 |
|
 |
||
|
||||
 |
יש לי שאלה בנוגע לוויכוח על הגדרות. למיטב הבנתי מתמטיקה אמורה להתבסס על אקסיומות, אל דברים אשר ברורים לנו גם ללא הוכחה. האם וויכוח על נכונותה של הגדרה הוא דבר כה שלילי אם לדעתי ההגדרה איננה נכונה מבחינה אקסיומלית (יש מילה כזאת?). כלומר, כיצד ניתן "להגדיר" דברים שאינם נכונים? הגדרות הן לא משהו עד כדי כך קדוש. אם לפתע כל המתמטיקאים בעולם יסכימו על הגדרה חדשה כלשהי אשר למעשה נוגדת את ההגיון שממנו יוצאות כל האקסיומות שעליהן המתמטיקה בנויה, האם מדובר במעשה טפשי כאשר אני מתווכח על נכונותה של אותה הגדרה? אני חושב שמתמטיקה באה לשרת צורך מסוים, ואם הגדרה נחשבת לקדושה גם כשהיא סותרת את המשמעות של המתמטיקה, אז המתמטיקה כבר מזמן איבדה את הרעיון שעליו היא נבנתה. |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
"אקסיומות" הן הנחות יסוד, אבל מקובל יותר לחשוב עליהן כהנחות שאנחנו *רוצים* להניח מאשר כדברים שהם "ברורים ללא הוכחה". לדוגמא, האקסיומות של הגאומטריה האוקלידית אינן מתקיימות לקוים ישרים פיזיקליים (כאשר אלו מוגדרים כמסלולים של קרני אור, למשל). זה לא מפריע למתמטיקאים שעוסקים בגאומטריה אוקלידית, משום שהם מניחים שקוים ישרים כן מקיימים את האקסיומות האלה (ולכן אלו אינם קוים פיזיקליים), ובודקים מה קורה במקרה כזה. הגדרות יכולות להיות "לא נכונות". למשל, אפשר להגדיר "מעגל" כ"אוסף הנקודות שנמצאות במרחק שווה משלוש נקודות נתונות", אלא שההגדרה הזו סותרת מושגים קודמים שיש לנו על מעגלים. במקרה כזה, עדיף להמציא שם אחר למושג שאנחנו מנסים להגדיר (אותו הגיון תקף גם אם ההגדרה מנסה להכליל מושגים קיימים; אולי היא לא מתנגשת עם שום דבר ברוב הזמן, אבל אם יש מקומות שבהם המונח הזה כבר מוגדר, עדיף להשתמש באותו מונח גם באופן כללי). הגדרה יכולה להיות "לא נכונה" במובן הרבה יותר חזק. למשל, אנחנו מגדירים "השורש של x" כ-"מספר חיובי שאם נכפיל אותו בעצמו, נקבל את x". בהגדרה כזו מוכרחים לבדוק שאכן *קיים* מספר כזה (הפיתגוראים יחשבו שדווקא אין). כדי להצדיק את הא הידיעה בהגדרה הזו, צריך גם לוודא שהשורש הוא *יחיד*. (המלה החסרה היא "אקסיומטית"). אם לא עניתי על השאלה, אנא הדגם לאיזה הגדרות "לא נכונות" אתה מתכוון. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
דבר ראשון, תודה רבה לך על התגובה הרצינית. היתי רוצה להתייחס למספר דברים בהודעה שלך: דבר ראשון: בעניין ההגדרה של השורש, מה רע בהגדרה "מספר חיובי שאם נכפיל אותו בעצמו, נקבל את x"? גם אם אין באמת מספר כזה, ההגדרה עדיין תקפה. אם כן, מה לא בסדר בה? ובעניין הקוים הפיסיקליים, אני לא יודע בדיוק למה הכוונה, אבל אני חושב שאותם קווים נמצאים בסביבה שונה מהקווים של גאומטריה אוקלידית (אולי מבחינת המימדים) ולכן לא ממש נוצרת פה בעיה (משום שזה הגיוני שאקסיומות מסוימות יהיו נכונות רק לגבי סביבה מסוימת). בכל מקרה, לצערי אין לי את הידע הדרוש בכדי לדבר על הנושא באופן נרחב. אני סה"כ תלמיד בית ספר בכיתה י"א. אך האם קיימים מקרים במתמטיקה שבהם הגדירו משהו רק משום שהיה צורך בהגדרה ולא בגלל שההגדרה נובעת מאקסיומות, כלומר הגדרה שגויה "ממש". ראיתי במאמר את האתר אשר מנסה להסביר שחלוקת אפס באפס תתן אפס. לא ממש קראתי את החומר המופיע באתר, אך הבנתי שכותב המאמר יוצא נגד יוצרי האתר בטענה שאנשים מסוגם כותבים שטויות. אך כן הספקתי לרפרף בקצרה באתר וראיתי שהאתר מלא בהסברים ארוכים מאוד אשר אמורים להוכיח את מה שהאתר רוצה להוכיח. ואז חשבתי לעצמי, למה למעשה חשבו שחלוקה באפס תתן מספר לא מוגדר כלשהו (או אינסוף או מה שזה לא יהיה)? כאשר מסבירים את המושג "חילוק" במונחים של כיתות א-ב-ג, אני יכול להבין למה זה ככה (כי אחרי הכל, לא ניתן לחלק משהו בין 0 אנשים), ואני יכול להבין גם בשלל הסברים נוספים, אבל אולי בעצם האתר ההוא צודק, והחלוקה באפס תתן אפס? אם כך, האם הטענה שחלוקה באפס תתן מספר לא מוגדר היא הגדרה שגויה כלשהי? אני מבין שהשינוי אולי לא ישנה הרבה כי ממילא כל שאר המתמטיקה מבוססת על הגדרות קודמות, אך זה בדיוק מה שמפריע לי- אם זה אכן נכון, והגדרה מסוימת איננה מבוססת על אקסיומות (או על משהו הדומה לאקסיומה אך שונה ממנה), אזי גם כל המתמטיקה שנבנתה עליה תהיה שגויה מבחינה אקסיומטית (תודה על התיקון). היא אולי לא תהיה שגויה בתנאי שמניחים שההגדרה הבעייתית היא נכונה, אך ביחס למה שקורה בשטח- כלומר ביחס לאקסיומות היא תהיה שגויה, ולכן מתמטיקה כבר לא תהיה מה שהיא היתה אמורה להיות- מעין מדע מושלם (שלא כמו פיסיקה) שנובע אך ורק מהנחות יסוד. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כשעוסקים במספרים ממשיים, אפשר להגדיר את "השורש של x" כ"המספר החיובי (היחיד) שריבועו שווה ל- x", ולהבחין שריבוע של מספר חיובי הוא תמיד חיובי. הבעיה היחידה שההגדרה הזו עשויה ליצור היא בלבול לשוני: כמו שלכל אדם יש תאריך לידה, כך יש לכל מספר שורש; ואם כך - ניקח את "השורש של מינוס אחת", נעלה אותו בריבוע, ונקבל את המספר ה*חיובי* מינוס אחת! הפגם ב"פרדוקס" הזה הוא, כמובן, שאין כזה דבר "השורש של מינוס אחת", ותמיד כשאומרים "השורש של x" צריך לזכור שהמושג בכלל לא מוגדר אם x שלילי. (גם בעניין הקווים, אין שום קושי מתמטי בעובדה שהם לא מקיימים את האקסיומות האוקלידיות; למתמטיקאים זה ממש לא חשוב). במתמטיקה מגדירים כל הזמן מושגים חדשים בגלל שיש "צורך" (פרקטי) בהגדרה; ההגדרות לא יכולות לנבוע מאקסיומות, משום שהמושג שמגדירים הוא (תמיד) מושג חדש - הוא לא הופיע באף אקסיומה או משפט לפני שהוגדר. ההגדרה של x/y היא "אותו מספר (יחיד) שאם נכפיל אותו ב- y נקבל x". ההגדרה מתקבלת על הדעת אם אכן *קיים* מספר *יחיד* כזה; כלומר, אם עובדים בשדה של מספרים (ולא במערכת כללית יותר, כמו המספרים השלמים עם הפעולות מודולו 6), ו- y שונה מאפס. 1/0 לא מוגדר, מפני שבמערכת שבה אנחנו רגילים לעבוד *אין* מספר שאם נכפיל אותו באפס נקבל 1 (אפשר להוסיף מספר כזה באופן מלאכותי (ולקרוא לו אינסוף, למשל), אבל אז המערכת מאבדת כמעט כל תכונה אחרת שהיתה לה, ומפסיקה להיות שימושית). גם 0/0 לא מוגדר, כי *כל* מספר שנכפיל ב-0 יתן 0; הביטוי הזה לא יכול להתייחס למספר יחיד, מסויים. בכל מקרה, כאשר מתמטיקאים מגדירים מושג חדש, הם מוודאים שהוא "מוגדר היטב" (כלומר: שההגדרה תקפה, אינה תלויה בבחירות שרירותיות שאולי עשינו בתהליך שקובע את התוצאה, שהיצור שאותו רוצים להגדיר אכן קיים (בתנאים שבהם רוצים להגדיר אותו) וכן הלאה). אין חשש שההגדרות האלה יתנגשו עם אקסיומות, או עם ידע מוקדם אחר. אגב, אם יזדמן לך ללמוד מתמטיקה מודרנית בצורה כלשהי, תופתע לגלות מה מועט המקום שתופסות בה התכונות המיוחדות של המספרים שאנחנו מכירים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
עוזי כבר ענה יפה בהיעדרי, אך בכל זאת אתן גם את הזווית שלי בתקווה שזה יעזור. בתגובתך הראשונה (תגובה 180347) כתבת כך: "האם ויכוח על נכונותה של הגדרה הוא דבר כה שלילי אם לדעתי ההגדרה איננה נכונה מבחינה אקסיומלית (יש מילה כזאת?)" אינני בטוח למה כוונתך ב-"איננה נכונה מבחינה אקסיומלית". בכל אופן, אפשר לומר: "אקסיומה זו אינה מוצאת חן בעיני, הנה אחרת תחתיה". חסר טעם לומר: "אקסיומה זו אינה נכונה!". אקסיומה היא כמו חוק משחק, אפשר לשחק משחקים כרצוננו, ומשחק אינו יכול להיות "לא נכון". כתבת: "הגדרות הן לא משהו עד כדי כך קדוש. אם לפתע כל המתמטיקאים בעולם יסכימו על הגדרה חדשה כלשהי אשר למעשה נוגדת את ההגיון שממנו יוצאות כל האקסיומות שעליהן המתמטיקה בנויה, האם מדובר במעשה טפשי כאשר אני מתווכח על נכונותה של אותה הגדרה?" נראה לי שהחלק הראשון סותר את השני. "לא משהו קדוש" נכון בדיוק, ולכן זכותנו להגדיר כרצוננו. "נוגדת את ההגיון" - אז מה? לרובנו נשמע "הגיוני" ש-A כפול B יהיה שווה ל-B כפול A. אך כפי שציינת, אין בזה שום דבר קדוש, ואפשר להניח דווקא ש-A כפול B יהיה מינוס B כפול A, ולראות מה קורה. האם זה "נוגד את ההגיון"? אולי, אבל זה לא משנה. אם מהגדרה זו נובעות מסקנות מעניינות, זה מצויין. ברור שלא נטען שכך הוא המצב כאשר כופלים מספרים שלמים. "אני חושב שמתמטיקה באה לשרת צורך מסוים, ואם הגדרה נחשבת לקדושה גם כשהיא סותרת את המשמעות של המתמטיקה, אז המתמטיקה כבר מזמן איבדה את הרעיון שעליו היא נבנתה." אינני יודע איזה צורך באה המתמטיקה לשרת, אינני יודע איך ניתן לסתור את המשמעות של המתמטיקה, ואני גם לא בטוח על איזה רעיון היא נבנתה. מה שאני ממש בטוח הוא שמתמטיקה לא "איבדה כבר מזמן..." שום דבר. ולתגובה הנוכחית. כתבת: "הבנתי שכותב המאמר יוצא נגד יוצרי האתר בטענה שאנשים מסוגם כותבים שטויות." אם תעיין באתר, תגלה שיוצרו עושה שתי שגיאות. אחת, הוא סבור שאפס חלקי אפס הוא אפס כי "ככה זה", וכפי שעוזי הסביר זו הגדרה שאינה מתיישבת עם כללים אחרים של כפל וחילוק. שתיים, הוא סבור שבכך שגילה שאפס חלקי אפס הוא אפס הוא השיג הישג מדעי מרשים שיש לו השלכות מרחיקות-לכת על העולם. במצבים כאלה אני מרגיש נוח לטעון שמדובר בשטויות. לבסוף, כתבת: "אם זה אכן נכון, והגדרה מסוימת איננה מבוססת על אקסיומות (או על משהו הדומה לאקסיומה אך שונה ממנה), אזי גם כל המתמטיקה שנבנתה עליה תהיה שגויה מבחינה אקסיומטית (תודה על התיקון). היא אולי לא תהיה שגויה בתנאי שמניחים שההגדרה הבעייתית היא נכונה, אך ביחס למה שקורה בשטח- כלומר ביחס לאקסיומות היא תהיה שגויה, ולכן מתמטיקה כבר לא תהיה מה שהיא היתה אמורה להיות- מעין מדע מושלם (שלא כמו פיסיקה) שנובע אך ורק מהנחות יסוד." את הפסקה הזו באמת התקשיתי להבין. נראה לי שאתה סבור שיש משהו יסודי הנקרא "אקסיומה", וכדאי מאוד שהוא יהיה נכון כי אחרת כל ההגדרות המתבססות עליו תהיינה שגויות והמתמטיקה כולה תדרדר. אז שוב - אקסיומות יכולות להיות "שגויות" אם הן מובילות לסתירה *לוגית*, פנימית, אבל לא לסתירות למול "מה שקורה בשטח". מערכת אקסיומות יכולה להיות לא מעניינת, או שהיא תיכשל בלתאר את הדבר "האמיתי" אותו מנסים למדל, אבל זה לא הופך אותה, או את המתמטיקה הנובעת ממנה, לשגויה. אני לא רוצה ליצור את הרושם שאין שום קשר בין המתמטיקה למציאות. חלקים נכבדים במתמטיקה פותחו כדי שניטיב להבין תופעות פיסיקליות ואחרות, וכאן ייתכן שהמודל יתגלה ככזה שאינו משקף את המציאות, אך - שוב - אין בכך כדי לגרוע מהשלמות (ולעיתים, מהיופי) של התורה המתמטית הרלוונטית. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כל מה שרציתי להגיד הוא שלדעתי אם אקסיומה תראה כלא הגיונית או ככזאת שלא משקפת את המציאות, אזי אולי המתמטיקה המבוססת עליה תהיה נכונה ביחס אליה, אך ביחס למציאות היא תהיה שגויה. אני מאמין שבבסיסה המתמטיקה אמורה ללכת בקו אחד עם המציאות, ולא לסתור את ההגיון. אם אני מוצא סתירה לוגית מסוימת באקסיומה, או שאני רואה שהגדרה לא הוגדרה נכון (מהבחינה שהאדם אשר הגדיר אותה לא חשב על העניין לעומק) האקסיומה/הגדרה אמורה להיחשב כלא נכונה, ולכן המתמטיקה המבוססת עליה, גם אם היא הגיונית ביחס להגדרה, כבר לא תהיה מתמטיקה מבחינתי. אולי אני רק ילד שלא מבין כלום בעניין, אך זאת היא דעתי. אני חושב שדווקא אותם אנשים אשר מתהדרים בתאריהם במתמטיקה ובידע הנרחב שלהם לעיתים שוכחים מה מתמטיקה נועדה להיות מלכתחילה. ושוב, כאן יש מקום לוויכוח פילוסופי על מהות המתמטיקה, ואולי לכל אחד יש דעה שונה בעניין, ולכן מבחינתי אין טעם להמשיך בשיחה הזאת. אני מעריך את עזרתכם. תודה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זו זכותך לעצור את הדיון, אבל חבל. אם תתחרט, אשמח אם תספק דוגמאות לאקסיומות הסותרות את ההגיון, או למתמטיקה שהיא כבר לא מתמטיקה מבחינתך. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לצערי- וכבר אמרתי זאת- אין לי ממש דוגמאות, אולי אין כאלו, אך גם אם היו- אין לי הרבה דרכים ללמוד עליהן. זהו אולי הצד החלש בטיעון שלי, אך אני רק מתאר מצב אפשרי, ולא כותב סקירה הסטורית על התפתחות ההגדרות במתמטיקה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בעברית: אליעזר שישא - מתמטיקה ומתמטיקאים סדרת "לייף" - מתמטיקה קרול וורדרמן - כיצד פועלת המתמטיקה? את שני הראשונים אני מכיר והם נחמדים אם כי מיושנים קצת. את השלישי מצאתי ב-"מיתוס" אך אינני מכיר אותו. באנגלית: Ian Stewart - Concepts of Modern Mathematics אלו ספרים הרבה יותר מעמיקים, אך בכל זאת נעימים לקריאה. אינני בטוח אם יש בעברית משהו דומה. תוכל לדעתי לקבל מושג טוב על ה-"משמעות" של מתמטיקה גם מ-Courant & Robbins - What is Mathematics Douglas R.Hofstadter - Godel, Escher, Bach (כן, שוב פעם הוא...). הנה קישור רלוונטי: |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
שאני די בטוח שמאוד תהנה לקרוא אותו, והוא קצר ומתאים מאוד לתלמידי י"א (ולכל השאר) - "משפטי גדל ובעיית היסודות של המתמטיקה" מאת ארנון אברון. סיכוי טוב שהוא נמצא בספריית בית הספר. כדי לגרות את סקרנותך, אם צריך: הגישה שאתה מציג כאן - שאקסיומות יכולות להיות נכונות נכונות או שגויות, ושהן צריכות להיות נכונות - דווקא היתה מקובלת, שלא לומר מובנת מאליה, עבור מתמטיקאים עד אמצע המאה ה-19. ואז התרחש משבר הגיאומטריה הלא-אאוקלידית, ולמעשה אילץ את המתמטיקאים לעבור לגישה שאותה ייצגו כאן עוזי ואלון. בספר הנ"ל תוכל לקרוא על כך, ועל עוד הרבה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מה דעתך על "דרך נקודה מחוץ לישר לא ניתן להעביר ישר מקביל לישר הנתון"? זו אקסיומה אמיתית. הגיונית? לא הגיונית? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אבל זו אקסיומה "תלושה" מכל קונטקסט, נכון? כלומר, היא לא אחת האקסיומות של הגיאומטריה האאוקלידית. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כפי שאמרת היא לא נכונה למרחבים אוקלידיים, אבל למה זה מתליש אותה? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
היא לא הביאה אותה כדוגמה לאקסיומה שכולנו מכירים, ונראית לנו טבעית. מדובר באקסיומה שכרגע אנחנו עוסקים *בה* בלי קשר לשאר האקסיומות במערכת אליה היא שייכת. אם הטיעון היה "דרך כל שתי נקודות שונות עובר בדיוק קו ישר אחד", אז היינו יכולים לבחון את ה"הגיוניות" של האקסיומה ע"פ האקסיומות האחרות במערכת, אותן נאו מכירים היטב. אבל עבור רובנו, ולצורך הדיון, האקסיומה הנתונה היא *מערכת אקסיומות שלמה* (אולם די קטנה..). כך שברור שהיא לא מובילה לסתירה. השאלה שלי בעצם הייתה, האם זו הייתה אקסיומה לא ידועה שהובאה לצורך הדיון, או פשוט טעות בניסוח של אקסיומה שכולנו מכירים מביה"ס. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לדעתי זה בדיוק להיפך: היא ניסתה להראות שאכסיומה לא צריכה להיות "הגיונית" במובן שיש מודל אינטואיטיבי שבו היא מתקיימת. כמובן, הכל מתחיל ונגמר בשאלה למה אנחנו קוראים "אכסיומה": האם למשפט שרירותי שאינו דורש הוכחה (כדרכם של מתמטיקאים), או למשפט שנכון בעליל ולכן אינו דורש הוכחה (כדרכם של הקדמונים ושל פילוסופים מסויימים). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זו אקסיומה יודועה - היא זו שהופכת גיאומטריה אוקלידית לגיאומטריה אליפטית. הסבר ממצה ומוצלח ביותר (ושלי, כמובן): תגובה 59483 | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הגיונית מאד, כפי שיוכל להעיד כל מי שאין בידו סרגל :-) | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מערכת אקסיומות לא מתארת את המציאות בהכרח; היא מתארת מערכת שלמה, כמו למשל, "האריתמטיקה" או "הגיאומטריה" וכו', ולכן גם מערכת לא אינטואיטיבית היא "נכונה" (בהנחה שאין בה סתירה) לכן, ויכוח על נכונות הגדרה מתמטית הוא חסר משמעות אם שתי ההגדרות שקולות (כי זה בעצם אותו דבר) וכנ"ל גם אם אחת שגוייה (כי היא שגוייה) ויכוח על אקסיומות הוא חסר טעם, כי כל מערכת היא "נכונה". | |
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |