בתשובה לילדה, 06/10/04 23:12
 |
|
 |
||
|
||||
 |
רגע, רגע, רגע, מאיפה בדיוק הגיעה הנוסחה הזו? האם זנון טוען שהנוסחה נכונה? האם מהמכניקה שזנון מציע עולה הנוסחה הזו? אני יכול כרגע גם להביא את נוסחאות התנועה של תורת היחסות ולהגיד שהן סותרות את אלו של המכניקה הניוטונית. האם זה ייצור פרדוקס במכניקה הניוטונית? |  |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
זה בכלל לא קשור לזנון או למכניקה. אפשר לראות בפרדוקס פרדוקס מתמטי (''לוגי'' לצורך העניין). אפילו לא צריכים את מושג ה-''מרחק'' בשבילו (על אף שהוא מתמטי לעילא), מספיק לדבר על כפל וחיבור של מספרים רציונליים. הקשר לזנון, או למציאות, הוא בפירוש של ''מספר רציונלי'' כ-''אורך קטע''. אבל הפרדוקסיליות אינה נובעת מפירוש זה, ולכן הוא אינו מעניין בהקשר הפרדוקס. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני מצטער, אבל למרות שמתמטיקה ולוגיקה לא זרות לי, לא הבנתי עדיין מה פרדוקסלי פה. אנא הסבירי לי מדוע הפרדוקס הוא פרדוקס מתמטי. ממה שאני יודע, כדי שמשהו יהיה פרדוקס, עלינו לצאת מהנחות יסוד שנראות לנו נכונות, להשתמש בכללי היסק שנראים לנו נכונים, ולהגיע לסתירה. אם את מסכימה להגדרה זו, הצביעי על הסתירה וההנחות שיש אצל זנון. אם את לא מסכימה, אנא הסבירי לי מה ההגדרה שלך לפרדוקס. תודה מראש, וסליחה על הטרטור. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
המילה פרדוקס משמשת לתיאור כל מהלך מחשבתי שמסקנתו סותרת את "השכל הישר", גם אם אין בו שום סתירה לוגית (למשל "פרדוקס יום ההולדת"). אבל זה לא המקרה אצל זנון. אזכיר (לפחות לעצמי): הפרדוקס אומר ש-"כאשר יגיע אכילס למקום ממנו התחיל הצב לרוץ, הרי זה יהיה כבר הלאה, במרחק הקטן מן המרחק הקודם ביניהם כיחס מהירויותיהם". זנון הניח שסדרת הפרשי המרחקים בין אכילס לצב מסתכמת ליותר מכל מרחק שהוא (כלומר "אחרי 100 מטרים" אפשר להמשיך לסכם את סדרת הפרשים כנזכר לעיל כך שיתקבל יותר מ-"100 מטרים", וגם שם כמובן שאכילס יהיה מאחורי הצב לפי אותו היגיון). למעשה ההנחה הבעייתית אצל זנון היא "סכום של אינסוף מספרים חיוביים אינו יכול להיות מספר סופי" (או לפחות: הסכום הזה אינו יכול). למעשה, סכום סדרת המרחקים ביניהם הוא טור גיאומטרי, שמתכנס (לפי הגדרה שלא הייתה זמינה עבור זמון) בדיוק כאשר אכילס מהיר מהצב, בדיוק למקום בו אכילס "אמור" להשיג את הצב (ואותו הדבר עבור סדרת הזמנים). למה זנון בכלל "אמור" להשיג את הצב, אם מתעלמים מהמציאות? אם נפשט עוד את סיפורו של זנון, ונסתכל על מקרה פרטי שלו (אכילס מהיר פי 2), נקבל משהו כזה: 1. נבחר מספר. 2. נתחיל מחצי מהמספר שבחרנו (זה יהיה ההפרש ההתחלתי בין אכילס לצב). 3. נוסיף למספר שכבר יש לנו, חצי מההפרש בינו לבין המספר שבחרנו (זה יהיה המרחק החדש). 4. חזור ל-3. מהתהליך ברור שלעולם לא נעבור את המספר שבחרנו, למרות שסכמנו אינסוף מספרים. סתירה. אם לא נניח שהסכום בהכרח מתבדר, נוכל אולי להסכים שאכילס כן ישיג את הצב, במרחק השווה למספר אותו בחרנו בתחילה. זה הפרדוקס, למיטב הבנתי. הסתירה אינה נובעת מה-"הפרשנות" של החשבון, אלא מהחשבון עצמו. נותר רק לברר אם אני עושה מעצמי צחוק בשיחה הזו. כנראה שזה תיכף יתגלה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ההצגה שלך את הפרדוקס של זנון אינה מדוייקת. לא קראתי אותו במקור, אבל בכל התאורים של הפרדוקס שכן קראתי1, זנון לא דיבר על מהירויות או יחסים. טיעון המחץ הוא תמיד משהו בסגנון מה שכתבתי למעלה: Thus, whenever Achilles reaches somewhere the tortoise has been, he still has farther to go. Therefore, Zeno says, swift Achilles can never overtake the tortoise. אם הפרדוקס מנוסח כך, אז הוא פשוט לא קיים. המילה "never" במשפט האחרון אינה מנומקת ואינה מוצדקת. בכל אופן, זנון לא דיבר על טורים מתכנסים ומתבדרים.אם רוצים, אפשר לדון בפרדוקס אחר, שהוא זה שהצעת: איך ייתכן שסכום של אינסוף מספרים יצא מספר סופי. כאן, המשפט "מהתהליך ברור שלעולם לא נעבור את המספר שבחרנו, למרות שסכמנו אינסוף מספרים. סתירה" לא לגמרי ברור לי: סתירה למה, בדיוק? ברור שאתה מתכוון ל"סתירה להגיון הפשוט" או ל"שכל הישר", אבל לי דווקא נראה שרוב האנשים יסכימו בקלות שאם אתה מדביק חצי דף לרבע דף לשמינית דף וכו', לעולם לא תקבל יותר מדף אחד. אני חושב שאם משהו מפריע ל"שכל הישר", הגדרה מתמטית (כמו ההגדרה הפורמלית של טור מתכנס) לא יכולה לפתור את הבעייה. מדוע שתקבל את ההגדרה המתמטית, אם הגיונך אומר לך אחרת? הדרך הנכונה היא להשתכנע בסבירות של ההנחה. 1 כולל כאן, בויקיפדיה http://en.wikipedia.org/wiki/Zeno's_paradoxes
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ניסוח הפרדוקס כפי שהצגתיו לעיל לקוח מתוך "תולדות הפילוסופיה היוונית - הפילוסופים הקדם סוקרטיים" של שמואל שקולניקוב, אך הוא לא מוצג כציטוט ולא מצאתי התייחסות למקורותיו. בכל מקרה, אין זה משנה אם זנון דיבר על יחסים ומהירויות או לא (טורים ברור שהוא לא הזכיר במפורש...). גם בהצגת הפרדוקס שהבאת אתה, המילה Never עשויה להיות מוצדקת ועשויה להיות לא מוצדקת. כדי לברר זאת לא מספיק להתבונן בה ולהחליט לפי תחושת הבטן אם "זה נראה נכון" או לא (הטענה לא יסודית מספיק, רחוק מכך), יש לפרקה ולנסות להבין מה עומד בבסיסה, וזאת - לדעתי - ההנחה שסכום הפרשי המרחקים בין אכילס לצב בקטעים המדוברים (אכילס עומד במקום בו הצב היה קודם, והצב עומד הלאה היכן שהספיק להגיע בינתיים), כל עוד אכילס עומד מאחורי הצב (כלומר המרחק שאכילס עובר כל עוד לא השיג את הצב) יכול לגדול ללא הגבלה. פירוש הדבר, אם ההנחה נכונה, שאין זה משנה "כמה רחוק" אכילס ילך, הצב עדיין יהיה לפניו - ואכילס לעולם לא ישיגו. המילה "פרדוקס" מתאימה לתוצאה סופית של סכום אינסופי בערך כמו שהיא מתאימה ל-"פרדוקס ימי ההולדת". כלומר לא כמציינת סתירה, אלא לכל היותר דבר שאנשים עלולים לראות כ-"לא הגיוני" עד שיוסבר להם. המילה "סתירה" במשפט "מהתהליך ברור שלעולם לא נעבור את המספר שבחרנו, למרות שסכמנו אינסוף מספרים. סתירה" מתייסת להנחה אותה טענתי שזנון הניח במובלע, דהיינו "הסכום האינסופי אינו מספר סופי". הגדרות מתמטיות פורמליות הן דרך מצויינת ליישב בעיות של ה-"שכל הישר". כאשר יודעים *בדיוק* על מה מדברים (מגדירים אותו פורמליות), אפשר לטפל בו תוך שמירה על עיקביות ובהירות מקסימליות. החוכמה היא כמובן להגדיר את המושג באופן נכון (שיהיה מעניין ועשיר מצד אחד, ושיתפוס מספיק מה-"מושג האינטואטיבי" מצד שני). בכל מקרה, הדרך הנכונה להשכנע בסבירותה של הנחה כלשהי כוללת בוודאי התייחסות לעיקביותה ולכושר הכללתה. "השכל הישר" יוצא נבוך ומובס לעיתים קרובות (מובס בידי "ההגיון הנוקשה"). דווקא טורים מתכנסים מהווים דוגמא נהדרת לכל זה, לטעמי - והרבה בזכות זנון. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כאמור מדובר בפרדוקס של חלוקה, האם ניתן לחלק את הזמן מרחב עד אינסוף? אם כן, נובע שסכום של אפסים (ואולי עדיף להסתכל על השאלה מצד שני - האם אוסף של נקודות שלפי הגדרה מימדן אפס, יוצר משהו? כך נמנע מהאמירה שואף לאפס) הוא מספר ואם לאו נובע שקיים חומר שלא ניתן לחלק אותו. 2 המסקנות סותרות את החושים. לומר שאין פה כלום זה מצחיק, כי הנה אנחנו יושבים פה אחרי 2500 שנה... ואגב, בהצגה של 2 חיצים הנעים זה מול זה ביחס לחץ נייח יש הצגה של תנועה ויחסיות. ההצעה של זנו פרדוקסלית ביחס למציאות הנראית ונשאלת השאלה למה? אתה קורא/שומע את הפרדוקס ואומר... אני יודע שיש פה טעות... אבל איפה? כל תקופה באה עם ההגדרות שלה ומנסה לפחות להכיל את הפרדוקס ולומר, לפי הגדרות אלה אין לנו בעיה. הזכרתי את יום והפתרון שלו נראה כושל, אבל קאנט והגל ספקו תשובות נאות. באשר לגבולות, ולצפיפות המספרים... ייתכן שהאלגנטיות של הפתרון חולפת מעליי... ולכן אני אומר שזנו יכול לטעון שמספר השונה באפסילון קטן כפי רצוננו מהמספר הנבחר, כלומר שואף לו קרוב כפי רצוננו, אינו המספר הנבחר. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"2 המסקנות סותרות את החושים", "ההצעה של זנו פרדוקסלית ביחס למציאות הנראית". האם עכשיו אתה טוען שללא המציאות, לפרדוקס אין תקפות ואין קיום (בתור פרדוקס)? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
קישור פועל לערך בויקיפדיה: http://en.wikipedia.org/wiki/Zeno%27s%5Fparadoxes | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לפרדוקס ימי ההולדת אכן לא הייתי קורא פרדוקס של ממש, פשוט תוצאה לא אינטואיטיבית. עכשיו, בהודעה שלך לא הסברת מדוע יש כאן סתירה. אם מקבלים את ההנחה שהסכום אינו מתכנס, נובע מכך שאכילס לא ישיג את הצב וכולם מרוצים - אלא אם מישהו פתאום קופץ ואומר "מה, אבל ראיתי אתמול את אכילס והצב רצים, ואכילס נתן לו מקדמה וניצח!" את אומרת "מהתהליך ברור שלעולם לא נעבור את המספר שבחרנו, למרות שסכמנו אינסוף מספרים. סתירה". לי זה נשמע, בתרגום חופשי, כמו "סכום של אינסוף מספרים חסום על ידי מספר כלשהו. סתירה". זה בעייתי, כי איך אפשר לדבר על סכום של אינסוף מספרים באמצעות ההגדרות של זנון ומבלי לגלוש לאינפי? אם זנון מניח בתור הנחת יסוד את זה שסכום של אינסוף מספרים (אני משער שהכוונה למספרים חיוביים) הוא אינסוף, די קשה לסתור את זה באמצעות ההגדרה של זנון לחיבור של אינסוף מספרים. אפשר לראות שזה בעייתי אם משתמשים בסכומים חלקיים וכדומה, אבל אז כבר גולשים לאינפי, ובאינפי ממילא לא מקבלים את ההנחה של זנון. נסי להסביר לי מה היה הפרדוקס *על פי זנון*. כלומר, מה הוא הצביע עליו כבעייתי, ולא מה אנחנו, כתלמידים חכמים שמכירים אינפי, רואים בו כבעייתי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אבל ניסיתי להסביר, ונכשלתי בברור (או שאולי נכשלתי להבין). אנסה לנסח שנית: זנון: "ההיגיון שהצגתי מראה שעבור כל מרחק שלא נבחר, כשאכילס יהיה שם - הצב יהיה לפניו". אני: הנה, בחרתי מרחק (אותו מצאתי במקרה), והראיתי שהצב לעולם לא יגיע לשם בדרך שלך. מכיוון שזנון מניח שהצב בסופו של דבר יגיע לנקודה רחוקה כרצוננו בדרך הזו (למעשה, זו ההנחה שהוא מנסה להפריך, ובמובן מסויים הוא הצליח), מתקבלת סתירה. הרי אם מניחים "אכילס לא ישיג את הצב עד לנקודה הזו, שם הוא משיג את הצב" לא נשאר הרבה מהטיעון... קשה לי להאמין שהפעם הצלחתי לשכנע יותר מקודם. אולי אתה תצליח. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא הבנתי את השורה של "אני". איך הוכחת לזנון שהוא טועה בדרך שלו? מבחינה מתמטית טהורה, אני צריך לראות הוכחה (רצוי מתמטית) שמתבססת על האקסיומות של זנון. להפריך את זנון באמצעות אינפי (במקרה זה - סכום של טור אינסופי יכול להיות מספר סופי/סכום של טור אינסופי חסום על ידי החסם של סדרת הסכומים החלקיים שלו) זו לא בעיה, אבל אז זה לא פרדוקס או אפילו סתירה, פשוט שתי תורות מתמטיות שונות שנותנות תוצאות שונות - כלומר, זה כבר *הפתרון* של הפרדוקס (השינוי שצריך לעשות בהנחות היסוד כדי שהפרדוקס יתפוגג בעשן). ==זהירות, פסקה טרחנית ומטופשת== אני אנסה להסביר גם מה ההבדל, לדעתי: אם בא גאוס ומציג גיאומטריה לא אוקלידית, ואז בא אוקלידס ומציג גיאומטריה אוקלידית, האם אוקלידס יכול לומר לגאוס "הא! הוכחתי שאתה סותר את עצמך!"? ודאי שלא. לעומת זאת אוקלידס כנראה יאמר לגאוס "הא! כל בר דעת שעיניו בראשו רואה שדרך נקודה אחת ניתן להעביר רק מקביל אחד לישר! אתה טועה!" (זאת בהנחה שהעולם שלנו למראית עין מקיים את הגיאומטריה האוקלידית. וכן, אני יודע שזה לא מדוייק לומר, בלשון המעטה). כך גם ניוטון לא יכול לבוא לזנון ולהגיד לו "אתה טועה! התורה שלך סותרת את עצמה כי בתורה שאני פיתחתי רואים שאתה לא צודק!" אבל הוא כן יגיד לו "שמע נא, אתמול נתתי לצב מקדמה של חצי שעה וכיסחתי לו את הצורה". ולזה יענה זנון "בדיוק, לכן התפיסה שהצבתי פרדוקסלית - היא לא מתאימה למציאות שאנחנו מכירים". |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הטיעון של זנון הוא טיעון נגד התנועה. כדי להפריך אותו אי אפשר להצביע ולומר "הנה, יש תנועה" או לחילופין "הנה, אכילס השיג את הצב". אלה רק "סברות השווא של בני תמותה" כפי שניסח זאת פארמינדס. הטיעון הוא שההיגיון חזק מהחושים, וההיגיון מורה ש-"שהגורל אילצו [את היש] להיות כוליות ונטול תנועה", לכן החושים טועים. כדי להתווכח עם זנון, אין ברירה אלא להראות שהוא טועה, לוגית. לא *כל* הגדרה היא לגטימית. רק הגדרה שעקבית עם שאר ההגדרות המקובלות עליך. לטענתי זו של זנון אינה כזו. "זה לא הגיוני" שהצב יגיע כך לכל נקודה, כי הראיתי על סמך טיעון "פשוט יותר" שהוא לעולם לא יעבור נקודה מסויימת. כדי לנסח את הדברים בדרך פורמלית יותר מזו שניסחתיהם קודם, אאלץ להתנסח בטרחניות וסרבול מהן יש ברצוני להמנע. לא נראה לי שהדבר יבהיר את עמדתי, כי אם נהפוכו. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כדי להתווכח עם זנון לא בהכרח מספיק להראות שהוא טועה (אם הוא בנה את הטיעון שלו היטב, הוא אינו טועה) אלא להראות מהן הנחות היסוד שלו שאינן מקובלות עלינו. אני סברתי עד עכשיו שזנון, במודל שהוא מציג, אינו טועה, והמודל קוהרנטי ואכן אינו מאפשר תנועה, ועל כן הבעייה היא בדיסוננס שבין המודל שלו ובין מה שהחושים אומרים לנו. את אומרת שההגדרה של זנון אינה לגיטימית, אבל עדיין לא הוכחת את זה בשום צורה. אני חושב שאם לא תנסי להראות בצורה מפורשת כיצד מדבריו של זנון נובעת סתירה, לא יובהרו עמדותייך. כבר עכשיו ברור *מה* את מנסה לומר, אבל כלל לא ברור למה מה שאת אומרת הוא נכון. את בעצם אומרת "זנון טועה ומה שהוא אומר מוביל לסתירה, ואפשר להראות את זה באמצעות שימוש באקסיומות של זנון עצמו". כלומר - כל אדם, גם בימיו של זנון, היה יכול לבוא אליו ולהראות לו למה הוא מקשקש שטויות. מאחר שזה לא קרה, אני לא בטוח אם זה אכן אפשרי, ולכן אשמח אם תראי לי, ואפילו אם זה יהיה טכני ומסורבל, כיצד את עושה את זה *בהתבסס על הנחות היסוד של זנון*. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נחמד לעקוב אחרי הפינג פונג שלנו. לשאלתך גדי, כן... ללא המציאות מה הטעם בפרדוקס? הרי כל העניין התחיל מכך שמציאות החושים אינה הגיונית. נדמה לי שזה מרומז גם בחלק מטיעוניך בהשוואה בין גאומטריה אוקלידית לזו של גאוס. אם עקבתי היטב אחרי הוויכוח בינך לילדה, אנסה להציע מודל נוסף. נאמר שאין זמן ואין מרחב. כל הנקודות שאנו קוראים להן זמן מרחב קיימות בו זמנית ומשום מה אנו תופסים אותם כרצף. לכן אין אפשרות לומר לזנו... עצם העובדה שהצב קיבל פור מראה שהייתה תנועה לפני הפור. מתן הפור הוא רק לצורך המחשה. אם כל הנקודות קיימות במקביל הרי שבלי קשר בין נקודה לנקודה קיימות 3 מיקומים יחסיים. א- הצב נמצא לפני זנו. (התבלבלתי אבל אם הוא נותן לנו כל כך הרבה עבודה אז שירוץ:)) ב- הצב וזנו נמצאים באותה נקודה. ג- זנו נמצא לפני הצב. במציאות כזו זהנו נמצא ב-3 הייחוסים בו זמנית ובאותה מידה אפשר לומר שאין הוא נמצא באף אחד מהם. ולכן אין משמעות למרחב ולתנועה והקיום הוא כמו מין ספר רציף או שלא... לפי רצונכם. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לי אין ויכוח עם כך שהפרדוקס של זנון תלוי מאוד במציאות. התחלתי את הפינג פונג בעקבות האמירה שלך ''פרדוקס זנו הוא לוגי וצריך להפריך אותו באופן לוגי''. כמובן שלא כל פרדוקס זקוק למציאות (הפרדוקס של ראסל הוא דוגמא טובה לפרדוקס שמצביע על הכשל הבסיסי בהנחות של התורה שבה הוא מנוסח, וזוהי תורה מתמטית לחלוטין). את המודל הנוסף שלך לא הבנתי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מהי בעצם המציאות? מה שהחושים מעבירים לנו. מהי הפרשנות למציאות? ניתוח המוח של קלט החושים, וגם זה חלק מהמציאות. מה עוד יש לנו? הסקות של המוח לגבי הניתוחים שהוא ביצע. עוד נדבך במציאות. הבעיה היא בין 2 ניתוחים. האחד ישיר - המשמעות כפשוטה, השני עקיף, התנגדות למציאות כפשוטה מתוך ידיעה שחושינו מטעים אותנו, ידיעה שמביאה למחשבה שאולי יש שם משהו אחר. היות ומדובר בהתנגשות בין 2 רעיונות של המוח (ניתוחים שלו) ביקשתי הפרכה לוגית. גם את זאת ביקשתי רק משום שהתרשמתי מתגובות שאנשים חיפשו בניסוי הפרכה או אישור לפרדוקס. שום ניסוי מציאותי לא יכול להביא להפרכה של מודל מטה-מציאותי. אם נוכל למצוא כשל רעיוני בתפיסה שאומרת שהעולם אינו מה שהחושים מראים, נפריך את טענת זנו. לגבי המודל, אחרי שהגבתי כאן, קראתי רשומה על פרמנידס שאספק אותה בתגובה הבאה... אני מקווה שזה יהיה מספק. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
http://www.iep.utm.edu/ אפשר לבדוק תחת פרמנידאס למודל, גם הערך זנו מופיע שם, ותחת הערך הזה יש רפרנס למושג הזמן שאני אחטט בו מחר. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אכילס, לא זנו. כמו כל פילוסוף שמכבד את עצמו זנו ישב בכורסא ונתן לאכילס ולצב להזיע. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
:) כאמור... נתתי לו לרוץ מתוך בלבול ואחר כך זה מצא חן בעיניי. כורסאות של ממש לא נראה לי שהיו אז, ובכל מקרה, אחד הדברים היפים בפילוסופיה היוונית ובתקופה ההיא, היא האינטראקציה שלה עם החברה. פיתגוראס, פרמנידס, זנו, אפלטון ושות' היו די פעלתנים, נעו הרבה והפיצו "אור". היום יש לנו מולטימדיות וכפר גלובלי... גם נחמד. | |
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |