 |
טוב, מצטער לאכזב... אך לאדון פיבונצ'י אין קשר אמיתי לעסק. לא הפעם. יש הסבר מתמטי פשוט לבחירה ב-31 במקום 12 חלקים שווים לאוקטבה, והוא זהה להסבר שהופיע בתגובה 192735, רק עם קירוב למספר אירציונלי אחר. אם מתאמצים קצת, אפשר לחלץ את זהותו של המספר הזה מתוך:
זהו מאמר המופיע כאחד הקישורים מעמוד המיקרוטונליות אליו קישר יובל, וכותרתו אמורה להיות, בעצם, "למה 31?".
מסתבר שאחד הדברים המפריעים לאנשים חדי-אוזן במיוחד בכוון המושווה הוא הטרצה הגדולה. כפי שהסביר יובל, בכל דרך שנבחר לחלק את האוקטבה לחלקים שווים נימצא מקלקלים במקצת את היחסים הפיתגוראיים הטהורים. ראינו שהבחירה ב-12 חלקים דואגת לקלקל אך במעט את הקווינטה, אך מטבע הדברים, מי שמרחם על קווינטות סופו שיתאכזר לטרצות (major thirds). היחס הפיתגוראי של טרצה גדולה הוא 5:4, וכמובן שאם תקחו ארבע קווינטות מושוות (נניח, דו-סול, סול-רה, רה-לה, לה-מי) ותורידו שתי אוקטבות תקבלו משהו אחר קצת (הפקטור יהיה בערך 1.26 במקום 1.2, שזה באמת פער גדול קצת - יותר מ-13.5 סנטים, למי שרגיל לחשוב בסנטים).
מה הפתרון? מתברר שהיסטורית, מה שעשו היה כך. הקווינטה הפיתגוראית כזכור מתאימה לפקטור של 1.5 בתדר, ואם לוקחים ארבע כאלה ומשווים לטרצה הרצויה זה נגמר רע (אפילו יותר רע מהכוונון המושווה). נשאל, איזו "קווינטה" היינו מגדירים כדי שארבע כאלו יתנו *בדיוק* את הטרצה הרצויה? התשובה, קל לראות, היא 5 בחזקת 1/4, שזה בערך 1.495 במקום 1.5. לא נורא: פגענו קלות בקווינטה, וסידרנו את הטרצה הגדולה. אלא מה, כמובן שיחס טהור כזה שוב לא "נסגר על עצמו" אחרי מספר סופי של הכפלות, בדיוק כמו היחס הפיתגוראי המקורי. עלינו שוב לחפש קירוב *רציונלי* מוצלח למספר שלנו, כדי שניתן יהיה לחלק את האוקטבה לחלקים שווים שהקווינטה החדשה שלנו תשב עליהם בקירוב טוב.
זהו. עכשיו מסתכלים, כפי שעשינו קודם, על הפיתוח לשברים משולבים של
t = log_2 (5^(1/4))
כשכרגיל log_2 מציין log לפי בסיס 2, ומוצאים באותה שיטת-מחשב-כיס שקירובים טובים ניתנים ע"י
1/2, 3/5, 4/7, 7/12, 11/19, 18/31, ...
מיודענו 12 עדיין כאן, אך 31 מספק קירוב אפילו יותר טוב. את העובדה ש-12 כאן אפשר לפרש, לדעתי, כאומרת שהכוונון המושווה הרגיל איננו כל כך גרוע גם בייצוג טרצות. אך ודאי ש-31 יעשה זאת הרבה יותר טוב. עם זאת, כזכור 31 לא היה מכנה מוצלח במיוחד ל-h הקווינטאי המקורי, ואכן בכוונון ה-31-י הקווינטה יוצאת מצ'וקמקת באיזה 5 סנטים. זה בהחלט פחות גרוע מהצ'יקמוק של הטרצה מכוונון עם 12, אך המחיר הוא 31 צעדים מדו עד דו - אפילו לאוסקר פיטרסון לא יהיה קל לפתוח כזו לאפה.
עכשיו תיזעקו ותאמרו - הנה הפיבונצ'י, שם במכנים! המכנים הם 2, 5, 7, 12, 19, 31 שזו סדרה דמויית-פיבונצ'י עם התחלה אחרת. אללי, אין זה כך. המכנה הבא, במקום שיהיה 50, הוא 174, שזה די רחוק. זה, אגב, קשור לעובדה ש-31 הוא מקום טוב במיוחד לעצור בו. היינו מקבלים סדרה פיבונצ'ית אילו הפיתוח לשבר משולב היה מכיל כל הזמן 1-ים, שזה המצב פה רק בהתחלה, וממש במקרה (הסבר מעמיק יותר על quadratic irrationalities הוא לא במקום כאן, דומני). אז זהו - לא שוב חתך הזהב, אך לפחות גילינו למה 31.
|
 |
RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש