בתשובה לאלון עמית, 15/07/05 18:00
 |
|
 |
||
|
||||
 |
כמובן שפסוק C לא שקול לעקביות המערכת, אלא רק תנאי הכרחי לה. פסוק העקביות יהיה "לא קיים Y המקודד שרשרת טענות כך שהקוד של הנוסחה 1=0 הוא מסקנה תקינה משרשרת זו, וגם לא קיים Y המקודד שרשרת טענות כך שהקוד של הנוסחה ... היא מסקנה תקינה משרשרת זו, וגם ..." אבל, איך ניתן לייצג את "פונקצית הגרירה" (שאומרת האם ניתן להסיק מסקנה X מטענות Y, או לא) באמצעות המושגים הבסיסיים של אקסיומות פאנו? |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
לא, הפסוק C שהבאתי שקול לגמרי לעקביות המערכת. אם היא לא עקבית, היא מוכיחה (בקלות) את 0=1, לא צריך אלטרנטיבות. "פונקציית הגרירה" היא לא יותר מיישום של אחת מבין משהו כמו תשע אלטרנטיבות למניפולציה פורמלית על מחרוזת. אין קושי רב לתרגם את המניפולציות הללו לנוסחאות. אתה רוצה לראות ממש איך זה נעשה? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
א. אה, נחמד! ב. כן, אני אשמח מאוד! תודה! |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
חשבתי שהבנתי שעקביות היא עקביות לגבי מקרה מסוים (לא מופיע 0=1) לא הבנתי? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם מערכת היא לא עקבית לגבי משהו, היא לא עקבית לגבי הכל. כלומר, אם המערכת שלך מוכיחה 1=0 היא לא עקבית, ואם המערכת שלך לא עקבית היא מוכיחה 1=0. זו בדיוק הבעיה במערכת לא עקבית: אפשר להוכיח ממנה כל מה שרק תרצה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם אני הבנתי נכון, לא מכל מערכת לא-עקבית אפשר להוכיח הכל - מערכת לא-עקבית היא כזו שיש בה משפט שאפשר להוכיח גם אותו וגם את היפוכו, אבל מכך לא נוגע שבמערכת הזאת אפשר להוכיח *כל* משפט והיפוכו. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם הבנתי נכון, מרגע שאפשר להוכיח במערכת דבר ואת היפוכו, אפשר להוכיח בה כל דבר. לרוע המזל, אני לא זוכר איך טכנית עושים את זה בדיוק, אז נצטרך לחכות לאלון או לאחד המתמטיקאים האחרים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה תלוי במערכת המדויקת בה עובדים. במערכת עם כלל היסק אחד (מודוס פונס) מקובל להניח את האקסיומה A->(~A->B) לכל A ו-B.אם הוכחת את A וגם את ~A שתי גזירות נותנות לך את B (לכל B שהוא). במערכות עם הרבה כללי גזירה (ובלי אקסיומות) יש בדרך כלל את הכלל A->B ' A->~B בשני המקרים, מדובר בעצם בהנחת המבוקש: מניחים שסתירה משמעה שאחת ההנחות שלך שגויה.---------------------- A אפשר לא להוסיף את האקסיומה/ כלל גזירה הנ"ל ולקבל תורות לא טריויאליות עם סתירה. אני לא יודע אם זה מענין או למה זה טוב. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני אנסה לשכנע שזו תוצאה טבעית מהדרך בה אנו מבינים את מושג ה"נביעה" או "גרירה". אורי כבר הראה את זה בלשון פורמלית; אני אנסה להדגים את זה בשפה טבעית. נבחן את הטענות הבאות. 1. אם מיץ-פטל הוא בת, אז (מיץ-פטל הוא בת או שאבוקדו זה טעים, או שניהם). זו נראית כמו טענה משונה קצת, אבל אם חושבים עליה אין ספק שהיא נכונה: אם *מניחים* שמיץ הוא בת, ודאי שמתקיים שמיץ הוא בת או ש... (לא חשוב מה). את ה"או שניהם" הזה בסוף חשוב להגיד בשפה טבעית, אבל במתמטיקה זו הפרשנות הרגילה של המילה "או", אז מכאן ואילך נכתוב סתם "או". 2. אם (מיץ-פטל הוא בת או שאבוקדו זה טעים), ומיץ-פטל הוא לא בת, אז אבוקדו זה טעים. זה גם ברור: הנחתי שלפחות אחד משני דברים מתקיים, ואז הנחתי שאחד מהם לא מתקיים, מה שלא מתיר ברירה לשני אלא להיות נכון. עכשיו ניקח את שני אלה יחדיו. נשים לב שהמסקנה של 1 היא בדיוק ההנחה של 2: 1+2. אם (מיץ-פטל הוא בת וגם מיץ-פטל הוא לא בת), אז אבוקדו זה טעים. כלומר, אם הגענו איכשהו למסקנה המופרכת שזה גם נכון וגם לא נכון שמיץ הוא בת, אפשר להסיק מסקנות מאוד מופרכות אחרות כמו שאבוקדו זה טעים(!). ובאופן כללי: אם (A נכון וגם A לא נכון), אז B. לכן, אם מערכת פורמלית מוכיחה ש-1=0 וגם ש=1<>0, אז היא מוכיחה כל משפט בשפה, בין אם נכון ובין אם לא נכון. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
האם יש "אופי" מסוים לתורה הנפרדת ש"נבנת" על משפט C- המשפט הגדלי לעקביות מערכת מסוימת? אם אי אפשר להוכיח במערכת מסוימת משהו, אז היא עקבית לא? מש"ל לא? אם מימד הזמן אריטמטי אז הקאווליה של גדל היא האוזניים של אלוהים לא? -סליחה ותודה |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
''אם אי אפשר להוכיח במערכת מסוימת משהו, אז היא עקבית'' - הבעיה היא שכל הוכחה לפיה בעיה אינה כריעה, מתבססת על ההנחה שהמערכת עקבית. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כן כן ברור, זה בדיוק המשפט שאי אפשר להוכיח בתוך המערכת. לרגע חשבתי שאמרתי משהו חכם. שלוש שניות של גאווה. אני אחזור לחור שלי עכשיו. |
|
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |