בתשובה לעוזי ו., 31/05/05 11:28
 |
|
 |
||
|
||||
 |
אם נחזור רגע לסיפור עם המטבעות. גם אם מובטח לי שהטקטיקה שתבחר תהיה להמשיך עד שתפסיד את הכל, ז"א שאני לא אתן לך בסוף דבר בשום מקרה, גם אז אם אני אנסה לחשב את התוחלת אני אקבל שתוחלת ההפד שלי היא אין סופית (למרות שהרווח שלך הוא אפס). איפה פספסתי את התשובה? |  |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא חושב שזה נכון (שתוחלת ההפסד שלך היא אינסופית). במקרה הזה תוחלת ההפסד שלך תלויה באסטרטגיה שלי (שיכולה להיות "עצור כשמציעים לך 3", "עצור כשמציעים לך 9", ... או "אל תעצור לעולם"), ולכל אסטרטגיה יש לי (ולך) תוחלת רווח אחרת. בסדרת האסרטגיות הזו, התוחלת שלך לא חסומה (כי אני עלול לחכות עד שיציעו לי 3-בחזקת-מאה, וזה יקרה בסיכוי חצי-בחזקת-מאה), אבל בכל מקרה אני לא חושב שאפשר לומר שהיא אינסופית. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ואם האסטרטגיה של הבוחר היא "אל תעצור לעולם"? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
טענה יפה. הנה הלך המחשבה שלי בעניין ( אני מדבר על המשחק ללא המעטפות): למעשה עלינו להחליט על איסטרטגיה שאומרת: אני משחק לכל היותר K פעמים. זה נותן תוחלת סופית. רק נותר לקבוע מהו K. נשים לב שבכל נקודה במשחק, המשחק הבא הוא למעשה אותו משחק בדיוק, רק עם סכום התחלתי חדש, מכאן שאם משיקולים כל שהם אנו מחליטים על איסטרטגיה של K צעדים, אותם שיקולים ימשיכו להיות נכונים בכל צעד במשחק, ומכאן שאי אפשר למצוא K סופי כזה. בוא נקבל את ההנחה ש "אל תעצור עד שתפסיד" היא איסטרטגיה בלתי קבילה, ואז לכאורה אין לנו כלל איסטרטגיה "רציונלית". *אבל* - מה שבעצם הראינו היא שאם קיימת איסטרטגיה שאומרת לנו מתי להפסיק, היא צריכה להיות "אינווריאנטית" לנקודת התחלת המשחק. לכן אני מציע איסטרטגיה בזאת: לפני כל צעד, הטל מטבע עם הסתברויות p 1-p . אם מקבלים עץ- ממשיכים, אחרת מפסיקים. האיסטרטגיה הזאת מקיימת את הדרישה (שהמצאנו עכשיו) , שלא משנה באיזה שלב אתה במשחק, תמיד עושים אותו דבר. השאלה היחידה היא איזה ערך של p יש לבחור. ברור שכמה שהוא יותר קרוב ל1 כך התוחלת תגדל ולכן הפארדוקס הפסיכולוגי נותר כשהיה, אבל לפחות סילקנו את שאלת הפוקר היהודי ( בחרת K? שיחקת K ולא נכשלת? למה שלא תמשיך עוד K, הרי לפניך אותו מצב בדיוק). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
קל להיחלץ מהסבך עם איסטרטגיות מהסוג הזה. בשביל מה, אגב, אתה מטיל מטבע? למה לא איסטרטגיה "שחק X סיבובים"? אה, זה בעצם מה שעוזי אמר? חרמפפפ. הבעיה היא לא למצוא איסטרטגיה, אלא ל*הצדיק* אותה (בהנחת תועלת לינארית בתוחלת, אחרת כל העסק קל מדי). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כי כמו שאמרתי, הלוגיקה שהביא אותך לשחק X סיבובים היא שיקול נכון בכל שלב במשחק. אני מנסה לפרמל את השאלה כך שלא יתקלו1 כל פעם במכשול הזה. אני מסכים עם סמיילי שהשאלה דבילית. על תרמיות פונצי כבר דיברנו פעם? דיברנו תגובה 278934. 1 על מי אני עובד. כדי ש*אני* לא אתקל כל פעם. חשבתי שזה עשוי גם לעניין אחרים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הבנתי. על שיטת פונצי (בנוסח טיפה שונה) דיברתי עם טובה עד לפני זמן מה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא תמיד ברור איפה פונצי נגמר ו''כלכלה היא לא משחק סכום אפס'' מתחיל. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה רעיון יפה מאד - הוא מאפשר לממש את ה"הבטחה" לרווח אינסופי. נניח שהמשחק מתחיל בהצעה בגובה שקל אחד, ואתה צריך בכל שלב להחליט אם לממש את הפרס או להמר (ואז להפסיד לגמרי או לשלש את הפרס, בסיכויים שווים). באסטרטגיה ההסתברותית, אנחנו נותנים לקוביה להחליט בשבילנו: בסיכוי p מממשים, בסיכוי q=1-p מהמרים. תוחלת הרווח בשיטה הזו היא (2p/(3p-1 אם p גדול מ-1/3, ואינסוף אחרת! |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
שים אותי co-author , אשמח להקטין את הארדוש שלי:) | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם תעדן את זה עוד קצת, כך שאתה משנה את p בהתאם לגובה הפרס בשעת ההטלה כדי להכניס למשחק שיקולי תועלת (להבדיל מתוחלת), זה יהיה בכלל יופי. לא? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
קצת מסובך לטפל ב"תועלת" (שקלול של תוחלת ושונות?), כי התוחלת אינסופית כל הזמן. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ה"תועלת" שאני מדבר עליה מבטאת את הערך השולי הפוחת של הכסף. אני רוצה ש p יהיה כמעט 1 כשהסכומים קטנים, ויקטן עם עלייתם כך שכאשר יש לי כבר מליון שקל מובטחים אני אפרוש בשמחה ולא אסכן אותם בסיבוב נוסף. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הבעיה היא שההחלטה על הסכום "מליון" בתור נקודת הcut off היא שרירותית. ברגע שעשית את זה, בעצם הכרזת שאתה לא מאמין למשחק הזה מעבר לסכום נתון. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
האמת היא שאחרי ששלחתי את התגובה ההיא חשבתי שאם כבר מכניסים את שיקולי התועלת אין צורך בהטלת הקוביה שכן הבעיה נפתרת מאליה במקום בו הרווח השולי של זכיה נוספת קטן מההפסד של הסכום שיש בידי באותו רגע. אם פונקציית התועלת אינה ידועה לי לגמרי (ברנולי חשב שהיא לוגריתמית, אבל אפילו אם הוא צדק היא בטח שונה לאנשים שונים) הקוביה יכולה להכניס קצת ''פאזינס'' לעסק. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
להגיד שהתועלת היא לוגריתמית זאת רמאות. אז תשנה את סכום הזכיה ל שלוש בחזקת שלוש בחזקת N. העניין הוא לא לטשטש את הגבול, אלא לאפשר תוחלת אין סופית מבלי להכנס לפרדוקס של עומר: אל תפסיק עד שתפסיד. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא מבין, לכאורה למשחק תוחלת אינסופית אבל אם תשחק אותו אינסוף פעמים בטוח תפסיד. לכאורה אי אפשר לייצר אסטרטגיה מתמטית למשחק. מה הבעיה להשתמש באסטרטגיה כלכלית תוך שימוש בתועלת ? הרי המטרה היא להרוויח, לא? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם אתה רוצה להגדיר פונקציית תועלת בהתאם לתנאי הבעיה זה לא קשה, אבל אם הפונקציה הזאת קשורה לענייני כלכלה באופן כללי - כלומר לשאלה מה ערכו של הדולר ה- 1,000,001 יחסית לדולר הראשון ולדולר ה 1,000,000,001 עבורך (בלי שום קשר למשחק ספציפי), הרי אפשר להמציא משחק בו היא תמשיך לגדול לעד באופן שלא יאפשר לך לפרוש ולגשת לקופה, אם אתה טיפוס רציונלי ועקבי. למשל, כמו שראובן הראה, אם פונקציית התועלת שלך לוגריתמית, מתי תפרוש ממשחק בו הרווח גדל יותר מהר מאקספוננט? כדי להיחלץ מזה צריך פונקציית תועלת חסומה מלמעלה, וזאת קצת בעיה (אם כי אולי לא בעיה עצומה) כשמסתכלים על כל מיני ביל גייטסים שממשיכים לצבור הון כמיטב יכולתם במקום לעשות משהו אחר עם הזמן שמוקצב להם בעולם הזה. פונקציית התועלת שלי, אני חושב, אכן מוגבלת מלמעלה בסביבות 50 מליון דולר. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
>> הרי אפשר להמציא משחק בו היא תמשיך לגדול לעד באופן שלא יאפשר לך לפרוש ולגשת לקופה התועלת *תמיד* מוגבלת מלמעלה. אין ליצור אנוש תועלת אינסופית. >>כשמסתכלים על כל מיני ביל גייטסים שממשיכים לצבור הון כמיטב יכולתם אתה בוודאי מתכוון לסטיב באלמר ולא לגייטס, אשר חילק כבר בערך מחצית הונו הנוכחי לצדקה, והתחייב להוריש לכל יורשיו סכום "פעוט" של 10 או 100 מיליון דולר בלבד. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נו, אנחנו מדברים פה על "אידאליזציות": 1) מדובר בשחקן רציונלי (קרי- יצור שמעוניין בהגדלת תוחלת התועלת שלו) 2) לתועלת הזאת אין גבול עליון 3) לבנק במשחק יש יכולת לספק כל תועלת שנרצה. אולי תטען שהפרדוקס האמור מראה ששלושת ההנחות סותרות זו את זו, אבל אם תקרא בעיון את הפתיל, תמצא דרך אחת לפחות לזכות בתועלת אינסופית (בממוצע). מצד שני, אם תטען שהפרדוקס הזה לא רלוונטי לחיי אנוש, אולי אתה צודק. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא בטוח בכלל שהתועלת תמיד חסומה למלמעלה. מיד אחרי שחישבתי את החמישים מליון ההם הבנתי שאני משקר. יש המון מטרות נעלות שהייתי בשמחה תורם להן כסף אם היה לי, החל מהקרן להצלת שבלול החוף הסיישלי ועד תשלומי פנסיה לכל אזרח ישראלי מעל גיל 22 (גם הקרן להגנת האייל היתה נהנית מכמה מליונים קטנים). בקיצור, הרצון לאסוף כסף כדי לתרום אותו לא חוסם את פונקציית התועלת. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נדבר שוב כשתגיע ל-35 מיליון. האמת, לא נכון. רציתי לגבות את זה בטענת-השרוול שאנשים שאופק העושר שלהם מוגבל ב-50 מיליון הם לא הטיפוסים שיגיעו גם לחמישה מיליון. אבל נזכרתי במוסף ה"מרקר" מאחד החגים האחרונים, שהוקדש לעשירי הייטק שמקדישים עצמם ליוזמות למען הקהילה. כמעט כולם התעשרו מהנפקה מוצלחת בימי הבועה, וכמעט אצל כולם היה המוטו שכבר אין להם באמת מה לעשות למען עצמם עם הכסף. יכול להיות שטענת השרוול שלי לא מופרכת, אבל ברור לפחות שבועות הייטק יכולות לייצר יוצאים מן הכלל ברוכים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם פונקצית התועלת שלך חסומה, הרי שהיא לא יכולה להיות אדטיבית בשום צורה ולפיכך ניתוח המשחק תלוי בכמה כסף יש לך כרגע ומה התחזית העתידית שלך. לא שזה לא הגיוני , אבל זה מסבך את הניתוח. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
למיטב הבנתי ברגע שמכניסים "תועלת" לא ליניארית ניתוח המשחק תלוי בכמה כסף יש לך כרגע, גם היא לא חסומה (אזהרה: אני לא מתמטיקאי כך שאם אני טועה אנא הסבר לי את זה במונחים שכל הדיוט יבין). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מיטב הבנתך נכונה. בעצם רק ציינתי שחסומה גורר לא לינארית. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
או קבועה, כמובן, אלא שאז אין שום טעם למשחק שלנו ואפשר לעשות דברים טובים יותר עם הזמן. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"ואפשר לעשות דברים טובים יותר עם הזמן." מה למשל? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לענות על שאלות טרחניות של אלמונים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני מדבר על המקרה בו הטקטיקה (שיהיה אסטרטגיה) שלך נתונה מראש, והיא אם המטבע נופל על פלי תמשיך (בסכום מושלש) ואם על עץ, תפסיק (ולא תקבל כלום). אני חושב שהתוחלת עבור אסטרטגיה כזו היא אין סופית (כשלוקחים אותה כגבול של תמשיך עד שהמטבע נופל על עץ או עד שנגמרים N משחקים, כש-N שואף לאינסוף), למרות שהרווח שלך יהיה בכל מקרה אפס. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הנה חישוב אלטרנטיבי לתוחלת: אם בהסתברות 1 הרווח הוא 0, התוחלת צריכה להיות 1*0=0. איך מיישבים את הסתירה? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
(לשניכם) אין כאן סתירה. אם האסטרטגיה ה-N אומרת לעצור ברגע שמציעים לך 3-בחזקת-N, אז התוחלת שלה היא (3/2)-בחזקת-N, ולכן סדרת התוחלות שואפת לאינסוף. מאידך, אפשר להסכים שכאשר N שואף לאינסוף, סדרת ה*אסטרטגיות* "שואפת" לאסטרטגיה החמדנית שאומרת "אל תעצור לעולם". אבל באסטרטגיה הזו (בהסתברות 1) הרווח הוא 0, ולכן התוחלת שלה אפס. אם כך, הוכחנו שהתוחלת אינה פונקציה רציפה של האסטרטגיה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
(אתה יכול להסתפק במשפט הראשון והאחרון, את השאר אני מאמין שהבנתי) | |
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |