בתשובה למשתאה, 16/06/04 17:26
 |
|
 |
||
|
||||
 |
יותר קל להתחיל מהשאלה אם יש "יותר" מס' טבעיים מזוגיים. אחרי שמפנימים את התשובה הנכונה (אין) אפשר להתחיל לעכל גם את עניין הרציונליים. זה נעשה עוד פחות אינטואיטיבי (לטעמי) כשלומדים שבין כל שני אירציונליים מתחבא רציונלי1, כלומר אינסוף רציונליים, ובכל זאת "מספרם" של האירציונליים גדול יותר. ________ 1- וגם ההיפך, אבל זה פחות מפריע לאינטואיציה. |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
קצת מציקה לי הטענה שבאמת אין "יותר" טבעיים מוזגיים. זה נכון, רק אם החלטנו לצמצם את מושג ה"יותר" למישור ההתאמה החד-חד-ערכית. זה אכן רעיון שאינטואיטיבית הולך יחד עם "יותר", אבל יש עוד רעיונות כאלה. אחד מהם הוא "מכיל ממש", ובמובן של "מכיל ממש" כן יש יותר טבעיים מזוגיים. אני יודע: הכלה לא תאפשר לנו להגיע רחוק, ומה אם נרצה לשאול על הזוגיים לעומת הטבעיים-ללא-1948. אז התאמות חח"ע מאפשרות לנו הרבה יותר עניין בחיים, וזה יפה; אבל למה מוצדק מכאן לזרוק כל "יותר" אחר? שאלה: האם אין מודל התסברותי שיתן תוקף מתמטי לטענה הבאה, גם על מרחבי מדגם אינסופיים: "ההסתברות שמספר טבעי אקראי (בהתפלגות אחידה על הטבעיים2) יתחלק בארבע קטנה מזו שמספר טבעי אקראי יתחלק בשתיים"? ואם כן, אז מכאן - יש "יותר" זוגיים מכאלה שמתחלקים בארבע, ב"סתירה" לזה ש"אין יותר" עפ"י ההתאמה החח"ע. 1 בדיעבד, אולי גם: לתת קונטרה לקנטור. 2 אפשר להגיד את זה, לא? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בנוגע ל- 2 שלך: למיטב הבנתי (ואני חושב שדווקא פה אני מבין דבר או שניים) - לא, אי אפשר להגדיר התפלגות אחידה על הטבעיים. ונקודה יחסית קשורה: משפחת כל תתי הקבוצות של הטבעיים שהן בעלי צפיפות אסימפטוטית 1 היא לא סיגמא-אלגברה 2, ואפילו לא אלגברה 3. די פשוט לראות את החלק הראשון, אבל קצת יותר טריקי לראות את השני. ____________ 1 תת קבוצה A של הטבעיים נקראת בעלת צפיפות אסימפטוטית אם קיים הגבול lim |A intersection {1,2,...,n}|/n 2 סגורה תחת השלמה ואיחודים בני-מניה3 סגורה תחת השלמה ואיחודים סופיים |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
דווקא היה לי רעיון איך להגדיר התפלגות אחידה על הטבעיים, אבל עכשיו אני חושב שאני רואה איפה הוא נופל (ובמה הטבעיים שונים מהקטע אפס-אחד). דברים שרואים מ-8:55 לא רואים מ-7:05. להפתעתי הצלחתי, למרות חוסר ערנותי, להבין אפילו את הנקודה היחסית-קשורה, וגם מדוע היא יחסית-קשורה; ואני עוד קצת שמח, כי נראה לי שהגבול שאתה מדבר עליו הוא משהו שאפשר לדבר עליו1, גם אם הוא לא מתנהג הכי נחמד מתמטית, והוא לוכד חלק גדול מאינטואיצית ה"יותר" שלנו. 1בעקבות עמית האב אתמול, בעקבות ויטגנשטיין... |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זהו בדיוק, שהמושג שיובל הזכיר תופס (נראה לי) את מה שחיפשת: דרך פורמלית לומר "הסיכוי שמספר טבעי יתחלק ב-4 הוא 1/4". יש כמה דרכים להגדיר "צפיפות אסימפטוטית" של אוסף של טבעיים, וזו הטבעית ביותר אם כי לא הכי גמישה (יש הגדרה אחרת שמכלילה אותה, כלומר מסכימה איתה כששתיהן קיימות אבל מוגדרת ביותר מצבים). בכל אופן, לשאלתך הראשונה - למה מתעקשים ש"שווה-גודל" זה דווקא המושג של "התאמה חד-חד-ערכית" - על כך רציתי לכתוב עוד קודם את ה-rant הרגיל שלי: אין סיבה ואין חובה, זו פשוט הגדרה שימושית ונוחה. בתורת המספרים יש בוודאי חשיבות רבה למושגים אחרים של השוואת גודל, כמו הצפיפות האסימפטוטית שהוזכרה. בנושא הזה, כדי להזכיר דיכוטומיה מעניינת ופשוטה-להגדרה בין קבוצות "דלילות" ו"צפופות" של טבעיים: נאמר שקבוצה של טבעיים היא צפופה אם ורק אם סכום ההפכיים של איבריה מתבדר. למשל: הטבעיים כולם - צפופים. זו ההתבדרות של הטור ההרמוני. חזקות שתיים - דלילות. כנ"ל חזקות 10 וכו'. הראשוניים - צפופים. זו עובדה לא טריויאלית וחשובה. הראשונים הסמוכים (כלומר 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 29, 31, וכו', הראשוניים שיש במרחק 2 מהם עוד ראשוני) - דלילים. זה משפט קשה מאוד ומצער למדי, כי אילו היו אלה צפופים היינו יודעים בפרט שיש אינסוף כאלה. זה עדיין לא ידוע. השאלה שפול ארדש היה מוכן לשלם הכי הרבה כסף למי שפותר אותה היא: קבוצה של טבעיים היא צפופה אםם היא כוללת סדרות חשבוניות ארוכות כרצוננו. זו שאלה קשה מאוד וחשובה למדי; למשל, איננו יודעים אם יש סדרות חשבוניות ארוכות כרצוננו של ראשוניים, וההשערה של ארדש פותרת גם את זה כמקרה פרטי ביותר. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם אינני, טועה המקרה הפרטי שהזכרת נפתר ממש לאחרונה (אני חושב ע''י טרנס טאו ובן גרין). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
קודם כל, תודה - לא שמעתי על זה, וחיפוש זריז הביא את ועכשיו להסתייגויות הזהירות: המאמר עוד לא פורסם, והוא מסתמך על עבודה של גולדסטון ויילדירים שהכתה גלים לא מזמן אך שמעתי שייתכן שהיא שגויה - אינני יודע וייתכן שאין זה נכון, נחכה ונראה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כדאי להעיר שהצפיפות שהזכרת נקראת "הצפיפות של Schnirelmann", מוגדרת עבור קבוצה A של טבעיים כאינפימום של השכיחות של A בקטע מאחד-עד-n (למשל, הצפיפות של הזוגיים היא אפס! - כי אין מספרים זוגיים מאחד-עד-אחד; הצפיפות של האי-זוגיים היא 1/2). השתמשו בה כדי להוכיח גרסה מוקדמת של השערת גולדבך: כל מספר זוגי הוא סכום של 18 ראשוניים לכל היותר. הצעד המרכזי בהוכחה הוא להראות שהצפיפות של קבוצת המספרים מהצורה p+q, כאשר p ו- q ראשוניים1 גדולה מאפס. 1 יחד עם המספר 1 שצריך לזרוק פנימה מסיבות טכניות |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני מכיר את ההגדרה הזו לצפיפות (מהספר "שלוש פנינים" של חינצ'ין), אבל דווקא לא אליה התכוונתי בתור ההגדרה הגמישה יותר. התכוונתי למושג של "צפיפות אנליטית" המשמש לעיתים קרובות בניסוחים של משפטים על ראשוניים. הצפיפות של שנירלמן, כמו שהדגמת, עשויה להיות *שונה* מהצפיפות הטבעית גם כששתיהן קיימות; הצפיפות האנליטית מתלכדת עם הצפיפות הטבעית אך מוגדרת בעוד מצבים. נדמה לי שכל עוד עוסקים במספרים הטבעיים, אפשר להגדיר את הצפיפות האנליטית ע"י הגבול (כש-x שואף לאינסוף של) (1 / log x) Sum(1/m) כשהסכום הוא על אותם m-ים הקטנים מ-x ומצויים בקבוצה אותה מודדים.
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ואולי אפשר בלי התפלגות אחידה על *כל* הטבעיים? "לכל רצף סופי של מספרים טבעיים, אם נבחר מספר אקראי מתוך רצף זה בהתפלגות אחידה, ההסתברות שהמספר יתחלק ב-4 קטנה או שווה לסיכוי שיתחלק ב-2". הטענה היא לגבי רצף סופי אבל היא נכונה לגבי כל (אינסוף) הרצפים האפשריים. "קטנה או שווה" בשל מקרי קצה, כמו הרצף "3-4". וככל שהרצף גדול יותר, היחס מתכנס ל-2. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אפשר; זה די בדיוק מה שיובל ציין בתגובה להודעה של ירדן (תגובה 226967) :-) (ראה גם בהמשך הפתיל). |
|
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |