בתשובה למ. השור, 31/08/03 1:03
 |
|
 |
||
|
||||
 |
ראשית, "סודר" מוגדר כקבוצה טרנזיטיבית שהיא גם סדורה-היטב (לגבי יחס השייכות). מסתבר שכל סודר שייך לאחד משני סוגים: עוקב ("גדול באחד" מן הסודר שקדם לו, כמו כל המספרים הטבעיים), או גבול (איחוד כל הסודרים שקטנים ממנו, כמו למשל omega). כמובן שהסודר הראשון שאינו בן מניה, לא יכול להיות עוקב, ולכן הוא גבולי. אם כך, הוא מהווה איחוד (שאינו בן מניה!) של קבוצות בנות מניה. לא בעיה. לא אנסה לשכנע אותך באינטואיטיביות של אקסיומת הבחירה (מה לסאוונות אפריקאיות ולאקסיומות של תורת הקבוצות?). הסדר הרגיל על הממשיים, כמובן, אינו סדר טוב - ואולי בגלל זה נראה לך מוזר ש*קיים* סדר טוב. |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
הכל ברור מלבד ה"מסתבר" בראשית המשפט השני בתגובתך, הרי זו בדיוק שאלתי. לגבי סדר טוב על הממשיים, לא "טענתי" שהוא לא אינטואיטיבי אלא "סיפרתי" שהוא לא כזה בעיני. הסדר הרגיל הוא לא סדר טוב גם על הרציונליים ובכל זאת מאוד משכנע (ונכון) שיש עליהם סדר טוב. אגב, האם מספיק להניח את אקסיומת הבחירה על קבוצות בעוצמה כלשהי או שיש צורך להניח אותה על כל הקבוצות? האם קונסיסטנטי להניח, למשל, שאקסיומת הבחירה מתקיימת לעוצמת הרצף אבל לא לעוצמות גבוהות יותר? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הטענה היא שכל סודר1 הוא עוקב3 או גבולי4. "Take the following rule on faith": כל שני סודרים אפשר להשוות (אם הם שונים, אחד מהם קטן מהשני).כעת, יהי a סודר, ו- b האיחוד של כל האיברים של a (שכמובן גם הוא סודר). אם a=b, סיימנו. אם b>a אז a הוא איבר של b, ולכן איבר של אחת הקבוצות המשתתפות באיחוד של b, שהן איברי a. זה בלתי אפשרי (כי השייכות היא יחס א-סימטרי). נשאר המקרה b<a. אלא שאז, ניקח b'=b+1 (כפי שהוגדר ב3). אם b'>a אז a שייך ל- b+1, ואז a=b או a<b (וזה בלתי אפשרי). אם b'=a, סיימנו. נשאר המקרה b'<a; אז b (המוגדר כאיחוד אברי a) מכיל את b', ובפרט {b} הוא איבר של b - שוב סתירה לא-סימטריות. 1 אולי הגיע הזמן לתת הגדרה מסודרת: סודר הוא קבוצה שיחס השייכות עליה הוא טרנזיטיבי (כלומר, לכל איבר של הקבוצה, כל האיברים שלו הם איברים שלה2) ו*טוב* (לכל תת-קבוצה לא ריקה יש איבר מינימלי). 2 זו תורת-הקבוצות פמיניסטית. 3 דהיינו, מהצורה b+1 כאשר b הוא סודר. הסודר החדש b+1 מוגדר כאיחוד הקבוצה b עם הקבוצה {b} (שיש לה איבר אחד). מבחינת הסדר, זה כמו להדביק נקודה חדשה בראש הסודר הקודם. 4 שווה לאיחוד כל הסודרים הקטנים ממנו (= שייכים לו). |
|
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |