בתשובה לאלון עמית, 21/02/04 11:05
 |
|
 |
||
|
||||
 |
אני מסכים איתך שזה קצת מופשט, ואולי מטה-מתימטי ולא מתימטי, אבל זה נראה לי חשוב בהקשר של הכתבה שמשתמשת במונחים שלגביהם אני תוהה. ובהחלט עזרת, שכן הראית לי ששאלותיי (הבאות מרקע לא מספיק מתימטי) לא לגמרי מטומטמות ושיש טעם (לדעתי... :-)) לדון במושגים המתימטיים השונים (בניגוד להארדי אני לא מתימטיקאי, כך שאני יכול להרשות לעצמי לעשות זאת מבלי להתנצל...). לגבי עצם הדברים: - העלית בתשובתך קשר בין מתימטיקה לבין פיסיקה שמאוד מעניין אותי כסוגיה בפני עצמה. האם לדעתך האישית המתימטיקה אומרת משהו על העולם (כלומר, כמו שראסל האמין בעקבות קאנט, יש בה אלמנט סינתטי) או שיש היום תמימות דיעים מוחלטת בקרב המתימטיקאים לגבי אופיה האנליטי לגמרי? במילים אחרות, האם זו בסך הכל שפה סימבולית וכללי גזירה, או שיש קישור אמיתי לעולם (אני מודע לניסוח הבעייתי ולכן מנסה כמה); קשר לעולם, דרך-אגב יכול להתבטא בכמה מישורים: (1) הסמלים מצביעים לישים בעולם. (2) דרך מבנה עומק או כל ניסוח אחר שאינו בהכרח מריח מחומסקי אך מדבר על מבנה (לוגי או אחר) כלשהו שקיים בעולם וממופה לכזה הקיים במתימטיקה. - מעניין אותי גם הקשר בין הדיסקרטי לרציף, ונראה לי שזה מתקשר לנקודה הראשונה שאני מעלה. יש מטאפיסיקאים/פיסיקאים/פילוסופים שהאמינו בקונטיניאום של היקום/חשיבה (למשל פירס) לעומת כאלה שחשבו שהיקום דיסקרטי (אולי קארנאפ? אני לא בטוח) - ייתכן אם כן שיש לכך חשיבות או השפעה על סוג המתימטיקה שיותר שימושי, בהתאם למה התמונה האמיתית של העולם... אבל ייתכן גם שאני מגבב שטויות... - לגבי פשטות הצגה: אם ישנן שתי תיאוריות זהות לגמרי אחורנית וניבואית מלבד אלמנט הפשטות (נניח תורת היחסות לבדה, לעומת שילוב בין תורת ניוטון (נניח רק למהירויות קטנות יחסית) עם תורת היחסות (למהירויות גדולות מספיק) - הקרדיט על ניסוי מחשבתי זה נתון למישהו בשם "אודי אהרוני" ממנו שמעתי זאת. ברור כי התיאוריה הראשונה פשוטה יותר מהשניה, אף כי שתיהן גם עונות על העובדות הקיימות וגם מנבאות בדיוק אותו דבר), האם תיבחר התיאוריה הפשוטה יותר כי היא יותר יפה? או האם היא תיבחר בגלל שנניח יש קשר בין כמות הביטים הנדרשת להצגה לבין מאמץ הבדיקה, כמות הבאגים האפשרית וכדומה, כלומר, על-שום שיש יתרון אמיתי אינטרינזי/שימושי כלשהו לפשטות. אתה ניסית לקשר את מושג היופי בהקשר המתימטי לעושר - אולי, אם כן, יש איזשהו יחס בין אקונומיות ההצגה של תיאוריה לבין העושר שלה (כלומר, עושר תורת החבורות הוא גדול יותר ביחס לסיבוכיות הייצוג שלה יותר מאשר אותו יחס בחבורות למחצה). - לגבי סיבוכיות ייצוגית. אני מניח שניסיתי להפריד אותה מסיבוכיות ריצה. מצד שני, לא ברור לי איך מגדירים "סיבוכיות ריצה" למשהו סטאטי כמו משוואות. זהו. אני מקווה שלא תמצא את הגיגיי משעממים מידי, וגם תשובות למחצה ייתקבלו בברכה, שהרי לשם כך קיים הדיון/חקירה. |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
רק לדייק - המתמטיקה לא אומרת שום דבר על העולם. מה שמוזר הוא שהעולם מתנהג בצורה הנתנת לנתוח "מוצלח" בכלים מתמטיים, כמו צורות גאומטריות אידאליות ומשוואות דיפרנציאליות. זו תצפית אמפירית על היקום כמו שאנו חווים אותו. ניתן בקלות לחשוב על עולם שבו עובדה זו לא מתקיימת - דמיין את גלילאו משליך אבנים מהמגדל רק כדי לגלות שהן מתנהגות באופן אקראי לגמרי (כנראה שבעולם כזה לא היה ניתן לבנות מגדל, אבל לא משנה...) אני לא יודע מה המשמעות האמיתית של התצפית הזו. האם היא מספרת לנו על מגבלות התפיסה האנושית? אולי על רציונליות מובנית ביקום? על (אי) קיומה של ישות "אלוהית"? אני באמת לא יודע וזה קצת כבד בשביל שבת בבוקר. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא בטוח שאני מסכים... נראה לי שהטענות המתמטיות הבאות דווקא אומרות משהו על העולם: 1. בכל קבוצה של 18 אנשים יש ארבעה שמכירים זה את זה או ארבעה זרים. 2. 32^1+2 איננו מספר ראשוני. 3. אין מכונת טיורינג הפותרת את בעיית העצירה. נכון שהרלוונטיות ל"פיסיקה", במובן המקובל, היא אולי מקרית - אבל זה מקרה מפתיע מאוד, כפי שציינת. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מתמטיקה היא מדע? (כותרת התגובה הראשונה בפתיל הרוולנטי: "מתמטיקה היא לא מדע"). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא יודע איך להשיב על השאלה הזו1, ו... למה זה קשור למה שאמרתי? בכל אופן, במקום שנתחיל להתווכח(?), אולי פשוט נקרא את הפתיל ההוא ונתווכח בלב עם המתדיינים: תגובה 136505. 1 היא נראית לי מסוג השאלות שאם הן ברורות (דהיינו, ברור לך מהו מדע ואתה מנסה להבין אם מתמטיקה היא כזו), אז הן פשוטות וקלות, ואם הן נושא לדיון, אז כנראה שהן לא מאוד ברורות (הדיון הוא על גבולות המושג "מדע"). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא יודע אם קראת את הארדי (כדאי מאוד), אבל הוא ממש לא מתנצל :-) השאלה הראשונה ששאלת היא מעניינת מאוד, ותכף נגיע אליה, אך היא שונה קצת ממה שבד"כ נדון תחת הכותרת שנתת לה, "הקשר שבין מתמטיקה לפיסיקה", שהיא שאלה מעניינת אחרת: ההצלחה המפליאה של מושגים מתמטיים בתאוריות הפיסיקליות, בפרט המודרניות. זו לא עובדה טריויאלית כפי שאולי נדמה מכך שחלק ניכר מהמתמטיקה פותח על-מנת לתאר תופעות פיסיקליות. אולי נדבר גם על זה אח"כ. השאלות שכן שאלת נוגעות לחלק ממה שקרוי הפילוסופיה של המתמטיקה, ספציפית לזיקה (אם יש כזו) בין המבנים המתמטיים ל"עולם האמיתי". האם המספרים הטבעיים קיימים? והממשיים? ומושג האינסוף? האם, כפי ששאלת, מתמטיקה היא מניפולציה סינטקטית של סימנים, או שהיא מסמלת באיזה אופן את העולם? אינני סבור שיש היום תמימות-דעים בקרב המתמטיקאים (או הפילוסופים) בקשר לשאלות אלו, אך המצב היום נראה גם יותר ברור וגם יותר מורכב מכפי שהיה בעשורים הראשונים של המאה העשרים. אפשר לכתוב מאמר ארוך על הנושא הזה; בינתיים אזרוק כמה הערות כלליות. לגישה האקסיומטית הפורמלית יש מקום מרכזי מאוד במתמטיקה, אך סבורני שיש מעט אנשים יחסית המניחים שמתמטיקה היא פורמליזם מכני ותו-לא; אחרי הכל, אנחנו מאמינים שכשאנחנו מדברים על המספרים הטבעיים, אנחנו מדברים על משהו "אמיתי" ש"נמצא שם", ולעומת זאת אנו יודעים פחות או יותר ששום מערכת פורמלית איננה יכולה לתת תשובות מלאות על מספרים אלה. אני אנסה להסביר: ישנן מערכות פורמליות פשוטות (אקסיומות פאנו מסדר ראשון, נניח) המאפשרות לדון במספרים הטבעיים ולהוכיח תכונות מסויימות שלהם, אך אנו יודעים שמערכת כזו, אם אין בה סתירות, תמיד תהיינה בה טענות אותן לא ניתן להוכיח. קצת על הנושא הזה יש בפתיל הארוך מתחת לתגובה 164351, ושים לב גם לתגובה 171334 הסוגרת איזה ויכוח קצר שהתעורר שם (וסליחה שאני שוב שולח אותך לפתיל מייגע תחת המאמר ההוא). במילים אחרות, מערכות אקסיומטיות במתמטיקה נוצרות במקרים רבים מתוך ניסיון לתאר בצורה מדוייקת איזושהי ישות אינטואיטיבית (או לא כל כך אינטואיטיבית) - המישור האוקלידי, המספרים הטבעיים, מבנים אלגבריים שונים וכו', אך אנו מבינים כיום שבמקרים מורכבים מספיק לא ניתן יהיה לתת תיאור פורמלי שלם וחד-משמעי של הדבר אותו אנו מנסים למדל (גיאומטריה של המישור היא דווקא דוגמה למערכת בה הבעייה הזו לא מתעוררת). אפשר להרחיב, למשל, לגבי המצב המסתורי של השערת-הרצף, והיחס של מתמטיקאים שונים למטא-שאלה, "האם יש משמעות לשאלה אם השערת הרצף נכונה או לא". הקשרים בין הרציף והדיסקרטי במתמטיקה הם חשובים ועמוקים, אבל אינני בטוח שיש קשר הכרחי בין השאלה אם היקום באמת רציף או דיסקרטי לשאלת הישימות של מתמטיקה דיסקרטית או רציפה לתיאור העולם. הסיבה היא פשוטה: גם בתוך המתמטיקה יש שלל מצבים בהן הדרך הנוחה ללמוד ישויות דיסקרטיות היא דווקא באמצעות מושגים רציפים - ולהיפך. לשאלת הבחירה בין תאוריות זהות מבחינה ניבויית: אני אישית מאמין שהסיבות לבחור בפשוטה יותר הן אסתטיות גרידא, ולא נובעות משיקולים של שימושיות או מיעוט-באגים או איזה יתרון "אינטרינזי" אחר. מדד ה"יחס" בין עושר התורה לסיבוכיות הניסוח שלה נשמע לי נחמד, אך חשוב להדגיש שאין כמובן דרך אמיתית לכמת את העושר המתקבל, ועל מושג היופי משפיעים עוד הרבה גורמים השונים מאדם לאדם. את עניין הסיבוכיות לא בטוח שהבנתי... איך הגענו לזה? ולבסוף, אם תצליח לשעמם אותי עם הגיגים מתמטיים, תגיע לך מדליה. |
|
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |