בתשובה לאלון עמית, 21/06/05 18:48
 |
|
 |
||
|
||||
 |
האם הטרנצנדנטיים המוכרים ניתנים לביטוי ע"י מספרים טבעיים ופעולות חשבון, כמו האלגבריים, או שהם ידועים בשם מוסכם, כמו פיי? |  |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
למה "ניתנים לביטוי" זה רק מספרים טבעיים ופעולות חשבון? אם אתה מתעקש להגדיר שמספר הוא ניתן לביטוי רק אם הוא אלגברי, אכן תוכל להסיק שרק האלגבריים ניתנים לביטוי. השם "פיי" הוא לא העניין. אפשר לתת לפאי ביטויים מביטויים שונים המאפשרים לעשות איתו בערך כל מה שרוצים. יש, כאמור, מספר לא בן מנייה של מספרים טרנסצנדטיים שאי-אפשר למצוא להם ביטויים בכלל. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אילו ביטויים מתימטיים ניתן לתת לפיי? האם יש דרך שתופסת את כל או חלק גדול מהלא-אלגבריים שניתנים לביטוי? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
פאי הוא השורש החיובי הקטן ביותר של המשוואה sin(x) = 0 או של המשוואהe^{ix} = -1 הוא שווה גם לארבע פעמים הסכום (1 פחות שליש ועוד חמישית פחות שביעית ועוד תשיעית...), וגם לשורש הריבועי של שש פעמים סכום ההופכיים של כל הריבועים השלמים. הוא שווה לאינטגרל ממינוס אחד עד אחד של שורש (1 פחות x בריבוע) (די x), ולעוד אינספור ביטויים כאינטגרל, טור, או שורש של משוואות שונות ומשונות.את השאלה השנייה לא הבנתי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם ניקח את כל המספרים האלגבריים כקבוצה, ואת כל הלא-ניתנים לביטוי כקבוצה אחרת. האם יש דרך אחת (או כמה) שתופסת את כל מי שלא נמצא בקבוצות האלה? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא הבנתי. מה זה "דרך שתופסת", והאם אתה שואל על כל מי שלא נמצא באיחוד שתי הקבוצות הללו, או בקבוצה-המשלימה של כל אחת מהן? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תקן אותי אם אני טועה. בעזרת פולינום אני יכול לבטא את כל המספרים הלא טרנסצנדנטליים, נכון? האם יש דרך אחת לבטא את כל המספרים הניתנים לביטוי? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לכל מספר אי-רציונלי יש הצגה יחידה כשבר משולב אינסופי, ומכיוון שלכל מספר רציונלי יש הצגה (לאו-דווקא יחידה) כשבר משולב סופי, אפשר אולי לומר שהתשובה לשאלתך היא ''כן - שבר משולב''. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
האם קבוצת איבריו של השבר המשולב האינסופי היא נל"ר? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כל מספר אלגברי הוא שורש של פולינום במקדמים שלמים, כן. זה ודאי לא אומר שבעזרת פולינום (אחד) אתה יכול לבטא את כל המספרים האלגבריים. האם יש דרך אחת לבטא את כל המספרים הניתנים לביטוי - זה תלוי במה אתה מתכוון ב"לבטא". במובן מתאים, אפשר לעשות זאת באמצעות (הו לא, לא שוב!) מכונות-טיורינג. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אל תבין אותי לא נכון, אין לי שום דבר נגד מכונות-טיורינג. אני די מחבב את הרעיון, אפילו. אבל לא לזה אני מתכוון בדיוק. האם יש לכל המספרים הניתנים לביטוי איזשהי תכונה מתימטית משותפת (מלבד היותם ניתנים לביטוי) שדרכה ניתן לבטא אותם (בהשתמש בטבעיים)? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה קצת כמו לשאול, האם לכל הסינים יש איזו תכונה משותפת (מלבד היותם סינים). איזו מין תכונה אתה מחפש? כתבת "מתמטית", אבל נראה שאתה מודע לכך ש"ניתנוּת לביטוי" היא תכונה מתמטית. אם אתה מחפש פרשנות צרה יותר למושג "תכונה מתמטית", תצטרך להסביר מהי, ואז ניתן יהיה לענות על השאלה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני מחפש תכונה מתימטית צרה יותר מאשר ''ניתנות לביטוי''. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא כל כך יודע איך לפרש את השאלה. אולי תמצא עניין בעובדה הבאה, הדנה ב*קבוצות של טבעיים* במקום ב*מספרים ממשיים*: קבוצה של מספרים טבעיים נקראת r.e. (recursively enumerable) אם יש מ"ט המדפיסה את איברי הקבוצה, לאו דווקא לפי הסדר. קבוצה A של מספרים טבעיים נקראת דיופנטית אם יש פולינום במקדמים שלמים p(x, y1, ..., yn) כך ש-A היא בדיוק אוסף ה-a-ים עבורם יש פתרון בשלמים למשוואהp(a,y1, ... yn) = 0. קל לראות שכל קבוצה דיופנטית היא r.e., ויש משפט מאוד לא טריוויאלי וחשוב האומר שגם ההיפך נכון.אם זה מעניין אותך, חפש חומר על פתרון הבעייה ה-10 של הילברט, או משפט Matijasevic. |
|
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |