בתשובה לאלון עמית, 18/08/03 18:19
מכיר גולדבך 248398
ירון • בתשובה לאלון עמית יום ה', 23/9/2004, 1:16
האפשרות שהשערת גולדבך לא יכיחה קוסמת לי מאוד. בעצם האתגר להוכיח שהשערת גולדבך בלתי תלויה באקסיומות פיאנו הוא שונה לגמרי מאתגר ההוכחה שלה.
ממש מדגדג לי לנסות לבנות מודל שבו פיאנו מתקיים וגולדבך לא. (אני לא מתימר להצליח כמובן... אין הרבה כמו גדל).

אגב, מאוד אהבתי את הדוד פטרוס, רק מצאתי שם טעות בסיסית בהבנת משפטי אי-השלמות של גדל שהספר די מושתת עליה (ספוילר מגיע!!): הדוד מתחרפן מהאפשרות שלא ניתן להוכיח את ההשערה. אבל אין דבר כזה "לא ניתן להוכיח" באופן אבסולוטי. יש דבר כזה רק במסגרת של מערכת אקסיומאטית כלשהיא. הספר לוקה בכשל היפוך הכמתים: "בכל מערכת אקסיומות יש פסוק לא יכיח" <> "יש פסוק לא יכיח לכל מערכות האקסיומות".
הקיצר, אם יתברר שההשערה לא יכיחה במערכת המוכרת (פיאנו למשל), אזי האתגר האמיתי (כפי שאני רואה את זה) הוא לנסח מערכת אסטטית, יעילה וכזאת שגוררת את פיאנו שבמסגרתה אכן ניתן יהיה להוכיח את ההשערה.
מכיר גולדבך 248431
האייל האלמוני • בתשובה לירון יום ה', 23/9/2004, 7:28
לא מאד מאתגר:
1.2.3.4.5 - פיאנו.
6. גודלבך.

מ.ש.ל.
מכיר גולדבך 248571
אורי גוראל-גורביץ' • בתשובה לירון יום ה', 23/9/2004, 16:05
כפי שציינתי ב תגובה 164381 , אם תראה שהשערת גולדבך בלתי תלויה (למעשה מספיק להראות שהיא עיקבית), הרי שנתת סיבה טובה מאד לאמץ אותה כאקסיומה. מבחינה מטה-מתמטית, אפשר להגיד שנכונות ההשערה שקולה לעקביותה.
מכיר גולדבך 248627
ירון • בתשובה לאורי גוראל-גורביץ' יום ו', 24/9/2004, 0:07
אפשר כמובן להוסיף הרבה טענות שמתגלות כלא תלויות כחלק ממערכת האקסיומות, אבל:
א. לא כל משפט בלתי תלוי יתרום אם נוסיפו כאקסיומה. לעיתים נבנה מערכות אקסיומות צרות ולא מענינות שלא יביאו לכלום.
ב. ההשערה אינה נראית ברורה ומיידית ולא מועמדת "טבעית" להיות אקסיומה. מכיון שמתמטיקאים מחפשים גם אסתטיקה ויעילות, אזי יש לחפש טענה אחרת הגוררת את השערת גולדסבך, שהיא מועמדת יותר טבעית להיות אקסיומה.

שתי הנקודות נותנות כיוונים שונים לגמרי לחקור את הנושא:

הנקודה הראשונה היא אתגר למצוא את כל ההשלכות שיהיו אם יתברר שהשערת גולדסבך עקבית/מוכחת. עשו את זה בעבר עם השערת פרמה לפני שהיא הוכחה, ולמעשה הוכיחו משפט "על תנאי". לא הייתה למשפט משמעות עד שויילס הגיע, אבל ההישג והחשיבות של המשפט שנגזר מפרמה נתן מוטיבציה לא רעה בכלל לעבוד על פרמה.

הנקודה השנייה היא אתגר לנסח טענה שכן מועמדת להיות אקסיומה ועומדת בשני תנאים:
1. גוררת/שקולה להשערת גולדבך.
2. בלתי תלויה באקסיומות פיאנו.
זהו האתגר של הקמת כל מערכת אקסיומטית קומפקטית יעילה ואסתטית, ולדעתי זהו האתגר הגדול מכולם: פיתוח של תחום חדש במתמטיקה העוזר לפתור בעיות ידועות. זה קרה עם גלואה והמשוואות הדיאופנטיות ממעלה חמישית ומעלה, וזה יכול לקרות שוב, ובגדול.
מכיר גולדבך 248632
אורי גוראל-גורביץ' • בתשובה לירון יום ו', 24/9/2004, 0:19
לא הבהרתי את עצמי. אם יתגלה שהשערת גולדבך עקבית, הרי שינבע מכך שאין דוגמא נגדית במספרים הטבעיים ה''אמיתיים''. מכיון שמטרת אקסיומות פיאנו היא למדל אותם, הרי שעלינו לאמץ את השערת גולדבך.
מכיר גולדבך 248635
ירון • בתשובה לאורי גוראל-גורביץ' יום ו', 24/9/2004, 0:22
לא הבנתי למה אתה קורה המספרים הטבעיים ה"אמיתיים". האם אנחנו לא כל הזמן מנסים להבין מהם? האם לא זה בדיוק מה שאנחנו עושים כשאנחנו מחפשים אקסיומות שינסחו באופן פורמלי איזשהו תחום?
מכיר גולדבך 248636
אורי גוראל-גורביץ' • בתשובה לירון יום ו', 24/9/2004, 0:27
בוא ניתן דוגמא. נניח שאני מוכיח לך את עקביותה של GC.
עכשיו אשאל אותך האם 45722151 הוא דוגמא נגדית ל-GC?
טענתי היא שתוכל לענות "לא" מבלי להביט בכלל במספר שנתתי.
ואם תקבל זאת, הרי שקיבלת את נכונות GC במספרים הטבעיים.
מכיר גולדבך 248637
אורי גוראל-גורביץ' • בתשובה לירון יום ו', 24/9/2004, 0:30
המספרים הטבעיים האמיתיים הם הם אלו שאותם מנסים למדל. אנו מסתכלים עליהם ומשתכנעים שהם חילופיים ולכן אנו מוסיפים אקסיומת חילופיות לתורה, וכו'. מתקבלת איזושהי תורה ולמודלים שלה אנו קוראים מספרים טבעיים‏1.

‏1 בהקשר הזה.
מכיר גולדבך 248633
ירון • בתשובה לירון יום ו', 24/9/2004, 0:20
ועוד שכחתי:
אקסיומת הבחירה של פרנקל בתורת הקבוצות האקסיומטית עומדת עד היום בבחינה של מתמטיקאים רבים האם "נכון" לצרף אותה למערכת האקסיומות של צרמלו.
השיקולים הם שונים ומשונים, מ"יפה" ו"קומפקטי" ועד "האקסיומה לא נכונה". (ממש כך).

במסדרונות גבעת רם הסתובבה שמועה אפילו שסהרון שלח מתנגד להוספתה של האקסיומה למערכת (אפילו שהוא משחק איתה ובודק מה נגרר ממנה).

כך שיש תוקף "לבחון" אקסיומות גם אם הן בלתי תלויות/עקביות.

בדיוק ראיתי פתיל למטה שמתעסק בנושא הזה של "נכונות" אקסיומות, אסל מאוחר ואני לא אקרא את זה עכשיו. בהזדמנות...
מכיר גולדבך 248638
עוזי ו. • בתשובה לירון יום ו', 24/9/2004, 0:51
1. אתה מכיר משפטים שנובעים מהשערת פרמה, או מהשערת גולדבך? (נראה לי שאתה מחליף אותם בהשערת רימן, שם יש הרבה מאד דוגמאות).
2. משוואות דיאופנטיות ממעלה חמישית?
מכיר גולדבך 248646
אלון עמית • בתשובה לירון יום ו', 24/9/2004, 2:27
(בנוסף להערות של אורי) צריך קצת להיזהר פה. "בלתי-תלוי באקסיומות פאנו" זו טענה חלשה למדי, כי יש מערכות חזקות הרבה יותר שהן מאוד מקובלות, כמו ZFC. הדוגמה של משפט גודסטין שנדונה כאן היא כזו (לא יכיחה ב-PA, כן יכיחה ב-ZFC).

(כדאי גם לזכור שכדי להוכיח משהו כמו "גולדבך אינו תלוי בפאנו", חייבים ממילא לעבוד במערכת אקסיומות רחבה יותר, כמו נניח ZFC. אינך יכול להוכיח תוך שימוש ב-PA בלבד ש-PA לא גוררת את GC, שכן אז הראית בפרט ש-PA עקבית.)
חזרה לעמוד הראשי המאמר המלא
מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים
האייל הקורא RSS מאמרים | כתבו למערכת | אודות האתר | טרם התעדכנת | ארכיון | חיפוש | עזרה | תנאי שימוש © כל הזכויות שמורות