בתשובה לאלון עמית, 15/06/05 2:01
 |
|
 |
||
|
||||
 |
זה נועד להיות צעד ראשון בהסבר. אתה אמרת: "אני מטיל ספק בטענה שיש הרבה דברים בעולם שלעולם לא נוכל "לארגן" אותם בתבניות הידע שלנו... ובמיוחד בטענה שיש הרבה יותר כאלה מאשר אלה שכן נוכל לארגן אותם," למיטב הבנתי, יש הרבה יותר חידושים (לפחות הגדולים שבהם) הפותחים שאלות חדשות, מאלה שנותנים "פסיקה סופית" בתחום מסוים. וכן שהתהליך הוא כזה מטבעו, ולכן ישנם הרבה יותר דברים שיישארו מבחינתנו תמיד בתחום הכאוס, מאלה שנצליח ל"סדר", כלומר - לכפות עליהם אין המבנים הרציונליים. (פבריקציות - מונח שטבע בהקשר זה ברונו לאטור, סוציולוג של המדע, ופירושו - בקירוב - מלאכת מחשבת). |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
אני עדיין מטיל ספק בטענה הזו, וגם בכך שהתהליך הוא כזה "מטבעו" (למה?) זה גם תלוי, כמו שציינתי, בתחום. פיסיקה, למשל, קרובה היום לתת תמונה מלאה של העולם-בקנה-מידה-של-מטרים מאשר אי-פעם בעבר. דווקא במתמטיקה אולי יותר קל להצדיק טענה מסוג זה. אבל שיהיה, נניח שאני מסכים. מה הצעד הבא בהסבר? התחלנו, כזכור, מה*מספרים* האי-רציונליים, ועדיין לא הבנתי מה להם ולכאן. אני מניח שברור שאין שום קשר בין "רציונליות" של מספרים ל"מבנים רציונליים" של ידע או "חשיבה רציונלית". |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
א. אם השערתי נכונה, ותגליות חדשות פותחות פתח לשאלות חדשות - אז ברור, מטבעו של התהליך, שישנם הרבה יותר דברים שיישארו מבחינתנו במצב כאוטי מאלה שיתיישבו במבנים הרציונליים שבהם ארגנו אותם. ב. אם נניח שאתה מסכים, אנחנו עוברים לעניין המספרים האי-0רציונליים, ואני סבורה שהשם "אי רציונליים" לא ניתן למספרים האלה מסיבה שרירותית לחלוטין, אלא משום שהם דומים (לא קשורים: מלכתחילה לא דיברתי על קשר, אלא על דמיון) למבנים אי רציונליים. הדמיון מתבטא בזה שאין לנו כל דרך לדעת בדיוק מוחלט את גודלו של מספר אי רציונלי: כלומר, באופן מעשי, איננו יודעים בעצם מהו אותו מספר (משום שתכונתו היחידה של מספר היא גודלו, לא?). באותו אופן, איננו יכולים לדעת במדויק את טיבו המדויק של שום דבר שאיננו מאורגן בתבניות הידע הרציונליות שלנו. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
יתקן אותי אלון (או עוזי) אם אני טועה, אבל השם "אי רציונליים" מקורו בשמם של המספרים הרציונליים, שהגיע מכך שניתן לבטא אותם כיחס בין שני מספרים שלמים (רציו=יחס). לעומת זאת את המספרים האי רציונליים לא ניתן להציג כך (יש הוכחה אלגנטית ומקסימה, ואולטרה מפורסמת עבור שורש שתיים). אין לזה קשר לרציונליות במובן "הגיונית", כפי שאנחנו משתמשים במילה כיום, ככל הידוע לי. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
(אני מכירה את ההוכחה לאי-רציונליות של שורש שתיים). ובכל זאת, אתה ודאי מסכים שאיננו יכולים לדעת את גודלו המדויק (=מהותו) של שום מספר רציונלי, אמת? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מה את רוצה לדעת על גודלו המדויק (=מהותו) של שורש שתיים, שאיננו יכולים? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
''אילו ידעתיו, הייתיו'' (רבי יוסף אלבו, ספר העיקרים). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כנראה שהוא לה היה פיזיקליסט. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
למען הדיוק ההסטורי (ויוסי צרי) אולי כדאי להעיר שהוא לא דיבר על שורש שתיים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נשמע נחמד. דומה מאוד ללאו צה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם ב"לדעת את גודלו המדוייק" הכוונה היא "לדעת את כל הספרות של המספר בבת אחת", אז אנחנו לא יודעים את "מהותו" של המספר. אני לא בטוח שזו המהות שלו (מה שמעניין בפאי זה לא מה הספרה ה-500 אחרי הנקודה אלא היחס שהוא מבטא, ומה שמעניין בשורש 2 זה לא הספרה ה-800 אחרי הנקודה אלא מה מקבלים כשמעלים אותו בריבוע). בכל מקרה, לזה ול"הגיון" שמאחורי המספרים אני לא רואה קשר. המספרים האי רציונליים הם הגיוניים מאוד, כמו שגם המספרים המדומים הם ממשיים מאוד (ברמה שבה כל מספר, ובפרט המספרים הממשיים, הם "ממשיים"). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מהו מספר אם לא הגודל שלו? וכמה מספרים חשובים יש בסדר גודל של פאי? כמה מספרים אי רציונליים אתה יכול לבטא באופן פשוט כל כך כמו שורש שתיים? ושוב, אינני מדברת על ההיגיון שמאחורי המספרים, כמו שב"תבניות רציונליות של הידע" אינני מדברת על ההיגיון של היידע שלנו. בשני המקרים אני מדברת על האפשרות לדעת משהו עד הסוף. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תגובה 309975 | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נניח שמספר הוא הגודל שלו. מדוע, לדעתך, אנו יודעים את הגודל של 355/113 יותר טוב מאת הגודל של פאי? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כבר אמרתי במקום אחר - משום שאת הגודל של פאי איננו יכולים לדעת יותר ממספר הספרות שנחשב אחרי הנקודה. את הגודל של 355/113, אחרי שתהיה בידנו הסדרה החוזרת שלו - לא נצטרך לחשב יותר. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
למה לא נצטרך לחשב יותר? נדמה לך שיש הבדל עקרוני בין חישוב הספרה הטריליון אחרי הנקודה של זה לעומת זה? אחד הוא קצת יותר פשוט, זה הכל. אגב, *הרבה* יותר קל לחשב את הספרה הטריליונית של פאי מאשר את זו של המספר הרציונלי 1/1492847932842094274853753857023950345349582503495353049583405920395024953405923053945985725295205743985394523534875 (נראה לי שאת חושבת שאם יש סדרה מחזורית, אז אנחנו "יודעים" את כולה בלי צורך לחשב, ואם לא אז לא. מה דעתך על המספר האי-רציונלי 0.101101110111101111101111110... שיש בו 1 בודד, ואז שני 1-ים, ואז שלושה, ארבעה, וכו'? נתתי לך את כל החוקיות - צריך לחשב יותר?) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נראה לי שהבעיה היא שאת שבויה בתפיסה שהיצוג של מספר כשבר עשרוני הוא "האמיתי". גודלו של שורש שתיים - הביטי על מרצפת רגילה בדירה שלך. בהנחה שהיא ריבוע, שורש שתיים הוא היחס בין האלכסון לבין צלע המרצפת. זהו גודל כל כך אינטואיטיבי (אלכסון של משולש ישר זווית ושווה צלעות) עד כדי כך שנראה לי שכל יצוג עשרוני, אפילו של מספר רציונלי מאוד, לוקה בחסר מולו. מה היתרון של 10.4 על פני יצוג כזה של גודל? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
יש יתרון כלשהו למספר רציונלי על פני אי רציונלי: אם אתה רוצה לעבור ממספר רציונלי למספר שלם, אתה פשוט מכפיל את קנה המידה שלך. ומספרים שלמים קל יותר לתפוס, אינטואיטיבית. אני לומד עכשיו אלגוריתמים בסיסיים על רשתות זרימה, והסכימה הבסיסית עובדת רק בהנחה שכל קשת מעבירה מספר שלם של יחידות. אם היא מעבירה מספר רציונלי, זו לא בעיה, כי מבצעים הכפלה במכנה המשותף, אבל במקרה שהיא מעבירה מספר לא רציונלי, אכלנו אותה, ומסתבר שהאלגוריתם לא תמיד עוצר, ולכן קשה לקרוא לו "אלגוריתם". אז יש הבדל כלשהו שבגללו האי רציונליים "נוחים פחות". לא יודע אם זה מה שיגרום לי להטביע מישהו. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
האם עלינו להסיק שיש סיבות אחרות להטביע מישהו? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה מכיר את החידה על שולחן הביליארד והכדור שנורה בזוית אקראית מאחת הפינות שלו? אם אתה לא מכיר, עכשיו אתה כבר (כמעט) מכיר. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני עכשיו כמעט מכיר, אבל לא ברור לי מה הקשר. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
טוב, אכלת את הפתיון, הנה החידה (אלא שעכשיו פתרונה קל להפליא, אם כי גם לפני כן היא לא היתה קשה במיוחד): לפניך מלבן בעל הצלעות A ו B (שניהם רציונליים). מאחת הפינות שלו יורים כדור נקודתי בזוית כלשהי אלפא. אין חיכוך וכל התנגשות בדפנות היא אלסטית לחלוטין. האם מובטח שהכדור יפגע באחת מפינות המלבן? אם לא, מהו התנאי שהזוית אלפא צריכה לקיים כדי שזה יקרה? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ניחוש: סינוס הזווית צריך להיות מספר רציונלי? (נראה לי שזה הכרחי, לא ברור אם זה מספיק). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נסמן את ממדי הלוח כ-X ו-Y ואת הזוית ההתחלתית ב-a. בכל מרווח DX בין פגיעה בדופן "העליונה" ל"תחתונה" (או להיפך) עובר הכדור Ysin a. קל להראות שגם כאשר הכדור פוגע בדופן צידית הוא עובר את אותו DX כמרחק אופקי מצטבר (כי זה כמו להצמיד עוד שולחן וכו'). כעת, כדי לתאר פגיעה באחת הפינות נקבל את המשוואה הבאה: nYsin a = mX (מספר ה-DXים הוא כפולה שלמה של X)כאשר התנאי הוא ש-m ו-n צריכים להיות מספרים טבעיים. נסדר קצת את המשוואה ונקבל: m = n * Y/X * sin a מכאן ברור ש-sin a רציונלי זה תנאי הכרחי, כי כל שאר הגורמים הם רציונלים. אפשר גם להניח לצורך הפשטות ש-X גדול מ-Y (אם לא אז פשוט מחליפים את הממדים ביניהם ולוקחים את הזווית המשלימה ל-90) ועל כן Y/X בין 0 ל-1 (אם זה עוזר במשהו). מי ממשיך מכאן?
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ראה תגובתי לגדי. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם הטריק של ערן לא מבהיר לך את התמונה הנה הסבר: במקום לחשוב על החזרות מהדפנות, תאר לעצמך שהשולחן "מוכפל" לכל הכיוונים ויוצר סריג אינסופי של מלבנים. ואידך זיל. מעניין שגם אתה וגם ערן מדברים, משום מה, על סינוס הזוית, בעוד הגודל הטבעי שקופץ לעין הוא דווקא הטנגנס. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הניחוש שלי נראה פתאום די טיפשי. אם השולחן הוא ריבוע ואני משתמש בזווית של 45 מעלות, סינוס הזווית יהיה אי רציונלי... טוב, בפעם הבאה אולי כדאי שאני *אחשוב* על השאלה לפני שאני עונה עליה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מילא, לחשוב על השאלה זה עניין אחד, אבל לפחות לקרוא את התשובה... (טנגנס, טנגנס) | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא. אין לי שום עניין עם שבר עשרוני. כל מספר רציונלי, באופן עקרוני, גם אם הסדרה החוזרת שהוא מגיע אליה בשלב מסוים אחרי האפס היא גדולה מאוד - היא עדיין סופית. אשר על כן, גם אם ייקח זמן רב לחשב אותה, עדיין אנחנו יכולים לדעת בדיוק את גודלו. במספר אי רציונלי, גם אם נחשב את מיליון, או אפילו מיליארד, הספרות שאחרי האפס - לא תהיה לנו כל אינדיקציה, בלי חישוב נוסף, מהי הספרה הבאה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ואני שב ושואל, אם במקום שברים עשרוניים היינו לומדים בבי"ס שברים משולבים - מה היה קורה לתאוריה שלך? (בפיתוח עשרוני, רציונלי = מחזורי החל משלב מסויים. בפיתוח לש"מ, רציונלי = סופי, אי-רציונלי ממעלה 2 = מחזורי החל משלב מסויים). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לשברים משולבים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
את כותבת "אין לי שום עניין עם שבר עשרוני" ועדיין - כל ההתיחסות שלך היא לשברים עשרוניים - המחזוריות של הסדרה, החשיבות בחישוב הספרה הבאה. יש יצוגים רבים אחרים למספרים, ואני עדיין לא מבין מה החשיבות של היצוג העשרוני, חוץ מזה שהוא זה שאנחנו רגילים לו כי ככה אנחנו רואים במחשבון או כי ככה לימדו אותנו בבית הספר. יצוג עשרוני הוא פשוט טור אינסופי מסויים. יש לו הרבה יתרונות, אבל הוא לא "נכון" יותר או מייצג את "הגודל" יותר מכך שהמספר הוא פתרון של משוואה, או היחס בין שני גדלים, או גבול של סדרה (e, לשם דוגמה). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אין ולו בדל קטן של קשר (מלבד איזו אסוציציה מילולית) בין חוסר רציונליות של אנשים לבין מספרים אי-רציונליים. (במילים אחרות: לחשוב על מספרים אי-רציונליים זה מאוד רציונלי) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא דיברתי בשום מקום על חוסר רציונליות של אנשים. דיברתי על מה שנשאר מחוץ לתחום היידע האנושי. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מספרים אי-רציונליים אינם מחוץ לתחום הידע האנושי. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא אמרתי שמספרים אי רציונליים הם מחוץ לתחום היידע האנושי. לפעמים זה עוזר לקרוא תגובות לפני שמגיבים עליהן.:) | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני באמת צריך להתבייש בעצמי. נקרא ביחד. "...אני סבורה שהשם "אי רציונליים" לא ניתן למספרים האלה מסיבה שרירותית לחלוטין, אלא משום שהם דומים (לא קשורים: מלכתחילה לא דיברתי על קשר, אלא על דמיון) למבנים אי רציונליים." לא נכון. גם אין קשר וגם אין דמיון. זה רק משחק מילים שמתעלם ממשמעויות שיש לאותה המילה בהקשרים שונים. "הדמיון מתבטא בזה שאין לנו כל דרך לדעת בדיוק מוחלט את גודלו של מספר אי רציונלי: כלומר, באופן מעשי, איננו יודעים בעצם מהו אותו מספר (משום שתכונתו היחידה של מספר היא גודלו, לא?)." לא נכון. זה שאני לא יכול לכתוב מספר על נייר ע"י מספר סופי של סימונים *מאוד מסוימים* (למשל, בצורה של שבר עשרוני), זה לא אומר שאינני יודע בעצם מהו המספר (אלא שאני רק לא מסוגל לסמן אותו על נייר דווקא באופן הזה). לא ביג דיל. מזל שיש לנו סימון יותר מוצלח שמסמל *בדיוק* את הערך של המספר (בדיוק כמו במקרה של מספרים רציונליים לחלוטין כמו שתי-תשיעיות). באיזה מובן את מצליחה לדעת את המספר שליש, יותר משאת מצליחה באמת לדעת את המספר ∏? שניהם מבטאים יחס מוגדר היטב אותו אנחנו *כן* יודעים ומכירים ועבור שניהם לא הייתי ממליץ את הנסיון המזוכיסטי בו יושבים מול שולחן הכתיבה ומחליטים לכתוב אותם *במלואם* באמצעות שבר עשרוני (למה אנחנו בכלל צריכים לעשות דבר מוזר כזה, כדי שבאמת "נדע" את גודלו של המספר, אין לי שמץ). אחד מהם רציונלי והשני לא (ושניהם תוצר של חשיבה רציונלית לחלוטין). "באותו אופן, איננו יכולים לדעת במדויק את טיבו המדויק של שום דבר שאיננו מאורגן בתבניות הידע הרציונליות שלנו." זה טריוויאלי ואפילו כמעט טאטולוגי (איננו יכולים לדעת במדויק, ברגע נתון, את טיבו של שום דבר שאיננו מאורגן בתבניות הידע שלנו), אבל המשפט הזה מיותר משתי בחינות: 1) צמד המילים "באותו אופן" בראשית המשפט מיותר ושגוי (משום שאין שום קשר או דמיון בין אי-רציונליות בהתיחסות להליך מחשבתי לבין מספרים אי-רציונליים). 2) הוא משפט מאוד לא מעניין שאומר לא כלום על כל כלום. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ההתיחסויות בתגובה בלשון נקבה, משום שנכנס לי לראש משום מה (לא בטוח למה) שאני מגיב לתגובה של מאיה. התנצלות מראש על כל פספוס מגדרי מצידי. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אי יכולתנו לדעת את גודלם המדויק של מספרים אי רציונליים איננה נובעת מהעובדה שאיננו יכולים לסמן אותם על הנייר, אלא מהעובדה שאיננו יכולים לחשב אותם עד הסוף. מספרים רציונליים אינך יכול, אולי, לרשום עד הסוף על הנייר, אבל אתה יכול לחשב במדויק מה יהיה המשכם בכל שלב. לא אמרתי שהם אינם פרי של מחשבה רציונלית. במשפט (המסורבל מעט) ''באותו אופן, איננו יכולים לדעת במדויק את טיבו המדויק של שום דבר שאיננו מאורגן בתבניות הידע הרציונליות שלנו.'' יש בהחלט חלק מיותר (אחד המופעים של המלה ''מדויק''), אבל הוא איננו טאוטולוגי ואיננו נוגע לשום ''הליך מחשבתי''. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מי לא יכול לחשב במדויק מה יהיה המשכם בכל שלב? אביב? אני חושד שדווקא כן... את סבורה שאי-אפשר לחשב במדוייק את המשכו בכל שלב של שורש שתיים? נסי להסביר לי מה בעיניך ההבדל בין שני הביטויים הבאים: A. 0.1111111111111111.... (השני קצת פחות מוכר, אז אני אסביר מהו: קוראים לו שבר משולב והוא שווה ל-B. [1;1,1,1,1,1,1,1,1,1,...] C. 1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+...))))) אלו שתי שיטות מקובלות מאוד לרשום ערך של מספר ממשי כגבול של מספרים רציונליים. פיתוח עשרוני את מכירה, והוא זה שגורם לך לחשוב שמספרים אי-רציונליים אי אפשר לחשב במדוייק או משהו כזה.) ערכם של הביטויים שרשמתי הוא תשיעית (רציונלי) ויחס הזהב (אי-רציונלי). יש הרבה מאוד מספרים רציונליים - אפילו מספרים טרנסצנדנטיים - עם שברים משולבים פשוטים מאוד. אין בהם שום דבר מסתורי הנמצא מעבר לידיעתנו. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
עכשיו נשאלת השאלה: האם מספרים טרנסצנדנטיים הם המספרים האלה שדומים (לא קשורים, רק דומים) למבנים רוחניים במישור האסטרלי? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא, מספרים טרנסצנדנטיים הם תנוחות של יוגיסטים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אמרתי משהו על מסתורין? (ושורש שתיים הוא ייצוג הרבה יותר קל מ"חתך הזהב". לא זו הבעיה). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אז מה הבעייה? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הבעיה היא שלומר שמספר מסוים הוא פתרון של משוואה מסוימת עדיין משאיר אותנו בלי המספר. אנחנו רק יודעים שהוא הפתרון של משוואה. ולומר שמספר מסוים הוא אפילו לא פתרון של שום משוואה, אלא של (מה, בעצם? - אני מתכוונת לטרנסצנדנטיים, כמובן) - ודאי משאיר אותנו בלי גודל של מספר. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מי דיבר על פתרון משוואות? מה (למען השם) ההבדל בין פיתוח עשרוני מחזורי לפיתוח מחזורי לשבר משולב? (נעזוב בעיות אחרות לאחר-כך, אם בינתיים תעני לי על זה). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אבל גם שבר פשוט הוא ''סופי'', לעומת שברים משולבים המייצגים מספרים אירציונליים - שהם אינסופיים (מחזוריים או לא, לא משנה).. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מהו הדבר שהוא סופי באלה, אבל הוא אינסופי באלה? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כדי ששברים משולבים ייצגו מספר אי רציונלי, צריך להיות מספר אינסופי של שברים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא הבנתי. כדי ששבר עשרוני ייצג מספר רציונלי (כמו שליש, למשל), צריך מספר אינסופי של שברים. 0.3333333333... זה פשוט סימון מקוצר שמיצג את הסכום שלוש עשיריות+שלוש מאיות+שלוש אלפיות+... נכון, לשליש יש סימון קצר יותר אשר מסמנים אותו כהיחס בין המספר 1 לבין המספר 3, אבל למזלנו גם למספרים אי-רציונליים יש סימונים קצרים לפחות באותה מידה (למשל, היחס בין היקף המעגל לקוטרו). מה ההבדל המהותי (בהקשר של סופי מול אינסופי) בהשוואה ל- [1;1,1,1,1,1,1,1,1,1,...]? אחזור על השאלה: מהו הדבר שהוא סופי באלה, אבל הוא אינסופי באלה? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא מסכים כל כך עם זה שהיחס בין היקף המעגל לקוטרו הוא "סימון". אני מניח (תקוף את ההנחה הזו) שאנחנו רוצים לייצג הן את המספרים הרציונליים והן את המספרים האי רציונליים בעזרת מספרים שאותם אנחנו מבינים טוב: מספרים שלמים (בייצוג עשרוני, זה בעצם מה שאנחנו עושים). במקרה הזה, לא ממש תצליח לתאר הן את היקף המעגל והן את קוטרו בצורה נוחה בעזרת מספרים שלמים (הרי אחד מהם הוא בהכרח אי רציונלי, ואז מה הרווחנו?) | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בוודאי שאתקוף את ההנחה הזאת - היא בדיוק הדבר שאני מתפלא שאנשים עושים בלי לחשוב פעמים: אני לא מבין מי החליט שדווקא את המספרים השלמים "אנחנו מבינים טוב" ואת האחרים אנחנו מבינים פחות טוב (או בכלל לא מבינים). אני מקווה שאתה לא מנסה לרמוז שהמספרים הטבעיים הם, נו, טבעיים יותר ממספרים אחרים. אני "מבין טוב" את הסיפרה 1, לא פחות ולא יותר מאשר שאני "מבין טוב" את פאי. המושג "שלם", הסיפרה 1 או הסתכלות על העולם באופן דיסקרטי/קוואנטי, נראים לי מופלאים ומוזרים לא פחות מאשר מושגים רציפים (האמת היא שהשניים יותר מסתדרים לי עם האינטואיציה שלי). אני ממש לא מבין מדוע צריך לעשות למשהו רדוקציה למשהו דיסקרטי, כדי שנוכל להתחיל להגיד שאנחנו באמת מבינים אותו או כדי להגיד ש"הרווחנו משהו". |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אוקיי, כאן אנחנו נחלקים. אני "מבין טוב" את הטבעיים כי הם המספרים היחידים שאני מסוגל לחשוב עליהם כמייצגים את כמות האיברים בקבוצה כלשהי. לא יודע אם זה הופך אותם ל"טבעיים" יותר. אם תרצה הצדקה קצת יותר "מתמטית", לדעתי ה"הבנה" הזו באה לידי ביטוי בכך שהפעולות האלגבריות מוגדרות על המספרים השלמים (למעשה, הבסיס נובע מכך שמגדירים פעולה של עוקב על 0, אבל לא קריטי), ואילו על המספרים הרציונליים והאי רציונליים הפעולות האלגבריות מוגדרות באמצעות הרחבה של ההגדרה על המספרים השלמים. כלומר, אנחנו משתמשים ביכולת שלנו לעבוד עם המספרים השלמים כשאנחנו באים לעבוד עם הרציונליים והאי רציונליים. דוגמה: כשאתה מחבר 55/313 יחד עם 93/661, מה שתעשה הוא ליצור מכנה משותף (באמצעות פעולת הכפל שאתה מכיר על מספרים שלמים) ואז לחבר את שני הגורמים שבמונה (בעזרת פעולת החיבור שאתה מכיר על מספרים שלמים). אתה לא ממש מסוגל בראש (ואולי כן?) לבצע את החיבור הזה בלי לעבור "דרך" המספרים השלמים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ואללה? כלומר, אתה לא מתחכם כאן אלא דובר אמת לאמיתה? מפתיע ביותר, לאור העובדה שאת השלמים (בעיקר החיוביים שבהם) אנחנו מכירים כבר בגיל אפס (כמה חודשים, אם לדייק), ואפילו שימפנזים מכירים כמה מהם. (ואם הייתי רוצה לעשות רושם הייתי מוסיף כאן שאצל קונווי והמספרים הסוריאליסטיים שלו, התהום פעורה דווקא בין השברים הדיאדיים לבין כל השאר. מזל שאני לא רוצה.) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני חושב ש*רק* את החיוביים שבהם (כלומר, את הטבעיים). מספרים שליליים או אפס הם לא דבר אינטואיטיבי במיוחד. אני זוכר שקראתי באיזה שהוא מקום שארדש המציא את השליליים בגיל 4, וזה נחשב הישג. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כשיש לך אחות גדולה, ''אפס'' הוא מושג שאתה לומד מהר מאד. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
גם לספור בבינארי אתה לומד מהר מאוד (''יא אפס אחד''). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה מוכן לפרט איך יודעים שתינוק מכיר את השלמים "כבר בגיל אפס"? (לא שאלה רטורית, באמת מעניין) | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תתחיל ב תגובה 193895 וגלוש במורד הפתיל. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הניסוי הזה לא עובד עם גדלים רציפים? (סוכריה וסוכריה קצת יותר גדולה) האם יש גיל בו יודעים שחמש זה יותר משלוש, אבל לא יודעים שארוך זה יותר מקצר? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אויש נו (קראתי עוד פעם). עזבו, אני באמת צריך ללכת לישון, סליחה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא בטוח שהקשר בין "ארוך" ו"קצר" לבין מספרים (ובפרט מספרים לא שלמים) ברור בגילים צעירים מאד. שוב אני מציע להתבונן באחינו המאותגרים-קמעא השימפנזים: אני מניח שהם יבחרו בבננה הגדולה יותר, אבל אני מסופק מאד אם זה מראה על יכולת מתמטית. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
באופן מאוד דומה: אני בספק אם זה שילד יודע להבחין בכך שיש יותר M&M בקבוצה אחת מאשר בקבוצה השניה, זה מראה על יכולת מתמטית (=הכרת המספרים הטבעיים). לכן, אני *מנחש* שבאותו הניסוי, אבל עם שתי קבוצות שקשה לאמוד בעין באיזה מהן יש יותר M&M (ולכן יש צורך ממש לספור), התינוק יכשל. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תוארו שם כמה וכמה ניסויים, לא רק זה עם הסוכריות. הניסוי עם ה M&M כמובן ייכשל אם הילד הרך יצטרך לספור מספרים גדולים כדי להצליח, והוא מובא בעיקר כדי להראות שיש לילדים הבנה יותר מתוחכמת של המושג "כמות" ממה שפיאז'ה טען. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא הבנתי את הקשר של כל זה לטענה שלך לגבי הכרת המספרים הטבעיים מגיל אפס. איך הגענו למסקנה שהילד מחליט איזו קבוצה גדולה יותר ע"י ספירה? (אם הם לא באמת סופרים, אלא מבצעים אומדן "בעין", באופן מאוד דומה למה שעושים כאשר מחליטים מה ארוך יותר ומה קצר יותר1, אז אני לא מבין מדוע כתבת "מפתיע ביותר, לאור העובדה שאת השלמים (בעיקר החיוביים שבהם) אנחנו מכירים כבר בגיל אפס" בתגובה למעלה). במילים אחרות (המילים שלך): אני לא בטוח שהקשר בין "יותר" ו"פחות" לבין מספרים שלמים ברור בגילים צעירים מאד... אני מסופק מאד אם זה מראה על יכולת מתמטית. _____________ 1 דבר שלא מעיד על יכולות מתמטיות, לדעתך - תגובה 310558. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
קראת את תגובה 193984 (ובעיקר את החלק השני שלה) ואת תגובה 194118 ? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כן. אני פשוט לא מסכים עם הפירוש שלך של מה שקורה שם (אני לא רואה שם רמז להבנת המושג מספר, יותר מבמקרה של הבחנה בין דברים ארוכים יותר לקצרים יותר). יש שם יכולת מנטלית לזהות באופן השוואתי מהו יותר ומהו פחות (בשביל זה אין צורך במספרים, בספירה ו/או בחיבור/חיסור). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
רק כדי לדייק: זה לא רק הפירוש *שלי*. כמובן, מותר לך לחלוק גם על האחרים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אגב, קראתי אתמול שהניסוי נערך גם עם קופים (קופי רזוס וקופי טאמארין) וגם הם הגיבו כמו התינוקות האנושיים, כלומר גילו עניין חריג באותם מקרים בהם מס' העצמים שנגלה לעיניהם היה שונה ממה שהם ראו שמניחים מאחרי המסך לפני כן. הנסיין (שמו יינתן עפ"י דרישה כי הספר בבית) טוען בעקבות כך שגם לקופים האלה ישנה איזו תחושת "מספר" לגבי מספרים טבעיים קטנים, כולל הידע על כך ש 1 < 1+1 < 3. לא נמסר אם אחינו הפרוותיים משתמשים ב PA או ב ZF כדי להגיע לתוצאה הזאת. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
יש שימפנזים. שיושבים מול מחשב , סופרים עצמים בתמונה ואחרי זה בוחרים בסיפרה שמתאימה למספר. אגב הם עושים את זה יותר מהר מקופים קרחים, הטענה היא כי בחיי הבר הם נזקקים להערכה מספרית מהירה - למשל במאבק בין קבוצות יריבות. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ומה הקשר לקרחות? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מעניין. יש לך לינק? (ההודעה שלי עסקה, כמובן, בקופים סתם, לא ב"קופי אדם"). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אגב, "קופי אדם" הוא שם די מעצבן ל Apes. למישהו יש רעיון טוב יותר? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
פעם "קופים" התיחס ל Apes, בעוד Monkeys נקראו "קופיפים", אבל אז הכניסו "קיפופים" בשביל פרימאטים, והלכו הקופיפים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בעיני זה דווקא שם טוב מאד. קופי אדם הם באמת דומים לאדם וגם האדם עצמו שייך לקבוצה הזו (וגורילה אחת פעם אמרה לי: אתם שכחתם מה זה להיות קוף אדם). השם הזה אפילו דומה לטקסונומיה המדעית: primates = קופים סתם + קופי אדם (monkeys+apes) hominoids = קופי אדם (apes). בכל מקרה, לגבי רעיון יותר טוב, חשבתי על איזו בירה קרה במרפסת. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה בטח גם חי בשלום עם ''כוכב לכת'' (שהוא, יש להודות, עוד יותר גרוע מ''קוף אדם''). פעם קראו ללווין ''ירח מלאכותי'', ואני חושב שיש טעם לפגם בשם עצם שמורכב משתי מלים, למרות שבטח יש עוד כאלה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
שוטה הכפר? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כן, וגם ''פרפר נחמד'' ו''שבוע טוב''. אני ער לקיומה של הצורה הדקדוקית הזאת. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אין דבר כזה. יש ''שוטה הכפר הגלובלי''. שלוש מלים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מובן שאינני יוצא חוצץ נגד כל הסמיכויות באשר הן. אולי זאת שוב הקרינה מהאנטנות, אבל "שוטה הכפר" ו"קוף אדם" הם לא מאותה קטגוריה (ולראיה: ה"א הידיעה) גם אם יש אנשים שחושבים אחרת. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
''כלב זאב'' ''דב נמלים'' (הפעם הגזמת). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
פרת משה רבנו. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"בית ספר" ו- "ספריית וידאו" הן מילים הרבה יותר נפוצות מ"קוף אדם" או "כוכב לכת" והרבה פחות מדוייקות מבחינה מילולית. אני לא חושב שהן מפריעות יותר מדי. בכל אופן, לי הן לא מפריעות :) בממלכת החי והצומח צורת הסמיכות היא מאד נפוצה. בשמות של מינים או גזעים ספציפים: "מרבה רגליים", "נר הלילה", "חתול פרסי", "אלה אטלנטית", "זבוב פירות", "תרנגול הודו", "בצל ירוק" וכו'. וגם בשמות של מחלקות: "חיות כיס", "מעלי גירה", "דו חיים", "ציפורי שיר", "עצי מחט" וכו'. בקיצור, נראה לי שגם אתה שכחת מה זה להיות קוף-אדם. אבל לא נורא, אנחנו יכולים לפתוח בקבוק של בירה ויתר קופי האדם לא. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
(אלה אטלנטית, חתול פרסי ובצל ירוק אינן סמיכויות. וסליחה על ההתקטננות.) | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
על ''בית ספר'' כבר יצא הכורת, וכל דרדק יודע שמדובר ב''ביצפר''. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
התכוונת לבי3פר. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אאז''נ, ''בית ספר'' אינו סמיכות אלא צירוף כבול, בדומה ל''עורך דין'' (לא מדובר בבית שבו גר הספר, וכולי). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הי, הי, לא לכעוס. התבדחתי... אני מבין למה התכוונת. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא כועס. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
האם היחס בין היקף המעגל לקוטרו נראה לך קצר יותר מ-1/3? או אולי הוא נראה כך משום שאתה מסמנו בפאי? לכמה מהמספרים האי-רציונליים יש סימונים כאלה? יותר מ-10? יותר מ-100? אבל ל*כל* המספרים הרציונליים יש סימון בשבר פשוט אחד. ולשום מספר אי-רציונלי אין כזה. ואין לו אפילו תיאור כזה שכולל מספר סופי של שברים. נראה לי שיש כאן הבדל מסוים, לא? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אבל זה הבדל סטטיסטי: הוא לא מאפשר לך לטעון "כל הרציונליים הם X, וכל האירציונליים הם Y". | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
למה? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
יש מספר רציונלי ש*לא ניתן* לייצוג כשבר פשוט? יש מספר אירציונלי ש*ניתן* לייצוג כזה? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זו לא היית את שדיברת על "לחשב את המשכם בכל שלב"? היה נדמה לי שאת מניחה שכדי "לדעת" מספר צריך להיות מסוגלים לחשב בקלות את הפיתוח העשרוני שלו (תגובה 309947). אם כך, אז אני מטיל ספק בייחודו של הפיתוח העשרוני לעומת שברים משולבים. אם זה לא כך, עליך להסביר במה את כן רואה הבנה או ידיעה של מספר. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מאה אחוז. אין בעיה. אם אתה הולך על שברים עשרוניים - אז כפי שאמרתי, אינך יכול לפתח את האירציונליים עד הסוף, מה שאתה יכול לעשות, עקרונית, לכל מספר רציונלי. אם אתה הולך על שברים משולבים - אז מספר אי רציונלי דורש אינסוף שברים, ואילו מספר רציונלי - רק אחד. וכמו שאמרת גם אתה - את המספרים הטרנסצנדנטליים לא תוכל לפתח אפילו כך. וכשאתה אומר שיש "הרבה מאוד מספרים אי רציונליים" שאפשר לגלות את חוקיותם (הדוגמא של חתך הזהב) למה אתה מתכוון ב"הרבה מאוד"? 10? 100? מיליון? כלומר, בכל מקרה מספר אפסי מתוך אינסוף שאיננו אפילו בר מניה? | |
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |