בתשובה לאלון עמית, 26/05/04 23:30
אוקי :-) 221553
הקשה המקשה • בתשובה לאלון עמית יום ה', 27/5/2004, 2:57
מאחר ו- X היא פונקציה של M, נראה לי שנסיון לבנות מעגל של 4 מהפכים באמצעות שני שערי NOT בשיטה המוצעת יפר את תנאי ה"בלי פידבק".
______
מה "עצלנים"? תביא חידות שאפשר לפתור!
:-)
אוקי :-) 221555
אלון עמית • בתשובה להקשה המקשה יום ה', 27/5/2004, 3:15
אכן. איכשהו הטעות הזו חוזרת על עצמה בכתובים מדי פעם, זה פח שקל ליפול לתוכו ("ההרכבה של שני מעגלים תקינים היא מעגל תקין" - לא תמיד נכון).

מעניין שמישהו פעם חקר איך המעגל הפידבקי הזה עובד בפועל (ליתר דיוק, מסומלץ), והוא טוען שהעסק תמיד מתייצב על הפתרון הנכון אחרי מספר קטן של איטרציות, כלומר במציאות דווקא כן אפשר לבנות רב-מהפך עם שני שערי NOT בלבד.

_________
חידה שאפשר לפתור, והיא אולי תשעשע את מי שלא מכיר אותה: בעטתי כדור ששוקל 1 ק"ג והוא התגלגל יפה ובלי חיכוך במעלה גבעה חלקה ונאה בגובה 30 מטר וברוחב ממוצע של 20 מטר, ובדיוק כשהגיע לראש הגבעה נגמר לו הכח והוא נעצר. כמה זמן זה לקח?
אוקי :-) 221610
צב מעבדה • בתשובה לאלון עמית יום ה', 27/5/2004, 15:50
כבר מזמן שכחתי את הנוסחאות בפיסיקה אבל האינטואציה שלי אומרת מאופי הנתונים שהפתרון צריך להיות משהו יוצא דופן כמו 'איןסוף'
אוקי :-) 221914
סירס וזימנסקי • בתשובה לאלון עמית יום ו', 28/5/2004, 19:11
קצת פחות מ 2.5 שניות? מה משעשע כאן?
אוקי :-) 221915
אלון עמית • בתשובה לסירס וזימנסקי יום ו', 28/5/2004, 19:13
מדוע?
אוקי :-) 221916
סירס וזימנסקי • בתשובה לאלון עמית יום ו', 28/5/2004, 19:23
אין תלות במשקל הכדור או ברוחב הגבעה אלא בהשפעה גרביטציונית בלבד. אתה יכול פשוט לזרוק אותו למעלה ותקבל אותה תוצאה.
אוקי :-) 221918
איינשטיין • בתשובה לסירס וזימנסקי יום ו', 28/5/2004, 19:25
אני רואה שעשית את כל הקירובים והחישובים מהר מאד. כל הכבוד.
אוקי :-) 221920
אלון עמית • בתשובה לסירס וזימנסקי יום ו', 28/5/2004, 19:34
זה טיעון משונה קצת, לא? אם הגבעה מרוחקת ממני 10 קילומטרים, זה גם ייקח 2.5 שניות?
אוקי :-) 221922
סירס וזימנסקי • בתשובה לאלון עמית יום ו', 28/5/2004, 19:42
ההנחה, מאופן הניסוח של שאלתך הראשונה, היא שאתה עומד למרגלות הגבעה (כלומר אין זמן בו תנועת הכדור היא רק אופקית, שבמישור ללא חיכוך לא תאט את תנועת הכדור, ולכן תלויה במרחק עד לגבעה).
אוקי :-) 221923
אלון עמית • בתשובה לסירס וזימנסקי יום ו', 28/5/2004, 19:45
אבל אתה ממילא התעלמת מהנתון על רוחב הגבעה. ואם היא היתה ברוחב קילומטר, עם שיפוע מתון מאוד בהתחלה? מדוע אתה מניח שהתנועה האנכית זהה לזו של כדור הנזרק כלפי מעלה, ומדוע התנועה האופקית לא לוקחת זמן?
אוקי :-) 221924
סירס וזימנסקי • בתשובה לאלון עמית יום ו', 28/5/2004, 20:02
אם אין מצב בו רכיב התנועה הוא *רק* אופקי, אז עדיין התשובה תהיה נכונה, מאחר והתנועה תמיד תואט רק כפונקציה של כוח המשיכה, ותעצר תמיד בראש הגבעה, שתמיד יהיה רק 30 מ' מעליך.
אוקי :-) 221925
אלון עמית • בתשובה לסירס וזימנסקי יום ו', 28/5/2004, 20:19
יש פה איזו אי-רציפות? אם התנועה היא *רק* אופקית, ההתנהגות היא אחרת דרסטית מאשר אם התנועה היא בשיפוע מיליונית המעלה?

הטעות שלך היא התעלמות מהכוח הנורמלי המופעל ע"י הגבעה. כשגוף נע בשיפוע *באוויר*, התאוטה האנכית שלו היא g. כשגוף נע בשיפוע על *משטח*, התאוטה היא אחרת, כמובן (למשל, אם המשטח הוא אופקי...)
אוקי :-) 221928
סירס וזימנסקי • בתשובה לאלון עמית יום ו', 28/5/2004, 20:50
עד כמה שזכור לי, הכוח הנורמלי שמופעל ע"י הגבעה היה נלקח בחשבון במקרה של חיכוך בלבד. מאחר ועפ"י נתוני הבעיה הגבעה *חלקה*, אין משמעות לכוח הנורמלי או לכל רכיב אופקי אחר - רק לכוח המשיכה.
אוקי :-) 221929
שוטה הכפר הגלובלי • בתשובה לסירס וזימנסקי יום ו', 28/5/2004, 21:02
עניין הרציפות עם שיפוע אפס צריך להבהיר לך שאתה טועה. דמה מדרון מאד לא תלול (אבל חלקלק, כמקובל במחוזותינו) שאורכו כמה קילומטרים, נניח מאה. האם בשתיים וחצי שניות הכדור יעבור את המרחק הזה? מהירותו ההתחלתית אינה יכולה להיות גבוהה מאד, שכן עליו להיעצר בגובה 30 מ'.

אני מתאר לעצמי שיש כאן איזה טריק, אבל אין לי מושג מהו. הניסוח "20 מ' בממוצע" אומר חשדני, ואני אכן חושד בו אך הוא מסרב לדבר עד שלא ייפגש עם אביגדור פלדמן. אולי מרומז כאן איזה מקום ספציפי ומאורע ספציפי שאנחנו מכירים - משהו עם בסיס 40 מ' ושפיץ, איזו פירמידה מפורסמת? משהו?

שאלה לאלון: אנחנו על כדור הארץ בכלל?
אוקי :-) 221931
שוטה הכפר הגלובלי • בתשובה לשוטה הכפר הגלובלי יום ו', 28/5/2004, 21:06
עוד שאלה לאלון: הוא *התגלגל* ללא חיכוך, ובסוף נעצר, או שהוא *החליק* במעלה אותה גבעה?
אוקי :-) 221934
אלון עמית • בתשובה לשוטה הכפר הגלובלי יום ו', 28/5/2004, 21:38
אפשר להניח שהכדור נקודתי. בכל אופן, עניין הגלגול אינו רלוונטי.
אוקי :-) 221932
אלון עמית • בתשובה לשוטה הכפר הגלובלי יום ו', 28/5/2004, 21:22
זו שאלה פיזיקלית ''אמיתית'', אין פה איזה מקום או אירוע. אם אתה לא בטוח לגבי כדור-הארץ, אתה יכול לנסות לפתור אותה על הירח. לגבי השאלה אם יש פה איזה טריק, אתה צודק ואני לא מדבר בלי עורך-דין (חילוני).
אוקי :-) 221935
שוטה הכפר הגלובלי • בתשובה לאלון עמית יום ו', 28/5/2004, 21:42
איזו מקריות! בדיוק בשבוע הבא אני טס לירח, כך שאקבל את עצתך ואנסה לפתור את זה שם.
אוקי :-) 221936
אלון עמית • בתשובה לשוטה הכפר הגלובלי יום ו', 28/5/2004, 21:46
אתה בן 21?
אוקי :-) 221939
הקשה המקשה • בתשובה לשוטה הכפר הגלובלי יום ו', 28/5/2004, 22:43
גם אני לא הצלחתי לקלוט מה הקטע ומה ניתן להסיק מהנתונים (מה הרלבנטיות של מסת הכדור ? ‏1 מה משמעות הרוחב הממוצע?). את הטיעון של צב מעבדה (תגובה 221610) ניתן להציג גם בלי נוסחאות: בשל הפיכות חוקי המכניקה (כשאין חיכוך או כחות מכלים), הזמן יהיה זהה לזה שבבעיה ההפוכה, המתקבלת ע"י הרצת הסרט ברברס. מאחר שכדור במנוחה ‏2 על ראש גבעה אינו מתחיל להתגלגל במורד מעצמו ‏3, הרי שלא יגיע אל רגלו של אלון בזמן סופי.

‏1 יש לי חשד בלתי מבוסס שבעיטה בכדור שמסתו 1 ק"ג כך שהוא מטפס לגובה 30 מטר (עם או בלי שיפוע), מאד תכאיב לרגל הבועטת.
‏2 אני מסיק מהניסוח "נגמר לו הכח והוא נעצר" שמדובר בעצירה מוחלטת (תאוצה אפס) ולא מנוחה רגעית. במקרה שמסקנה זו שגויה, גם הטיעון לעיל אינו תקף.
‏3 אלון הוא אדם הגון ולכן אני מאמין שגם אם הוא מכיר מושגים מגונים כמו "שבירה ספונטנית של סימטריה", הוא לא היה מתקיל אותנו בהם ללא אזהרה.
אוקי :-) 221940
אלון עמית • בתשובה להקשה המקשה יום ו', 28/5/2004, 23:09
אתה והצב שיחקתם אותה. התשובה היא אכן אינסוף, הנימוק הפשוט ביותר הוא להקרין את הסרט לאחור, והרמאות הזולה שלי (בעטייה אני עשוי להיזקק לעו"ד) היא כל הנתונים שזרקתי שם. כולם לא רלוונטיים, אבל אם לא אומרים אותם התשובה ברורה לגמרי - אם אתה סומך על חד החידה שיש תשובה, היא חייבת להיות 0 או אינסוף אם אין שום נתון מספרי.
אוקי :-) 221982
דורון הגלילי • בתשובה לאלון עמית שבת, 29/5/2004, 11:39
אם אני עדיין זוכר את הפיזיקה שלמדתי בתיכון (אם כי צריך לקחת בחשבון שלמדתי אותה מהספר של מחברי תגובה 221916) התשובה אינה אינסוף, אם כי הכדור כמובן יעצר לזמן קצר בלבד(1) ואח"כ יתגלגל חזרה במורד הגבעה.
התאוצה הפועלת על הכדור היא התאוצה הגרוויטציוונית מוכפלת בסינוס השיפוע. מכיוון שלגבעה גובה כלשהו (30 מ'), הרי השיפוע אינו אפס, והסינוס שלו גדול מאפס, כך שיש לכדור תאוצה (בכוון מורד הגבעה). יש לנו מספר נתונים לא רלוונטיים לפתרון השאלה: מסת הכדור, ורוחב המסלול. לעומת זאת חסר לנו (לפחות) אחד משני הנתונים: המהירות ההתחלתית של הכדור או שיפוע הגבעה.

___
(1) מכיוון שתנועת הכדור היא רציפה, לא ניתן לעבור מגודל חיובי לשלילי (ולהיפך) אלא דרך האפס.

h (30 m) = ½ g sin θ t^2
v (0 m/s) = v0 - g sin θ t
אוקי :-) 221983
אביב י. • בתשובה לדורון הגלילי שבת, 29/5/2004, 11:49
למה השיפוע בפיסגה לא יכול להיות 0? (אני הבנתי מהשאלה שההנחה היא שהוא דווקא כן אפס).
אוקי :-) 221984
דורון הגלילי • בתשובה לאביב י. שבת, 29/5/2004, 11:56
אוקי :-)
כמובן שהיו לי כאן כמה קרובים (קו"ף צרויה(1), לא הבאתי את המשפחה) לצורך הפשטות, אבל, אם אכן הוא מגיע לפסגה במהירות גדולה מאפס, ושם השיפוע הוא אפס, (לצורך העיניין לא גבעה, אלא "הר שולחן"), אזי הוא ימשיך במהירות זאת לנצח.

__
(1) אחות של דויד.
אוקי :-) 221987
אביב י. • בתשובה לדורון הגלילי שבת, 29/5/2004, 12:30
לא צריך גבעה שולחנית. מספיק גבעה רגילה עם נקודת מקסימום יחידה (פיסגה) עליה החליט הכדור השובב של אלון בלון לאבד כח ולהעצר.

__
(1) דוית' לא דויד. שכנם של יעקוףףףף ומאייייר.
אוקי :-) 222031
אלון עמית • בתשובה לדורון הגלילי שבת, 29/5/2004, 19:31
תגובה 221982 עדיין בתוקף? אני לא בטוח שהבנתי את הטיעונים.
אוקי :-) 222996
טולו • בתשובה לדורון הגלילי יום ד', 2/6/2004, 16:31
את המהירות ההתחלתית ניתן לחשב משימור אנרגיה mv^2=mgh
אוקי :-) 223020
אלון עמית • בתשובה לטולו יום ד', 2/6/2004, 19:02
תגובה 222860 טיפה יותר מדוייקת.
אוקי :-) 221985
MRP • בתשובה לאלון עמית שבת, 29/5/2004, 12:04
הפתיל מתחיל להזכיר קצת שיעור במכניקה בסיסית, ובכל זאת אני מרגיש צורך לשאול שאלה נוספת. אינטואיטיבית גם לי נראה שהתשובה אינסוף אבל אז חשבתי על אנלוגיה מסויימת...
נניח שיש שיפוע חלק ויפה בגובה של יותר מ30מ'. זורקים את הכדור כך שיגיע לגובה של 30מ', יעצר רגעית ואז יתגלגל חזרה מטה. אבל אם הכדור נקודתי מה זה בעצם משנה אם השיפוע ממשיך למעלה או נגדע בפתאומיות ויורד מטה (כמו בשאלה המקורית)?
מה ההבדלים באיבודי האנרגיה בשני המקרים?
אוקי :-) 221986
דורון הגלילי • בתשובה לMRP שבת, 29/5/2004, 12:13
זהו, שאם הוא כבר נעצר אז too late. אבל אם היא מגיע לפסגה במהירות אפסילון, ואז השיפוע נגדע באכזריות לאפס, אזי הוא ימשיך באותה מהירות אפסילון לעבר השקיעה.
כלומר, עזבנו את המכניקה הבסיסית והגענו (בחדווא ובדיצה) אל השאיפה לאפס.
אוקי :-) 222033
אלון עמית • בתשובה לMRP שבת, 29/5/2004, 19:50
השיפוע לא נגדע בפתאומיות, אלא מתמתן בצורה חלקה ויורד. אם תזרוק את הכדור באותה מהירות התחלתית בשני המצבים שתיארת, הכדור יגיע למהירות 0 במקרה הראשון בגובה מסויים, אבל במקרה השני (בגלל ההתמתנות) הוא יגיע לשיא במהירות גדולה בהחלט מ-‏0.

הטריק בשאלה הוא ההנחה (המוזרה) שהכדור מגיא למהירות 0 בדיוק בשיא. זה לא יכול לקרות תוך זמן סופי, ודרך יותר ברורה (אולי) לפרש את זה היא כך:

* אם ניתן לכדור מהירות התחלתית מסויימת, הוא יגיע לפסגה במהירות מטר לשנייה (וימשיך ויתגלגל במורד), וזה יקח (נגיד) 10 שניות.

* אם ניתן מהירות נמוכה קצת יותר, הוא יגיע לפסגה במהירות סנטימטר לשנייה (וימשיך ויתגלגל במורד), וזה יקח 1,000 שניות.

* אם ניתן מהירות טיפה יותר נמוכה, הוא יגיע לפסגה במהירות מילימטר לשנייה (וימשיך ויתגלגל במורד), וזה כבר יקח 10,000 שניות.

וכו' וכו'. יש מהירות התחלתית קריטית מסויימת שמתחתיה הכדור בכלל לא מגיע לפסגה, מעליה הוא מגיע וממשיך, אבל *בה* הוא זוחל מעלה מעלה לאט יותר ויותר באיזור הפסגה ולעולם לא יגיע אליה, אלא *שואף* למצב מנוחה בפסגה בדיוק.
אוקי :-) 222036
אביב י. • בתשובה לאלון עמית שבת, 29/5/2004, 20:00
כל עוד הוא שואף למצב מנוחה ולא לריאות, לדעתי האישית זה בסדר. רק שיהיה בריא ושלא ישתה לנו חשיש.

יאללה - עוד שאלה בסגנון (אם יש לך).
אוקי :-) 222093
אלון עמית • בתשובה לאביב י. יום א', 30/5/2004, 5:26
אם ''בסגנון'' זה חידות חמודות בפיסיקה בסיסית, אז יש אולי עוד כמה, אבל נפסיק להפריע לאיזי. אשלח משהו ל''אייל ששאל'' הבא, אחרי שתיפתרנה החידות.
אוקי :-) 222102
דורון הגלילי • בתשובה לאלון עמית יום א', 30/5/2004, 9:08
הטריק הוא שמהנדסים לא מכירים את המונח "בדיוק". או שהמהירות היא לא בדיוק אפס (נניח, פחות מ5% מהמהירות ההתחלתית זה וירטואלי אפס), או שהפיסגה היא לא *בדיוק* בשיא (מטר לפני/אחרי, מילימטר, מיקרון - בחר את רמת הדיוק הרצויה), או שהאינסוף הוא לא בדיוק אינסוף.
אוקי :-) 222127
אלון עמית • בתשובה לדורון הגלילי יום א', 30/5/2004, 11:08
אה, סליחה. מהנדסים מתבקשים לפנות לחידה הקודמת :-)

"בחר את רמת הדיוק הרצויה" - גם מהנדס יכול לצייר גרף של משך הזמן כפונקציה של המהירות (ההתחלתית, הסופית, לא חשוב), עבור 30 ערכים בתחום סביר, להמשיך את הקו ולהשתכנע שהוא שואף ל<צונזר> - אה, כלומר, עולה ללא גבול.
לו מהנדסים היו מוכשרים כל כך 222140
דורון הגלילי • בתשובה לאלון עמית יום א', 30/5/2004, 11:51
או שהם היו מתמטיקאים, או שגשרים ותקרות לא היו מתמוטטים :)
‏2 222345
הקשה המקשה • בתשובה להקשה המקשה יום ב', 31/5/2004, 9:21
כמובן שהתאוצה מתאפסת בראש הגבעה (החוק השני של ניוטון).

שאני אהבל
אוקי :-) 221930
אלון עמית • בתשובה לסירס וזימנסקי יום ו', 28/5/2004, 21:04
ממש לא. ומדוע אתה אומר שהכוח הנורמלי הוא אופקי? הוא *נורמלי*, כלומר ניצב למישור המשיק לגבעה. יש לו, בדרך כלל, רכיב אנכי ורכיב אופקי כאחד.

גוף יושב על שולחן אופקי, ללא חיכוך. מהי תאוצתו האנכית? אפס. מדוע? הלא פועל עליו כוח המשיכה כלפי מטה? אילולא פעל עליו כוח נוסף, היה מאיץ. הכוח הנוסף הוא הכוח שמפעיל השולחן על הגוף (כתגובה לכוח שמפעיל הגוף על השולחן). זהו הכוח הנורמלי.

גוף מונח על שולחן שאינו אופקי, אלא מוטה מעט. אין חיכוך, והגוף מתחיל לגלוש. האם תאוצתו האנכית היא בדיוק g? עזוב חוקים ונוסחאות, חשוב בהיגיון. דמיין אותו גולש ובמקביל גוף דומה צונח מטה ליד השולחן. הם יהיו תמיד באותו גובה? לא. הגוף הצונח מטה ייפול הרבה יותר מהר. הכוח הנורמלי שמפעיל השולחן פועל כעת לא ישר למעלה אלא קצת בזווית, ועל כן מנטרל *כמעט* את כח הכבידה - לא לגמרי, ומה שנשאר מביא לתאוצה האנכית.
אוקי :-) 221941
רן בלוס אנג'לס • בתשובה לאלון עמית יום ו', 28/5/2004, 23:22
הגיון הוא תמיד נימוק חשוד בפיסיקה. ההגיון אומר לנו שאם נעלה על מגדל נטוי (בפיזה נניח) ונזרוק מהמרפסת כדור ששוקל 100 ק"ג וכדור ששוקל 1- ק"ג, הראשון יגיע לארץ קודם.

בענין הכוח הנורמלי אתה כמובן צודק.
אוקי :-) 221943
הקשה המקשה • בתשובה לרן בלוס אנג'לס יום ו', 28/5/2004, 23:57
ניסוי דומה לזה אכן נערך (המסות היו קצת אחרות אולם היחס ביניהן, כמו יתר הפרטים, כפי שתארת). כמובן שהכדור הכבד הגיע לארץ קודם. הגיוני, לא?
(למי שמתעצל לקרוא את כל הקטע מומלץ לחפש את המילה "ninety" )
אוקי :-) 221959
אלון עמית • בתשובה לרן בלוס אנג'לס שבת, 29/5/2004, 5:35
היגיון הוא באמת נימוק חשוד, אבל בגבולות ההיגיון. ס"ז ניסה לתאר סיטואציה בה בשיפוע 0, התאוצה 0, ובכל שיפוע אחר, מתון ככל שיהיה, התאוצה g. זה *באמת* לא הגיוני, ובמצבים כאלה אני מעדיף להתחיל מהסבר אינטואיטיבי מאשר לזרוק נוסחאות.

סיפורים פיזיקליים לא הגיוניים יש גרועים בהרבה ממגדל פיזה - אפשר לשוב ולהיזכר במאמר בו אנו נמצאים :-)
אוקי :-) 222858
רן בלוס אנג'לס • בתשובה לאלון עמית יום ד', 2/6/2004, 3:29
אבל מה עם רציפות? נבחר שרירותית שתי מהירויות התחלתיות של הכדור: V1 – הכדור לא מגיע לראש הגבעה, ו- V2 שבה הוא עובר אותה. ניקח את המהירות הממוצעת. אם היא לא מעבירה את הכדור לצד השני, נציב אותה כ- V1. אם כן, נציב אותה כ- V2. נעשה את זה שוב ושוב. V1 ו- V2 יתקרבו ויפגשו בגבול ב- V. האם מהירות התחלתית של V תעביר את הכדור או לא?
אוקי :-) 222860
אלון עמית • בתשובה לרן בלוס אנג'לס יום ד', 2/6/2004, 3:40
אין צורך במיצוע האיטרטיבי שאתה מציע: יש באמת מהירות קריטית אחת, המקיימת

1/2 m V^2 = m g h

והיא *לא* מעבירה את הכדור, אך גם *לא* מאפשרת לא ליפול חזרה אחרי זמן סופי - היא בדיוק המהירות שתגרום לו לזחול לנצח אל עבר הפסגה הנכספת.

יש כאן סוג של אי-רציפות שהוא דווקא לא "לא פיזיקלי": כתלות בפרמטר, הזמן שואף לאינסוף, לא מוגדר בנקודה קריטית אחת, וחוזר ויורד מהאינסוף לאחר מכן. יש עוד דוגמאות דומות, למשל: כמה זמן לוקח לעיפרון העומד על חודו ליפול על השולחן, כפונקציה של זווית הסטייה ממצב אנכי לגמרי.
אוקי :-) 222861
אלון עמית • בתשובה לאלון עמית יום ד', 2/6/2004, 3:44
(כמובן שהסיפורים הללו הם ''פיזיקליים'' רק במובן הנאיבי של מכניקה קלאסית נקייה. בחיים האמיתיים, זה לא באמת עובד, בגלל המבנה האטומי של החומר, רעש תרמי, ריטוטים קוונטיים... אני מקווה שברור שהשאלה מתייחסת למציאות המתמטית הקצת בדיונית).
אוקי :-) 221917
איינשטיין • בתשובה לאלון עמית יום ו', 28/5/2004, 19:24
חשב את עיקום המרחב בגובה פני הים, הצב בטנזורים המתארים תנועה בקו ישר באזור הזה, השתמש בקירובים המקובלים, וקבל:

s=(gt**2)/2 כאשר s הוא הוקטור המאונך לפני הים ו g היא התאוצה בכיוון זה. השתמש בעקרון הסופרפוזיציה שמאפשר הפרדת וקטורים אורתוגונליים כדי לא להתעניין בשיפועים ושאר מרעין בישין.

הצב s=30, g=10, וחשב את t.
אוקי :-) 221921
אלון עמית • בתשובה לאיינשטיין יום ו', 28/5/2004, 19:35
משעשע, אך לא רלוונטי (תגובה 221920).
אוקי :-) 221944
אלמנה ויתום • בתשובה לאלון עמית שבת, 29/5/2004, 0:24
מה שיפה כאן, זה שהכדור נעצר, לא נופל חזרה לאחור ולא ממשיך להחליק קדימה.
אוקי :-) 221960
אלון עמית • בתשובה לאלמנה ויתום שבת, 29/5/2004, 5:37
בהחלט - זה העוקץ של החידה.
זנון קם לתחיה 222742
סנוקריסט • בתשובה לאלון עמית יום ג', 1/6/2004, 17:13
אתה באמת מבריק (אני מתכוון לזה), אבל לצערי אתה טועה פה ובגדול.
מכיוון שאין פה איבוד אנרגיה, למעט בשל כח הכבידה, חישוב המהירות ההתחלתית שיש לתת לכדור הוא די פשוט.
משתמשים בחוק שימור האנרגיה(מקינטית לפוטנציאלית), מציבים את h (למסה אין חשיבות וכן לא לאורך המדרון) ומקבלים את המהירות ההתחלתית שצריך להשקיע.
אבל זה לא מה שמבקשים פה. מה שמבקשים זה הזמן. הזמן תלוי בדרך ובתאוצה (פה הטעות של סירס זימנסקי, דרך אגב - הדרך בהחלט חשובה). אם היה מדובר במדרון ישר, החישוב היה די פשוט. אם מדובר במדרון עם שיפוע משתנה, החישוב הופך למסובך הרבה יותר. בכל מקרה הזמן הוא סופי !
בנוגע לטיעון שאתה הצגת, הוא הוצג לפני הרבה זמן על ידי היוונים. יש הרבה פרדוקסים שעוסקים בשאלה הזאת. הקץ' בטיעון שלך הוא שאתה מתעסק בגדלים ששואפים לאפס. אני לא צריך לחדש לך שסדרות אינסופיות יכולות להתכנס למספר סופי בהחלט, והוא המקרה כאן.
זנון קם לתחיה 222747
שוטה הכפר הגלובלי • בתשובה לסנוקריסט יום ג', 1/6/2004, 17:31
אבל הטיעון המוחץ הוא הרברסיביליות של חוקי המכניקה. אם הכדור נמצא במנוחה בראש הגבעה (בתסריט בו חץ הזמן מתהפך) הוא לא יזוז לשום מקום, ולפיכך השתלשלות הדברים המתוארת החידה לא יכולה להתרחש בזמן סופי.

כמוך, גם אני בטוח שאלון יודע על טורים מתכנסים. כידוע, לא כולם כאלה.
זנון קם לתחיה 222755
סנוקריסט • בתשובה לשוטה הכפר הגלובלי יום ג', 1/6/2004, 17:47
מה עניין שמיטה להר סיני ?
כל האנרגיה של הכדור הפכה לפוטנציאלית. לצערו של הכדור, או לא לצערו, הוא נמצא במצב שיווי משקל. מהירותו האופקית היא אפס ומתחתיו יש אדמה ולכן הוא ימתין שם עד שאלון יניד אותו קלות.
תחשוב שבמקום ההר יש במקום בו היה צריך שיא ההר, נקודה בודדת. האם אתה מסכים איתי שהייתי יכול לזרוק את הכדור בצורה כזאת כך שהוא היה נושק לנקודה הזאת מלמעלה במהירות 0 ? ההר עצמו הוא סתם תוספת ותו לא (האמת שהוא משמש ליצירת הכח המאיט לכיוון X - אבל זה לא שייך)
זנון קם לתחיה 222757
שוטה הכפר הגלובלי • בתשובה לסנוקריסט יום ג', 1/6/2004, 17:58
לא, אני לא מסכים איתך. זה כבר נדון כאן בהודעות קודמות: כדי שהכדור יגיע לראש ההר עליו להיות בעל מהירות אופקית כלשהיא (קטנה, אבל חיובית) בסביבה הקרובה של הפסגה, מקום שם נגזרת הגובה הולכת ומתאפסת, ואז מה יעצור אותו בדיוק בראש הגבעה? התשובה היחידה: הפרה שעומדת שם. אבל בחידה של אלון הפרה הלכה לגבעה אחרת.

ושוב: חשוב על היפוך הסרט, זה מסביר את מה שחייב להתרחש טוב יותר מנגזרות ואפסילונים (אלא אם כן שמך הפרטי הוא עוזי. במקרה זה האפסילונים הם ההסבר והסרט ההפוך הוא מסקנה).

אם אתה עדיין לא משוכנע, אלון עצמו בטח ייטיב ממני להאיר את עיניך.
זנון קם לתחיה 222773
אייל מולד(ר) • בתשובה לסנוקריסט יום ג', 1/6/2004, 18:38
בוא נחשב:
h=הפרש הגובה של הכדור משיא ההר (בנקודה נתונה).
x=המרחק האופקי בין הכדור לשיא ההר (בנקודה נתונה).
כפי שציינת המהירות בכל נקודה זה קבוע כפול שורש h.
מכיוון שההר חלק, שיפועו שואף לאפס. ולכן x/h שואף לאינסוף. בוודאי שהזמן שנותר עד השיא > מ-x מחולק במהירות הנוכחית (שרק תפחת) = קבוע כפול שורש h.
בקיצור, בניסוח סיזיפי - אם ניקח דגימות, נגלה שקיבלנו סידרה של מספרים עולים השואפת לאינסוף (באותו קצב שהשיפוע של ההר שואף לאפס). הזמן עד שיא ההר הוא לפחות הגבול של הסידרה הזו.
מי העיר את זנון? 222808
אלון עמית • בתשובה לסנוקריסט יום ג', 1/6/2004, 22:24
חישוב המהירות ההתחלתית הוא אכן חשבון פשוט, אך כפי שציינת לא רלוונטי כלל.

מדוע "בכל מקרה הזמן הוא סופי!"?

חוששני שאין כל קשר בין הפרדוקסים של זנון לנימוק שהבאתי, או בכלל לחידה הזו. סדרות אינסופיות (ואולי רצית לומר: טורים אינסופיים) יכולות בוודאי להתכנס למספר סופי. אז? איך זה קשור לשאלה? האם הנימוק שהצגתי הוא מהסוג "הנה טור אינסופי, ולכן התשובה היא אינסוף"?

אולי אשאל אותך כך: תהי v0 המהירות ההתחלתית הקריטית, זו שמאפשרת לכדור להפוך את כל האנרגיה הקינטית שלו לאנרגיה פוטנציאלית וכך להגיע לפסגה ללא שריד של אנרגיה קינטית - היינו, במנוחה. הסכמת שיש מהירות קריטית כזו.

נניח שהמהירות ההתחלתית גבוהה מ-v0 רק במיליארדית מטר לשנייה. זה יגרום לכדור להגיע לפסגה במהירות זו. מילימטר אחד לפני הפסגה, מה היתה מהירותו? דומה מאוד לזה, שכן התאוטה באיזור הפסגה היא קטנה. נניח, בכל זאת, שמהירותו מילימטר קודם היתה גבוהה *פי אלף* - לא ממש סביר - כלומר, היא היתה מיליונית מטר לשנייה. כמה זמן לקח לו לעבור את המילימטר האחרון? בערך 20 דקות, ולמעשה יותר שכן הוא מאט. ואילו התחלנו במהירות גבוהה רק בעשר בחזקת מינוס 20 מ-v0? מה יקרה אז? מה ההתנהגות של הזמן, בקיצור, כפונקציה של e, אם המהירות ההתחלתית היא vo+e?

התשובה היא: כש-e שואף לאפס, הזמן עד לפסגה שואף לאינסוף. אין כאן פרדוקס או קץ', ואיני רואה מה הבעייה עם העובדה שאני מתעסק בגדלים ששואפים לאפס. זו עובדה מתמטית פשוטה.
מי העיר את זנון? 222886
שוטה הכפר הגלובלי • בתשובה לאלון עמית יום ד', 2/6/2004, 9:02
ואללה, איך ידעתי שהיצור המאוס ההוא מאינפי א', אפסילון, ירים את ראשו המכוער ויאמר את דברו. אם הדיון לא יגווע כאן, אני מחכה בחרדה גם להופעת בת זוגו המעצבנת לא פחות, ''ני''.

אני עוד זוכר שעל הניסוח ''עבור כל אפסילון קטן כרצוננו'' ענה מישהו ''תוציא את הרצון שלך מהמתמטיקה''.
!Bring us... a shrubbery 222908
אלון עמית • בתשובה לשוטה הכפר הגלובלי יום ד', 2/6/2004, 10:29
ני! ני! ננננני!

(סתם, שהחרדה תבוא ותחלוף מהר)
!Bring us... a shrubbery 222927
דורון הגלילי • בתשובה לאלון עמית יום ד', 2/6/2004, 12:05
היה צפוי שאם מתעסקים ביוונית יגיעו יחדיו פסי וידידו חי.
מי העיר את זנון? 223278
סנוקריסט • בתשובה לאלון עמית יום ה', 3/6/2004, 17:31
אתה צודק ואני טועה.
מי העיר את ראסל? 223501
אורי גוראל גורביץ' • בתשובה לאלון עמית יום ו', 4/6/2004, 15:55
אם יורשו לי כמה השגות, לא על הפתרון עצמו, אלא על דרך ההוכחה. נקווה כי לא יחשב לי, בן נעוות מרדות שכמותי, לחוצפה יתרה לחלוק על דברי זקנים ממני. למעשה, מאחר שלרוב אני טועה, הרי שבדברי כנגד אלון נמצאתי מחזק את דבריו.

הטיעון האפסילוני המופיע בתגובה מעלי שגוי. איזו סיבה יש להניח שהמהירות מילימטר לפני הפסגה _לא_ תהיה פי אלף או קוואדזיליון יותר מאשר המהירות בפסגה?
ליתר דיוק אם במרחק x מהפסגה המרחק האנכי מהפסגה הוא h
אזי מהירותי תהיה
v=c*sqrt(h)
לכן החסם הטריויאלי לזמן יתן
t=x/v=x/(C*sqrt(h)
ההנחה שלפסגה שיפוע אפס נותנת לנו רק ש
x/h
שואף לאין סוף, אבל
x/sqrt(h)
יכול להיות חסום ולמעשה אף לשאוף לאפס. למעשה אם נבחר את הפונקציה
h=x*sqrt(x)
הרי שחישוב יתן לנו שאכן כדור יכול לטפס על גבעה כזו בזמן סופי. אליה וcatch בה - הגבעה הזו אינה גזירה פעם שניה באפס. הנחה שלדעת הוגה החידה היא בלתי סבירה פיזיקלית.

גם טיעון היפוך הזמן נשען על כרעי תרנגולת מתימטית דומים.
כדי שהטיעון יחשב (מתימטית) צריך להשתכנע כי למערכת הדיפרנציאלית הנ"ל יש פתרון יחיד. בלי גזירות שנייה של הגבעה זה לא חייב להיות. אם אין פתרון יחיד, מה אכפת לי שיש פתרון בו הכדור נשאר במקום?

אין לי כח להסברים נוספים, נתתי כאן מספיק חומר לאלון לעשות ממני חוכא ואיטלולא לשבועיים הקרובים.

אורי.
מי העיר את ראסל? 223609
אלון עמית • בתשובה לאורי גוראל גורביץ' יום ו', 4/6/2004, 20:44
על "זקנים ממני" מגיע לך באמת עינוי סיני חפוז כעונש, השאר דווקא לא כזה גרוע.

ככה: ה"טיעון" עם האפסילון לא התיימר להיות טיעון, רק להסביר מה בעצם הטענה ולנסות להראות שהיא לא כזו בלתי-סבירה. אתה צודק שההנחה על התאוטה בסוף לא היתה מוצדקת, אם כי צריך קצת להתאמץ (כמו שעשית) כדי למצוא מצב בו העדינות הזו חשובה.

לגבי טיעון היפוך הזמן, אתה במצב קצת פחות מוצלח לדעתי. בהחלט ישנן סיטואציות מתמטיות שבהן למשוואה דיפרנציאלית מסדר ראשון אין פתרון יחיד גם בהינתן תנאי ההתחלה, והדוגמאות מוכרות. אבל כאן דווקא סביר להתחשב קצת בסבירות הפיסיקלית, שבהקשר הקלאסי הנוכחי אומרת שתנאי ההתחלה אכן קובעים את ההתנהגות, וכדור היושב על מקומו לא ייזכר פתאום שלמשוואה המתארת את תנועתו יש עוד פתרון אז יאללה נוסעים. אתה צודק - זה נימוק *פיסיקלי*, במסגרת השגרתית בה פיסיקאים מניחים שכל הפונקציות הנדונות גזירות מספיק פעמים.

שאלה לגיטימית: ממילא המצב המתואר אינו ממש פיסיקלי מסיבות שהזכרנו קודם (חום וכאלה), אז למה ההפשטה המתמטית שתארתי היא בסדר והצעד הנוסף שאתה מאפשר הוא לא? אין כאן תשובה חד-משמעית, לדעתי. מודל תמיד תופס חלק מהסיטואציה ומתעלם מחלקים אחרים, ובמקרה דנן נראה לי שפיסיקאי ממוצע יקבל את הקירוב של גבעה מתמטית חלקה, מהירויות קרובות מאוד לאפס, וכו', אך ידחה כלא רלוונטיות דוגמאות של גבעה גזירה פעם אך לא פעמיים.

אם אתה באמת רוצה שאעשה ממך חוכא ואטלולא, תתאמץ יותר.
אין פיסיקאים ממוצעים 223611
אלמנה ויתום • בתשובה לאלון עמית יום ו', 4/6/2004, 20:53
אבל אם היו, הם היו מקבלים כמובנת מאליה את ההנחה שהגבעה חלקה על כל נגזרותיה. בעלי, הפגר, טען שנים שאין בכוונתו לעלות על סולם ולהחליף נורה בסלון, משום שבמבחן במכניקה קלאסית א', הסולם החליק עד שהתנתק מהקיר.
אין פיסיקאים ממוצעים 223617
שוטה הכפר הגלובלי • בתשובה לאלמנה ויתום יום ו', 4/6/2004, 21:37
נו, ובסוף הוא השתכנע, הסולם החליק ואת זכית למעמד המשפחתי הנכסף?
אין פיסיקאים ממוצעים 223620
אלמנה ויתום • בתשובה לשוטה הכפר הגלובלי יום ו', 4/6/2004, 21:47
לא, הוא מת תוך כדי נסיון נואש במיוחד להוכיח ש 196 לא הופך לפלינדרום כשהופכים אותו ומוסיפים אותו לעצמו מספר סופי של פעמים.
אין פיסיקאים ממוצעים 223623
שוטה הכפר הגלובלי • בתשובה לאלמנה ויתום יום ו', 4/6/2004, 21:49
קבלי את תנחומי. אני מתאר לעצמי שאת ממשיכה את פועלו.
אין פיסיקאים ממוצעים 223632
האייל האלמוני • בתשובה לשוטה הכפר הגלובלי יום ו', 4/6/2004, 22:23
להפך, פועלו החתיך ממשיך אותו, לאחר שהתחתן עם האלמנה המאושרת.
אין פיסיקאים ממוצעים 223644
אלמנה ויתום • בתשובה לשוטה הכפר הגלובלי יום ו', 4/6/2004, 23:33
לא ממשיכה. אני כאמור בעסקי המטריצות הגדולות להחריד בימים אלו (וגם לא מספיק דלילות, לצערי, קשים חיי אלמנה). כשתפסתי את היתום קורא את ''הדוד פטרוס והשערת גולדבך'', הענשתי אותו חמורות. אני מקווה שזה יעזור.
אין פיסיקאים ממוצעים 223634
יובל נוב • בתשובה לאלמנה ויתום יום ו', 4/6/2004, 22:29
למה לא קנית לו כזה ליום-ההולדת?
זקנים ממני.. 223647
אורי גוראל גורביץ' • בתשובה לאורי גוראל גורביץ' שבת, 5/6/2004, 1:03
למען האמת רציתי לכתוב ''זקנים וחכמים ממני'' אבל פסלתי אפשרות זו על הסף מפאת חנופתיותה.
מי העיר את ראסל? 223724
הקשה המקשה • בתשובה לאורי גוראל גורביץ' שבת, 5/6/2004, 20:57
סימטריית היפוך הזמן היא תכונה של המשוואות בבעיה הנתונה, ללא תלות בצורת הגבעה. לכן גם הפתרונות הנוספים, אם קיימים, מצופים לתאר תחת היפוך זמן תנועה לגיטימית של כדור המתדרדר במורד הגבעה (פתרונות קבילים מבחינה פיסיקלית של משוואות המתארות מערכת פיסיקלית מסוימת, כמעט תמיד ‏1 מהווים אינדיקציה לקיומם של אפקטים תואמים). בוא נניח שקיימת גבעה העונה על תנאי הבעיה, שיש לה פתרון בו הכדור מגיע לראש הגבעה ונעצר שם בזמן סופי. אם העצירה אינה רגעית, הרי שהפתרון ההפוך בזמן יתאר כדור המתחיל לנוע מעצמו. אם העצירה רגעית, עדיין הפתרון ההפוך בזמן צריך לתאר כדור שהתדרדרותו מתחילה ממצב בו המהירות והתאוצה מתאפסות. אם נסמן את רגע תחילת התדרדרות זו ב- t0 , הרי שבזמן הקטן מ- t0 הפתרון הטריוויאלי שבו הכדור נמצא במנוחה מתמשכת הוא פתרון לגיטימי של משוואת התנועה שמקיים את תנאי ההתחלה ב- t0 , וניתן לתפור אותו לפתרון ב- t0<t כדי לקבל פתרון לגיטימי נוסף שהנגזרת השניה שלו רציפה. פתרון חדש זה, מתאר אף הוא כדור היוצא משיווי משקל בצורה ספונטנית.

‏1 ואולי אף תמיד.
חזרה לעמוד הראשי המאמר המלא
מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים
האייל הקורא RSS מאמרים | כתבו למערכת | אודות האתר | טרם התעדכנת | ארכיון | חיפוש | עזרה | תנאי שימוש © כל הזכויות שמורות