בתשובה לדובי קננגיסר, 27/08/03 19:58
 |
|
 |
||
|
||||
 |
התשובות של עוזי והאלמוני מדוייקות, כמובן, אך הן עונות על השאלה "מדוע נוח להגדיר את 0! כ-1". אם לזה התכוננת, מצוין. המטא-תשובה לשאלה המדוייקת ששאלת, "מדוע 0 עצרת זה 1", היא "0 עצרת יכול להיות מה שאנחנו רוצים שהוא יהיה, ונוח לבחור 1". אני אומר את זה כי נתקלתי במצבים בהם אנשים מניחים שברגע שהגדרת מה זה "עצרת" באופן כללי, איבדת את החופש להגדיר את "0 עצרת", והגדרתו נכפית עליך. זה כמובן לא המצב, ורק רציתי להדגיש את זה. יש מצבים אחרים בהם זה אף יותר מבלבל. |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
טוב, עכשיו אני אהיה טיפה טרחן: עצרת, להבנתי, מוגדרת ככפולת המספר n בכל המספרים השלמים הגדולים מאפס וקטנים מ-n - או, הגדרה מוצלחת יותר, n! הוא כפולת כל המספרים השלמים מ-1 ועד n. אם זה המצב, הרי שכפולת 0 בכל המספרים כדלקמן, או שתיתן אפס (אפס כפול כלום), או שתיתן כלום (כלום, אין מספרים שהם קטנים מ-0 וגדולים מ-1). אם נקבל את טענתו של עוזי שאנחנו רוצים לשמור על הכלל לפיו - !(n+1)=(n+1)*!n אזי הטענה ש-0!=1 אומרת שגם כל מספר שלילי בעצרת שווה לאחד, מה שנשמעת לי כמו טענה מוזרה מאוד.אבל אם תגיד לי ש"ככה הגדרנו את זה וזהו", אני אבין. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ההסכם הוא שמכפלה "ריקה" (שאין בה כופלים כלל) שווה ל- 1, בדיוק כפי שסכום ריק שווה לאפס. כמו בהגדרה של עצרת, זה לא *חייב* להיות כך, אבל ההסכם נוח, ומסתבר שכמעט תמיד הוא מכליל באופן ה"נכון" את המקרים שבהם המכפלה (או הסכום) אינם ריקים. כעת אפשר להגדיר את n! כמכפלת כל הטבעיים מ-1 עד n - המכפלה עבור n=0 היא ריקה (אין טבעיים קטנים או שווים לאפס), ולכן שווה ל- 1. לגבי המשוואה הפונקציונלית (כעת, לאחר שנלכדת בחכה, אני כבר לא חושש להבהיל) (n+1)!=(n+1)*n!, אם תציב n=-1 תקבל1 = 0 * (-1)! ולזה כמובן אין פתרון. לכן אין שום ערך סביר ל- !(1-), בהתאמה לפונקציית גמא שהזכרתי קודם לכן: היא מוגדרת עבור כל פרמטר מרוכב (לאו דווקא ממשי, לאו דווקא חיובי), פרט לנקודות ...,n=0,-1,-2,-3. לפרטים נוספים על הפונקציה: http://mathworld.wolfram.com/GammaFunction.html . |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אה. אותי לא החתימו על ההסכם הזה, אז לא ידעתי. תודה וסליחה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כפי שאלון אמר, התשובה היא באמת ש0! יהיה מה שנוח לנו שהוא יהיה, מאחר ובמתמטיקה לא מגדירים הגדרות סתם, אלא לצורך שימושים, ולכן מנסים לעשות אותן נוחות ככל האפשר. לגבי ההסכם, הסיבה שמניחים שכפל של כלום הוא 1, כמו שמניחים שסכום של כלום הוא 0, הוא ש 1 הוא האיבר הניטרלי ביחס לכפל (ו 0 הוא הנייטרלי ביחס לסכום). כלומר, כפל של x ב1 תמיד נשאר x. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נתחיל מהסוף: "ככה הגדרנו את זה וזהו" היא תשובה לא מספקת בעיני בשום מצב. גם אם מושג מתמטי הוא כך או אחרת על-פי הגדרה, יש תמיד איזושהי מוטיבציה, ואל תסכים לקבל "ככה" בתור תשובה. נמשיך ללכת אחורה: למה הטענה שכל מספר שלילי עצרת זה אחד נשמעת מוזרה מאוד? תכף נראה שזה לא המצב, אבל אני מנסה להבין איזו אינטואיציה לגבי "מהי עצרת" זה היה סותר אם זה היה נכון. אם תשאל מהו חצי עצרת, התשובה הכי מוצלחת שאנחנו מכירים היא שורש-פאי חלקי שתיים. נשמע מוזר? עכשיו, בעניין השליליים, נראה לי שעשית טעות בחישוב. אם !0 זה 1, ולפי הנוסחה שהזכרת !0 זה גם 0 כפול !(-1), אז !(1-) הוא אותו מספר שאם נכפול אותו ב-0 ייצא 1. אין כזה מספר, והדבר הכי דומה (וזו טענה *לא* פורמלית) הוא פלוס אינסוף. באותו אופן !(2-) הוא "מינוס אינסוף", וכו'. ודבר אחרון: לפי ההגדרה ה-"מילולית" של עצרת, !0 זה מכפלת כל השלמים הגדולים מ-0 והקטנים-או-שווים ל-0, וכיוון שאין כאלה אנחנו כופלים קבוצה ריקה, כלום. יש הרבה סיבות טובות להגדיר מכפלה ריקה כ-1, לא כ-0, ואם תרצה אסביר. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
המזדמן לעיל נתן סיבה טובה ומספקת עבורי. תודה לשניכם. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אלון שלום! אם משתמשים בפונקציית גמא להגדרת העצרת (6.1.5) אפשר לראות כי העצרת מוגדרת לכל הממשיים (כולל שברים) פרט לשלמים שליליים. (figure 6.1) מתוך Abramowitz & stegun. |
|
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |