בתשובה לאלון עמית, 23/05/04 20:09
 |
|
 |
||
|
||||
 |
כולכם רשעים, מכריחים אותי לשחזר את הפתרון במקום למצוא אותו בעצמכם. אז לפני שארשום אותו, הנה עוד משהו, בתור עונש: נניח שמבקשים מכם לבנות מעגל שעושה *ארבעה* היפוכים עם כמה שפחות שערי NOT. אתם חושבים לעצמכם כך: אפשר בוודאי לבנות מעגל כזה עם שלושה שערי NOT, כי למדנו ב"אייל הקורא" איך עושים שלושה היפוכים עם שני NOTים, ואת הרביעי נהפוך פשוט עם עוד NOT. אבל רגע... עכשיו לפנינו מעגל לוגי כנדרש שבתוכו שערים משערים שונים ורק שלושה NOTים. מדוע שלא ניקח את הקופסה השחורה מה"אייל", שלה שלוש כניסות ושלוש יציאות ובתוכה רק שני NOTים, ונשתמש בה במקום שלושת ה-NOTים במעגל שלנו? ננתק את הכניסות והיציאות של שערי ה-NOT, נחבר אותן לקופסה השחורה, והנה - ארבעה היפוכים מ*שני* שערי NOT בלבד! יתרה מזו, אפשר כך להמשיך ולעשות N מהפכים משני שערי NOT! כל מה שהעולם צריך (חוץ מקצת סימפטיה) זה שני שערי NOT שישכבו להם באיזה מחסן ויספקו את צרכי ההיפוך של כל המעגלים הלוגיים בתבל...! האם השיקול הנ"ל נכון? האם אפשר לבנות מעגל של 4 מהפכים עם שני שערי NOT? הנה הפתרון לחידה המקורית. עצלנים. נתונים שלושה משתנים A, B, C (משתנים לוגיים, המקבלים את הערכים 0 או 1 בלבד). עלינו לחשב שלושה משתנים X, Y, Z שלהם הערכים ההפוכים (בהתאמה), תוך שימוש בשני שערי NOT בלבד. נשתמש ב-UV לסימון "U וגם V" וב-U v V לסימון "U או V". ראשית, נחשב את פונקציית ה"רוב", שהיא 0 אם רובם של A, B, C הם 0 ו-1 אחרת: Maj = AB v AC v BC קל לראות ש-Maj משיגה את הדרוש. עכשיו נבזבז את ה-NOT הראשון:M = NOT(Maj) M כבר משיג משימה חשובה, והיא לתת ערך 1 כמעט בכל המצבים בהם A הוא 0 ו-0 כמעט בכל המצבים בהם הוא 1 (וכנ"ל, מטעמי סימטריה, ל-B ו-C).כמו כן, עיון זריז בטבלת האמת של M מאפשר לראות שהוא לא מאוד רחוק מלהיות "XOR" של כל המשתנים. אם נסמן XOR ב-+, קל לראות ש- A+B+C = (M v ABC)(A v B v C) ועכשיו נבזבז את ה-NOT השני ונחשב:X = NOT(A+B+C) אגב, הפתרון המוצג הוא יחיד במובן הזה שכל פתרון לחידה ישתמש בשערי ה-NOT בדיוק לחישוב M ו-X. מכאן אפשר להמשיך בכל מיני דרכים ולא מצאתי איזה הסבר אינטואיטיבי, למרות שזכור לי במעורפל שאפשר לראות את זה ברור יותר (אולי בעזרת Mux?). בכל אופן, קל לבדוק ש:NOT(A) = (M v BC)(M(B v C) v X) והחישוב של (NOT(B ו-(NOT(C מתבצע באופן האנלוגי הברור.
|
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
(בפתיחה רשמתי "לחשב את X, Y, Z" ואח"כ השתמשתי ב-X למשהו אחר. להתעלם מהפתיחה). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מסתבר שאלון לא כל כך איטי בכל זאת... הנה ההסבר הפסאודו-אינטואיטיבית שלי לפסקה האחרונה: נניח שהיו אומרים לנו מראש בדיוק כמה ביטים הם 1. קל לראות שבמקרה זה ניתן לבנות מעגל הנותן NOT ללא שימוש בשערי NOT בכלל. כעת, בעזרת X ו-M ניתן לעשות MUX בין המעגלים לפי מספר הביטים שהם 1. למשל אם M אבל לא X אז יש שני ביטים דלוקים. בצורה דומה ניתן לעשות 2^n -1 NOTים בעזרת N שערי NOT בלבד.
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אכן. אפשר להוכיח את זה, וגם שזה הדבר הכי טוב שאפשר להשיג. אני אנסה לכתוב בתמציתיות, אבל עם קצת יותר הרחבה זאת יוצאת הוכחה ריגורוזית לכל דבר: הדרך לייצר 2 בחזקת n פחות 1 NOT'ים בעזרת n שערים היא להשתמש בשערי ה- NOT ע"מ לגלות בדיוק כמה ביטים דלוקים יש: נגדיר את מספר הביטים הדלוקים ב- m - מספר n ספרתי בייצוג ביטי. פונק' שהיא 1 אמ"מ יותר מחצי מהביטים דלוקים קל להגדיר - זוהי פונק' MAJ. בעזרת ה- NOT הראשון יהיו לנו שתי פונק' - כל אחת היא 1 אמ"מ ביט ה- most של m הוא משהו מסוים. כעת נניח שיש לנו 2 בחזקת k פונק' מציינות (שכל אחת מהן היא 1 אמ"מ k ביטי ה- most הם משהו מסוים). כל אחת תוחמת את m במקטע מסוים, ומכל אחת נוכל לחשב את הפונק' המציינת ש- m נמצא במחצית העליונה של המקטע ע"י AND של הפונק' המציינת עם פונק' MAJ מתאימה. לאחר שחישבנו את המחציות העליונות נאחד את כולן (OR) ונהפוך את כולן ביחד בעזרת NOT אחד - ואז נחתוך (AND) את התוצאה עם כל מקטע לקבלת המחציות התחתונות של כל אחד מ- 2 בחזקת k המקטעים. קיבלנו 2 בחזקת k+1 פונק' מציינות חדשות - שאומרות מה ערך k+1 ביטי ה- most של m. בהנתן מס' הביטים הדלוקים m קל לחשב את ה- NOT של משתנה מסוים - הוא 0 אמ"מ לפחות (למעשה בדיוק) m מהמשתנים האחרים הם 1 (וזה MAJ כמובן). למה אי אפשר לחשב 2 בחזקת n שערי NOT בעזרת n שערים (אם אתה מתמטיקאי ולא מהנדס שמחכה שהמעגל יתייצב אחרי כמה איטרציות)? משיקולי מונוטוניות: אם אפשר אז אפשר לחשב כל פונק' על 2 בחזקת n משתנים, אבל אם נדגום את הפונק' ב- (2 בחזקת n) ועוד 1 המקומות מהצורה 000.0111.11, ונחשוב עליה כעל פונק' מ- {0,1,...,2^n} ל- {0,1}), אז AND,OR הן פונק' מונוטוניות במובן הרגיל (מכאן והלאה מונוטוניות=מונוטוניות לא יורדת), ולכן לפני שמפעילים את ה- NOT הראשון יש לנו מקטע מונוטוני אחד (כל הפונק' מונוטוניות על כל הקטע). בכל פעם שמפעילים NOT, הוא מסוגל לפצל כל מקטע מונוטוני ל-2 מקטעי מונוטוניות (שבמסגרתם נשארות כל הפונק' לאחר מכן, בשל המונוטוניות), ולכן בסוף יהיו לנו לכל היותר 2 בחזקת n מקטעי מונוטוניות => קיים מקטע מונוטוניות באורך 2 לפחות => לא ניתן לייצג את כל הפונק' (וזה כמובן לא משנה על איזה פונק' הפעלנו NOT בכל שלב ומה עשינו אח"כ). ניסיתי לכתוב בתמציתיות - אם יצא לי לא מובן אני אפרט עוד. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הי, אסף, אל תתבייש לספר שמצאת את שני המשפטים הללו בעצמך. זה מקרה נדיר ויפה של חסם הדוק לגמרי בבעייה קומבינטורית. (שאלתי את אסף את החידה הזו לפני כמה שנים, והוא הוכיח את הנ"ל למרות שבהתחלה, ברוב טפשותי, הטעיתי אותו וסיפרתי לו שאפשר לעשות כמה notים שרוצים ע"י שניים. אח"כ גילינו שהתוצאה הכללית כבר פורסמה, למרבה הצער, מזמן). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מאחר ו- X היא פונקציה של M, נראה לי שנסיון לבנות מעגל של 4 מהפכים באמצעות שני שערי NOT בשיטה המוצעת יפר את תנאי ה"בלי פידבק". ______ מה "עצלנים"? תביא חידות שאפשר לפתור! :-) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אכן. איכשהו הטעות הזו חוזרת על עצמה בכתובים מדי פעם, זה פח שקל ליפול לתוכו ("ההרכבה של שני מעגלים תקינים היא מעגל תקין" - לא תמיד נכון). מעניין שמישהו פעם חקר איך המעגל הפידבקי הזה עובד בפועל (ליתר דיוק, מסומלץ), והוא טוען שהעסק תמיד מתייצב על הפתרון הנכון אחרי מספר קטן של איטרציות, כלומר במציאות דווקא כן אפשר לבנות רב-מהפך עם שני שערי NOT בלבד. _________ חידה שאפשר לפתור, והיא אולי תשעשע את מי שלא מכיר אותה: בעטתי כדור ששוקל 1 ק"ג והוא התגלגל יפה ובלי חיכוך במעלה גבעה חלקה ונאה בגובה 30 מטר וברוחב ממוצע של 20 מטר, ובדיוק כשהגיע לראש הגבעה נגמר לו הכח והוא נעצר. כמה זמן זה לקח? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כבר מזמן שכחתי את הנוסחאות בפיסיקה אבל האינטואציה שלי אומרת מאופי הנתונים שהפתרון צריך להיות משהו יוצא דופן כמו 'איןסוף' | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
קצת פחות מ 2.5 שניות? מה משעשע כאן? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מדוע? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אין תלות במשקל הכדור או ברוחב הגבעה אלא בהשפעה גרביטציונית בלבד. אתה יכול פשוט לזרוק אותו למעלה ותקבל אותה תוצאה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני רואה שעשית את כל הקירובים והחישובים מהר מאד. כל הכבוד. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה טיעון משונה קצת, לא? אם הגבעה מרוחקת ממני 10 קילומטרים, זה גם ייקח 2.5 שניות? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ההנחה, מאופן הניסוח של שאלתך הראשונה, היא שאתה עומד למרגלות הגבעה (כלומר אין זמן בו תנועת הכדור היא רק אופקית, שבמישור ללא חיכוך לא תאט את תנועת הכדור, ולכן תלויה במרחק עד לגבעה). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אבל אתה ממילא התעלמת מהנתון על רוחב הגבעה. ואם היא היתה ברוחב קילומטר, עם שיפוע מתון מאוד בהתחלה? מדוע אתה מניח שהתנועה האנכית זהה לזו של כדור הנזרק כלפי מעלה, ומדוע התנועה האופקית לא לוקחת זמן? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם אין מצב בו רכיב התנועה הוא *רק* אופקי, אז עדיין התשובה תהיה נכונה, מאחר והתנועה תמיד תואט רק כפונקציה של כוח המשיכה, ותעצר תמיד בראש הגבעה, שתמיד יהיה רק 30 מ' מעליך. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
יש פה איזו אי-רציפות? אם התנועה היא *רק* אופקית, ההתנהגות היא אחרת דרסטית מאשר אם התנועה היא בשיפוע מיליונית המעלה? הטעות שלך היא התעלמות מהכוח הנורמלי המופעל ע"י הגבעה. כשגוף נע בשיפוע *באוויר*, התאוטה האנכית שלו היא g. כשגוף נע בשיפוע על *משטח*, התאוטה היא אחרת, כמובן (למשל, אם המשטח הוא אופקי...) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
עד כמה שזכור לי, הכוח הנורמלי שמופעל ע"י הגבעה היה נלקח בחשבון במקרה של חיכוך בלבד. מאחר ועפ"י נתוני הבעיה הגבעה *חלקה*, אין משמעות לכוח הנורמלי או לכל רכיב אופקי אחר - רק לכוח המשיכה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
עניין הרציפות עם שיפוע אפס צריך להבהיר לך שאתה טועה. דמה מדרון מאד לא תלול (אבל חלקלק, כמקובל במחוזותינו) שאורכו כמה קילומטרים, נניח מאה. האם בשתיים וחצי שניות הכדור יעבור את המרחק הזה? מהירותו ההתחלתית אינה יכולה להיות גבוהה מאד, שכן עליו להיעצר בגובה 30 מ'. אני מתאר לעצמי שיש כאן איזה טריק, אבל אין לי מושג מהו. הניסוח "20 מ' בממוצע" אומר חשדני, ואני אכן חושד בו אך הוא מסרב לדבר עד שלא ייפגש עם אביגדור פלדמן. אולי מרומז כאן איזה מקום ספציפי ומאורע ספציפי שאנחנו מכירים - משהו עם בסיס 40 מ' ושפיץ, איזו פירמידה מפורסמת? משהו? שאלה לאלון: אנחנו על כדור הארץ בכלל? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
עוד שאלה לאלון: הוא *התגלגל* ללא חיכוך, ובסוף נעצר, או שהוא *החליק* במעלה אותה גבעה? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אפשר להניח שהכדור נקודתי. בכל אופן, עניין הגלגול אינו רלוונטי. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זו שאלה פיזיקלית ''אמיתית'', אין פה איזה מקום או אירוע. אם אתה לא בטוח לגבי כדור-הארץ, אתה יכול לנסות לפתור אותה על הירח. לגבי השאלה אם יש פה איזה טריק, אתה צודק ואני לא מדבר בלי עורך-דין (חילוני). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
איזו מקריות! בדיוק בשבוע הבא אני טס לירח, כך שאקבל את עצתך ואנסה לפתור את זה שם. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה בן 21? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
גם אני לא הצלחתי לקלוט מה הקטע ומה ניתן להסיק מהנתונים (מה הרלבנטיות של מסת הכדור ? 1 מה משמעות הרוחב הממוצע?). את הטיעון של צב מעבדה (תגובה 221610) ניתן להציג גם בלי נוסחאות: בשל הפיכות חוקי המכניקה (כשאין חיכוך או כחות מכלים), הזמן יהיה זהה לזה שבבעיה ההפוכה, המתקבלת ע"י הרצת הסרט ברברס. מאחר שכדור במנוחה 2 על ראש גבעה אינו מתחיל להתגלגל במורד מעצמו 3, הרי שלא יגיע אל רגלו של אלון בזמן סופי. 1 יש לי חשד בלתי מבוסס שבעיטה בכדור שמסתו 1 ק"ג כך שהוא מטפס לגובה 30 מטר (עם או בלי שיפוע), מאד תכאיב לרגל הבועטת. 2 אני מסיק מהניסוח "נגמר לו הכח והוא נעצר" שמדובר בעצירה מוחלטת (תאוצה אפס) ולא מנוחה רגעית. במקרה שמסקנה זו שגויה, גם הטיעון לעיל אינו תקף. 3 אלון הוא אדם הגון ולכן אני מאמין שגם אם הוא מכיר מושגים מגונים כמו "שבירה ספונטנית של סימטריה", הוא לא היה מתקיל אותנו בהם ללא אזהרה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה והצב שיחקתם אותה. התשובה היא אכן אינסוף, הנימוק הפשוט ביותר הוא להקרין את הסרט לאחור, והרמאות הזולה שלי (בעטייה אני עשוי להיזקק לעו"ד) היא כל הנתונים שזרקתי שם. כולם לא רלוונטיים, אבל אם לא אומרים אותם התשובה ברורה לגמרי - אם אתה סומך על חד החידה שיש תשובה, היא חייבת להיות 0 או אינסוף אם אין שום נתון מספרי. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם אני עדיין זוכר את הפיזיקה שלמדתי בתיכון (אם כי צריך לקחת בחשבון שלמדתי אותה מהספר של מחברי תגובה 221916) התשובה אינה אינסוף, אם כי הכדור כמובן יעצר לזמן קצר בלבד(1) ואח"כ יתגלגל חזרה במורד הגבעה. התאוצה הפועלת על הכדור היא התאוצה הגרוויטציוונית מוכפלת בסינוס השיפוע. מכיוון שלגבעה גובה כלשהו (30 מ'), הרי השיפוע אינו אפס, והסינוס שלו גדול מאפס, כך שיש לכדור תאוצה (בכוון מורד הגבעה). יש לנו מספר נתונים לא רלוונטיים לפתרון השאלה: מסת הכדור, ורוחב המסלול. לעומת זאת חסר לנו (לפחות) אחד משני הנתונים: המהירות ההתחלתית של הכדור או שיפוע הגבעה. ___ (1) מכיוון שתנועת הכדור היא רציפה, לא ניתן לעבור מגודל חיובי לשלילי (ולהיפך) אלא דרך האפס. h (30 m) = ½ g sin θ t^2
v (0 m/s) = v0 - g sin θ t |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
למה השיפוע בפיסגה לא יכול להיות 0? (אני הבנתי מהשאלה שההנחה היא שהוא דווקא כן אפס). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אוקי :-) כמובן שהיו לי כאן כמה קרובים (קו"ף צרויה(1), לא הבאתי את המשפחה) לצורך הפשטות, אבל, אם אכן הוא מגיע לפסגה במהירות גדולה מאפס, ושם השיפוע הוא אפס, (לצורך העיניין לא גבעה, אלא "הר שולחן"), אזי הוא ימשיך במהירות זאת לנצח. __ (1) אחות של דויד. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא צריך גבעה שולחנית. מספיק גבעה רגילה עם נקודת מקסימום יחידה (פיסגה) עליה החליט הכדור השובב של אלון בלון לאבד כח ולהעצר. __ (1) דוית' לא דויד. שכנם של יעקוףףףף ומאייייר. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תגובה 221982 עדיין בתוקף? אני לא בטוח שהבנתי את הטיעונים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
את המהירות ההתחלתית ניתן לחשב משימור אנרגיה mv^2=mgh | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תגובה 222860 טיפה יותר מדוייקת. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הפתיל מתחיל להזכיר קצת שיעור במכניקה בסיסית, ובכל זאת אני מרגיש צורך לשאול שאלה נוספת. אינטואיטיבית גם לי נראה שהתשובה אינסוף אבל אז חשבתי על אנלוגיה מסויימת... נניח שיש שיפוע חלק ויפה בגובה של יותר מ30מ'. זורקים את הכדור כך שיגיע לגובה של 30מ', יעצר רגעית ואז יתגלגל חזרה מטה. אבל אם הכדור נקודתי מה זה בעצם משנה אם השיפוע ממשיך למעלה או נגדע בפתאומיות ויורד מטה (כמו בשאלה המקורית)? מה ההבדלים באיבודי האנרגיה בשני המקרים? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זהו, שאם הוא כבר נעצר אז too late. אבל אם היא מגיע לפסגה במהירות אפסילון, ואז השיפוע נגדע באכזריות לאפס, אזי הוא ימשיך באותה מהירות אפסילון לעבר השקיעה. כלומר, עזבנו את המכניקה הבסיסית והגענו (בחדווא ובדיצה) אל השאיפה לאפס. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
השיפוע לא נגדע בפתאומיות, אלא מתמתן בצורה חלקה ויורד. אם תזרוק את הכדור באותה מהירות התחלתית בשני המצבים שתיארת, הכדור יגיע למהירות 0 במקרה הראשון בגובה מסויים, אבל במקרה השני (בגלל ההתמתנות) הוא יגיע לשיא במהירות גדולה בהחלט מ-0. הטריק בשאלה הוא ההנחה (המוזרה) שהכדור מגיא למהירות 0 בדיוק בשיא. זה לא יכול לקרות תוך זמן סופי, ודרך יותר ברורה (אולי) לפרש את זה היא כך: * אם ניתן לכדור מהירות התחלתית מסויימת, הוא יגיע לפסגה במהירות מטר לשנייה (וימשיך ויתגלגל במורד), וזה יקח (נגיד) 10 שניות. * אם ניתן מהירות נמוכה קצת יותר, הוא יגיע לפסגה במהירות סנטימטר לשנייה (וימשיך ויתגלגל במורד), וזה יקח 1,000 שניות. * אם ניתן מהירות טיפה יותר נמוכה, הוא יגיע לפסגה במהירות מילימטר לשנייה (וימשיך ויתגלגל במורד), וזה כבר יקח 10,000 שניות. וכו' וכו'. יש מהירות התחלתית קריטית מסויימת שמתחתיה הכדור בכלל לא מגיע לפסגה, מעליה הוא מגיע וממשיך, אבל *בה* הוא זוחל מעלה מעלה לאט יותר ויותר באיזור הפסגה ולעולם לא יגיע אליה, אלא *שואף* למצב מנוחה בפסגה בדיוק. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כל עוד הוא שואף למצב מנוחה ולא לריאות, לדעתי האישית זה בסדר. רק שיהיה בריא ושלא ישתה לנו חשיש. יאללה - עוד שאלה בסגנון (אם יש לך). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם ''בסגנון'' זה חידות חמודות בפיסיקה בסיסית, אז יש אולי עוד כמה, אבל נפסיק להפריע לאיזי. אשלח משהו ל''אייל ששאל'' הבא, אחרי שתיפתרנה החידות. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הטריק הוא שמהנדסים לא מכירים את המונח "בדיוק". או שהמהירות היא לא בדיוק אפס (נניח, פחות מ5% מהמהירות ההתחלתית זה וירטואלי אפס), או שהפיסגה היא לא *בדיוק* בשיא (מטר לפני/אחרי, מילימטר, מיקרון - בחר את רמת הדיוק הרצויה), או שהאינסוף הוא לא בדיוק אינסוף. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אה, סליחה. מהנדסים מתבקשים לפנות לחידה הקודמת :-) "בחר את רמת הדיוק הרצויה" - גם מהנדס יכול לצייר גרף של משך הזמן כפונקציה של המהירות (ההתחלתית, הסופית, לא חשוב), עבור 30 ערכים בתחום סביר, להמשיך את הקו ולהשתכנע שהוא שואף ל<צונזר> - אה, כלומר, עולה ללא גבול. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
או שהם היו מתמטיקאים, או שגשרים ותקרות לא היו מתמוטטים :) | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כמובן שהתאוצה מתאפסת בראש הגבעה (החוק השני של ניוטון). שאני אהבל |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ממש לא. ומדוע אתה אומר שהכוח הנורמלי הוא אופקי? הוא *נורמלי*, כלומר ניצב למישור המשיק לגבעה. יש לו, בדרך כלל, רכיב אנכי ורכיב אופקי כאחד. גוף יושב על שולחן אופקי, ללא חיכוך. מהי תאוצתו האנכית? אפס. מדוע? הלא פועל עליו כוח המשיכה כלפי מטה? אילולא פעל עליו כוח נוסף, היה מאיץ. הכוח הנוסף הוא הכוח שמפעיל השולחן על הגוף (כתגובה לכוח שמפעיל הגוף על השולחן). זהו הכוח הנורמלי. גוף מונח על שולחן שאינו אופקי, אלא מוטה מעט. אין חיכוך, והגוף מתחיל לגלוש. האם תאוצתו האנכית היא בדיוק g? עזוב חוקים ונוסחאות, חשוב בהיגיון. דמיין אותו גולש ובמקביל גוף דומה צונח מטה ליד השולחן. הם יהיו תמיד באותו גובה? לא. הגוף הצונח מטה ייפול הרבה יותר מהר. הכוח הנורמלי שמפעיל השולחן פועל כעת לא ישר למעלה אלא קצת בזווית, ועל כן מנטרל *כמעט* את כח הכבידה - לא לגמרי, ומה שנשאר מביא לתאוצה האנכית. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הגיון הוא תמיד נימוק חשוד בפיסיקה. ההגיון אומר לנו שאם נעלה על מגדל נטוי (בפיזה נניח) ונזרוק מהמרפסת כדור ששוקל 100 ק"ג וכדור ששוקל 1- ק"ג, הראשון יגיע לארץ קודם. בענין הכוח הנורמלי אתה כמובן צודק. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ניסוי דומה לזה אכן נערך (המסות היו קצת אחרות אולם היחס ביניהן, כמו יתר הפרטים, כפי שתארת). כמובן שהכדור הכבד הגיע לארץ קודם. הגיוני, לא? (למי שמתעצל לקרוא את כל הקטע מומלץ לחפש את המילה "ninety" ) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
היגיון הוא באמת נימוק חשוד, אבל בגבולות ההיגיון. ס"ז ניסה לתאר סיטואציה בה בשיפוע 0, התאוצה 0, ובכל שיפוע אחר, מתון ככל שיהיה, התאוצה g. זה *באמת* לא הגיוני, ובמצבים כאלה אני מעדיף להתחיל מהסבר אינטואיטיבי מאשר לזרוק נוסחאות. סיפורים פיזיקליים לא הגיוניים יש גרועים בהרבה ממגדל פיזה - אפשר לשוב ולהיזכר במאמר בו אנו נמצאים :-) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אבל מה עם רציפות? נבחר שרירותית שתי מהירויות התחלתיות של הכדור: V1 – הכדור לא מגיע לראש הגבעה, ו- V2 שבה הוא עובר אותה. ניקח את המהירות הממוצעת. אם היא לא מעבירה את הכדור לצד השני, נציב אותה כ- V1. אם כן, נציב אותה כ- V2. נעשה את זה שוב ושוב. V1 ו- V2 יתקרבו ויפגשו בגבול ב- V. האם מהירות התחלתית של V תעביר את הכדור או לא? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אין צורך במיצוע האיטרטיבי שאתה מציע: יש באמת מהירות קריטית אחת, המקיימת 1/2 m V^2 = m g h והיא *לא* מעבירה את הכדור, אך גם *לא* מאפשרת לא ליפול חזרה אחרי זמן סופי - היא בדיוק המהירות שתגרום לו לזחול לנצח אל עבר הפסגה הנכספת.יש כאן סוג של אי-רציפות שהוא דווקא לא "לא פיזיקלי": כתלות בפרמטר, הזמן שואף לאינסוף, לא מוגדר בנקודה קריטית אחת, וחוזר ויורד מהאינסוף לאחר מכן. יש עוד דוגמאות דומות, למשל: כמה זמן לוקח לעיפרון העומד על חודו ליפול על השולחן, כפונקציה של זווית הסטייה ממצב אנכי לגמרי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
(כמובן שהסיפורים הללו הם ''פיזיקליים'' רק במובן הנאיבי של מכניקה קלאסית נקייה. בחיים האמיתיים, זה לא באמת עובד, בגלל המבנה האטומי של החומר, רעש תרמי, ריטוטים קוונטיים... אני מקווה שברור שהשאלה מתייחסת למציאות המתמטית הקצת בדיונית). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
חשב את עיקום המרחב בגובה פני הים, הצב בטנזורים המתארים תנועה בקו ישר באזור הזה, השתמש בקירובים המקובלים, וקבל: s=(gt**2)/2 כאשר s הוא הוקטור המאונך לפני הים ו g היא התאוצה בכיוון זה. השתמש בעקרון הסופרפוזיציה שמאפשר הפרדת וקטורים אורתוגונליים כדי לא להתעניין בשיפועים ושאר מרעין בישין. הצב s=30, g=10, וחשב את t. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
משעשע, אך לא רלוונטי (תגובה 221920). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מה שיפה כאן, זה שהכדור נעצר, לא נופל חזרה לאחור ולא ממשיך להחליק קדימה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בהחלט - זה העוקץ של החידה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה באמת מבריק (אני מתכוון לזה), אבל לצערי אתה טועה פה ובגדול. מכיוון שאין פה איבוד אנרגיה, למעט בשל כח הכבידה, חישוב המהירות ההתחלתית שיש לתת לכדור הוא די פשוט. משתמשים בחוק שימור האנרגיה(מקינטית לפוטנציאלית), מציבים את h (למסה אין חשיבות וכן לא לאורך המדרון) ומקבלים את המהירות ההתחלתית שצריך להשקיע. אבל זה לא מה שמבקשים פה. מה שמבקשים זה הזמן. הזמן תלוי בדרך ובתאוצה (פה הטעות של סירס זימנסקי, דרך אגב - הדרך בהחלט חשובה). אם היה מדובר במדרון ישר, החישוב היה די פשוט. אם מדובר במדרון עם שיפוע משתנה, החישוב הופך למסובך הרבה יותר. בכל מקרה הזמן הוא סופי ! בנוגע לטיעון שאתה הצגת, הוא הוצג לפני הרבה זמן על ידי היוונים. יש הרבה פרדוקסים שעוסקים בשאלה הזאת. הקץ' בטיעון שלך הוא שאתה מתעסק בגדלים ששואפים לאפס. אני לא צריך לחדש לך שסדרות אינסופיות יכולות להתכנס למספר סופי בהחלט, והוא המקרה כאן. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אבל הטיעון המוחץ הוא הרברסיביליות של חוקי המכניקה. אם הכדור נמצא במנוחה בראש הגבעה (בתסריט בו חץ הזמן מתהפך) הוא לא יזוז לשום מקום, ולפיכך השתלשלות הדברים המתוארת החידה לא יכולה להתרחש בזמן סופי. כמוך, גם אני בטוח שאלון יודע על טורים מתכנסים. כידוע, לא כולם כאלה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מה עניין שמיטה להר סיני ? כל האנרגיה של הכדור הפכה לפוטנציאלית. לצערו של הכדור, או לא לצערו, הוא נמצא במצב שיווי משקל. מהירותו האופקית היא אפס ומתחתיו יש אדמה ולכן הוא ימתין שם עד שאלון יניד אותו קלות. תחשוב שבמקום ההר יש במקום בו היה צריך שיא ההר, נקודה בודדת. האם אתה מסכים איתי שהייתי יכול לזרוק את הכדור בצורה כזאת כך שהוא היה נושק לנקודה הזאת מלמעלה במהירות 0 ? ההר עצמו הוא סתם תוספת ותו לא (האמת שהוא משמש ליצירת הכח המאיט לכיוון X - אבל זה לא שייך) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא, אני לא מסכים איתך. זה כבר נדון כאן בהודעות קודמות: כדי שהכדור יגיע לראש ההר עליו להיות בעל מהירות אופקית כלשהיא (קטנה, אבל חיובית) בסביבה הקרובה של הפסגה, מקום שם נגזרת הגובה הולכת ומתאפסת, ואז מה יעצור אותו בדיוק בראש הגבעה? התשובה היחידה: הפרה שעומדת שם. אבל בחידה של אלון הפרה הלכה לגבעה אחרת. ושוב: חשוב על היפוך הסרט, זה מסביר את מה שחייב להתרחש טוב יותר מנגזרות ואפסילונים (אלא אם כן שמך הפרטי הוא עוזי. במקרה זה האפסילונים הם ההסבר והסרט ההפוך הוא מסקנה). אם אתה עדיין לא משוכנע, אלון עצמו בטח ייטיב ממני להאיר את עיניך. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בוא נחשב: h=הפרש הגובה של הכדור משיא ההר (בנקודה נתונה). x=המרחק האופקי בין הכדור לשיא ההר (בנקודה נתונה). כפי שציינת המהירות בכל נקודה זה קבוע כפול שורש h. מכיוון שההר חלק, שיפועו שואף לאפס. ולכן x/h שואף לאינסוף. בוודאי שהזמן שנותר עד השיא > מ-x מחולק במהירות הנוכחית (שרק תפחת) = קבוע כפול שורש h. בקיצור, בניסוח סיזיפי - אם ניקח דגימות, נגלה שקיבלנו סידרה של מספרים עולים השואפת לאינסוף (באותו קצב שהשיפוע של ההר שואף לאפס). הזמן עד שיא ההר הוא לפחות הגבול של הסידרה הזו. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
חישוב המהירות ההתחלתית הוא אכן חשבון פשוט, אך כפי שציינת לא רלוונטי כלל. מדוע "בכל מקרה הזמן הוא סופי!"? חוששני שאין כל קשר בין הפרדוקסים של זנון לנימוק שהבאתי, או בכלל לחידה הזו. סדרות אינסופיות (ואולי רצית לומר: טורים אינסופיים) יכולות בוודאי להתכנס למספר סופי. אז? איך זה קשור לשאלה? האם הנימוק שהצגתי הוא מהסוג "הנה טור אינסופי, ולכן התשובה היא אינסוף"? אולי אשאל אותך כך: תהי v0 המהירות ההתחלתית הקריטית, זו שמאפשרת לכדור להפוך את כל האנרגיה הקינטית שלו לאנרגיה פוטנציאלית וכך להגיע לפסגה ללא שריד של אנרגיה קינטית - היינו, במנוחה. הסכמת שיש מהירות קריטית כזו. נניח שהמהירות ההתחלתית גבוהה מ-v0 רק במיליארדית מטר לשנייה. זה יגרום לכדור להגיע לפסגה במהירות זו. מילימטר אחד לפני הפסגה, מה היתה מהירותו? דומה מאוד לזה, שכן התאוטה באיזור הפסגה היא קטנה. נניח, בכל זאת, שמהירותו מילימטר קודם היתה גבוהה *פי אלף* - לא ממש סביר - כלומר, היא היתה מיליונית מטר לשנייה. כמה זמן לקח לו לעבור את המילימטר האחרון? בערך 20 דקות, ולמעשה יותר שכן הוא מאט. ואילו התחלנו במהירות גבוהה רק בעשר בחזקת מינוס 20 מ-v0? מה יקרה אז? מה ההתנהגות של הזמן, בקיצור, כפונקציה של e, אם המהירות ההתחלתית היא vo+e? התשובה היא: כש-e שואף לאפס, הזמן עד לפסגה שואף לאינסוף. אין כאן פרדוקס או קץ', ואיני רואה מה הבעייה עם העובדה שאני מתעסק בגדלים ששואפים לאפס. זו עובדה מתמטית פשוטה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ואללה, איך ידעתי שהיצור המאוס ההוא מאינפי א', אפסילון, ירים את ראשו המכוער ויאמר את דברו. אם הדיון לא יגווע כאן, אני מחכה בחרדה גם להופעת בת זוגו המעצבנת לא פחות, ''ני''. אני עוד זוכר שעל הניסוח ''עבור כל אפסילון קטן כרצוננו'' ענה מישהו ''תוציא את הרצון שלך מהמתמטיקה''. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ני! ני! ננננני! (סתם, שהחרדה תבוא ותחלוף מהר) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
היה צפוי שאם מתעסקים ביוונית יגיעו יחדיו פסי וידידו חי. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם יורשו לי כמה השגות, לא על הפתרון עצמו, אלא על דרך ההוכחה. נקווה כי לא יחשב לי, בן נעוות מרדות שכמותי, לחוצפה יתרה לחלוק על דברי זקנים ממני. למעשה, מאחר שלרוב אני טועה, הרי שבדברי כנגד אלון נמצאתי מחזק את דבריו. הטיעון האפסילוני המופיע בתגובה מעלי שגוי. איזו סיבה יש להניח שהמהירות מילימטר לפני הפסגה _לא_ תהיה פי אלף או קוואדזיליון יותר מאשר המהירות בפסגה? ליתר דיוק אם במרחק x מהפסגה המרחק האנכי מהפסגה הוא h אזי מהירותי תהיה v=c*sqrt(h) לכן החסם הטריויאלי לזמן יתןt=x/v=x/(C*sqrt(h) ההנחה שלפסגה שיפוע אפס נותנת לנו רק שx/h שואף לאין סוף, אבלx/sqrt(h) יכול להיות חסום ולמעשה אף לשאוף לאפס. למעשה אם נבחר את הפונקציהh=x*sqrt(x) הרי שחישוב יתן לנו שאכן כדור יכול לטפס על גבעה כזו בזמן סופי. אליה וcatch בה - הגבעה הזו אינה גזירה פעם שניה באפס. הנחה שלדעת הוגה החידה היא בלתי סבירה פיזיקלית.גם טיעון היפוך הזמן נשען על כרעי תרנגולת מתימטית דומים. כדי שהטיעון יחשב (מתימטית) צריך להשתכנע כי למערכת הדיפרנציאלית הנ"ל יש פתרון יחיד. בלי גזירות שנייה של הגבעה זה לא חייב להיות. אם אין פתרון יחיד, מה אכפת לי שיש פתרון בו הכדור נשאר במקום? אין לי כח להסברים נוספים, נתתי כאן מספיק חומר לאלון לעשות ממני חוכא ואיטלולא לשבועיים הקרובים. אורי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
על "זקנים ממני" מגיע לך באמת עינוי סיני חפוז כעונש, השאר דווקא לא כזה גרוע. ככה: ה"טיעון" עם האפסילון לא התיימר להיות טיעון, רק להסביר מה בעצם הטענה ולנסות להראות שהיא לא כזו בלתי-סבירה. אתה צודק שההנחה על התאוטה בסוף לא היתה מוצדקת, אם כי צריך קצת להתאמץ (כמו שעשית) כדי למצוא מצב בו העדינות הזו חשובה. לגבי טיעון היפוך הזמן, אתה במצב קצת פחות מוצלח לדעתי. בהחלט ישנן סיטואציות מתמטיות שבהן למשוואה דיפרנציאלית מסדר ראשון אין פתרון יחיד גם בהינתן תנאי ההתחלה, והדוגמאות מוכרות. אבל כאן דווקא סביר להתחשב קצת בסבירות הפיסיקלית, שבהקשר הקלאסי הנוכחי אומרת שתנאי ההתחלה אכן קובעים את ההתנהגות, וכדור היושב על מקומו לא ייזכר פתאום שלמשוואה המתארת את תנועתו יש עוד פתרון אז יאללה נוסעים. אתה צודק - זה נימוק *פיסיקלי*, במסגרת השגרתית בה פיסיקאים מניחים שכל הפונקציות הנדונות גזירות מספיק פעמים. שאלה לגיטימית: ממילא המצב המתואר אינו ממש פיסיקלי מסיבות שהזכרנו קודם (חום וכאלה), אז למה ההפשטה המתמטית שתארתי היא בסדר והצעד הנוסף שאתה מאפשר הוא לא? אין כאן תשובה חד-משמעית, לדעתי. מודל תמיד תופס חלק מהסיטואציה ומתעלם מחלקים אחרים, ובמקרה דנן נראה לי שפיסיקאי ממוצע יקבל את הקירוב של גבעה מתמטית חלקה, מהירויות קרובות מאוד לאפס, וכו', אך ידחה כלא רלוונטיות דוגמאות של גבעה גזירה פעם אך לא פעמיים. אם אתה באמת רוצה שאעשה ממך חוכא ואטלולא, תתאמץ יותר. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אבל אם היו, הם היו מקבלים כמובנת מאליה את ההנחה שהגבעה חלקה על כל נגזרותיה. בעלי, הפגר, טען שנים שאין בכוונתו לעלות על סולם ולהחליף נורה בסלון, משום שבמבחן במכניקה קלאסית א', הסולם החליק עד שהתנתק מהקיר. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נו, ובסוף הוא השתכנע, הסולם החליק ואת זכית למעמד המשפחתי הנכסף? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא, הוא מת תוך כדי נסיון נואש במיוחד להוכיח ש 196 לא הופך לפלינדרום כשהופכים אותו ומוסיפים אותו לעצמו מספר סופי של פעמים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
קבלי את תנחומי. אני מתאר לעצמי שאת ממשיכה את פועלו. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
להפך, פועלו החתיך ממשיך אותו, לאחר שהתחתן עם האלמנה המאושרת. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא ממשיכה. אני כאמור בעסקי המטריצות הגדולות להחריד בימים אלו (וגם לא מספיק דלילות, לצערי, קשים חיי אלמנה). כשתפסתי את היתום קורא את ''הדוד פטרוס והשערת גולדבך'', הענשתי אותו חמורות. אני מקווה שזה יעזור. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
למה לא קנית לו כזה ליום-ההולדת? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
למען האמת רציתי לכתוב ''זקנים וחכמים ממני'' אבל פסלתי אפשרות זו על הסף מפאת חנופתיותה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
סימטריית היפוך הזמן היא תכונה של המשוואות בבעיה הנתונה, ללא תלות בצורת הגבעה. לכן גם הפתרונות הנוספים, אם קיימים, מצופים לתאר תחת היפוך זמן תנועה לגיטימית של כדור המתדרדר במורד הגבעה (פתרונות קבילים מבחינה פיסיקלית של משוואות המתארות מערכת פיסיקלית מסוימת, כמעט תמיד 1 מהווים אינדיקציה לקיומם של אפקטים תואמים). בוא נניח שקיימת גבעה העונה על תנאי הבעיה, שיש לה פתרון בו הכדור מגיע לראש הגבעה ונעצר שם בזמן סופי. אם העצירה אינה רגעית, הרי שהפתרון ההפוך בזמן יתאר כדור המתחיל לנוע מעצמו. אם העצירה רגעית, עדיין הפתרון ההפוך בזמן צריך לתאר כדור שהתדרדרותו מתחילה ממצב בו המהירות והתאוצה מתאפסות. אם נסמן את רגע תחילת התדרדרות זו ב- t0 , הרי שבזמן הקטן מ- t0 הפתרון הטריוויאלי שבו הכדור נמצא במנוחה מתמשכת הוא פתרון לגיטימי של משוואת התנועה שמקיים את תנאי ההתחלה ב- t0 , וניתן לתפור אותו לפתרון ב- t0<t כדי לקבל פתרון לגיטימי נוסף שהנגזרת השניה שלו רציפה. פתרון חדש זה, מתאר אף הוא כדור היוצא משיווי משקל בצורה ספונטנית. 1 ואולי אף תמיד. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מסתבר שאלון קצת איטי היום... הנה רמז קטן למי שמכיר: פולינומים סימטריים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
חוצפן בן-נעוות המרדות, כבר 17 דקות שהפתרון המלא שוכב לו שם, אז מי איטי? הא? אבל הרמז שלך יותר נחמד. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
יבחוש בן שלולית שכמותך, לקח לי 18 דקות לרשום את הרמז הזה. | |
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |