משפטים שנכונותם/מופרכותם אינן נובעות מהאקסיומות, לא? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אבל משפט גדל לא מוכיח את זה, אלא למי שמסכים מראש שיש דבר כזה "נכונותם/מופרכותם". משפט גדל אומר ש(עבור כל מערכת אקסיומות המקיימת... )יש משפטים אריתמטיים שאי-אפשר להוכיח ואי-אפשר להפריך במערכת. פרשנות א': יש משפטים שאין להם בכלל ערך-אמת; הם לא נכונים ולא לא-נכונים. פרשנות ב': כל משפט הוא נכון או לא-נכון, אלא שכל מערכת אקסיומות היא חלשה מכדי להוכיח את כל הנכונים ולהפריך את כל הלא-נכונים. הויכוח בין שתי הפרשנויות נותר בעינו (כמובן) גם אחרי גדל, ולכן לא ברור לי הטיעון שגדל מקנה משקל יתר לפרשנות ב' (פלטוניזם אריתמטי). בכל אופן, אם השאלה היא האם אני פלטוניסט-אריתמטי - התשובה היא "כן" (לפחות עד שאורי או עוזי ישכנעו אותי אחרת. אני לא נעול על הגישה הזו). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בתגובתך ליזהר אתמול אמרת, "האמת לא תלויה באקסיומות, זו כל הנקודה." ואני התייחסתי לתפיסה *שלך* את משפט גדל. בכל אופן, כמו שאמרת (כאן ובדיון אחר, דומתני) - אתה "עדייו" פלטוניסט, לפחות בנוגע לטבעיים. כעת, הרגעת אותי בטענה שאלה לא מאכלסים עד התפוצצות איזה מחסן במעלה החמשה, אבל לא אמרת כלל באיזה מובן הם קיימים בעינייך. אתה יכול להגדיר את זה? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני חושב שכבר הגדרתי, אבל שוב: אני סבור שכל טענה מסדר ראשון על הטבעיים היא נכונה, או שהיא לא נכונה. זה הכל. האם בעקבות זאת יש לומר שהטבעיים "קיימים"? לא יודע. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם אתה אדם ולא מכונת טורינג, סדק האפקטיביות לא צריך להטריד אותך. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
האם אתה יכול להציג בפני קבוצת אקסיומות ו/או כללי היקש, כך שאני אוכל להכריע לגבי כל טענה חשודה האם היא אקסיומה או כלל היקש, והיא אינה ניתנת לחישוב 1? 1 כלומר, שפה ב-R. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כדאי שתשאל אדם, ולא אותנו, מכונות הטורינג. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"מכפלות קרטזיות שלא נעלמות נותנות לי שני תפוזים לבנות מהם שמש," את השירה הזאת אי אפשר להפסיק... מה ההמשך? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
עוד 2-3 אקסיומות ונתחיל לבנות את מכונת הטיורינג המתאימה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
והפיוט, מה יהיה עליו? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אלון מתיחס לפרדוקס בנך-טרסקי: |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בכלל לא קישרתי את "מכפלה קרטזית אינסופית נותנת קבוצה לא-ריקה" עם אקסיומת הבחירה. אבל למה שמש? מכפלה קרטזית שלא נעלמת נותנת שני תפוזים לבנות מהם תפוז. וכן, זה ניסוח מאוד פיוטי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"למה שמש?" - לא יודע אם אתה שואל ברצינות, אבל כן: משפט ב"ט מאפשר לחלק תפוז (או שניים) למספר סופי של חלקים, לסובב ולהזיז, ולבנות שמש. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בגרסה שאני מכיר, המשמעות היא שניתן לחלק כדור למספר סופי של חלקים, לסובב ולהזיז, וליצור שני כדורים זהים לו. זו גם הטענה שמופיעה בויקיפדיה (בקישור לעיל). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ובאינדוקציה... | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
השמש היא אוסף סופי של תפוזים? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא, אבל אפשר לבנות אותה מהם ע"י פירוק לחלקים, סיבובים והזזות; כיוון שיש לה אותו נפח כמו למספיק תפוזים, זה דווקא החלק הפחות מפתיע בסיפור. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אחח, אם רק האלכימאים היו יודעים את זה... | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה נשמע הגיוני, אבל לא הייתי בטוח, כי זה לא ממש ברור לי שאת הכדורים ניתן לחבר לכדור גדול פי 2. אבל אם אתה אומר שזה אפשרי, אני מקבל את זה כאקסיומה 1. 1 אם את *כל* מה שאתה אומר אני מקבל כאקסיומה, ואתה אכן מכונת טיורינג, מתקבלת מכך תורה אפקטיבית. נשמע נחמד :). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אל תקבל שום דבר כאקסיומה, בטח לא ממני... ההוכחה של משפט ב"ט היא ממש לא קשה, ולא דורשת שום דבר מעבר לקצת השכלה מתמטית שנראה לי שיש לך. החלק הכי קשה הוא ההוכחה שחבורת הסיבובים במרחב מכילה חבורה חפשית, וזה דווקא החלק שהכי קל לקבל אינטואיטיבית. יש ספר מאוד נחמד של Stan Wagon על המשפט הזה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מה זה "חבורה חופשית"? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
(הערך בויקי העברית מזעזע, לתשומת לב אלו שמבינים משהו). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תודה.:) | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני אנסה להציל את כבודי האבוד כמרצה-ברוחו שאוהב לתת תשובות עם תוכן. "חבורה" - אוסף של דברים (לא חשוב מה; לרוב נקראים "איברים") שאפשר לכפול אותם ("כפל" זו מכונה שלוקחת שני איברים ומחזירה איבר); אחד האיברים מתנהג כמו "1" (כלומר, כשכופלים בו X כלשהו, יוצא X); ולכל אחד מהאיברים יש הופכי (כלומר לכל X יש איזשהו Y כך ש-XY הוא ה-"1" הזה). חבורה חופשית היא חבורה שבנויה באופן הבא (בהגבלה קלה של הכלליות): לוקחים כמה אותיות, נניח שתיים (A ו-B); מוסיפים שתי אותיות שתהווינה הופכיות לשתי אלה (נניח a ו-b); ומגדירים חבורה שהאיברים שלה הן "מילים" באותיות האלה, כשאסור לאות להופיע ליד ההופכית שלה. ABabAA זה בסדר, BaA זה לא. הכפל מוגדר ע"י זה שרושמים את שתי המילים בזו אחר זו, ואז מצמצמים אם אפשר לצמצם: בכל פעם שרואים Aa או aA או Bb או bB, מעיפים את צמד האותיות הללו והמילה מתקצרת. למשל: ABa * AbA = ABaAbA = ABbA = AA (שתי המילים באמצע החישוב הזה הן רק תוצאות ביניים; הן לא מקיימות את האיסור על הופכיות צמודות כי עוד לא גמרנו לצמצם). אפשר לראות שמתקבלת חבורה: "1" זו המילה הריקה שאין בה בכלל אותיות, וההופכית של מילה מתקבלת ע"י זה שהופכים את סדר האותיות ומחליפים כל אות בהופכית שלה.החבורה הזו נקראת "חופשית" כי האיברים שלה לא מקיימים שום "יחס" חוץ ממה שמתחייב מחוקי החבורה. 0=2+3-2-3, למשל, זה יחס לא טריוויאלי בחבורה של המספרים השלמים עם חיבור. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תודה. הבנתי כבר את הרוב מהוויקיפדיה, רק לא מדוע החבורה נקראת ''חופשית''. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
היא חופשית מיחסים. בחבורות שאינן חופשיות יש יחסים שאומרים משהו על היוצרים של החבורה (למשל, ש- ababab=1). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כן, תודה. התכוונתי שזה החלק שאלון השלים לי אחרי הוויקיפדיה... | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אולי כדאי לציין שה''מכונה'' הזאת אינה בהכרח מכונת טיורינג. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
חשבתי (באיחור) ש''מכונה'' היא אכן ביטוי לא מוצלח כאן. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מרצה שלי (אי שם בשנות השמונים) סיפר פעם שבתואר ראשון הוא חזר הביתה וניסה להסביר לאמו את עניין התפוזים והשמש. אמא שלו אמרה רק: אם אלו השטויות שמלמדים אתכם באוניברסיטה, אולי עדיף שתמצא עבודה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נחמד :-) יש כמה דברים כאלה, שאפשר לספר לאמא ולקבל המלצה על שינוי כיוון. הגדרה: "עקום" במרחב הוא תמונה רציפה של הקטע [0,1] (כשמסבירים את זה לאמא, עושים כזו מין תנועה באוויר עם האצבע - מתחילים *פה*, עושים ווש-ווש-ווש, ומסיימים *פה*) משפט: קובייה היא עקום (וגם כדור, צלחת, אקליפטוס ומסננת). שם למשפט (אורי, זה בשבילך): Hahn-Mazurkiewicz. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"Hahn-Mazurkiewicz" נשמע בערך כמו "מחול החרבות". | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה לא עקום פאנו? (בלי שום קשר לאקסיומות פאנו פרט לאב הרוחני, עקום פאנו הוא מסילה רציפה שמכסה את ריבוע היחידה). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כן, חוץ מזה שכאן הוא מכסה קוביה. משפט ה"מ הוא הכללה של הבנייה הקונקרטית של פאנו, והוא נותן את התנאי המדוייק ב-R^n לקבוצה להיות עקום (משהו כמו קומפקטית וקשירה מסילתית, לא זוכר בדיוק; הקטע הוא שכל קבוצה העונה על שתיים-שלוש תכונות פשוטות שברור שיש לעקומים היא אכן עקום, ו"מימד" הוא לא אחת מהתכונות הללו). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"עקום" הוא *כל* תמונה רציפה של הקטע [0,1]? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כן (למה השאלה?) | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
פשוט לא הבנתי. וזה גם לא הוגן. חלק מהתמונות הן בטח ישרות להפליא... | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הגדרות מתמטיות הן נורא לא הוגנות. ''עקום'' יכול להיות ישר, ''ישר'' יכול להיות עגול, ''עיגול'' יכול להיות כדור ו''כדור'' יכול להיות פירמידה. ''קבוצה פתוחה'' יכולה להיות גם ''קבוצה סגורה'', ''קומפקטי'' יכול להיות בגודל של גלקסיה, ''טור'' כותבים בשורה ול''גבעול'' אין אף-פעם שיבולת, גם כשהוא ב''אלומה''. כאמור, עדיף לחפש מקצוע אמיתי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתם ממש לא רציניים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
גבעולים ואלומות? מאיפה זה? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
גאומטריה דיפרנציאלית אאל''ט. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"Sheaf" and "Stalk" (scheme theory, algebraic geometry, some algebraic topology.)
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ומה זה fiber bundle? אגד סיבים? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם כך bundle bundle זה אגד חבילות? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מה זה, "והיה הישר לעקום"? לא הגזמתם? אנשים נורמליים משתמשים לפעמים במכבסת מלים. אבל אתם הולכים על לכלוך? תתביישו! | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
למעשה המשפט היה ידוע לפני כמה אלפי שנים, ואף נמצאו לו שימושים מעשיים: "אמר להם ישוע: אין הם צריכים ללכת, תנו להם אתם לאכול. השיבו לו: אין לנו פה אלא חמש כיכרות לחם ושני דגים. אמר: הביאו אותם אלי הנה. הוא ציוה את בעם לשבת על הדשא, לקח את חמש ככרות הלחם ואת שני הדגים, נשא עיניו השמימה וברך. לאחר מכן בצע את הלחם ונתן לתלמידים והתלמידים נתנו לעם. הכל אכלו ושבעו, וממה שנותר אספו שנים עשר סלים מלאים. מספר האוכלים היה כחמשת אלפים איש מלבד הנשים והטף" (הברית החדשה, מתיוס י"ד 13-21) מסקנה: מזל שלא היו להם גם שני תפוזים. כך נמנע אסון גדול. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
צב"ר. יש, אגב, אנשים הסבורים שכל האמיתות המתמטיות מצויות בכתבי-הקודש - היהודים, הנוצריים, המוסלמיים או (תמיד זה *או*) ההינדיים. לעומתם יש כאלה הסבורים שמשפט-גדל מוכיח שהם טועים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
עכשיו כבר לא ברור מה יותר מקסים, הפיוט או הפרדוקס. תודה. | |
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |